2023-2024学年江西省赣州市大余县八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年江西省赣州市大余县八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列各式是最简二次根式的是( )
A. 13B. 12C. a2D. 133
2.在直角三角形中，两条直角边长分别为2和3，则其斜边长为( )
A. 7B. 13C. 11或 7D. 13或 7
3.下列计算正确的是( )
A. 5 2+2 5=7B. 8÷ 2=2
C. 5 3+2 5=5 6D. 412=2 12
4.甲、乙、丙、丁四名学生5次百米赛跑的平均成绩(单位：秒)x−及其方差S2如下表所示，如果要选择一名成绩好且发挥稳定的学生参赛，则应选择的学生是( )
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
5.如图，▱ABCD的周长是32cm，对角线AC与BD交于点O，AC⊥AB，E是BC中点，△AOD的周长比△AOB的周长多4cm，则AE的长度为( )
A. 3cmB. 4cmC. 5cmD. 8cm
6.如图，在平面直角坐标系中，▱OABC的顶点A在x轴上，顶点B的坐标为(6,4).若直线l经过点(1,0)，且将▱OABC分割成面积相等的两部分，则直线l的函数解析式是( )
A. y=x+1B. y=13x+1C. y=3x−3D. y=x−1
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
7.若二次根式 2x−1有意义，则x的取值范围是______.
8.若关于x的函数y=(m−1)x|m|−5是一次函数，则m的值为______.
9.计算一组数据的方差的式子为S2=18[(x1−4)2+(x2−4)2+(x3−4)2+…+(x8−4)2]，则该组数据共______个数据.
10.数形结合是解决数学问题常用的思想方法，如图，直线y=2x−1与直线y=kx+b(k≠0)相交于点P(2,3).根据图象可知，方程组y=2x−1y=kx+b的解为______.
11.如图，在长方形ABCD中AB=6cm，AD=18cm，将此长方形折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，则BF=______cm.
12.在直角坐标系中，已知A(1,0)，B(−1,−2)，C(2,−2)三点坐标，若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，那么点D的坐标可以是______.
三、解答题：本题共11小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
13.(本小题6分)
(1)计算：(2 5− 3)− 20+ 45；
(2)在▱ABCD中，AC与BD相交于点O，点E为CD的中点，AB=6，BC=8.求OE的长.
14.(本小题6分)
如图，在▱ABCD中，AD=2AB，E为AD的中点，求证：BE平分∠ABC.
15.(本小题6分)
已知直线l的解析式为y=−2x+4，与x轴交于点A，与y轴交于点B.
(1)求点A、B的坐标，且在平面直角坐标系内画出直线l的图象；
(2)求点O到直线l的距离.
16.(本小题6分)
在网格纸上，每个小正方形的边长为单位1，用无刻度的直尺作图：
(1)在图1中，画一个面积为20的菱形，且四个顶点都落在格点上；
(2)在图2中，画一个面积为20的菱形，且四个顶点都不在格点上.
17.(本小题6分)
如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC的中点，F是CD上一点，且CF=14CD.
(1)求证：∠AEF=90∘；
(2)计算△AEF的面积.
18.(本小题8分)
小芳解答问题“已知a=12+ 3，求2a2−8a+1的值”的过程如下：
∵a=12+ 3=2− 3(2+ 3)(2− 3)=2− 3，
∴(a−2)2=3，即a2−4a+4=3，
∴a2−4a=−1.
∴2a2−8a+1=2(a2−4a)+1=2×(−1)+1=−1.
请你根据小芳的解答过程，解决下列问题：
(1)a=1 2−1，求4a2−8a−1的值；
(2)化简1 3+1+1 5+ 3+1 7+ 5+⋯+1 121+ 119.
19.(本小题8分)
6月26日是“国际禁毒日”，某中学组织七、八年级全体学生开展了“禁毒知识”网上竞赛活动．为了解竞赛情况，从两个年级各随机抽取了10名同学的成绩(满分为100分)，收集数据为：七年级90，95，95，80，90，80，85，90，85，100；八年级85，85，95，80，95，90，90，90，100，90.
