2023-2024学年江西省赣州市信丰县八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年江西省赣州市信丰县八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是( )
A. 2，3，4B. 4，5，6C. 7，8，9D. 6，8，10
2.如果 x+1是二次根式，那么x的取值范围( )
A. x>−1B. x≥−1C. x≥0D. x>0
3.下列计算结果为2 3的是( )
A. 8+ 2B. 18− 12C. 6× 3D. 24÷ 2
4.某学校九年级一班十名同学定点投篮测试，每人投篮六次，投中的次数统计如下：5，4，3，5，5，2，5，3，4，1，则这组数据的中位数，众数分别为( )
A. 4，5B. 5，4C. 4，4D. 5，5
5.函数y=x−2的图象不经过( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
6.如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE=2，DE=6，∠EFB=60∘，则矩形ABCD的面积是( )
A. 12B. 24C. 12 3D. 16 3
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
7.化简： 16=______.
8.将直线y=2x向下平移2个单位，所得直线的函数表达式是______.
9.甲、乙、丙三名同学在本学期几次数学数据采集活动中，三人的平均成绩都是96分，方差分别为：s甲2=38，s乙2=14，s丙2=29，则三人中成绩最稳定的是______.
10.用三张正方形纸片，按如图所示的方式构成图案，已知围成阴影部分的三角形是直角三角形，S1=9，S3=25，则正方形S2的面积为______.
11.如图，点B、C分别在两条直线y=2x和y=kx上，点A、D是x轴上两点，已知四边形ABCD是正方形，则k值为______.
12.已知正方形ABCD的边长为5，点M在边AB上，且AM=1，动点N从点A出发，沿正方形的边顺时针运动一周，当△BMN是等腰三角形时，线段BN的长为______.
三、解答题：本题共11小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
13.(本小题6分)
(1)计算： 18− 32+ 8；
(2)如图，在▱ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点.求证：∠DEB=∠DFB.
14.(本小题6分)
计算： 48+ 3( 3−1)−30−| 3−2|.
15.(本小题6分)
如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB=90∘，若AB=5，BC=9，求EF的长.
16.(本小题6分)
已知a= 2−1，b= 2+1，先化简，再求值(b2a−b+a2b−a)÷(1a+1b).
17.(本小题6分)
如图，矩形ABCD中，点E在BC上，AE=CE，试分别在下列两个图中按要求使用无刻度的直尺画图．
(1)在图1中，画出∠DAE的平分线；
(2)在图2中，画出∠AEC的平分线．
18.(本小题8分)
某校240名学生参加植树活动，要求每人植树4∼7棵，活动结束后抽查了20名学生每人的植树量，并分为四类：A类4棵、B类5棵、C类6棵、D类7棵，将各类的人数绘制成如图所示不完整的条形统计图，回答下列问题：
(1)补全条形图；
(2)写出这20名学生每人植树量的众数和中位数；
(3)估计这240名学生共植树多少棵？
19.(本小题8分)
为保护学生视力，课桌椅的高度都是按一定的关系配套设计的，研究表明：假设课桌的高度为ycm，椅子的高度为xcm，则y应是x的一次函数，下表列出两套符合条件的课桌椅的高度：
(1)请确定y与x的函数关系式？
(2)现有一把高39cm的椅子和一张高为78.2的课桌，它们是否配套？为什么？
20.(本小题8分)
如图，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为0.5米，求梯子顶端A下落了多少米？
21.(本小题9分)
某商场推出两种优惠方法，甲种方法：购买一个书包赠送一支笔；乙种方法：购买书包和笔一律按九折优惠，书包20元/个，笔5元/支，小明和同学需购买4个书包，笔若干(不少于4支).
(1)分别写出两种方式购买的费用y(元)与所买笔支数x(支)之间的函数关系式；
(2)比较购买同样多的笔时，哪种方式更便宜；
(3)如果商场允许可以任意选择一种优惠方式，也可以同时用两种方式购买，请你就购买4个书包12支笔，设计一种最省钱的购买方式．
22.(本小题9分)
课本再现
定理证明
(1)为了证明该定理，小明同学画出了图形(如图1)，并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程.已知：在▱ABCD中，对角线BD⊥AC，垂足为O.
求证：▱ABCD是菱形.
知识应用
(2)如图2，在▱ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AD=5，AC=8，BD=6.
