2022-2023学年江西省赣州市信丰县八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年江西省赣州市信丰县八年级（下）期中数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年江西省赣州市信丰县八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列根式中，是最简二次根式的是(    )
A. 19 B. 4 C. a2 D. a+b
2. 下列各组数中，不能构成直角三角形的一组是(    )
A. 3，4，5 B. 1，2， 3 C. 5，12，13 D. 6，8，12
3. 下列计算错误的是(    )
A. 4 3+2 3=6 3 B. 4 3−2 3=2 3
C. 4 3÷2 3=2 D. 4 3×2 3=8 3
4. 如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形．若图中的直角三角形的两条直角边的长分别为1和3，则中间小正方形的周长是(    )
A. 4
B. 8
C. 12
D. 16
5. 下列命题，其中是真命题的是(    )
A. 对角线互相垂直的四边形是平行四边形 B. 有一个角是直角的四边形是矩形
C. 对角线互相平分的四边形是菱形 D. 对角线互相垂直的矩形是正方形
6. 把四张形状大小完全相同的小长方形卡片(如图①)不重叠地放在一个底面为长方形(长为 21cm，宽为4cm)的盒子底部(如图②)，盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图②中两块阴影部分的周长和是(    )


A. 4 21cm B. 16cm C. 2( 21+4)cm D. 4( 21−4)cm
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
7. 若 x−8在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_____．
8. 计算 (−2)2的结果是______．
9. 如图，在▱ABCD中，CA⊥AB，若∠B=50°，则∠CAD的度数是______．

10. 如图，一根长为18cm的牙刷置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的长度h cm，则h的取值范围是______ ．


11. 如图，四边形ABCD为平行四边形，则点B的坐标为______．

12. 矩形ABCD中，AB=8，AD=7，点E在AB边上，AE=5.若点P是矩形ABCD边上一点，且与点A，E构成以AE为腰的等腰三角形，则等腰三角形AEP的底边长是______．
三、解答题（本大题共12小题，共84.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
13. (本小题3.0分)
计算： 2× 3− 24．
14. (本小题3.0分)
如图，在▱ABCD中，已知∠B+∠D=100°，求∠B的度数．

15. (本小题6.0分)
计算：( 5+3)( 5−3)−( 3−1)2．
16. (本小题6.0分)
若直角三角形的两直角边长为a、b，且满足 a2−6a+9+|b−4|=0，求该直角三角形的斜边长．
17. (本小题6.0分)
如图，在5×5的网格中，△ABC的三个顶点都在格点上．
(1)在图1中画出一个以AB为边的▱ABDE，使顶点D，E在格点上．
(2)在图2中画出一条恰好平分△ABC周长的直线l(至少经过两个格点)．


18. (本小题6.0分)
如图，点E是▱ABCD的CD边的中点，AE、BC的延长线交于点F，CF=3，CE=2，求▱ABCD的周长．

19. (本小题8.0分)
先化简，再求值：(a−1+2a+1)÷(a2+1)，其中a= 2−1．
20. (本小题8.0分)
已知一个菱形的两条对角线长分别为x，y且x= 6+ 5，y= 6− 5．
(1)求这个菱形的面积；
(2)求代数式x2+y2−xy的值．
21. (本小题8.0分)
如图，已知四边形ABCD中，AB//CD，BC=AD=4，AB=CD=10，∠DCB=90°，E为CD边上的一点，DE=7，动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿着边AB向终点B运动，连接PE，设点P运动的时间为t秒．
(1)求BE的长；
(2)若△BPE为直角三角形，求t的值．

22. (本小题9.0分)
如图，6x6网格中每个小正方形的边长都为1，△ABC的顶点均在网格的格点上．
(1)填空：AB= ______ ，BC= ______ ，AC= ______ ；
(2)判断△ABC的形状，并说明理由；
(3)求△ABC的面积．

23. (本小题9.0分)
将一张矩形纸片ABCD按如图方式折叠，使点A与点E重合，点C与点F重合(E,F均在BD上)，折痕分别为DH，BG．
(1)求证：四边形BGDH为平行四边形；
(2)若AB=6，BC=8，求四边形BGDH的周长．

24. (本小题12.0分)
我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．
(1)如图1，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点.求证：中点四边形EFGH是平行四边形；
(2)如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA=PB，PC=PD，∠APB=∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想；
(3)若改变(2)中的条件，使∠APB=∠CPD=90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想．


