2021-2022学年江西省赣州市信丰县九年级(上)期末数学试卷(含答案)

这是一份2021-2022学年江西省赣州市信丰县九年级(上)期末数学试卷(含答案)，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021-2022学年江西省赣州市信丰县九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项）
1．（3分）下列品牌汽车的标识是中心对称图形的是　　
A． B． C． D．
2．（3分）方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为　　
A．2，5，4 B．2，，4 C．，，4 D．2，，
3．（3分）将抛物线向上平移1个单位长度，再向左平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为　　
A． B． C． D．
4．（3分）如图，面积为的矩形试验田一面靠墙（墙的长度不限），另外三面用长的篱笆围成，平行于墙的一边开有一扇宽的门（门的材料另计）．设试验田垂直于墙的一边的长为，则所列方程正确的是　　

A． B．
C． D．
5．（3分）七巧板是古代中国劳动人民的发明，其历史至少可以追溯到公元前一世纪，到了明代基本定型，明、清两代在中国民间广泛流传，清陆以湉《冷庐杂识》卷一中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余，体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之，在一次数学活动课上，小明用边长为的正方形纸板制作了如图所示的七巧板，并设计了下列四幅“奔跑者”作品，其中阴影部分的面积为的是　　

A． B．
C． D．
6．（3分）若二次函数的图象，过不同的六点、、、，、、，则、、的大小关系是　　
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分。）
7．（3分）已知，是一元二次方程的两个不相等的实数根，则的值为　　．
8．（3分）若点，，，，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是 　　．（用“”表示）
9．（3分）如图，正五边形内接于，为上一点，连接，，则的度数为　　．

10．（3分）如图，将矩形绕点顺时针旋转到的位置，旋转角为．若，则　 　．

11．（3分）如图，在平面直角坐标系中，与轴的正半轴交于、两点，与轴的正半轴相切于点，连接，已知，，，则阴影部分的面积为　　．

12．（3分）如图，已知的半径为2，圆心在抛物线上运动，当与轴相切时，则圆心的坐标为　　．

三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（6分）解下列方程：
（1）
（2）．
14．（6分）复工复学后，为防控冠状病毒，学生进校园必须戴口罩，测体温．某校开通了两种不同类型的测温通道共三条．分别为：红外热成像测温通道）和人工测温通道和通道）．在三条通道中，每位同学都要随机选择其中的一条通过，某天早晨，该校美琦和雨清两位同学将随机通过测温通道进入校园．
（1）下列事件是必然事件的是　　．
．美琦同学从测温通道通过进入校园
．雨清同学从测温通道通过进入校园
．有一位同学从测温通道通过进入校园
．两位同学都要从测温通道通过进入校园
（2）请用列表或画树状图的方法求小明和小丽从不同类型测温通道通过进入校园的概率．
15．（6分）如图，是的内接三角形，，请用无刻度的直尺按要求作图．
（1）如图1，请在图1中画出弦，使得．
（2）如图2，是的直径，是的切线，点，，在同一条直线上，请在图中画出的边上的中线．

16．（6分）如图，将线段绕点逆时针旋转得到线段，继续旋转得到线段，连接、．
（1）若，则的度数为 　　；
（2）请用含的代数式表示，并说明理由．

17．（6分）已知关于的方程有实数根．
（1）求的取值范围；
（2）设，是方程的两个实数根，是否存在实数使得成立？如果存在，请求出来；若不存在，请说明理由．
四、（体大题共3小题，每小题8分，共24分）。
18．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数图象与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数图象交于点、，且点，点的纵坐标是．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）直接写出当时的取值范围是　　；
（3）若点是反比例函数在第四象限内图象上的点，过点作轴，垂足为点，连接、，如果，求点的坐标．