①求证：▱ABCD是菱形；
②延长BC至点E，连接OE交CD于点F，若OC=CE，求CE的长.
23.(本小题12分)
(1)基本图形的认识：
如图1，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90∘，点E是边BC上一点，AB=EC，BE=CD，连结AE、DE，求证：△AED是等腰直角三角形.
(2)基本图形的构造：
如图2，在平面直角坐标系中，A(2,0)，B(0,3)，连结AB，过点A在第一象限内作AB的垂线，并在垂线截取AC=AB，求点C的坐标；
(3)基本图形的应用：
如图3，一次函数y=−2x+2的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，直线AC交x轴于点D，且∠CAB=45∘，求点D的坐标.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、22+32≠42，故不是勾股数，故本选项不符合题意；
B、42+52≠62，故不是勾股数，故本选项不符合题意；
C、72+82≠92，故不是勾股数，故本选项不符合题意；
D、82+62=102，故是勾股数，故本选项符合题意；
故选：D.
欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
此题主要考查了勾股数，关键是掌握勾股数的定义：满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数．
2.【答案】B
【解析】解：由二次根式有意义的条件可知：x+1≥0，
∴x≥−1，
故选：B.
根据二次根式有意义的条件即可求出当．
本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练运用二次根式有意义的条件，本题属于基础题型．
3.【答案】D
【解析】解： 8+ 2=2 2+ 2=3 2；
18− 12=3 2−2 3；
6× 3= 6×3=3 2，
24÷ 2= 24÷2=2 3.
故选：D.
利用二次根式的加减法对A、B进行判断；根据二次根式的乘法法则对C进行判断；根据二次根式的除法法则对D进行判断．
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
4.【答案】A
【解析】解：将数据从小到大排列为：1，2，3，3，4，4，5，5，5，5，
这组数据的众数为：5；
中位数为：4.
故选：A.
根据众数及中位数的定义，结合所给数据即可作出判断．
本题考查了众数、中位数的知识，解答本题的关键是掌握众数及中位数的定义．
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了一次函数的性质，对于一次函数y=kx+b，k>0，函数经过第一、三象限，k<0，函数经过第二、四象限．
根据k>0确定一次函数经过第一、三象限，根据b<0确定与y轴负半轴相交，从而判断得解．
【解答】
解：一次函数y=x−2，
∵k=1>0，
∴函数图象经过第一、三象限，
∵b=−2<0，
∴函数图象与y轴负半轴相交，
∴函数图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限．
故选：B.
6.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了矩形的性质，翻折变换的性质，两直线平行，同旁内角互补，两直线平行，内错角相等的性质，解直角三角形，作辅助线构造直角三角形并熟记性质是解题的关键．
在矩形ABCD中根据AD//BC得出∠DEF=∠EFB=60∘，由折叠的性质可得∠A=∠A′=90∘，A′E=AE=2，AB=A′B′，∠A′EF=∠AEF=180∘−60∘=120∘，∴∠A′EB′=60∘.根据直角三角形的性质得出A′B′=AB=2 3，然后根据矩形的面积公式列式计算即可得解．
【解答】
解：在矩形ABCD中，
∵AD//BC，
∴∠B′EF=∠EFB=60∘，
由折叠的性质得∠A=∠A′=90∘，A′E=AE=2，AB=A′B′，∠A′EF=∠AEF=180∘−60∘=120∘，
∴∠A′EB′=∠A′EF−∠B′EF=120∘−60∘=60∘.
在Rt△A′EB′中，
∵∠A′B′E=90∘−60∘=30∘，
∴B′E=2A′E，而A′E=2，
∴B′E=4，
∴A′B′=2 3，即AB=2 3，
∵AE=2，DE=6，
∴AD=AE+DE=2+6=8，
∴矩形ABCD的面积=AB⋅AD=2 3×8=16 3.
故选：D.
7.【答案】4
【解析】解： 16=4，
故答案为：4.
根据算术平方根的定义即可求得答案．
本题考查算术平方根，熟练掌握其定义是解题的关键．
8.【答案】y=2x−2
【解析】解：由题意得：平移后的解析式为：y=2x−2=2x−2，
即．所得直线的表达式是y=2x−2.
故答案为：y=2x−2.
