2023-2024学年江西省景德镇市乐平市八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年江西省景德镇市乐平市八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列垃圾分类的标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.如图，将△ABC沿BC向右平移得到△DEF，若BC=5，BE=2，则CF的长是( )
A. 2
B. 2.5
C. 3
D. 5
3.下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是( )
A. (a+3)2=a2+6a+9B. a2−4a+4=a(a−4)+4
C. 5ax2−5ay2=5a(x+y)(x−y)D. a2−2a−8=(a−2)(a+4)
4.在函数y= x−1中，自变量x的取值范围在数轴上表示为( )
A. B.
C. D.
5.“孔子周游列国”是流传很广的故事.有一次他和学生到离他们住的驿站30里的书院参观，学生步行出发1小时后，孔子坐牛车出发，牛车的速度是步行的1.5倍，孔子和学生们同时到达书院，设学生步行的速度为每小时x里，则可列方程为( )
A. 30x=301.5x+1B. 30x=301.5x+1C. 30x=301.5x−1D. 30x=301.5x−1
6.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90∘，∠ACB=45∘，AB=8，点P为BC上任意一点，连结PA，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连结PQ，则PQ的最小值为( )
A. 4 2B. 2 2C. 8D. 4
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
7.分解因式：x3−9x=__________.
8.已知一个正多边形的每个外角都等于60∘，那么它的边数是______.
9.如图，正比例函数y1=2x和一次函数y2=kx+b交于点A(a,2)，则当y1>y2时，自变量x的取值范围为______.
10.如图，△ABC中，D、F分别是AC、BC的中点，E在DF上，且BE⊥CE，若AB=8，BC=6，则DE=______.
11.已知关于x的分式方程m+1x−3=1的解为正数，则m的取值范围是______.
12.如图，在▱ABCD中，AB三、解答题：本题共11小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
13.(本小题6分)
计算：
(1)分解因式：a2b−4ab2+4b3；
(2)解方程：x2x−3+53−2x=1.
14.(本小题6分)
如图，已知AB=AC，AE=CE，四边形BECF是平行四边形，请仅用无刻度的直尺按要求作图：
(1)在图1中作△ABC的高AH；
(2)在图2中AB边上作一点M，使EM=12BC.
15.(本小题6分)
先化简，再求值：
x2−2x+1x2+3x÷(1−4x+3)，然后从−3，0，1，3中选一个合适的数作为x的值代入求值.
16.(本小题6分)
如图，在△ABC中，∠C=90∘，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD=DF.求证：BE=FC.
17.(本小题6分)
已知满足不等式3(x−2)+4<4(x−1)+5的最小整数是关于x的方程2(x−1)+a3+2−ax4=1的解，求a的值.
18.(本小题8分)
已知点E、F分别是▱ABCD的边BC、AD的中点．
(1)求证：四边形AECF是平行四边形；
(2)若BC=12，∠BAC=90∘，求▱AECF的周长．
19.(本小题8分)
已知关于x、y的方程组x+y=−5+mx−y=3m−2.
(1)用含m的代数式表示方程组的解为：______，
(2)若方程组的解满足x为非正数，y为负数，求m的取值范围；
(3)在(2)的条件下，当m为何整数时，不等式(m−1)x1？
20.(本小题8分)
如图，三角形A′B′C′是由三角形ABC经过某种平移得到的，点A与点A′，点B与点B′，点C与点C′分别对应，且这六个点都在格点上，观察各点以及各点坐标之间的关系，解答下列问题：
(1)分别写出点B和点B′的坐标，并说明三角形A′B′C′是由三角形ABC经过怎样的平移得到的；
(2)连接BC′，直接写出∠CBC′与∠B′C′O之间的数量关系______；
(3)若点M(a−1,2b−5)是三角形ABC内一点，它随三角形ABC按(1)中方式平移后得到的对应点为点N(2a−7,4−b)，求a和b的值.