整理数据：
分析数据：
根据以上信息回答下列问题：
(1)请直接写出表格中a，b，c，d的值；
(2)通过数据分析，你认为哪个年级的成绩比较好？请说明理由；
(3)该校七、八年级共有600人，本次竞赛成绩不低于90分的为“优秀”．估计这两个年级共有多少名学生达到“优秀”？
20.(本小题8分)
某学校计划购进A，B两种品牌的足球共50个，其中A品牌足球的价格为100元/个，购买B品牌足球所需费用y(单位：元)与购买数量x(单位：个)之间的关系如图所示
(1)请直接写出y与x之间的函数解析式；
(2)若购买B种品牌足球的数量不超过30个，但不少于A种品牌足球的数量，请设计购买方案，使购买总费用W(单位：元)最低，并求出最低费用．
21.(本小题9分)
【课本再现】
【定理证明】
(1)为了证明该定理，小明同学画出了图形(如图(1))并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程：
已知：在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC=BD，求证：▱ABCD是矩形，
【知识应用】
(2)如图(2)在▱ABCD中对角线AC和BD相交于点O，OA=OB.
①求证：▱ABCD是矩形；
②若AB=3，AD=4，P是AD边上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足为E，F，求PE+PF的值.
22.(本小题9分)
如图所示的是一次函数l：y=kx+b的图象，与x轴，y轴分别交于A，B两点.
(1)填空：k ______0，b ______0(填“>”“<”或“=”)；
(2)若A(−2,0)，B(0,3)，用待定系数法求直线l的解析式；
(3)若将直线l向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度，发现图象回到l的位置，求k的值.
23.(本小题12分)
在△ABC中，B在C的左边，BA=BC=3，将△ABC关于AC作轴对称，得四边形ABCD.P是对角线AC上的动点，E是直线BC上的动点，且PE=PB.
(1)四边形ABCD如图1所示，四边形ABCD是______(填“矩形”或“菱形”或“正方形”)；∠DPE______∠ABC(填“=”或“≠”)；
(2)四边形ABCD如图2所示，且∠ABC=90∘，四边形ABCD是______(填“矩形”或“菱形”或“正方形”)；(1)中∠DPE与∠ABC之间的数量关系还成立吗？若成立，请说明理由.
(3)四边形ABCD如图3所示，若∠ACB=α，∠PEB=β，请直接写出∠DPB的度数.(用含α、β的代数式表示)
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A、 13是最简二次根式，符合题意；
B、 12=2 3，故不是最简二次根式，不符合题意；
C、 a2=|a|，故不是最简二次根式，不符合题意；
D、 133= 393，故不是最简二次根式，不符合题意；
故选：A.
根据最简二次根式的概念：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式判断即可．
本题考查的是最简二次根式的概念，掌握被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：由勾股定理得，其斜边长= 22+32= 13，
故选：B.
根据勾股定理计算即可．
本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2.
3.【答案】B
【解析】解：∵5 2+2 5≠7，
∴选项A不符合题意；
∵ 8÷ 2=2，
∴选项B符合题意；
∵5 3+2 5≠5 6，
∴选项C不符合题意；
∵ 412=3 12，
∴选项D不符合题意．
故选：B.
根据二次根式的加法和除法的运算方法，以及算术平方根的含义和求法，逐项判断即可．
此题主要考查了二次根式的加法和除法的运算方法，以及算术平方根的含义和求法，注意要合并同类二次根式，不同类的二次根式不能合并．
4.【答案】A
【解析】解：根据平均成绩可得甲和丙要比乙、丁好，根据方差可得甲的成绩比乙稳定，
因此要选择一名成绩高且发挥稳定的学生参赛，因选择甲，
故选：A.
从平均成绩以及方差分别分析，综合两个方面得出答案．
此题主要考查了方差和平均数，关键是掌握方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
5.【答案】C
【解析】解：∵▱ABCD的周长为32cm，
∴AB+AD=16cm，OB=OD，
∵△AOD的周长比△AOB的周长多4cm，
∴(OA+OD+AD)−(OA+OB+AB)=AD−AB=4cm，
∴AB=6cm，AD=10cm.
∴BC=AD=10cm.
∵AC⊥AB，E是BC中点，
∴AE=12BC=5cm；
故选：C.