19．（8分）如图，为正方形对角线上一点，以为圆心，长为半径的与相切于点．
（1）求证：与相切．
（2）若正方形的边长为1，求的半径．

20．（8分）如图，，与交于点，且，，，．
（1）求的长；
（2）求证：．

五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．（9分）某电器商场根据民众健康需要，代理销售某种家用空气净化器，其进价是200元台，经过市场销售后发现：在一个月内，当售价是400元台时，可售出200台，且售价每降低1元，就可多售出5台，若供货商规定这种空气净化器售价不低于330元台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售任务．
（1）若某月空气净化器售价降低30元，则该月可售出多少台？
（2）试确定月销售量（台与售价（元台）之间的函数关系式，并求出售价的范围；
（3）当售价（元台）定为多少时，商场每月销售这种空气净化器所获的利润（元最大，最大利润是多少？
22．（9分）在正方形中，点在射线上（不与、重合），连接，以为对角线作正方形，，，按逆时针排列），连接，．
（1）如图1，当点在线段上时，求证：；
（2）由正方形的性质可知，即，两点均在以为直径的同一个圆上．
①请直接回答：　　；
②如备用图，当点在线段上时，判断、、三条线段之间的数量关系，并说明理由．
③当点在线段延长线上时，请在备用图2作出图形，直接写出、、三条线段之间的数量关系．
六、解答题（共1小题，满分12分）
23．（12分）如图，已知点，，为正整数．抛物线交轴于点与点，，交轴于点与点，，交轴于点与点，，按此规律，．交轴于点与点，．
（1）填空：　　，　　，　　，　　；
（2）用含的代数式表示：抛物线的顶点坐标为 　　；抛物线的顶点坐标为 　　；
（3）设抛物线的顶点为．
①若△为等腰直角三角形，求的值；
②直接写出当与满足什么数量关系时，△是等腰直角三角形．


2021-2022学年江西省赣州市信丰县九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项）
1．（3分）下列品牌汽车的标识是中心对称图形的是　　
A． B． C． D．
【分析】结合中心对称图形的概念求解即可．
【解答】解：、不是中心对称图形，本选项错误；
、不是中心对称图形，本选项错误；
、是中心对称图形，本选项正确；
、不是中心对称图形，本选项错误．
故选：．
【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2．（3分）方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为　　
A．2，5，4 B．2，，4 C．，，4 D．2，，
【分析】一元二次方程的一般形式是：，，是常数且，特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．要确定二次项系数、一次项系数和常数项，首先要把方程化成一般形式．
【解答】解：方程化成一般形式是，
二次项系数为2，一次项系数为，常数项为．
故选：．
【点评】考查了一元二次方程的一般形式，注意在说明二次项系数，一次项系数，常数项时，一定要带上前面的符号．
3．（3分）将抛物线向上平移1个单位长度，再向左平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为　　
A． B． C． D．
【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律平移则可解题．
【解答】解：按照“左加右减，上加下减”的规律，将抛物线向上平移1个单位长度，再向左平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为，
故选：．
【点评】本题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．
4．（3分）如图，面积为的矩形试验田一面靠墙（墙的长度不限），另外三面用长的篱笆围成，平行于墙的一边开有一扇宽的门（门的材料另计）．设试验田垂直于墙的一边的长为，则所列方程正确的是　　

A． B．
C． D．
【分析】根据篱笆的总长及的长度，可得出，利用矩形的面积计算公式，结合矩形试验田的面积为，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：篱笆的总长为，且，平行于墙的一边开有一扇宽的门，
．
依题意得：．
故选：．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
5．（3分）七巧板是古代中国劳动人民的发明，其历史至少可以追溯到公元前一世纪，到了明代基本定型，明、清两代在中国民间广泛流传，清陆以湉《冷庐杂识》卷一中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余，体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之，在一次数学活动课上，小明用边长为的正方形纸板制作了如图所示的七巧板，并设计了下列四幅“奔跑者”作品，其中阴影部分的面积为的是　　