根据平移k值不变，只有b只发生改变解答即可．
本题考查图形的平移变换和函数解析式之间的关系，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标左移加，右移减；纵坐标上移加，下移减．平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减”．关键是要搞清楚平移前后的解析式有什么联系．
9.【答案】乙
【解析】解：∵s甲2=38，s乙2=14，s丙2=29，
∴s乙2∴三人中成绩最稳定的是乙，
故答案为：乙．
根据方差的意义求解即可．
本题主要考查方差和算术平均数，解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
10.【答案】16
【解析】解：设正方形纸片S1，S2，S3的边长分别为a，b，c.则S1=a2，S2=b2，S3=c2.
由题意可得，a、b、c恰好为阴影部分的三角形的三边，
∵阴影部分的三角形是直角三角形．
∴a2+b2=c2.
即S1+S2=S3.
∵S1=9，S3=25.
∴S2=S3−S1=16.
故答案为：16.
由题意可得，三个正方形的边长恰好凑成一个直角三角形，利用勾股定理可得，两个较小正方形的面积之和等于最大的正方形的面积．即S1+S2=S3.据此可求S2.
本题考查了勾股定理，正方形的性质，解题的关键是明确正方形的面积等于边长的平方．
11.【答案】23
【解析】解：设正方形的边长为a，则B的纵坐标是a，把点B代入直线y=2x的解析式，则设点B的坐标为(a2,a)，
则点C的坐标为(a2+a,a)，
把点C的坐标代入y=kx中得，a=k(a2+a)，解得，k=23.
故答案为：23.
设正方形的边长为a，根据正方形的性质分别表示出B，C两点的坐标，再将C的坐标代入函数中从而可求得k的值．
本题考查正方形的性质及正比例函数的综合运用，建立起关系，灵活运用性质是解题的关键．
12.【答案】2 10或 29或4
【解析】解：∵AM=1，正方形ABCD的边长为5，
∴AB=BC=CD=AD=5，BM=4；
如图1，当点N在AD边上时，BN>BM，BN>MN，
∴△当BMN是等腰三角形时，只有MB=MN=4，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=90∘，
由勾股定理得AN= MN2−AM2= 42−12= 15，
在Rt△ABN中，由勾股定理得BN= AB2+AN2= 52+( 15)2=2 10；
如图2，当点N在CD边上时，MN>BM，BN>BM，
∴△当BMN是等腰三角形时，只有MN=BN，
此时点N在BM的垂直平分线上，
∴CN=12BM=2，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠C=90∘，
由勾股定理得BN= BC2+CN2= 52+22= 29；
如图3，当点N在BC边上时，MN>BM，MN>BN，
∴△当BMN是等腰三角形时，只有BM=BN，
∵BM=4，
∴BN=4；
综上，当△BMN是等腰三角形时，线段BN的长为2 10或 29或4，
故答案为：2 10或 29或4.
分类讨论：当点N在AD边上时；当点N在CD边上时；当点N在BC边上时；结合正方形的性质、勾股定理、等腰三角形的性质计算即可．
本题考查了正方形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握这些知识点是解题的关键．
13.【答案】(1)解： 18− 32+ 8
=3 2−4 2+2 2
= 2；
(2)证明：在▱ABCD中，CD//AB，CD=AB.
∵E，F分别是AB，CD的中点，
∴DF=12CD，EB=12AB.
∴DF=EB.
又∵CD//AB，即DF//EB.
∴四边形DEBF是平行四边形．
∴∠DEB=∠DFB.
【解析】(1)先化简二次根式，然后合并同类项；
(2)证明四边形DEBF是平行四边形即可．
本题考查了二次根式的加减法，平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
14.【答案】解：原式=4 3+3− 3−1−(2− 3)
=4 3− 3+2−2+ 3
=4 3.
【解析】首先利用二次根式的性质以及结合绝对值的性质和零指数幂的性质、二次根式的乘法运算法则分别化简求出答案．
此题主要考查了二次根式的性质以及绝对值的性质和零指数幂的性质、二次根式的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
15.【答案】解：∵∠AFB=90∘，D为AB的中点，
∴DF=12AB=2.5，
∵DE为△ABC的中位线，
∴DE=12BC=4.5，
∴EF=DE−DF=2，
即EF的长为2.
【解析】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求出DF的长，再利用三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半，可求出DE的长，进而求出EF的长
本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
16.【答案】解．原式=b2−a2a−b÷b+aab
=−(a+b)(a−b)a−b×aba+b
=−ab，
当a= 2−1，b= 2+1时，原式=−ab=−(2−1)=−1.