由▱ABCD的周长为32cm，对角线AC、BD相交于点O，若△AOD的周长比△AOB的周长多4cm，可得AB+AD=16cm，AD−AB=4cm，求出AB和AD的长，得出BC的长，再由直角三角形斜边上的中线性质即可求得答案．
此题考查了平行四边形的性质、直角三角形斜边上的中线性质．熟练掌握平行四边形的性质，由直角三角形斜边上的中线性质求出AE是解决问题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：设D(1,0)，
∵线l经过点D(1,0)，且将▱OABC分割成面积相等的两部分，
∴OD=BE=1，
∵顶点B的坐标为(6,4).
∴E(5,4)
设直线l的函数解析式是y=kx+b，
∵图象过D(1,0)，E(5,4)，
∴k+b=05k+b=4，
解得：k=1b=−1，
∴直线l的函数解析式是y=x−1.
故选：D.
首先根据条件l经过点D(1,0)，且将▱OABC分割成面积相等的两部分，求出E点坐标，然后设出函数关系式，再利用待定系数法把D，E两点坐标代入函数解析式，可得到答案．
此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是求出E点坐标．
7.【答案】x≥12
【解析】解：∵二次根式 2x−1有意义，
∴2x−1≥0，
解得：x≥12.
故答案为：x≥12.
根据二次根式中的被开方数是非负数，可得出x的取值范围．
本题考查了二次根式有意义的条件，解答本题的关键是掌握：二次根式有意义，被开方数为非负数．
8.【答案】−1
【解析】解：∵关于x的函数y=(m−1)x|m|−5是一次函数，
∴|m|=1，m−1≠0，
解得：m=−1.
故答案为：−1.
形如y=kx+b(k≠0,k、b是常数)的函数，叫做一次函数．直接利用一次函数的定义，即可得出m的值．
此题主要考查了一次函数的定义，解题时注意一次函数解析式的结构特征：k≠0；自变量的次数为1；常数项b可以为任意实数．
9.【答案】8
【解析】解：∵计算一组数据的方差的式子为S2=18[(x1−4)2+(x2−4)2+(x3−4)2+…+(x8−4)2]，
∴这组数据的平均数为4，样本容量为8.
故答案为：8.
由题意知，这组数据的平均数为4，样本容量为8，从而得出答案．
本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的定义和计算公式．
10.【答案】x=2y=3
【解析】解：∵直线y=2x−1与直线y=kx+b(k≠0)相交于点P(2,3).
∴方程组y=2x−1y=kx+b的解是x=2y=3，
故答案为：x=2y=3.
根据两函数交点即为两函数组成的方程组的解，从而求出答案．
本题考查了一次函数与二元一次方程组交点问题，可直接根据交点写出．
11.【答案】10
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，AB=6cm，AD=18cm，
∴∠A=90∘，AD//BC，
∴∠DEF=∠BFE，
由折叠得BE=DE，∠DEF=∠BEF，
∴∠BFE=∠BEF，
∴BE=BF，
∴DE=BF，
∵AB2+AE2=BE2，且AE=AD−DE=18−BF，
∴62+(18−BF)2=BF2，
解得BF=10，
∴BF=10cm，
故答案为：10.
由矩形的性质得∠A=90∘，AD//BC，则∠DEF=∠BFE，由折叠得BE=DE，∠DEF=∠BEF，所以∠BFE=∠BEF，则BE=BF，所以DE=BF，由勾股定理得62+(18−BF)2=BF2，求得BF=10cm，于是得到问题的答案．
此题重点考查矩形的性质、翻折变换的性质、等腰三角形的判定、勾股定理等知识，推导出DE=BF是解题的关键．
12.【答案】(−2,0)，(4,0)，(0,−4)
【解析】解：如图所示：
故答案为：(−2,0)，(4,0)，(0,−4).
首先以AB为对角线画平行四边形，再以BC为对角线画平行四边形，再以AC为对角线画平行四边形．
此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
13.【答案】解：(1)原式=2 5− 3−2 5+3 5
=3 5− 3；
(2)∵四边形ABCD为平行四边形，AC与BD相交于点O，
∴OB=OD，
∵点E为CD的中点，
∴OE为△BCD的中位线，
∴OE=12BC=4.