21.(本小题9分)
端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗.今年端午节来临之际，某商场预测A粽子能够畅销.根据预测，每千克A粽子节前的进价比节后多2元，节前用240元购进A粽子的数量比节后用相同金额购进的数量少4千克.根据以上信息，解答下列问题：
(1)该商场节后每千克A粽子的进价是多少元？
(2)如果该商场在节前和节后共购进A粽子400千克，且总费用不超过4600元，并按照节前每千克20元，节后每千克16元全部售出，那么该商场节前购进多少千克A粽子获得利润最大？最大利润是多少？
22.(本小题9分)
【阅读材料】形如a2±2ab+b2的式子叫做完全平方式，有些多项式虽然不是完全平方式，但可以通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法，配方法在因式分解、代数最值等问题中都有着广泛的应用
(1)用配方法因式分解：a2+6a+8
解：原式=a2+6a+9−1
=(a+3)2−1
=(a+3−1)(a+3+1)
=(a+2)(a+4)
(2)用配方法求代数式a2+6a+8的最小值
解：原式=a2+6a+9−1
=(a+3)2−1
∵(a+3)2≥0，∴(a+3)2−1≥−1，∴a2+6a+8的最小值为−1
【解决问题】(1)若代数式x2−10x+k是完全平方式，则常数k的值为______，
(2)因式分解：a2−12a+32
【拓展应用】(3)用配方法求代数式4x2+4x+5的最小值
23.(本小题12分)
课本再现
(1)如图1，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，在证明“三角形两边中点的连线与第三边的关系”时，小明通过延长DE到点F，使EF=DE，连接CF，得到四边形BDFC，先判断四边形BDFC的形状，并证明.
类比迁移
(2)在四边形ABCD中，E为AD的中点，点G、F分别在AB、CD上，连接GF、GE、EF，且GE⊥EF.
①如图2，若四边形ABCD是正方形，AG、DF、GF之间的数量关系为______；
②如图3，若四边形ABCD是平行四边形，①中的结论是否成立，请说明理由.
方法运用
(3)如图4，在四边形ABCD中，∠A=105∘，∠D=120∘，E为AD的中点，G、F分别为AB、CD边上的点，若AG=4 2，DF=4，∠GEF=90∘，求GF的长.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
C、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选：B.
中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180∘，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重台，这样的图形叫做轴对称图形．根据定义依次对各个选项进行判断即可．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．正确掌握中心对称图形与轴对称图形定义是解题关键．
2.【答案】A
【解析】解：由平移的性质可知：CF=BE=2，
故选：A.
根据经过平移，对应点所连的线段相等解答即可．
本题考查的是平移的性质，掌握经过平移，对应点所连的线段平行且相等是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：A：(a+3)2=a2+6a+9是完全平方公式，不是因式分解的形式，故选项A错误，
B：a2−4a+4=(a−2)2，故选项B错误，
C：5ax2−5ay2=5a(x2−y2)=5a(x+y)(x−y)，故选项C正确，
D：a2−2a−8=(a+2)(a−4)，故选项D错误．
故答案为：C.
本题考查因式分解-十字相乘，提公因式等相关知识．解题的关键是能够熟悉因式分解的定义，熟练运用因式分解中的提公因式，十字相乘等方法．
4.【答案】D
【解析】解：根据题意可得：x−1≥0，
解得：x≥1.
故答案为：D.
根据二次根式的被开方数为非负数，列出不等式，求出解集，即可判断．
本题主要考查了函数的知识、数轴的知识、二次根式的知识、一元一次不等式的知识，难度不大．
5.【答案】A
【解析】解：∵学生步行的速度为每小时x里，牛车的速度是步行的1.5倍，
∴牛车的速度是1.5x里/时，
由题意可得：30x=301.5x+1，
故选：A.
根据题意可知：步行的时间=牛车用的时间+1，然后即可列出相应的方程．
本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程．
6.【答案】A
【解析】解：设PQ与AC交于点O，作OP′⊥BC于P′.如图所示：
在Rt△ABC中，∠BAC=90∘，∠ACB=45∘，AB=8，
∴AC=8，
∵四边形PAQC是平行四边形，
∴OA=OC=12AC=4，
∴OP′=2 2，
当P与P′重合时，OP的值最小，则PQ的值最小，
∴PQ的最小值=2OP′=4 2.
故选：A.
设PQ与AC交于点O，作OP′⊥BC于P′.首先求出OP′，当P与P′重合时，PQ的值最小，PQ的最小值=2OP′，从而求解．
本题考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形的性质以及垂线段最短的性质，解题的关键是得到当P与P′重合时，OP的值最小，则PQ的值最小．
7.【答案】x(x+3)(x−3)
【解析】解：原式=x(x2−9)
=x(x+3)(x−3)，
故答案为：x(x+3)(x−3).
根据提取公因式、平方差公式，可分解因式．
本题考查了因式分解，利用了提公因式法与平方差公式进行分解，注意分解要彻底．
8.【答案】6
【解析】解：由题意可得：
正多边形的边数为360∘÷60∘=6.
