2023-2024学年江西省上饶市玉山县八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年江西省上饶市玉山县八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列长度的三条线段，能成为一个直角三角形的三边的一组是( )
A. 3， 4， 5B. 1，2， 3C. 2，4， 6D. 9，16，25
2.小明和小强同学分别统计了自己最近10次“一分钟跳绳”的成绩，下列统计量中能用来比较两人成绩稳定程度的是( )
A. 平均数B. 中位数C. 方差D. 众数
3.下列运算中，正确的是( )
A. 2+ 3= 5B. 7− 2= 5
C. 6÷ 16= 6÷6=1D. 4 3×12 2=2 6
4.若m<−2，则一次函数y=(m+1)x+1−m的图象可能是( )
A. B. C. D.
5.如图，在矩形ABCD中，边AB的长为3，点E，F分别在AD，BC上，连接BE，DF，EF，BD.若四边形BFDE是菱形，且OE=AE，则边BC的长为( )
A. 2 3
B. 3 3
C. 92 3
D. 6 3
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
6.根据第七次全国人口普查，华东A，B，C，D，E，F六省60岁及以上人口占比情况如图所示，这六省60岁及以上人口占比的中位数是______.
7.二次根式 x−3有意义的条件是______.
8.在Rt△ABC中，∠C=90∘，AC=3，BC= 7，则AB边的长是______.
9.如图，四边形ABCD是菱形，AC=24，BD=10，DH⊥AB于点H，则线段DH的长为______.
10.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为(10,0)，(0,4)，点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为__________.
三、解答题：本题共10小题，共65分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
11.(本小题4分)
计算(−3)0+ 8+(−3)2−4× 22.
12.(本小题5分)
如图，在平行四边形ABCD中，已知AC⊥CD，AE⊥BC，若∠EAC=50∘，求∠D的度数.
13.(本小题6分)
如图，在▱ABCD中，点E在AD上，且EC平分∠BED，若∠EBC=30∘，BE=10，求▱ABCD的面积.
14.(本小题6分)
长方形的长是3 5+2 3，宽是3 5−2 3，求长方形的周长与面积．
15.(本小题6分)
如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈(一丈=10尺)，一阵风将竹子折断，其竹稍恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度．
16.(本小题7分)
如图，一次函数y=−12x+5的图象l1分别与x轴、y轴交于A，B两点，正比例函数的图象l2与l1交于点C(m,154).
(1)求m的值及l2的函数解析式；
(2)一次函数y=kx+1的图象为l3，且l1，l2，l3可以围成三角形，k不能取哪些值？
17.(本小题7分)
某校学生会向全校3000名学生发起了“爱心捐助”捐款活动，为了解捐款情况，学生会随机调查了部分学生的捐款金额，并用得到的数据绘制了如图所示的统计图
请根据相关信息，解答下列问题：
(1)本次接受随机调查的学生人数为______，图1中m的值是______.
(2)求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；
(3)根据样本数据，估计该校本次活动捐款金额为10元的学生人数．
18.(本小题7分)
如图，在矩形ABCD中，BD的垂直平分线分别交AB、CD、BD于E、F、O，连接DE、BF.
(1)求证：四边形BEDF是菱形；
(2)若AB=16cm，BC=8cm，求四边形DEBF的面积．
19.(本小题8分)
某手机专卖店销售5部甲型手机和8部乙型手机的利润为1600元，销售15部甲型手机和6部乙型手机的利润为3000元.
(1)求每部甲型手机和乙型手机的利润；
(2)该专卖店计划购进这两种型号的手机共120部，其中乙型手机的进货量不低于甲型手机的2倍.设购进甲型手机x部，这120部手机全部销售的总利润为y元.
①求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
②该商店如何进货才能使销售总利润最大？
20.(本小题9分)
如图，P是正方形ABCD内一点，连接CP，将线段CP绕点C顺时针旋转90∘，得线段CQ，连接BP，DQ.
(1)如图①，求证：△BCP≌△DCQ；
(2)延长BP交直线DQ于点E.
①如图②，利用四边形内角和知识点证明BE⊥DQ；
②若△BCP是等边三角形，请画出图形，并直接写出△DEP的形状.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A、∵( 3)2+( 4)2≠( 5)2，∴不能构成直角三角形，故本选项错误；
B、∵12+( 3)2=22，∴能构成直角三角形，故本选项正确；
C、∵22+( 6)2≠42，∴不能构成直角三角形，故本选项错误；
D、∵92+162≠252，∴不能构成直角三角形，故本选项错误．
故选：B.
由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．
2.【答案】C
【解析】【分析】
此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数方差等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．
【解答】
解：能用来比较两人成绩稳定程度的是方差，
故选：C.