A． B．
C． D．
【分析】根据七巧板中各部分面积的关系可得答案．
【解答】解：正方形的边长为，
七巧板中两个大等腰直角三角形的面积为，两个小等腰直角三角形的面积为，小正方形和平行四边形的面积为，右下角的等腰直角三角形的面积为，
中阴影部分面积和为，中阴影部分面积和为，中阴影部分面积和为，中阴影部分面积和为，
故选：．
【点评】本题主要考查了七巧板，正方形和等腰直角三角形的性质，熟练掌握七巧板中各部分面积之间的关系是解题的关键．
6．（3分）若二次函数的图象，过不同的六点、、、，、、，则、、的大小关系是　　
A． B． C． D．
【分析】由解析式可知抛物线开口向上，点、、求得抛物线对称轴所处的范围，然后根据二次函数的性质判断可得．
【解答】解：由题意
②①得，④，
③②得，⑤，
④⑤得到，，可得，
抛物线的对称轴，
，、、，
则，
故选：．
解法二：
解：由二次函数可知，抛物线开口向上，
、、、
点关于对称轴的对称点在5与6之间，
对称轴的取值范围为，
，
点到对称轴的距离小于，点到对称轴的距离大于，
，
故选：．
【点评】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，根据题意得到抛物线的对称轴和开口方向是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分。）
7．（3分）已知，是一元二次方程的两个不相等的实数根，则的值为　5　．
【分析】根据根与系数的关系，，再代入计算即可得出答案．
【解答】解：，是方程的两个实数根，
，，
．
故答案为：5．
【点评】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数关系的公式是关键．
8．（3分）若点，，，，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是 　　．（用“”表示）
【分析】将点，点，点坐标代入解析式可求，，的值，即可得，，的大小关系．
【解答】解：点，，，，，在反比例函数的图象上，
，，，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握图象上的点满足图象函数解析式是本题的关键．
9．（3分）如图，正五边形内接于，为上一点，连接，，则的度数为　　．

【分析】连接、，求出的度数，再根据圆周角定理即可解决问题．
【解答】解：连接、，如图所示：
五边形是正五边形，
，
，
故答案为：．

【点评】本题考查正多边形和圆、圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握圆周角定理．
10．（3分）如图，将矩形绕点顺时针旋转到的位置，旋转角为．若，则　　．

【分析】根据对顶角相等求出，再根据四边形的内角和等于求出，然后求出，最后根据旋转的性质可得即为旋转角．
【解答】解：如图，由对顶角相等得，，
在四边形中，，
所以，，
即旋转角．
故答案为：．

【点评】本题考查了旋转的性质，四边形的内角和定理，对顶角相等的性质，熟记性质并考虑利用四边形的内角和定理求解是解题的关键．
11．（3分）如图，在平面直角坐标系中，与轴的正半轴交于、两点，与轴的正半轴相切于点，连接，已知，，，则阴影部分的面积为　　．

【分析】过点作于，连接、，可得四边形是梯形，由的正切可得的长，利用勾股定理可得圆的半径，最后根据阴影部分面积梯形面积扇形面积可得答案．
【解答】解：过点作于，连接、，

，
而与轴相切于，轴，
，
在中，，，
，
，
四边形是矩形，即．
，，
，
于，
，，
，
，
，
．
，
．
故答案为：．
【点评】本题考查与圆有关的计算和切线的性质，正确作出辅助线并应有锐角三角函数是解题关键．
12．（3分）如图，已知的半径为2，圆心在抛物线上运动，当与轴相切时，则圆心的坐标为　，或，或　．

【分析】根据的半径为2，以及与轴相切，即可得出，求出的值即可得出答案．
【解答】解：的半径为2，圆心在抛物线上运动，
当与轴相切时，假设切点为，
，

即或，
解得，或，
点的坐标为：，或，或．
故答案为：，或，或．

【点评】此题主要考查了图象上点的性质以及切线的性质，根据题意得出，求出的值是解决问题的关键．
三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（6分）解下列方程：
（1）
（2）．
【分析】（1）利用配方法求解可得；
（2）利用因式分解法求解可得．
【解答】解：（1），
，即，
则，
；

（2），
，
则，
或，
解得或．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
14．（6分）复工复学后，为防控冠状病毒，学生进校园必须戴口罩，测体温．某校开通了两种不同类型的测温通道共三条．分别为：红外热成像测温通道）和人工测温通道和通道）．在三条通道中，每位同学都要随机选择其中的一条通过，某天早晨，该校美琦和雨清两位同学将随机通过测温通道进入校园．
（1）下列事件是必然事件的是　　．
．美琦同学从测温通道通过进入校园
．雨清同学从测温通道通过进入校园
．有一位同学从测温通道通过进入校园
．两位同学都要从测温通道通过进入校园
（2）请用列表或画树状图的方法求小明和小丽从不同类型测温通道通过进入校园的概率．
【分析】（1）根据随机事件、确定事件对各选项进行判断；
（2）画树状图展示所有9种等可能的情况数，找出小明和小丽从不同类型测温通道通过的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）两位同学都要从测温通道通过进入校园为必然事件；
故选；
（2）画树状图为：