利用多边形的外角和等于360度即可解决问题．
本题需利用多边形的外角和来解决问题．
9.【答案】x>1
【解析】解：∵正比例函数y1=2x过点A(a,2)，
∴2=2a，
∴a=1，
由图可知，x>1时，y1>y2.
故答案为：x>1.
先求得A的坐标，然后根据函数图象写出正比例函数y1=2x和一次函数y2=kx+b上方部分的x的取值范围即可．
本题考查了一次函数与一元一次不等式，利用数形结合的思想求解是解题的关键．
10.【答案】1
【解析】解：∵D、F分别是AC、BC的中点，
∴DF是△ABC的中位线，
∴DF=12AB=12×8=4，
∵BE⊥CE，
∴∠BEC=90∘，
在Rt△BEC中，∠BEC=90∘，F是BC的中点，
∴EF=12BC=3，
∴DE=DF−EF=4−3=1，
故答案为：1.
根据三角形中位线定理求出DF，再根据直角三角形斜边上的中线的性质求出EF，进而求出DE.
本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线的性质，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
11.【答案】m>−4且m≠−1
【解析】解：m+1x−3=1，
方程两边都乘以x−3得，m+1=x−3，
解得x=m+4，
∵关于x的分式方程m+1x−3=1的解为正数，
∴m+4>0且m+4≠3
∴m>−4且m≠−1，
故答案为：m>−4且m≠−1.
先求分式方程的解，再根据分式方程的解为正数以及分式方程有解即可确定m的取值范围．
本题考查了解分式方程及分式方程的解，熟练掌握分式的方程的解的情况是解题的关键．
12.【答案】4或6
【解析】解：分两种情况：
①如图1，当∠EAD=90∘，AB∵AD=BC，BC=EC，
∴AD=EC，
∵AD//BC，∠EAD=90∘，
∴∠EGC=90∘，
∵∠B=30∘，AB=2 3，
∴∠AEC=30∘，
∴GC=12EC=12BC，
∴G是BC的中点，
在Rt△ABG中，BG= 32AB=3，
∴BC=2BG=6；
②如图2，当∠AED=90∘时，
∵AD=BC，BC=EC，
∴AD=EC，
又∵AE=AB=CD，AC=CA，
∴△ACE≌△CAD(SSS)，
∴∠FAC=∠FCA，
∴FA=FC，
∴FE=FD，
∴∠FED=∠FDE，
∴∠AED=∠CDE，
∵∠AED=90∘，
∴∠CDE=90∘，
∴AE//CD，
又∵AB//CD，
∴B，A，E在同一直线上，
∴∠BAC=∠EAC=90∘，
∵Rt△ABC中，∠B=30∘，AB=2 3，
∴BC=AB÷ 32=4，
∴当BC的长为4或6时，△AED是直角三角形．
故答案为：4或6.
在平行四边形ABCD中，AB本题主要考查了翻折变换的性质，解题的关键是画出图形，发现存在两种情况，进行分类讨论．
13.【答案】解：(1)原式=b(a2−4ab+4b2)
=b(a−2b)2；
(2)去分母得：x−5=2x−3，
解得：x=−2，
检验：把x=−2代入得：2x−3=−7≠0，
∴x=−2是分式方程的解．
【解析】(1)原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；
(2)分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，以及提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
14.【答案】解：(1)AH即为所求；
(2)点M即为所求.
【解析】(1)根据平行四边形的性质及等腰三角形的性质作图；
(2)根据平行四边形的性质及三角形三条中线的特点作图．
本题考查了复杂作图，掌握平行四边形的性质及等腰三角形的性质是解题的关键．
15.【答案】解：原式=(x−1)2x(x+3)÷x+3−4x+3
=(x−1)2x(x+3)÷x−1x+3
=(x−1)2x(x+3)⋅x+3x−1
=x−1x，
∵x(x+3)≠0，x−1≠0，
∴x≠0，x≠−3，x≠1，
∴x=3，
∴原式=3−13=23.
【解析】利用分式的运算法则将原式进行化简，然后根据分式有意义的条件确定x的值，再将其代入化简结果计算即可．
本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则并求得正确的化简结果是解题的关键．
16.【答案】证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C=90∘，
∴DC=DE，∠C=∠DEA=90∘，
在Rt△DCF和Rt△DEB中，
DC=DEDF=DB，
∴Rt△DCF≌Rt△DEB(HL)，
∴FC=BE，
即BE=FC.