答案和解析

1.【答案】D 
【解析】解：A． 19=13，不是最简二次根式；
B. 4=2，不是最简二次根式；
C. a2=|a|，不是最简二次根式；
D. a+b，是最简二次根式．
故选：D．
直接根据最简二次根式的概念：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式判断即可．
此题考查的是最简二次根式，掌握其概念是解决此题关键．

2.【答案】D 
【解析】解：A、∵32+42=25，52=25，
∴32+42=52，
∴能构成直角三角形，
故A不符合题意；
B、∵12+( 3)2=4，22=4，
∴12+( 3)2=22，
∴能构成直角三角形，
故B不符合题意；
C、∵52+122=169，132=169，
∴52+122=132，
∴能构成直角三角形，
故C不符合题意；
D、∵62+82=100，122=144，
∴62+82≠122，
∴不能构成直角三角形，
故D符合题意；
故选：D．
根据勾股定理的逆定理，进行计算即可解答．
本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．

3.【答案】D 
【解析】解：A、4 3+2 3=6 3，故该选项不符合题意；
B、4 3−2 3=2 3，故该选项不符合题意；
C、4 3÷2 3=2，故该选项不符合题意；
D、4 3×2 3=24，故该选项符合题意；
故选：D．
根据二次根式的混合运算法则计算即可得出答案．
本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解决本题的关键．

4.【答案】B 
【解析】解：由题意可得，
小正方形的边长为3−1=2，
∴小正方形的周长为：2×4=8，
故选：B．
根据题意和题目中的数据，可以计算出大正方形的边长，然后即可计算出小正方形的面积，从而可以求得小正方形的边长，然后即可得到小正方形的周长．
本题考查勾股定理的证明，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

5.【答案】D 
【解析】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，所以A选项是假命题，本选项不符合题意；
B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以B选项是假命题，本选项不符合题意；
C、对角线互相平分的四边形是平行四边形，所以C选项是假命题，本选项不符合题意；
D、对角线互相垂直的矩形是正方形，是真命题，本选项符合题意．
故选：D．
根据平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定方法一一判断即可．
本题考查正方形的判定，平行四边形的判定，菱形的判定，矩形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握特殊四边形的判定方法，属于中考常考题型．

6.【答案】B 
【解析】解：设小长方形卡片的长为x，宽为y，
根据题意得：x+2y= 21，
则图②中两块阴影部分周长和是2 21+2(4−2y)+2(4−x)=2 21+16−4y−2x=2 21+16−2(x+2y)=2 21+16−2 21=16(cm)．
故选：B．
根据题意列出关系式，去括号合并即可得到结果．
本题主要考查了二次根式的应用，整式的加减运算，在解题时要根据题意结合图形得出答案是解题的关键．

7.【答案】x≥8 
【解析】解：∵ x−8在实数范围内有意义，
∴x−8≥0，
解得：x≥8．
故答案为：x≥8．
根据二次根式有意义的条件，可得：x−8≥0，据此求出实数x的取值范围即可．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，解答此题的关键是要明确：二次根式中的被开方数是非负数．

8.【答案】2 
【解析】解：法一、 (−2)2
=|−2|
=2；
法二、 (−2)2
= 4 4
=2．
故答案为：2．
利用二次根式的性质计算即可．
本题考查了二次根式的性质，掌握“ a2=|a|”是解决本题的关键．

9.【答案】40° 
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠CAD=∠ACB，
∵CA⊥AB，
∴∠BAC=90°，
∵∠B=50°，
∴∠ACB=90°−∠B=40°，
∴∠CAD=∠ACB=40°，
故答案为：40°．
由平行四边形的性质得AD//BC，则∠CAD=∠ACB，再由直角三角形的性质得∠ACB=90°−∠B=40°，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的性质以及直角三角形的性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．

10.【答案】5≤h≤6 
【解析】解：当牙刷与杯底垂直时h最大，h最大=18−12=6(cm)．
当牙刷与杯底及杯高构成直角三角形时h最小，
如图，此时，AB= AC2+BC2= 122+52=13(cm)，
则h=18−13=5(cm)．
∴h的取值范围是5≤h≤6．
故答案为：5≤h≤6．
根据杯子内牙刷的长度取值范围得出杯子外面长度的取值范围，即可得出答案．
此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出杯子内牙刷的取值范围是解决问题的关键．