【解析】(1)先将 20， 45化为最简二次根式2 5，3 5，然后再合并同类二次根式即可；
(2)根据平行四边形性质得OB=OD，再根据点E为CD的中点得OE为△BCD的中位线，然后根据三角形中位线定理可得OE的长．
此题主要考查了二次根式的运算，平行四边形的性质，三角形的中位线定理，熟练掌握二次根式的运算法则，平行四边形的性质，三角形的中位线定理是解决问题的关键．
14.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠AEB=∠EBC，
∵E为AD的中点，
∴AD=2AE，
∵AD=2AB，
∴AE=AB，
∴∠ABE=∠AEB，
∴∠ABE=∠ECB，
∴BE平分∠ABC.
【解析】利用平行四边形的性质证得AE=AB，利用等边对等角证得∠ABE=∠AEB，从而得到∠ABE=∠ECB，最后得到结论BE平分∠ABC.
本题考查了平行四边形的性质，解题的关键是根据题意证得AE=AB，难度不大．
15.【答案】解：(1)在一次函数y=−2x+4中，
当x=0时，y=4，
∴B(0,4)，
当y=0时，x=2，
∴A(2,0)，
图象如图所示：
(2)由(1)可知，OB=4，OA=2，
∴AB= 42+22=2 5，
∴点O到直线的距离为：2×42 5=4 55.
【解析】(1)根据一次函数解析式求出点A、B坐标，并画出一次函数图象即可；
(2)利用三角形OAB的面积关系式求出斜边上的高即可．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的图象及性质，熟练掌握画一次函数是关键．
16.【答案】解：(1)如图①，四边形ABCD即为所求；
(2)如图②，四边形EFGH即为所求．
【解析】(1)作一个边为5，高为4的菱形即可；
(2)利用网格特征，取网格线的中点，作出图形即可．
本题考查作图-应用与设计作图，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的射线解决问题．
17.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD，∠B=∠C=90∘，
∵E是BC的中点，
∴BE=CE=12BC，
∴BE=12AB，
即BEAB=12，
∵CF=14CD，
∴CF=14BC，
∴CF=12CE，
即CFEC=12，
∴BEAB=CFEC，
∵∠B=∠C=90∘，
∴△ABE∽△ECF，
∴∠AEB=∠EFC，
∵∠C=90∘，
∴∠EFC+∠CEF=90∘，
∴∠AEB+∠CEF=90∘，
∴∠AEF=90∘；
(2)解：∵正方形ABCD的边长为4，
∴AB=BC=CD=4，∠B=∠C=90∘，
∵E是BC的中点，
∴BE=CE=12BC=2，
在Rt△ABE中，由勾股定理得AE= AB2+BE2= 42+22=2 5，
∵CF=14CD，
∴CF=1，
在Rt△EFC中，由勾股定理得EF= CE2+CF2= 22+12= 5，
由(1)知∠AEF=90∘，
∴△AEF的面积12AE⋅EF=12×2 5× 5=5.
【解析】(1)根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似证得△ABE∽△ECF，得出∠AEB=∠EFC，再根据∠EFC+∠CEF=90∘得出∠AEB+∠CEF=90∘，于是有∠AEF=90∘，问题得证；
(2)利用勾股定理分别求出AE、EF的长，再根据直角三角形的面积公式计算即可．
本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握这些知识点是解题的关键．
18.【答案】解：(1)∵a=1 2−1= 2+1( 2−1)( 2+1)= 2+1，
∴(a−1)2=2，
即a2−2a+1=2，
∴a2−2a=1，
∴4a2−8a−1=4(a2−2a)−1=4×1−1=3；
(2)∵1 3+1= 3−1( 3+1)( 3−1)= 3−12，
1 5+ 3= 5− 3( 5+ 3)( 5− 3)= 5− 32，
1 7+ 5= 7− 5( 7+ 5)( 7− 5)= 7− 52，
，
1 121+ 119= 121− 119( 121+ 119)( 121− 119)= 121− 1192，
∴1 3+1+1 5+ 3+1 7+ 5+⋯+1 121+ 119
= 3−12+ 5− 32+ 7− 52+...+ 121− 1192
= 3−1+ 5− 3+ 7− 5+...+ 121− 1192
=−1+ 1212
=−1+112
=5.