【解析】根据角平分线的性质和全等三角形的判定方法可以证明△DCF和△DEB全等，从而可以证明结论成立．
本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
17.【答案】解：由不等式3(x−2)+4<4(x−1)+5可得：x>−3，
∴不等式3(x−2)+4<4(x−1)+5的最小整数是−2，
∵不等式3(x−2)+4<4(x−1)+5的最小整数是关于x的方程2(x−1)+a3+2−ax4=1的解，
∴2×(−2−1)+a3+2−a×(−2)4=1，
解得a=3，
即a的值是3.
【解析】先求出不等式3(x−2)+4<4(x−1)+5的解集，即可得到该不等式的最小整数解，然后将这个最小整数解代入关于x的方程2(x−1)+a3+2−ax4=1，求出a的值即可．
本题考查解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解、解一元一次方程，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法和解一元一次方程的方法．
18.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，
∵点E、F分别是▱ABCD的边BC、AD的中点，
∴AF=12AD，CE=12BC，
∴AF=CE，
又∵AF//CE，
∴四边形AECF是平行四边形；
(2)解：∵BC=12，∠BAC=90∘，E是BC的中点．
∴AE=CE=12BC=CE=6，
∴平行四边形AECF是菱形，
∴▱AECF的周长=4×6=24.
【解析】(1)根据平行四边形的性质得AD//BC，AD=BC，再证AF=CE，即可得出结论；
(2)根据直角三角形斜边上的中线性质得到AE=CE=12BC=6，再证平行四边形AECF是菱形，于是得到结论．
此题主要考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
19.【答案】x=2m−3.5y=−m−1.5
【解析】解：(1){x+y=−5+m①x−y=3m−2②，
由①+②，得2x=4m−7，解得x=2m−3.5，
由①-②，得2y=−2m−3，解得y=−m−1.5，
所以原方程组的解是x=2m−3.5y=−m−1.5；
故答案为：x=2m−3.5y=−m−1.5；
(2)∵x为非正数，y为负数，
∴x≤0，y<0，
即2m−3.5≤0−m−1.5<0，
解这个不等式组得−32(3)∵不等式(m−1)x1，
∴m−1<0，即m<1，
∵−32∴−32∴整数m为−1，0，
即当m为整数−1或0时，不等式(m−1)x1.
(1)利用加减法解关于x、y的方程组；
(2)利用方程组的解得到2m−3.5≤0−m−1.5<0，然后解关于m的不等式组；
(3)利用不等式性质得到m−1<0，即m<1，加上(2)的结论得到−32本题考查了解一元一次不等式组，解二元一次方程组，解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
20.【答案】∠CBC′−∠B′C′O=90∘
【解析】解：(1)由图知，B(2,1)，B′(−1,−2)，
三角形A′B′C′是由三角形ABC向左平移3个单位，向下平移3个单位得到的；
(2)∠CBC′与∠B′C′O之间的数量关系∠CBC′−∠B′C′O=90∘.
故答案为：∠CBC′−∠B′C′O=90∘；
(3)由(1)中的平移变换得a−1−3=2a−7，2b−5−3=4−b，
解得a=3，b=4.
故a的值是3，b的值是4.
(1)由图形可得出点的坐标和平移方向及距离；
(2)根据平移的性质和平角的定义和平行线的性质即可求解；
(3)根据以上所得平移方式，利用“横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减”的规律列出关于a、b的方程，解之求得a、b的值．
本题主要考查坐标与图形变化-平移，解题的关键是掌握在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上(或减去)一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加(或减去)一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度．(即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．)
21.【答案】解：(1)设该商场节后每千克A粽子的进价为x元，
根据题意，得240x−4=240x+2，
解得x1=10，x2=−12(舍去)，
经检验，x1=10，x2=−12都是原分式方程的根，但x2=−12不合题意舍去，
答：该商场节后每千克A粽子的进价是10元；
(2)设该商场节前购进m千克A粽子，总利润为w元，
根据题意，得(10+2)m+10(400−m)≤4600，
解得m≤300，
w=(20−12)m+(16−10)(400−m)=2m+2400，
∵2>0，
∴w随着m增大而增大，
当m=300时，w取得最大值，最大利润为2×300+2400=3000(元)，
答：该商场节前购进300千克A粽子获得利润最大，最大利润是3000元．
【解析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，理解题意并根据题意建立相应关系式是解题的关键．
(1)设该商场节后每千克A粽子的进价为x元，根据节前用240元购进A粽子的数量比节后用相同金额购进的数量少4千克，列分式方程，求解即可；
(2)设该商场节前购进m千克A粽子，总利润为w元，根据该商场在节前和节后共购进A粽子400千克，且总费用不超过4600元，列一元一次不等式，求出m的取值范围，再表示出w与m的函数关系式，根据一次函数的增减性即可确定如何进货才能获得最大利润，并求出最大利润即可．
22.【答案】25
【解析】解：(1)∵(x−5)2=x2−10x+25，
∴k=25，
故答案为：25；
(2)原式=(a−6)2−4
=(a−6+2)(a−6−2)
=(a−4)(a−8)；
(3)4x2+4x+5=4x2+4x+1+4=(2x+1)2+4，
∵(2x+1)2≥0，
∴(2x+1)2+4≥4，
∴4x2+4x+5的最小值为4.