共有9种等可能的情况数，其中小明和小丽从不同类型测温通道通过的有4种情况，
小明和小丽从不同类型测温通道通过的概率是．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式计算事件或事件的概率．也考查了随机事件．
15．（6分）如图，是的内接三角形，，请用无刻度的直尺按要求作图．
（1）如图1，请在图1中画出弦，使得．
（2）如图2，是的直径，是的切线，点，，在同一条直线上，请在图中画出的边上的中线．

【分析】（1）利用直尺即可作图；
（2）复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．
【解答】
（1）如图1：连接并延长交圆于点，连接，则．即为所求作的图形．
（2）如图：连接、交于点，连接交于点，则就是边上的中线．即为所求作的图形．
【点评】本题考查了复杂作图、线段的垂直平分线，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，再逐步操作．
16．（6分）如图，将线段绕点逆时针旋转得到线段，继续旋转得到线段，连接、．
（1）若，则的度数为 　20　；
（2）请用含的代数式表示，并说明理由．

【分析】（1）利用等腰三角形的性质分别求出，，即可解决问题；
（2）分别用含的式子表示出、，即可解决问题
【解答】解：（1），，
，
，
，
，
，
，
故答案为：20；
（2）．
理由：，，，
，
，
．
【点评】本题考查旋转变换，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
17．（6分）已知关于的方程有实数根．
（1）求的取值范围；
（2）设，是方程的两个实数根，是否存在实数使得成立？如果存在，请求出来；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据判别式的意义得到△，然后解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到，，利用得到，则，然后解方程后利用（1）中的范围确定的值．
【解答】解：（1）根据题意得△，
解得；
（2）存在．
根据题意得，，
，
，
即，
整理得，解得，，
；
的值为．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，，反过来也成立．也考查了根的判别式．
四、（体大题共3小题，每小题8分，共24分）。
18．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数图象与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数图象交于点、，且点，点的纵坐标是．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）直接写出当时的取值范围是　或　；
（3）若点是反比例函数在第四象限内图象上的点，过点作轴，垂足为点，连接、，如果，求点的坐标．

【分析】（1）将点代入反比例函数，求出，得到反比例函数的解析式；把代入反比例函数的解析式，求出，得到点坐标，将、两点的坐标代入，利用待定系数法求得一次函数的解析式；
（2）根据图象，写出直线落在双曲线上方的部分对应的自变量的取值范围即可；
（3）设，求出，根据，得出，那么，将代入反比例函数的解析式，求出，进而得到点的坐标．
【解答】解：（1）反比例函数图象过点，
，
反比例函数解析式为；
点的纵坐标是，
，
将、两点的坐标代入，
得，
解得，
一次函数的解析式为；

（2）由图象可得，当时的取值范围是或．
故答案为：或；

（3）一次函数图象与轴交于点，与轴交于点，
，，则，，
设，
在第四象限，
，，
，
，
，
，
，
，
，
当时，代入，解得，
，．
【点评】本题主要考查了待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，利用了数形结合的思想．熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
19．（8分）如图，为正方形对角线上一点，以为圆心，长为半径的与相切于点．
（1）求证：与相切．
（2）若正方形的边长为1，求的半径．

【分析】（1）根据正方形的性质得到是角平分线，再根据角平分线的性质进行证明；
（2）根据正方形的边长可以求得其对角线的长，根据等腰直角三角形的性质得到是圆的半径的倍，从而根据对角线的长列方程求解．
【解答】证明：（1）连，过作于；
与相切，
，
四边形是正方形，
平分，
，
与相切．

解：（2）四边形为正方形，
，，，
，，
，
；
又，
，
．

【点评】此题综合了正方形的性质和圆的切线的性质和判定．注意：运用数量关系证明圆的切线的方法．
20．（8分）如图，，与交于点，且，，，．
（1）求的长；
（2）求证：．