【解析】(1)先将a进行分母有理化，然后进行变形为(a−1)2=2，最后将4a2−8a−1变形为4(a2−2a)−1计算即可；
(2)先将原式各项分母有理化，然后找到规律，即可得出计算结果．
本题考查了二次根式的化简求值，分母有理化，熟练掌握运用平方差公式进行分母有理化是解题的关键．
19.【答案】解：(1)2；90；90；90.
(2)七、八年级学生成绩的中位数和众数相同，但八年级的平均成绩比七年级高，且从方差看，八年级学生成绩更整齐，综上，八年级的学生成绩好；
(3)∵600×1320=390(人)，
答：估计该校七、八年级这次竞赛达到优秀的有390人．
【解析】【分析】
本题考查了中位数、众数、平均数、方差和用样本估计总体．
(1)根据提供数据确定八年级95分的人数，利用众数，中位数及平均数分别确定其他未知数的值即可；
(2)利用平均数、众数及方差确定哪个年级的成绩好即可；
(3)用600乘以两个年级竞赛成绩不低于90分的人数所占比例即可．
【解答】
解：(1)观察八年级95分的有2人，故a=2；
七年级的中位数为90+902=90，故b=90；
八年级的平均数为：110×(85×2+95×2+80+90×4+100)=90，故c=90；
八年级中90分的最多，故d=90；
(2)，(3)见答案.
20.【答案】解：(1)设当0≤x≤20时，y与x的函数关系式为y=kx，
则20k=2400，得k=120，
即当0≤x≤20时，y与x的函数关系式为y=120x，
设当x>20时，y与x的函数关系式为y=ax+b，
20a+b=240040a+b=4320，得a=96b=480，
即当x>20时，y与x的函数关系式为y=96x+480，
由上可得，y与x的函数关系式为y=120x(0≤x≤20)96x+480(x>20)；
(2)设购买B种品牌的足球m个，则购买A种品牌的足球(50−m)个，
50−m≤m≤30，得25≤m≤30，
∵W=100(50−m)+96m+480=−4m+5480，
∴当m=30时，W取得最小值，此时W=−4×30+5480=5360，50−m=20，
答：当购买A种品牌的足球20个，B种品牌的足球30个时，总费用最少，最低费用是5360元．
【解析】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
(1)根据函数图象中的数据可以求得y与x之间的函数解析式；
(2)根据题意可以得到W与B种足球数量之间的函数关系，再根据购买B种品牌足球的数量不超过30个，但不少于A种品牌足球的数量，可以求得B种足球数量的取值范围，然后根据一次函数的性质即可解答本题．
21.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB//CD，
在△ABC与△DCB中，
BC=BCAC=DBAB=CD，
∴△ABC≌△DCB(SSS)，
∴∠ABC=∠DCB，
∵AB//CD，
∴∠ABC+∠DCB=180∘，
∴∠ABC=∠DCB=12×180∘=90∘，
∴▱ABCD是矩形；
(2)①证明：在▱ABCD中对角线AC和BD相交于点O，
∴OA=OC，OB=OD，
∵OА=OВ，
∴OA=OB=OC=OD，
∴AC=BD，
∴▱ABCD是矩形；
②解：如图，连接OP，
∵过点P分别作AC和BD的垂线，垂足为E，F，
∴S△AOD=12AO⋅PE+12OD⋅PF，
∵四边形ABCD是矩形，AB=3，AD=4，
∴∠BAC=90∘，OB=OD=OA，
∴ВD= 32+42=5，OА=OВ=OD=52，
∴S△AOD=12S△ABD=12×12×3×4=3，
∴S△AOD=12×52⋅PE+1252⋅PF=3，
∴54×(PЕ+PF)=3，
∴PE+PF=125.
【解析】(1)根据平行四边形的性质和已知条件判定△ABC≌△DCB，推出∠ABC=∠DCB，利用平行线的性质得到∠ABC=∠DCB=90∘，即可判定▱ABCD是矩形；
(2)①证明OA=OB=OC=OD，可得AC=BD，结合(1)的结论可得答案；
②如图，连接OP，由过点P分别作AC和BD的垂线，垂足为E，F，可得S△AOD=12AO⋅PE+12OD⋅PF，再进一步解答即可．
本题是四边形综合题，考查的是全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，解题的关键是熟练的利用面积法建立方程求解．
22.【答案】>>
【解析】解：(1)∵一次函数l：y=kx+b的图象过一、二、三象限，
∴k>0，b>0；
(2)A(−2,0)，B(0,3)代入解析式y=kx+b得，
0=−2k+b3=b，
解得k=32b=3，
∴y=32x+3；
(2)将直线l先向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度后得到的直线解析式为y=k(x+1)+b−2=kx+k+b−2.