3.【答案】D
【解析】解：A、 2与 3不能合并，所以A选项错误；
B、 7与− 2不能合并，所以B选项错误；
C、原式= 6×6=6，所以C选项错误；
D、原式=2 3×2=2 6，所以D选项正确．
故选：D.
利用二次根式的加减法对A、B进行判断；根据二次根式的除法法则对C进行判断；根据二次根式的乘法法则对D进行判断．
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
4.【答案】D
【解析】解：∵m<−2，
∴m+1<0，1−m>0，
∴一次函数y=(m+1)x+1−m的图象经过一、二、四象限，
故选：D.
由m<−2得出m+1<0，1−m>0，进而利用一次函数的性质解答即可．
本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解：直线y=kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k>0时，直线必经过一、三象限；k<0时，直线必经过二、四象限．b>0时，直线与y轴正半轴相交；b=0时，直线过原点；b<0时，直线与y轴负半轴相交．
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了矩形的性质、菱形的性质以及在直角三角形中30∘角所对的直角边时斜边的一半，解题的关键是求出∠ABE=∠EBD=∠DBC=30∘.
根据矩形的性质和菱形的性质得∠ABE=∠EBD=∠DBC=30∘，解直角三角形BDC，即可求出BC的长．
【解答】解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90∘，∠ABC=90∘，AB=CD，
即EA⊥AB，
∵四边形BFDE是菱形，
∴BD⊥EF，
∵OE=AE，
∴点E在∠ABD的角平分线上，
∴∠ABE=∠EBD，
∵四边形BFDE是菱形，
∴∠EBD=∠DBC，
∴∠ABE=∠EBD=∠DBC=30∘，
∵AB的长为3，
∴BC=3 3，
故选B.
6.【答案】18.75%
【解析】解：把这些数从小大排列为：16.0%，16.9%，18.7%，18.8%，20.9%，21.8%，
则中位数是18.7%+18.8%2=18.75%.
故答案为：18.75%.
根据中位数的定义直接求解即可．
本题考查了中位数的概念：将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
7.【答案】x≥3
【解析】解：由题意可知：x−3≥0，
故答案为：x≥3
根据二次根式有意义的条件即可求出答案．
本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是正确二次根式有意义的条件，本题属于基础题型．
8.【答案】4
【解析】解：根据勾股定理可得：AB= AC2+BC2= 9+7= 16=4.
故答案为：4.
在直角三角形中直接利用勾股定理计算即可．
本题考查了勾股定理的应用，找出直角边、斜边应用勾股定理计算是解题的关键．
9.【答案】12013
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，AC=24，BD=10，
∴S菱形ABCD=12×AC×BD=120，AO=12，OD=5，AC⊥BD，
∴AD=AB= AO2+OD2=13，
∵DH⊥AB，
∴AO×BD=DH×AB，
∴12×10=13×DH，
∴DH=12013.
故答案为：12013.
直接利用菱形的性质得出AO，DO的长，再利用三角形面积以及勾股定理得出答案．
此题主要考查了菱形的性质以及勾股定理，正确得出DH的长是解题关键．
10.【答案】(2,4)或(3,4)或(8,4)
【解析】【分析】
本题考查等腰三角形的性质，勾股定理，矩形的性质以及坐标与图形性质.
当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，有三种情况，分类讨论根据勾股定理即可求得答案．
【解答】
解：由题意，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，有三种情况：
(1)如答图①所示，PD=OD=5，点P在点D的左侧，
过点P作PE⊥x轴于点E，则PE=4，
在Rt△PDE中，由勾股定理得DE= PD2−PE2= 52−42=3，
∴OE=OD−DE=5−3=2，
∴此时点P坐标为(2,4)；
(2)如答图②所示，OP=OD=5，点P在点D的左侧，
过点P作PE⊥x轴于点E，则PE=4，
在Rt△POE中，由勾股定理得：OE= OP2−PE2= 52−42=3，
∴此时点P坐标为(3,4)；
(3)如答图③所示，PD=OD=5，点P在点D的右侧，
过点P作PE⊥x轴于点E，则PE=4，
在Rt△PDE中，由勾股定理得：DE= PD2−PE2= 52−42=3，
∴OE=OD+DE=5+3=8，
∴此时点P坐标为(8,4)，
综上所述，点P的坐标为(2,4)或(3,4)或(8,4).
故答案为(2,4)或(3,4)或(8,4).
11.【答案】解：原式=1+2 2+9−2 2
=10.