11.【答案】(−2,−1) 
【解析】解：∵四边形ABCD为平行四边形，且A(−1,2)，D(3,2)，
∴点A是点D向左平移4个单位所得，
∵C(2,−1)，
∴B(−2,−1)．
故答案为：(−2,−1)．
直接根据平移的性质可解答．
本题考查了平行四边形的性质和平移的性质，属于基础题，解答本题的关键是找出平移的规律．

12.【答案】5 2或4 5 
【解析】解：如图所示，

①当AP=AE=5时，
∵∠BAD=90°，
∴△AEP是等腰直角三角形，
∴底边PE= 2AE=5 2；
②当P1E=AE=5时，
∵BE=AB−AE=8−5=3，∠B=90°，
∴P1B= PE2−BE2=4，
∴底边AP1= AB2+PB2=4 5；
综上所述：等腰三角形AEP1的底边长为5 2或4 5；
故答案为：5 2或4 5．
分情况讨论：①当AP=AE=5时，则△AEP是等腰直角三角形，得出底边PE= 2AE=5 2即可；
②当P1E=AE=5时，求出BE，由勾股定理求出P1B，再由勾股定理求出底边AP1即可．
本题考查了矩形的性质、等腰三角形的判定、勾股定理；熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的判定，进行分类讨论是解决问题的关键．

13.【答案】解： 2× 3− 24
= 6−2 6
=− 6． 
【解析】先计算二次根式的乘法，再算减法，即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．

14.【答案】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠B=∠D，
∵∠B+∠D=100°，
∴∠B=∠D=50°． 
【解析】利用平行四边形的对角相等可求得答案．
本题主要考查平行四边形的性质，掌握平行四边形的对角相等、邻角互补是解题的关键．

15.【答案】解：原式=5−9−(3−2 3+1)
=−4−4+2 3
=−8+2 3． 
【解析】利用平方差公式和完全平方公式计算．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质和乘法公式是解决问题的关键．

16.【答案】解：∵ a2−6a+9+|b−4|=0，
∴ (a−3)2+|b−4|=0，
∴|a−3|+|b−4|=0，
∴a−3=0，b−4=0，
∴a=3，b=4，
∴直角三角形的斜边长= a2+b2= 32+42=5． 
【解析】先根据已知条件、算术平方根的性质和绝对值的性质求出a、b，再由勾股定理即可得出结果．
本题考查了勾股定理、绝对值的性质以及算术平方根的性质；熟练掌握勾股定理的运用，根据题意求出a、b是解决问题的关键．

17.【答案】解：(1)如图平行四边形ABDE即为所求(点D的位置还有6种情形可取)．
(2)如图，直线l即为所求、
 
【解析】本题考查作图−应用与设计，平行四边形的性质，三角形的周长等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
(1)根据平行四边形的定义画出图形即可(答案不唯一)．
(2)利用数形结合的思想解决问题即可．

18.【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠DAE=∠F，∠D=∠ECF．
又，
∴△ADE≌△FCE(AAS)．
∴AD=CF=3，DE=CE=2．
∴DC=4．
∴平行四边形ABCD的周长为2(AD+DC)=14． 
【解析】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是借助全等转化线段．
先证明△ADE≌△FCE，得到AD=CF=3，DE=CE=2，从而可求平行四边形的周长．

19.【答案】解：原式=(a2−1+2a+1)⋅1a2+1，
=a2+1a+1⋅1a2+1，
=1a+1，
当a= 2−1时，
原式=1 2= 22． 
【解析】此题主要考查了分式的计算，解答此题的关键是把分式化到最简，然后代值计算.这道求分式值的题目，不应考虑把a的值直接代入，通常做法是先把分式通分，把除法转换为乘法化简，然后再代入求值．

20.【答案】解：(1)菱形的面积=12×( 6+ 5)( 6− 5)=12；
(2)∵x= 6+ 5，y= 6− 5．
∴x+y=2 6，xy=1，
∴x2+y2−xy=(x+y)2−3xy=24−3=21． 
【解析】(1)根据菱形的面积公式计算即可；
(2)求出x+y，xy的值，根据x2+y2−xy=(x+y)2−3xy计算即可．
本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式和完全平方公式，代数式求值，菱形的面积公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．