所以k+b−2=b.解得k=2.
(1)根据图象和坐标轴的交点位置即可判断k和b的符号；
(2)把A(−2,0)，B(0,3)代入解析式解答即可．
(3)根据平移规律列出关于k的方程，求出k的值即可．
本题考查了一次函数图象与几何变换及一次函数图象与系数的关系，掌握平移规律是解题的关键．
23.【答案】菱形 =正方形
【解析】解：(1)设CD、PE相交于点F，
根据轴对称的性质可知，AD=AB，BC=CD，PB=PD，
∵BA=BC，
∴AB=BC=CD=AD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AB//CD，
∴∠ABC=∠DCE，
在△BCP和△DCP中，
PB=PDBC=CDCP=CP，
∴△BCP≌△DCP(SSS)，
∴∠PBC=∠PDC，
∵PE=PB，
∴∠PBC=∠PEC，
∴∠PDC=∠PEC，
∵∠PFD=∠CFE，
∴∠DPE=∠DCE，
∴∠DPE=∠ABC，
故答案为：菱形；=；
(2)同理可证，四边形ABCD是菱形，
∵∠ABC=90∘，
∴菱形ABCD是正方形，
故答案为：正方形；
过点P作MN⊥BC交AD于点M，交BC于点N，
∴AB//MN，
∴∠ABP=∠BPN，
∵PE=PB，PN⊥BE，
∴PN平分∠BPE，
∴∠BPN=∠EPN，
∴∠ABP=∠EPN，
∵∠ABP=∠ADP，
∴∠EPN=∠ADP，
∵∠PMD=90∘，
∴∠DPM+∠PDM=90∘，
∴DPM+∠EPN=90∘，
∴∠DPE=180∘−(∠DPM+∠EPN)=180∘−90∘=90∘，
∴∠DPE=∠ABC；
(3)解：∵PE=PB，∠PEB=β，
∴∠PBE=∠PEB=β，
∵∠ACB=α，
∴∠APB=∠ACB+∠PBE=α+β，
同理可证，△BCP≌△DCP，
∴∠BPC=∠DPC，
∴∠APB=∠APD=α+β，
∴∠DPB=∠APD+∠APB=2(α+β)=2α+2β.
(1)根据轴对称的性质，得到AD=AB，BC=CD，PB=PD，又因为BA=BC，即可证明四边形ABCD是菱形，得到∠ABC=∠DCE再证明△BCP≌△DCP(SSS)，得到∠PBC=∠PDC，进而得到∠PDC=∠PEC，最后利用三角形内角和定理，即可得到∠DPE与∠ABC之间的数量关系；
(2)根据一个角是直角的菱形是正方形即可判断四边形ABCD是正方形，过点P作MN⊥BC，先根据平行线的性质，得到∠ABP=∠BPN，再根据等腰三角形三线合一的性质，得到∠BPN=∠EPN，然后根据轴对称的性质得到∠ABP=∠ADP，推出∠EPN=∠ADP，最后利用三角形内角和定理和平角的性质，求出∠DPE=90∘，即可得到∠DPE与∠ABC之间的数量关系；
(3)先根据等边对等角，得到∠PBE=β，再利用三角形外角的性质得到∠APB=α+β，同理可证，△BCP≌△DCP，得到∠APB=∠APD=α+β，即可得到答案．
本题考查了轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，正方形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键．甲
乙
丙
丁
x−
12
11.5
12
11.5
S2
0.2
1.3
1.5
0.2
分数
人数
年级
80
85
90
95
100
七年级
2
2
3
2
1
八年级
1
2
4
a
1
平均数
中位数
众数
方差
七年级
89
b
90
39
八年级
c
90
d
30
思考：我们知道，矩形的对角线相等，反过来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？
可以发现并证明矩形的一个判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形.