【解析】先利用零指数幂、乘方的意义计算，再把 8化简，然后合并即可．
本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和零指数幂是解决问题的关键．
12.【答案】解：∵AE⊥BC，
∴∠AEC=90∘，
∵∠EAC=50∘，
∴∠BCD=40∘，
∵AC⊥CD，
∴∠ACD=90∘，
∴∠BCD=130∘，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D=50∘.
【解析】首先求出∠ACDA的度数，因为AC⊥CD，所以∠ACD=90∘，进而求出∠BCD的度数，利用平行四边形的性质：邻角互补即可求出∠D的度数．
本题考查了垂直的定义、三角形的内角和定理以及平行四边形的性质，题目比较简单，属于基础性题目．
13.【答案】解：如图，过点E作EF⊥BC于点F，
∵∠EBC=30∘，BE=10，
∴EF=12BE=5，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠DEC=∠BCE，
又∵EC平分∠BED，
∴∠BEC=∠DEC，
∴∠BCE=∠BEC，
∴BE=BC=10，
∴平行四边形ABCD的面积为BC⋅EF=10×5=50.
【解析】过点E作EF⊥BC于点F，利用直角三角形的性质求出EF，再根据平行线的性质和角平分线的定义得到∠BCE=∠BEC，可得BE=BC=10，最后利用平行四边形的面积公式计算即可．
本题考查了平行四边形的性质，30度的直角三角形的性质，角平分线的定义，等角对等边，知识点较多，但难度不大，图形特征比较明显，作出辅助线构造直角三角形求出EF的长是解题的关键．
14.【答案】解：周长：
2[(3 5+2 3)+(3 5−2 3)]，
=2(3 5+2 3+3 5−2 3)，
=2×6 5，
=12 5；
面积：(3 5+2 3)×(3 5−2 3)=45−12=36.
【解析】根据长方形的周长公式：2×(长+宽)，面积公式：长×宽进行计算即可．
此题主要考查了二次根式的应用，关键是掌握长方形的周长和面积计算公式，掌握二次根式的加减和乘法计算．
15.【答案】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为(10−x)尺，
根据勾股定理得：x2+62=(10−x)2.
解得：x=3.2
答：折断处离地面的高度是3.2尺．
【解析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为(10−x)尺，利用勾股定理解题即可．
此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．
16.【答案】解：(1)把点C(m,154)代入y=−12x+5得，−12m+5=154，
解得m=2.5；
设l2对应的函数解析式为y=ax，
代入点C(52,154)，得154=52a，
解得a=32，
∴l2对应的函数解析式为y=32x.
(2)若直线l1，l2，l3不能围成三角形，分以下三种情况：
①直线l3经过点C(52,154)，52k+1=54，即k=110；
②直线l2与l3平行，则k=32；
③直线l1与l3平行，则k=−12.
故l1，l2，l3可以围成三角形，k不能取110或32或−12.
【解析】(1)把点C(m,154)代入y=−12x+5即可求得m的值，然后利用待定系数法即可求得l2的函数解析式；
(2)若直线l1，l2，l3不能围成三角形，分以下三种情况：当l3经过点C(52,154)时，k=110；当直线l2与l3平行时，k=32；直线l1与l3平行时，k=−12，于是得到结论．
本题主要考查两直线相交或平行问题，一次函数图象与系数的关系，解决问题的关键是掌握待定系数法求函数解析式及分类讨论思想．
17.【答案】50人 32
【解析】解：(1)本次接受随机调查的学生人数为4÷8%=50(人)，
∴m%=1650×100%=32%，即m=32，
故答案为：50人，32；
(2)本次调查获取的样本数据的平均数是：150×(4×5+16×10+12×15+10×20+8×30)=16(元)，
本次调查获取的样本数据的众数是：10元，
本次调查获取的样本数据的中位数是：15元；
(3)估计该校本次活动捐款金额为10元的学生人数为3000×1650=960(人).
(1)由捐款5元的人数及其所占百分比可得总人数，再用捐款10元的人数除以总人数可得m的值；
(2)根据平均数、众数和中位数的概念求解可得答案；
(3)用总人数乘以样本中捐款10元的人数所占比例即可．
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、中位数、众数，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
18.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90∘，AD=BC，AB//DC，
∴∠OBE=∠ODF，
∵BD的垂直平分线分别交AB、CD、BD于E、F、O，
∴OB=OD，
在△BOE和△DOF中，∠OBE=∠ODFOB=OD∠BOE=∠DOF，
∴△BOE≌△DOF(ASA)，
∴OE=OF，
∵OB=OD，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∵EF垂直平分BD，
∴BE=DE，
∴四边形BEDF是菱形；
(2)解∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=8cm，AE=AB−BE=16−BE，
∵BE=DE，在Rt△DAE中，DE2=AD2+AE2，
即BE2=82+(16−BE)2，
解得：BE=10(cm)，
∴四边形DEBF的面积=AD⋅BE=8×10=80(cm2).