21.【答案】解：(1)∵CD=10，DE=7，
∴CE=10−7=3，
在Rt△CBE中，BE= BC2+CE2=5；
(2)当∠BPE=90°时，AP=10−3=7，
则t=7÷1=7(秒)，
当∠BEP=90°时，BE2+PE2=BP2，即52+42+(7−t)2=(10−t)2，
解得，t=53，
∴当t=7或53时，△BPE为直角三角形． 
【解析】(1)根据勾股定理计算即可；
(2)分∠BPE=90°、∠BEP=90°两种情况，根据勾股定理计算．
本题考查的是勾股定理的应用，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．

22.【答案】 5  2 5  5 
【解析】解：(1)根据题意，AB= 12+22= 5，BC= 22+42=2 5，AC= 32+42=5；
故答案为： 5，2 5，5；
(2)△ABC是直角三角形，理由如下：
∵( 5)2+(2 5)2=52，
∴∠ABC=90°，
∴△ABC是直角三角形；
(3)S△ABC=12×AB×BC=12× 5×2 5=5．
(1)根据勾股定理即可求解；
(2)根据勾股定理的逆定理即可求解；
(3)根据三角形的面积公式，即可求出答案．
本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握网格结构，勾股定理，勾股定理的逆定理是解题的关键．

23.【答案】(1)证明：如图，

∵四边形ABCD为矩形，
∴AB//CD，AD//BC，
∴∠ABD=∠CDB，
又由折叠可得：∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠2=12∠ABD=12∠CDB=∠3，
∴BH//DG，
∵AD//BC，
∴四边形BGDH为平行四边形；
(2)解：由折叠可得FG=CG，DF=DC=6，∠DFG=∠C=90°，
在Rt△BCD中，
∵BD2=BC2+CD2，
∴BD= 82+62=10，
∴BF=10−6=4，
设CG=x，则FG=x，BG=8−x，
在Rt△BGF中，
∵BF2+FG2=BG2，42+x2=(8−x)2，
解得：x=3，
即FG=CG=3．
∴BG=8−3=5，DG= 32+62=3 5，
∴四边形BGDH的周长为2(BG+DG)=10+6 5． 
【解析】(1)由折叠的性质及平行线的性质证得BH//DG，AD//BC，则结论得证；
(2)设CG=x，则FG=x，BG=8−x，由勾股定理得出(8−x)2=42+x2.解方程可求得x的值，进一步计算即可求解．
本题是四边形综合题，考查了折叠的性质，平行线的性质，矩形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．

24.【答案】解：(1)如图1，连接BD，

∵点E、H分别为边AB、AD的中点，
∴EH//BD、EH=12BD，
∵点F、G分别为BC、DC的中点，
∴FG//BD、FG=12BD，
∴EH=FG、EH//FG，
∴中点四边形EFGH是平行四边形；
(2)四边形EFGH是菱形，证明如下：
如图2，连接AC、BD，

∵∠APB=∠CPD，
∴∠APB+∠APD=∠CPD+∠APD，即∠APC=∠BPD，
在△APC和△BPD中，
AP=BP∠APC=∠BPDPC=PD，
∴△APC≌△BPD(SAS)
∴AC=BD，
∵点E、F、G分别为AB、BC、CD的中点，
∴EF=12AC、FG=12BD，
∴EF=FG，
∵四边形EFGF是平行四边形，
∴四边形EFGH是菱形；
(3)四边形EFGH是正方形，证明如下：
设AC、BD交点为O，AC与PD交于点M，AC与EH交于点N，

∵△APC≌△BPD，
∴∠ACP=∠BDP，
∵∠DMO=∠CMP，∠COD=∠CPD=90°，
∵EH//BD、AC//HG，
∴∠EHG=∠ENO=∠BOC=∠DOC=90°，
∵四边形EFGH是菱形，
∴四边形EFGH是正方形． 
【解析】(1)连接BD，根据三角形中位线的知识得出EH=FG、EH//FG，然后得出结论即可；
(2)根据SAS证△APC≌△BPD，得出AC=BD，再根据三角形中位线的性质得出EF=FG，然后得出四边形EFGH是菱形即可；
(3)设AC、BD交点为O，AC与PD交于点M，AC与EH交于点N，根据平行线的性质得出∠EHG=∠ENO=∠BOC=∠DOC=90°，然后得出四边形EFGH是正方形即可．
本题主要考查四边形的综合题，熟练掌握正方形的性质，菱形的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质等知识是解题的关键．