【分析】（1）由勾股定理求出，证明，由相似三角形的性质得出，则可得出结论；
（2）由勾股定理求出的长，证明，由相似三角形的性质得出，则得出，则可得出结论．
【解答】（1）解：，，
；
，
，
；
，
，
（2）证明：，，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
．
【点评】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．（9分）某电器商场根据民众健康需要，代理销售某种家用空气净化器，其进价是200元台，经过市场销售后发现：在一个月内，当售价是400元台时，可售出200台，且售价每降低1元，就可多售出5台，若供货商规定这种空气净化器售价不低于330元台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售任务．
（1）若某月空气净化器售价降低30元，则该月可售出多少台？
（2）试确定月销售量（台与售价（元台）之间的函数关系式，并求出售价的范围；
（3）当售价（元台）定为多少时，商场每月销售这种空气净化器所获的利润（元最大，最大利润是多少？
【分析】（1）由“原销售量降低的价格实际销售量”列式计算可得；
（2）根据销售量原来的销售量降价后的销售量就可以表示出与之间的关系式；
（3）由总利润每台的利润数量就可以得出与直接的关系式，由二次函数的性质就可以得出结论．
【解答】解：（1）若某月空气净化器售价降低30元，该月可售出台．

（2）由题意，得：．
售价不低于330元台，
，
数量不低于450台，
，
，
，
．
答：与之间的函数关系式为：；

（3）由题意，得：，
，
在对称轴的右侧随的增大而减小，
时，最大．
答：当售价为330元台时，月利润最大为71500元．
【点评】本题考查了二次函数的应用，以及对于一次函数的应用和掌握，而且还应用到将函数变形求函数极值的知识．
22．（9分）在正方形中，点在射线上（不与、重合），连接，以为对角线作正方形，，，按逆时针排列），连接，．
（1）如图1，当点在线段上时，求证：；
（2）由正方形的性质可知，即，两点均在以为直径的同一个圆上．
①请直接回答：　45　；
②如备用图，当点在线段上时，判断、、三条线段之间的数量关系，并说明理由．
③当点在线段延长线上时，请在备用图2作出图形，直接写出、、三条线段之间的数量关系．
【分析】（1）证明，从而命题得证；
（2）①证得点、、、共圆，从而得出结论；
②作交于，，进一步命题得证；
③方法同②：作交于，，进一步命题得证．
【解答】（1）证明：四边形和四边形是正方形，
，，，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）①，
点、、、共圆，
；
②如图1，

，理由如下：
作交于，
，
，
，
由①知：，，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
；
③如图2，

作交的延长线于，
由①得，，
由②得，，，
，
，
．
【点评】本题考查了正方形性质，全等三角形的判定和性质，确定圆的条件等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
六、解答题（共1小题，满分12分）
23．（12分）如图，已知点，，为正整数．抛物线交轴于点与点，，交轴于点与点，，交轴于点与点，，按此规律，．交轴于点与点，．
（1）填空：　6　，　　，　　，　　；
（2）用含的代数式表示：抛物线的顶点坐标为 　　；抛物线的顶点坐标为 　　；
（3）设抛物线的顶点为．
①若△为等腰直角三角形，求的值；
②直接写出当与满足什么数量关系时，△是等腰直角三角形．

【分析】（1）根据抛物线交轴于点，对称轴为直线，可得抛物线与轴的另一个交点，进一步得到的值；用相同的方法可得，则可求．
（2）把与点，，代入即可得到结论；依此类推第条抛物线的顶点坐标为，．
（3）①由已知条件得到顶点，，求得，根据已知条件列方程即可得到结论．
②由△是等腰直角三角形，得到关系式．
【解答】解：（1）抛物线交轴于点与点，，对称轴为直线，
抛物线与轴的另一个交点为，
；利用相同的方法可得，，，
按此规律可得，
．
（2）交轴于点与点，，，
，
，
抛物线的顶点坐标为．
依此类推第条抛物线的顶点坐标为，．
（3）①抛物线，
顶点，，
，
△是等腰直角三角形，
，
，又，
．
②，
顶点，，，
，
△是等腰直角三角形，
，
解得．
当与满足时，△是等腰直角三角形．
故答案为：（1）6、8、10、2；
（2）；，．
【点评】考查了二次函数综合题，主要利用了二次函数的对称性，以及顶点坐标，等腰直角三角形的性质，找到规律是解题的关键．