人教A版高中数学必修第一册第2章2-3第1课时1元二次不等式的解法课件

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第1课时　一元二次不等式的解法第二章　一元二次函数、方程和不等式2.3　二次函数与一元二次方程、不等式[学习目标]　1．经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义．(数学抽象)2．能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集．(数学运算)3．借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系．(直观想象)整体感知[讨论交流]　预习教材P50－P53，并思考以下问题：问题1．一元二次不等式的概念是什么？问题2．二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的解有什么对应关系？问题3．求解一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的过程是什么？[自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．探究1　一元二次不等式的概念探究问题1　观察下面的式子：(1)2x2－1≥0；(2)x2－3x<0；(3)3x2＋2x－1>0．它们有怎样的共同特征？探究建构提示：都是含有一个未知数的不等式，并且未知数的最高次数为2．[新知生成]未知数2【教用·微提醒】　(1)“一元”指的是只有一个未知数，不代表只有一个字母．(2)“二次”指的是未知数的最高次数必须是2，且最高次项系数不为0．探究2　二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系探究问题2　如图，二次函数y＝x2－x－6的图象与x轴有两个交点，这与方程x2－x－6＝0的根有什么关系？提示：函数图象与x轴交点的横坐标正好是对应方程的根．探究问题3　你能从二次函数y＝x2－x－6的图象上找到x2－x－6<0的解集吗？提示：从图象上看，位于x轴上方的函数值大于零，位于x轴下方的函数值小于零，故x2－x－6<0的解集为{x|－2x2}{x|x10的解集．分析：因为方程x2－5x＋6＝0的根是函数y＝x2－5x＋6的零点，所以先求出x2－5x＋6＝0的根，再根据函数图象得到x2－5x＋6>0的解集．解：对于方程x2－5x＋6＝0，因为Δ>0，所以它有两个实数根．解得x1＝2，x2＝3．画出二次函数y＝x2－5x＋6的图象(图2.3-2)，结合图象得不等式x2－5x＋6>0的解集为{x|x<2，或x>3}．例2　求不等式9x2－6x＋1>0的解集． 【链接·教材例题】例3　求不等式－x2＋2x－3>0的解集．解：不等式可化为x2－2x＋3<0．因为Δ＝－8<0，所以方程x2－2x＋3＝0无实数根．画出二次函数y＝x2－2x＋3的图象(图2.3-4)．结合图象得不等式x2－2x＋3<0的解集为∅．因此，原不等式的解集为∅．[典例讲评]　1．(源自苏教版教材)解下列不等式：(1)x2－7x＋12>0；(2)－x2－2x＋3≥0；(3)x2－2x＋1<0；(4)x2－2x＋2>0．[解]　(1)方程x2－7x＋12＝0的解为x1＝3，x2＝4．根据y＝x2－7x＋12的图象(图①)，可得原不等式的解集为{x|x<3，或x>4}．图①(2)不等式两边同乘以－1，得x2＋2x－3≤0．方程x2＋2x－3＝0的解为x1＝－3，x2＝1．根据y＝x2＋2x－3的图象(图②)，可得原不等式的解集为{x|－3≤x≤1}．②　　　 ③　　 　④(3)方程x2－2x＋1＝0有两个相同的解x1＝x2＝1．根据y＝x2－2x＋1的图象(图③)，可得原不等式的解集为∅．(4)因为Δ<0，所以方程x2－2x＋2＝0无实数解．根据y＝x2－2x＋2的图象(图④)，可得原不等式的解集为R．发现规律　解不含参数的一元二次不等式的一般步骤(1)______．通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正．(2)______．对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式．(3)______．求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根．(4)______．根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图．(5)______．根据图象写出不等式的解集．化标准判别式求实根画草图写解集[学以致用]　1．解下列不等式：(1)x2－5x－6>0；(2)(2－x)(x＋3)<0．[解]　(1)方程x2－5x－6＝0的两根为x1＝－1，x2＝6．结合二次函数y＝x2－5x－6的图象(图略)知，原不等式的解集为{x|x<－1，或x>6}．(2)原不等式可化为(x－2)(x＋3)>0．方程(x－2)(x＋3)＝0的两根为x1＝2，x2＝－3．结合二次函数y＝(x－2)(x＋3)的图象(图略)知，原不等式的解集为{x|x<－3，或x>2}．探究3　含参数的一元二次不等式的解法角度1　对判别式Δ进行讨论[典例讲评]　2．解关于x的不等式2x2＋ax＋2>0．[解]　Δ＝a2－16，下面分情况讨论：(1)当Δ<0，即－40，故x≠1；若a＝4，则原不等式等价于2(x＋1)2>0，故x≠－1． 角度2　对根的大小进行讨论[典例讲评]　3．解关于x的不等式x2＋(1－a)x－a<0．[解]　原不等式可化为(x＋1)(x－a)<0，∴方程x2＋(1－a)x－a＝0的两根为x1＝－1，x2＝a．又函数y＝x2＋(1－a)x－a的图象(图略)开口向上，则当a<－1时，原不等式的解集为{x|a－1时，原不等式的解集为{x|－10．  反思领悟　解含参数的一元二次不等式的一般步骤提醒：对参数进行分类讨论的每一种情况是相互独立的一元二次不等式的解集，不能合并．[学以致用]　2．解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(x∈R)．  【教用·备选题】　解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0．   243题号1应用迁移√A　[只有③是一元二次不等式，故选A．]2．不等式(1－x)(2＋x)>0的解集为(　　)A．{x|x<－2，或x>1}　　　 B．{x|－22}　　　 D．{x|－10⇒(x－1)(x＋2)<0，解得－20，a<0，a＝0．(2)关于不等式对应的方程根的讨论：两根(Δ>0)，一根(Δ＝0)，无根(Δ<0)．(3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x1>x2，x1＝x2，x1