数学必修 第一册1.2 集合间的基本关系课后测评

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1．子集的概念
2．真子集的概念
3．集合相等的概念
如果集合A的任何一个元素是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么，集合A与集合B相等，记作A＝B.也就是说，若A⊆B且B⊆A，则A＝B.
4．空集的概念

【题型1 子集、真子集的概念】
【方法点拨】
①集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由x∈A能推出x∈B，这是判断A⊆B的常用方法．
②不能简单地把“A⊆B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”，因为若A＝∅时，则A中不含任何元素；若A＝B，则A中含有B中的所有元素．
③在真子集的定义中，A⫋B首先要满足A⊆B，其次至少有一个x∈B，但x∉A.
【例1】（2022•新疆模拟）已知集合A＝{x|﹣1＜x＜3，x∈N}，则A的子集共有（ ）
A．3个B．4个C．8个D．16个
【解题思路】化简集合A，再求子集个数即可．
【解答过程】解：∵A＝{x|﹣1＜x＜3，x∈N}＝{0，1，2}，
∴A的子集共有23＝8，
故选：C．
【变式1-1】（2022•新疆模拟）已知集合A＝{x|x2＜3，x∈N}，则A的真子集共有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．7个
【解题思路】可得出集合A＝{0，1}，然后可得出集合A的真子集个数．
【解答过程】解：∵A＝{x|x2＜3，x∈N}＝{0，1}，
∴A有22﹣1个真子集，即3个真子集．
故选：C．
【变式1-2】（2022春•兖州区期中）设集合A＝{1，2，3，4，5，6}，则在集合A的子集中，有2个元素的子集个数为（ ）
A．A62B．C62C．62D．26
【解题思路】有2个元素，相当于从6个数中随机抽取2个．
【解答过程】解：从6个数中随机选取2个，即为C62，
故选：B．
【变式1-3】（2021秋•尚志市校级月考）已知集合A={x∈N|86−x∈N}，则集合A的所有非空子集．的个数为（ ）
A．5个B．6个C．7个D．8个
【解题思路】解出集合A，再由含有n个元素的集合，其真子集个数为2n﹣1个可得答案．
【解答过程】解：已知集合A＝{x∈N|86−x∈N}＝{2，4，5}，则集合A真子集的个数为23﹣1＝7个，
故选：C．
【题型2 集合的相等与空集】
【方法点拨】
①利用集合相等的定义和集合中的元素的性质去解题．
②利用空集的定义去解题.
【例2】（2021秋•新余期末）下列集合与集合A＝{2022，1}相等的是（ ）
A．（1，2022）B．{（x，y）|x＝2022，y＝1}
C．{x|x2﹣2023x+2022＝0}D．{（2022，1）}
【解题思路】利用集合相等的定义直接判断．
【解答过程】解：对于A，（1，2022）≠{2022，1}，故A错误；
对于B，{（x，y）|x＝2022，y＝1}≠{2022，1}，故B错误；
对于C，{x|x2﹣2023x+2022＝0}＝{2022，1}，故C正确；
对于D，{（2022，1）}≠{2022，1}，故D错误．
故选：C．
【变式2-1】（2021秋•大姚县校级期中）下列四个集合中，是空集的是（ ）
A．{0}B．{x|x＞8，且x＜5}C．{x∈N|x2﹣1＝0}D．{x|x＞4}
【解题思路】空集的定义：无任何元素的集合，即可得出结论．
【解答过程】解：空集的定义：无任何元素的集合，选项B是空集．
故选：B．
【变式2-2】（2021秋•西宁期末）设a，b∈R，P＝{1，a}，Q＝{﹣1，﹣b}，若P＝Q，则a﹣b＝（ ）
A．﹣2B．﹣1C．0D．1
【解题思路】由P＝Q，求出a，b的值，再计算a﹣b的值．
【解答过程】解：∵P＝Q，
∴a=−1−b=1，解得a=−1b=−1，
∴a﹣b＝0，
故选：C．