【解析】(1)由题意得出∠OBE=∠ODF，由BD的垂直平分线得出OB=OD，证得△BOE≌△DOF，得出OE=OF，推出四边形BEDF是平行四边形，再由EF垂直平分BD，得出BE=DE，即可得出结论；
(2)由矩形、菱形的性质与勾股定理解得：BE=10cm，即可得出结果．
本题考查了矩形的性质、平行四边形的判定、菱形的判定与性质、勾股定理、菱形面积的计算等知识，熟练掌握矩形性质与菱形判定是关键．
19.【答案】解：(1)设每部甲型手机的利润为m元，每部乙型手机的利润为n元，
根据题意得：5m+8n=160015m+6n=3000，
解得m=160n=100，
∴每部甲型手机的利润为160元，每部乙型手机的利润为100元；
(2)①∵乙型手机的进货量不低于甲型手机的2倍，
∴120−x≥2x，
解得x≤40，
根据题意得y=160x+100(120−x)=60x+12000，
∴y=60x+12000(0≤x≤40)；
②在y=60x+12000中，y随x的增大而增大，
∴当x=40时，y取最大值60×40+12000=14400，
此时120−x=120−40=80，
∴购进甲型手机40部，乙型手机80部，才能使销售总利润最大．
【解析】(1)设每部甲型手机的利润为m元，每部乙型手机的利润为n元，根据销售5部甲型手机和8部乙型手机的利润为1600元，销售15部甲型手机和6部乙型手机的利润为3000元得5m+8n=160015m+6n=3000，即可解得答案；
(2)①由乙型手机的进货量不低于甲型手机的2倍，得120−x≥2x，故x≤40，根据题意得y=160x+100(120−x)=60x+12000；
②结合①，由一次函数性质可得答案．
本题考查一次函数的应用和二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组和函数关系式．
20.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=DC，
又∵将线段CP绕点C顺时针旋转90∘，得线段CQ，
∴CP=CQ，∠PCQ=90∘，
∴∠PCD+∠QCD=90∘，
又∵∠PCB+∠PCD=90∘，
∴∠PCB=∠QCD，
在△BCP和△DCQ中，
BC=DC∠PCB=∠QCD,CP=CQ
∴△BCP≌△DCQ(SAS).
(2)①证明：∵△BCP≌△DCQ(SAS)，
∴∠PBC=∠QDC，
在四边形ABED中，∠A+∠ABE+∠BED+∠EDA=360∘，
即∠A+∠ABE+∠BED+∠CDA+∠QDC=360∘，
在四边形ABCD中，∠A+∠ABC+∠BCD+∠CDA=360∘，
即∠A+∠ABE+PBC+∠BCD+∠CDA=360∘，
∴∠BED=∠BCD=90∘，
∴BE⊥DQ；
②解：画图如下，
△DEP为等腰直角三角形，理由如下：
∵△BCP为等边三角形，
∴PB=PB=BC，∠PBC=∠BPC=∠PCB=60∘，
∴∠PCD=90∘−60∘=30∘，
∴∠DCQ=90∘−30∘=60∘，
又∵BC=DC，CP=CQ，
∴PC=DC，DC=CQ，
∴△PCD是等腰三角形，△DCQ是等边三角形，
∴∠CPD=∠CDP=12(180∘−30∘)=75∘，∠CDQ=60∘，
∴∠EPD=180∘−75∘−60∘=45∘，∠EDP=180∘−75∘−60∘=45∘，
∴△DEP是等腰直角三形．
【解析】(1)根据正方形性质得出BC=DC，根据旋转图形的性质得出CP=CQ，∠PCB=∠QCD，从而利用“SAS”证明三角形全等；
(2)①根据全等得出∠PBC=∠QBC，在四边形ABED、ABCD中根据四边形内角和列式，∠A+∠ABE+∠BED+∠CDA+∠QDC=360∘，∠A+∠ABE+PBC+∠BCD+∠CDA=360∘，从而说明BE⊥DQ；
②根据等边三角形的性质得出PB=PB=BC，∠PBC=∠BPC=∠PCB=60∘，则∠PCD=30∘，根据BC=DC，CP=CQ，得出△PCD为等腰三角形，然后根据△DCQ为等边三角形，从而得出∠DEP=90∘，从而得出答案．
本题考查四边形的综合应用，主要考查旋转的性质，正方形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理的应用以及等腰直角三角形的判定，综合性强，较难，利用数形结合的思想是解题关键．