【解析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a、b的值代入进行计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，在解答此类题目时要注意通分及约分的灵活运用．
17.【答案】解：(1)如图1所示．
；
(2)如图2所示．
.
【解析】(1)连接AC，再由平行线的性质及等腰三角形的性质可知AC是∠DAE的平分线；
(2)连接AC，BD交于点F，连接EF，由平行四边形的性质及等腰三角形的性质可知EF是∠AEC的平分线．
本题考查的是作图-基本作图，熟知矩形及等腰三角形的性质是解答此题的关键．
18.【答案】解：(1)D类的人数为：20−4−8−6=20−18=2人，
补全统计图如图所示：
；
(2)由图可知，植树5棵的人数最多，是8人，
所以，众数为5，
按照植树的棵树从少到多排列，第10人与第11人都是植5棵数，
所以，中位数是5；
(3)x−=4×4+5×8+6×6+7×220=5.3(棵)，
240×5.3=1272(棵).
答：估计这240名学生共植树1272棵．
【解析】(1)根据抽查人数减去A、B、C类人数，求出D类的人数，然后补全统计图即可；
(2)根据众数的定义解答，根据中位数的定义，找出第10人和第11人植树的平均棵树，然后解答即可；
(3)求出20人植树的平均棵树，然后乘以总人数240计算即可得解．
本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
19.【答案】解：(1)设y=kx+b.根据题意得
75=40k+b70.2=37k+b.解得k=1.6b=11.
∴y=1.6x+11；
(2)椅子和课桌不配套．
∵当x=39时，y=1.6×39+11=73.4≠78.2，
∴椅子和课桌不配套．
【解析】(1)因为y是x的一次函数，所以可用待定系数法求关系式；
(2)求x=39时y的值，若y=78.2则说明配套，否则不配套．
此题考查一次函数的应用，难度中等．
20.【答案】解：在Rt△ABC中，AB=2.5米，BC=1.5米，
故AC= AB2−BC2= 2.52−1.52=2(米)，
在Rt△ECD中，AB=DE=2.5米，CD=(1.5+0.5)米，
故EC= DE2−CD2= 2.52−22=1.5(米)，
故AE=AC−CE=2−1.5=0.5(米).
答：梯子顶端A下落了0.5米.
【解析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，此题中主要注意梯子的长度不变，分别运用勾股定理求得AC和CE的长，即可计算下滑的长度．
在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：AC=2米，由于梯子的长度不变，在直角三角形CDE中，根据勾股定理得CE=1.5米，所以AE=0.5米，即可得．
21.【答案】解：(1)由题意，得
y甲=20×4+5(x−4)=5x+60，
y乙=90%(20×4+5x)=4.5x+72；
(2)由(1)可知 当y甲>y乙时
5x+60>4.5x+72，
解得：x>24，即当购买笔数大于24支时，乙种方式便宜．
当y甲=y乙时，
5x+60=4.5x+72，
解得：x=24，即当购买笔数为24支时，甲乙两种方式所用钱数相同即甲乙两种方式都可以．
当y甲 5x+60<4.5x+72，
解得：x<24，即当购买笔数大于4支而小于24支时，甲种方式便宜；
(3)用一种方法购买4个书包，12支笔时，由12<24，则选甲种方式 需支出
y=20×4+8×5=120(元)
若两种方法都用 设用甲种方法购书包x个，则用乙种方法购书包(4−x)个总费用
y=20x+90%〔20(4−x)+5(12−x)〕(0y=−2.5x+126
由k=−2.5<0则y随x增大而减小，即当x=4时y最小=116(元).
综上所述，用甲种方法购买4个书包，用乙种方法购买8支笔最省钱．
【解析】本题考查了一次函数的解析式的运用，分类讨论的运用及不等式和方程的解法的运用，一次函数的性质的运用，解答时先表示出两种购买方式的解析式是解答第二问的关键，解答第三问灵活运用一次函数的性质是难点．
(1)根据购买的费用等于书包的费用+笔的费用就可以得出结论；
(2)由(1)的解析式，分情y甲>y乙时，况y甲=y乙时和y甲(3)由条件分析可以得出用一种方式购买选择甲商场求出费用，若两种方法都用 设用甲种方法购书包x个，则用乙种方法购书包(4−x)个总费用为y，再根据一次函数的性质就可以求出结论．
22.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，
∵BD⊥AC，
∴∠AOD=∠COD，
在△AOD和△COD中，
OA=OC∠AOD=∠CODOD=OD，
∴△AOD≌△COD(SAS)，
∴AD=CD，
∴四边形ABCD是菱形；
(2)①证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC=12AC=4，OB=OD=12BD=3，
∵OA2+OD2=42+32=25，AD2=52=25，
∴OA2+OD2=AD2，
∴AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形；
②解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OC=12AC=4，
∵OC=CE，
∴CE=4.