【变式2-3】（2021秋•海安市期中）设a，b∈R，集合P＝{0，1，a}，Q＝{﹣1，0，﹣b}，若P＝Q，则a+b＝（ ）
A．﹣2B．﹣1C．0D．2
【解题思路】由集合元素的互异性，可求出结果．
【解答过程】解：∵集合P＝{0，1，a}，Q＝{﹣1，0，﹣b}，且P＝Q，
∴﹣b＝1，a＝﹣1，
∴a+b＝﹣2，
故选：A．
【题型3 集合间关系的判断】
【方法点拨】
①列举法：用列举法将两个集合表示出来，再通过比较两集合中的元素来判断两集合之间的关系．
②元素特征法：根据集合中元素满足的性质特征之间的关系判断．
③图示法：利用数轴或Venn图判断两集合间的关系．
【例3】（2022春•麒麟区校级期中）已知集合M={y|y=2x+13，x∈Z}，N={y|y=23x−1，x∈Z}，则集合M，N的关系是（ ）
A．M＝NB．M⊂NC．M⊃ND．M∩N＝ϕ
【解题思路】通过分析两个集合中元素的关系，结合集合子集的定义分析求解即可．
【解答过程】解：因为集合M＝{y|y=2x+13，x∈Z}，
集合N＝{y|y=23x﹣1，x∈Z}＝{y|y=2x−33=2(x−2)+13，x∈Z}，
即M＝N．
故选：A．
【变式3-1】（2022•河南模拟）已知集合M={x|x=kπ4+π2，k∈Z}，N={x|x=kπ2+π4，k∈Z}，则（ ）
A．N⊆MB．M⊆NC．M＝ND．M∩N＝∅
【解题思路】将两集合中的元素满足的条件化归统一即可判断．
【解答过程】解：∵M={x|x=kπ4+π2，k∈Z}={x|x=(k+2)π4，k∈Z}，N={x|x=(2k+1)π4，k∈Z}，当k∈Z时，2k+1是奇数，k+2是整数，∴N⊆M．
故选A．
【变式3-2】（2022•广西模拟）已知集合A＝{x|x≥﹣2}，B＝{x|﹣2≤x≤1}，则下列关系正确的是（ ）
A．A＝BB．A⊆BC．B⊆AD．A∩B＝∅
【解题思路】根据集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集，判断即可．
【解答过程】解：∵A＝{x|x≥﹣2}，B＝{x|﹣2≤x≤1}，
∴B⊆A，
故选：C．
【变式3-3】（2022•兴庆区校级三模）下面五个式子中：
①a⊆{a}；
②∅⊆{a}；
③{a}∈{a，b}；
④{a}⊆{a}；
⑤a∈{b，c，a}．
正确的有（ ）
A．②④⑤B．②③④⑤C．②④D．①⑤
【解题思路】根据“∈”用于元素与集合；“⊆”用于集合与集合间；∅是不含任何元素的集合且是任意集合的子集，可判断式子正误．
【解答过程】解：①a是集合{a}中的元素，应表示为a∈{a}，故①错误，
②∅是不含任何元素的集合且是任意集合的子集，所以∅⊆{a}，故②正确，
③“∈”用于元素与集合，故③错误，
④任意非空集合是其本身的真子集，所以{a}⊆{a}，故④正确，
⑤元素a属于集合{b，c，a}，故⑤正确，
故正确的有②④⑤．
故选：A．
【题型4 有限集合子集、真子集的确定】
【方法点拨】
①确定所求集合，是子集还是真子集．
②合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出．
③注意两个特殊的集合，即空集和集合本身．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
假设集合A中含有n个元素，则有：
①A的子集的个数为2n个；②A的真子集的个数为2n－1个；③A的非空真子集的个数为2n－2个．
【例4】（2021秋•兰山区校级期中）满足∅⫋M⊆{1，2，3}的集合M共有（ ）
A．6个B．7个C．8个D．15个
【解题思路】利用真子集、子集的定义，结合列举法能求出结果．
【解答过程】解：满足∅⫋M⊆{1，2，3}的集合M有：
{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，[2，3}，{1，2，3}，
共7个．
故选：B．
【变式4-1】（2021秋•渝中区校级月考）已知{1，3}⊆A⫋{1，2，3，4，5}，则满足条件的集合A的个数是（ ）
A．5B．6C．7D．8
【解题思路】A是至少含有1和3这2个元素是本题的关键．