(1)根据完全平方式的定义计算即可；
(2)利用公式法进行因式分解即可；
(3)利用配方法将原式变形为(2x+1)2+4，再根据非负数的性质，即可得出结果．
本题考查的是因式分解的应用，非负数的性质，熟练掌握其分解方法是解题的关键．
23.【答案】GF=AG+DF
【解析】解：(1)BDFC是平行四边形，理由如下：
∵D，E分别是边AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，AE=CE，
∵EF=DE，∠AED=∠CEF，
∴△AED≌△CEF(SAS)，
∠A=∠FCE，
∴AD//CF，
∵D是AB的中点，
∴AD=BD，
∴BD=CF，
又∵BD//CF，
∴四边形BCFD是平行四边形；
(2)①GF=AG+DF，理由如下：
如图2，延长GE，FD交于点H，
∵E为AD中点，
∴EA=ED，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠EDH=90∘，
在△AEG和△DEH中，
∠A=∠EDHEA=ED∠AEG=∠DEH，
∴△AEG≌△DEH(ASA)，
∴AG=HD，EG=EH，
∵∠GEF=90∘，
∴EF垂直平分GH，
∴GF=HF=DH+DF，即GF=AG+DF；
故答案为：GF=AG+DF；
②①中结论仍然成立，理由如下：
如图3延长GE、FD交于点H，
∵E为AD中点，
∴EA=ED，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，
∴∠A=∠EDH，
在△AEG和△DEH中，
∠A=∠HDEEA=ED∠AEG=∠HED，
∴△AEG≌△DEH(ASA)，
∴AG=HD，EG=EH，
∵∠GEF=90∘，
∴EF垂直平分GH，
∴GF=HF=DH+DF，即GF=AG+DF；
(3)如图4，延长GE至点M，使得EM=EG，连接MD，MF，过点M作MN⊥CD，交CD的延长线于点N，
∵E为AD中点，
∴EA=ED，
在△AEG和△DEM中
AE=DE∠AEG=∠DEMEG=EM，
∴△AEG≌△DEM(SAS)，
∴∠EDM=∠EAG=105∘，MD=AG=4 2，
∵∠EDF=120∘，
∴∠MDF=135∘，
∴∠MDN=45∘，
∴△MDN为等腰直角三角形，
∴MN=DN= 22DM=4，
∴NF=ND+FD=4+4=8，
∴MF= NF2+MN2= 42+82=4 5，
∵GE=EM，∠GEF=90∘，
∴EF垂直平分GH，
∴MF=GF，
∴GF=4 5.
(1)先证明△AED≌△CEF，得到∠A=∠FCE，则AD//CF，再证明BD=CF，即可证明四边形BCFD是平行四边形；
(2)①如图2，延长GE，FD交于点H，证明△AEG≌△DEH，得到AG=HD，EG=EH，再证明EF垂直平分GH，得到GF=HF=DH+DF，即可证明GF=AG+DF；②如图2延长GE、FD交于点H，证明△AEG≌△DEH，得到AG=HD，EG=EH，再证明EF垂直平分GH，得到GF=HF=DH+DF，即可证明GF=AG+DF；
(3)如图2，延长GE至点M，使得EM=EG，连接MD，MF，过点M作MN⊥CD，交CD的延长线于点N，证明△AEG≌△DEM，得到∠EDM=∠EAG=105∘，MD=AG=4 2，求出∠MDF=135∘，则∠MDN=45∘，继而证明△MDN为等腰直角三角形，得到MN=DN=4，则NF=8，利用勾股定理求出MF=4 5，同理可得GF=4 5.
本题主要考查了正方形的性质，平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，旋转的性质等等，熟知全等三角形的“倍长中线”模型是解题的关键．