【解析】(1)证明△AOD≌△COD(SAS)，得出AD=CD，得到四边形ABCD是菱形；
(2)①根据四边形ABCD是平行四边形，得出OA=OC=12AC=4，OB=OD=12BD=3，OA2+OD2=42+32=25，AD2=52=25，得到OA2+OD2=AD2，AC⊥BD，得出四边形ABCD是菱形；②根据四边形ABCD是菱形，得出OC=12AC=4，得到CE=4.
本题考查了全等三角形的性质与判定，菱形的性质与判定，勾股定理等，掌握菱形的性质与判定是解题的关键．
23.【答案】(1)证明：∵在△ABE和△ECD中，
AB=EC∠B=∠C=90∘BE=CD，
∴△ABE≌△ECD(SAS)，
∴AE=DE，∠AEB=∠EDC，
在Rt△EDC中，∠C=90∘，
∴∠EDC+∠DEC=90∘.
∴∠AEB+∠DEC=90∘.
∵∠AEB+∠DEC+∠AED=180∘，
∴∠AED=90∘.
∴△AED是等腰直角三角形；
(2)解：过点C作CH⊥x轴于点H，如图2，
则∠AHC=90∘.
∴∠AOB=∠BAC=∠AHC=90∘，
∴∠OAB=180∘−90∘−∠HAC=90∘−∠HAC=∠HCA.
在△AOB和△CHA中，
∠AOB=∠CHA∠OAB=∠HCAAB=CA，
∴△AOB≌△CHA(AAS)，
∴AO=CH，OB=HA，
∵A(2,0)，B(0,3)，
∴AO=2，OB=3，
∴AO=CH=2，OB=HA=3，
∴OH=OA+AH=5，
∴点C的坐标为(5,2)；
(3)解：如图3，过点B作BE⊥AB，交AD于点E，过点E作EF⊥OD，交OD于点F，
把x=0代入y=−2x+2中，得y=2，
∴点A的坐标为(0,2)，
∴OA=2，
把y=0代入y=−2x+2，得−2x+2=0，解得x=1，
∴点B的坐标为(1,0)，
∴OB=1，
∵AO⊥OB，EF⊥BD，
∴∠AOB=∠BFE=90∘，
∵AB⊥BE，
∴∠ABE=90∘，∠BAE=45∘，
∴AB=BE，∠ABO+∠EBF=90∘，
又∵∠ABO+∠OAB=90∘，
∴∠OAB=∠EBF，
在△AOB和△BFE中，
∠OAB=∠EBF∠AOB=∠BFEAB=BE，
∴△AOB≌△BFE(AAS)，
∴BF=OA=2，EF=OB=1，
∴OF=3，
∴点E的坐标为(3,1)，
设直线AC的解析式为y=kx+b，
由题意可得3k+b=1b=2，
解得k=−13b=2，
∴直线AC的解析式为y=−13x+2，
令y=0，解得x=6，
∴D(6,0).
【解析】(1)证明△ABE≌△ECD(SAS)，由全等三角形的性质得出AE=DE，∠AEB=∠EDC，则可得出结论；
(2)过点C作CH⊥x轴于点H，证明△AOB≌△CHA，从而得到AH、CH，则可得到点C的坐标；
(3)过点B作BE⊥AB，交AD于点E，过点E作EF⊥OD，交OD于点F，由一次函数解析式求出OA=2，OB=1，证明△AOB≌△BFE(AAS)，由全等三角形的性质得出BF=OA=2，EF=OB=1，求出E点坐标，求出直线AC的解析式，则可得出答案．
本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与坐标轴的交点，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．第一套
第二套
椅子高度xcm
40.0
37.0
桌子高度ycm
75.0
70.2
思考我们知道，菱形的对角线互相垂直.反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？
可以发现并证明菱形的一个判定定理；
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.