【解答过程】解：A＝{1，3}或A＝{1，3，2}或A＝{1，3，4}或A＝{1，3，5}或A＝{1，3，2，4}或A＝{1，3，2，5}或A＝{1，3，4，5}．
故选：C．
【变式4-2】（2021秋•开福区校级期中）已知集合S＝{x|ax＝1}是集合T＝{x|x2﹣1＝0}的子集，则符合条件的实数a的值共（ ）
A．1个B．2个C．3个D．无数个
【解题思路】求解集合T＝{1，﹣1}，由S⊆T，分S＝∅和S≠∅两种情况，分别求解．
【解答过程】解：集合T＝{x|x2﹣1＝0}＝{1，﹣1}，
因为S⊆T，
所以当S＝∅时，a＝0，符合题意；
当S≠∅时，由ax＝1得x=1a，
所以1a=1或1a=−1，
解得a＝1或﹣1，
所以符合条件的a有3个，
故选：C．
【变式4-3】（2021•青岛开学）已知集合A＝{a1，a2，a3}的所有非空真子集的元素之和等于9，则a1+a2+a3＝（ ）
A．1B．2C．3D．6
【解题思路】由题意知集合A＝{a1，a2，a3}的所有非空真子集可以分为二类，从而求和知3（a1+a2+a3）＝9，即可解得．
【解答过程】解：集合A＝{a1，a2，a3}的所有非空真子集可以分为二类，
集合A＝{a1，a2，a3}的子集中有且只有一个元素，
分别为{a1}，{a2}，{a3}，
集合A＝{a1，a2，a3}的子集中有且只有两个元素，
分别为{a1，a2}，{a1，a3}，{a2，a3}，
则3（a1+a2+a3）＝9，
故a1+a2+a3＝3，
故选：C．
【题型5 利用集合间的关系求参数】
【方法点拨】
①当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，此时应注意端点处是实点还是虚点．
②当集合为不连续数集时，常根据集合包含关系的意义，建立方程求解，此时应注意分类讨论思想的运用．
【例5】（2021•葫芦岛二模）已知集合A＝{﹣2，3，1}，集合B＝{3，m2}，若B⊆A，则实数m的取值集合为（ ）
A．{1}B．{3}C．{1，﹣1}D．{3，−3}
【解题思路】若B⊆A，则m2＝1，即可求解满足条件的m
【解答过程】解：∵A＝{﹣2，3，1}，B＝{3，m2}，
若B⊆A，
则m2＝1
∴m＝1或m＝﹣1
实数m的取值集合为{1，﹣1}
故选：C．
【变式5-1】（2021秋•舒城县校级期中）已知集合A＝{x∈R|x2+x﹣6＝0}，B＝{x∈R|ax﹣1＝0}，若B⊆A，则实数a的值为（ ）
A．13或−12B．−13或12C．13或−12或0D．−13或12或0
【解题思路】先求出A＝{﹣3，2}，根据B⊆A即可得出﹣3∈B，或2∈B，或B＝∅，从而得出﹣3a﹣1＝0，或2a﹣1＝0，或a＝0，解出a的值即可．
【解答过程】解：A＝{﹣3，2}；
∵B⊆A；
∴﹣3∈B，或2∈B，或B＝∅；
∴﹣3a﹣1＝0，或2a﹣1＝0，或a＝0；
∴a=−13或12或0．
故选：D．
【变式5-2】（2021•佛山模拟）已知集合A＝{x|x2﹣4x+3＞0}，B＝{x|x﹣a＜0}，若B⊆A，则实数a的取值范围为（ ）
A．（3，+∞）B．[3，+∞）C．（﹣∞，1）D．（﹣∞，1]
【解题思路】由一元一次不等式和一元二次不等式解出集合A，B，根据B⊆A，可得参数a的取值范围．
【解答过程】解：集合A＝{x|x＞3或x＜1}，
集合B＝{x|x＜a}，
由B⊆A，可得a≤1，
故选：D．
【变式5-3】（2021秋•眉山期末）设集合A＝{x|0＜x＜2019}，B＝{x|x＜a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是（ ）
A．{a|a≤0}B．{a|0＜a≤2019}C．{a|a≥2019}D．{a|0＜a＜2019}
【解题思路】根据A与B的子集关系，借助数轴求得a的范围．
【解答过程】集合A＝{x|0＜x＜2019}，B＝{x|x＜a}，
因为A⊆B，所以a≥2019；
故选：C．
【题型6 集合间关系中的新定义问题】
【方法点拨】
根据题目所给的有关集合的新定义问题，结合集合间的关系，进行转化求解即可.
【例6】（2021•衡水模拟）定义集合A★B＝{x|x＝ab，a∈A，b∈B}，设A＝{2，3}，B＝{1，2}，则集合A★B的非空真子集的个数为（ ）
A．12B．14C．15D．16
【解题思路】先求出集合A★B，由此能求出集合A★B的非空真子集的个数．
【解答过程】解：∵A★B＝{2，3，4，6}，
∴集合A★B的非空真子集的个数为24﹣2＝14．
故选：B．
【变式6-1】（2021秋•和平区校级月考）集合P＝{3，4，5}，Q＝{6，7}，定义P*Q＝{（a，b）|a∈P，b∈Q}，则P*Q的真子集个数为（ ）
A．31B．63C．32D．64
【解题思路】根据条件即可求出集合P*Q的元素个数，从而可得出集合P*Q的真子集个数．
【解答过程】解：根据题意得，P*Q的元素个数为C31⋅C21=6个，
∴P*Q的真子集个数为26﹣1＝63个．
故选：B．
【变式6-2】（2021秋•西乡塘区校级月考）定义集合中的一种运算“*”，A*B＝{ω|ω＝xy（x+y），x∈A，y∈B}，若集合A＝{0，1}，B＝{2，3}，则A*B的非空子集个数是（ ）
A．7B．8C．15D．16
【解题思路】先根据定义求出集合A*B，再利用集合的非空子集个数公式2n﹣1，即可求出结果．
【解答过程】解：若x＝0，不论y取何值，则ω＝0，
若x＝1，y＝2，则ω＝1×2（1+2）＝6，
若x＝1，y＝3，则ω＝1×3（1+3）＝12，
所以A*B＝{0，6，12}，
所以A*B的非空子集个数是23﹣1＝7，
故选：A．
【变式6-3】（2021秋•同安区校级月考）对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“※”，法则如下：当m，n都是正奇数时，m※n＝m+n；当m，n不全为正奇数时，m※n＝mn，则在此定义下，集合M＝{（a，b）|a※b＝16，a∈N*，b∈N*}的真子集的个数是（ ）
A．27﹣1B．211﹣1C．213﹣1D．214﹣1
【解题思路】由所给的定义，对a※b＝16，a∈N*，b∈N*进行分类讨论，分两个数都是正奇数，与两个数不全为正奇数，两类进行讨论，确定出元素的个数即可求出集合M＝{（a，b）|a※b＝16，a∈N*，b∈N*}的真子集的个数．
【解答过程】解：由题意，当m，n都是正奇数时，m※n＝m+n；当m，n不全为正奇数时，m※n＝mn；
若a，b都是正奇数，则由a※b＝16，可得a+b＝16，此时符合条件的数对为（1，15），（3，13），…（15，1）满足条件的共8个；
若m，n不全为正奇数时，m※n＝mn，由a※b＝16，可得ab＝16，则符合条件的数对分别为（1，16），（2，8），（4，4），（8，2），（16，1）共5个；
故集合M＝{（a，b）|a※b＝16，a∈N*，b∈N*}中的元素个数是13，
所以集合M＝{（a，b）|a※b＝16，a∈N*，b∈N*}的真子集的个数是213﹣1．
故选：C．