广西专版2023_2024学年新教材高中数学第5章三角函数5.6函数y=Asinωx+φ课件新人教A版必修第一册

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5.6　函数y=Asin(ωx+φ)素养·目标定位课前·基础认知课堂·重难突破随 堂 训 练素养·目标定位课前·基础认知1.匀速圆周运动的数学模型 明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理.将筒车抽象为一个几何图形,如图.以O为原点,以与水平面平行的直线为x轴建立直角坐标系.已知筒车转轮的中心O到水面的距离h,筒车的半径r,筒车转动的角速度ω.设t=0时,盛水筒M位于点P0,以Ox为始边,OP0为终边的角为φ,经过t s后运动到点P(x,y).于是,以Ox为始边,OP为终边的角为ωt+φ,并且有y=　rsin(ωt+φ)　. 所以,盛水筒M距离水面的高度H与时间t的关系是H=　rsin(ωt+φ)+h　. 2.参数φ,ω,A对函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)图象的影响(1)φ对函数y=sin(x+φ),x∈R图象的影响答案:D (2)ω(ω>0)对函数y=sin(ωx+φ)图象的影响微训练2为了得到y=sin 4x,x∈R的图象,只需把正弦曲线上所有点的(　　)答案:B (3)A(A>0)对函数y=Asin(ωx+φ)(ω>0)图象的影响函数y=Asin(ωx+φ)的值域是[-A,A](A>0),最大值为　A　,最小值为　-A　. 微训练3把函数y=2sin 3x图象上所有点的横坐标变为原来的2倍,纵坐标变为原来的3倍,得到函数　　　　的图象. (4)一般地,函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象,可以用下面的方法得到:先画出y=sin x的图象;再把正弦曲线向左(或右)平移　|φ|　个单位长度,得到函数y=sin(x+φ)的图象;然后把曲线上各点的横坐标变为原来的______倍(纵坐标不变),得到函数y=sin(ωx+φ)的图象;最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的　A　倍(横坐标不变),这时的曲线就是函数y=Asin(ωx+φ)的图象. 微思考由y=sin x的图象变换得到y=sin(ωx+φ)(ω>0)的图象有哪些思路?提示:(1)先平移后伸缩 (2)先伸缩后平移 课堂·重难突破一 三角函数图象的变换典例剖析 答案:C 规律总结三角函数图象变换问题的解题策略(1)将函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象向左平移m(m>0)个单位长度后,得到y=Asin[ω(x+m)+φ]=Asin(ωx+ωm+φ)(向右平移类似).(2)将函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象上各点横坐标缩短到原来的k(00,ω>0)的图象,实质是利用函数的三个零点、两个最值点画出函数在一个周期内的图象.2.用“五点法”作函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)图象的步骤第一步:列表.第二步:在平面直角坐标系中描出各点.第三步:用光滑曲线连接这些点,形成图象.学以致用 描点、连线,如图所示. 三 由图象确定函数y=Asin(ωx+φ)(或y=Acos(ωx+φ))的解析式典例剖析 规律总结已知图象求函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的解析式的方法方法一:先从图象直接确定A和ω,再选取“第一个零点”(即五点作图法中的第一个点)的数据代入“ωx+φ=0”(要注意正确判断哪一个点是“第一个零点”)求得φ.方法二:通过把特殊点的坐标代入函数解析式,求得相关待定系数A,ω,φ.这里需要注意的是,要认清所选择的点属于五个点中的哪一个点,并能正确代入列式.方法三:运用逆向思维的方法,先确定函数的基本解析式y=Asin ωx,再根据图象平移规律确定相关的参数.学以致用答案:A 四 匀速圆周运动的数学模型典例剖析4.如图所示,摩天轮的半径为40 m,O点距地面的高度为50 m,摩天轮按逆时针方向匀速转动,且每2 min转一圈,摩天轮上点P的起始位置在最高点P0处.(1)试确定点P距离地面的高度h(单位:m)关于旋转时间t(单位: min)的函数解析式;(2)在摩天轮转动一圈内,有多长时间点P距离地面超过70 m?解:(1)建立平面直角坐标系,如图所示.规律总结确定匀速圆周运动模型的函数解析式的步骤(1)建系,以圆心为原点,以与水平面平行的直线为x轴建立直角坐标系.(2)设点P的起始位置对应的角为φ,角速度为ω,圆的半径为r,则经过时间t后,点P的纵坐标y=rsin(ωt+φ),求出ω和φ.(3)写出所求函数解析式.学以致用 4.如图,以O为圆心,半径为2的圆与x轴非负半轴相交于点A,质点P在圆周上按逆时针方向做匀速运动,其初始位置为 ,角速度为2 rad/s.(1)求点P的纵坐标y关于时间t(单位:s)的函数解析式;(2)求在60 s内(即t∈[0,60]),质点P经过点A的次数.随 堂 训 练1.若函数y=cos x图象上各点的纵坐标不变,把横坐标扩大到原来的2倍,得到的图象对应函数的解析式为y=cos ωx,则ω的值为(　　)答案:B 答案:B 答案:0 5.如图所示,一个摩天轮半径为10 m,轮子的底部在距离地面2 m处,如果此摩天轮按逆时针方向转动,每300 s转一圈,且当摩天轮上某人经过点P处(点P与摩天轮中心高度相同)时开始计时.(1)求此人相对于地面的高度h(单位:m)关于时间t(单位:s)的函数解析式;(2)在摩天轮转动的一圈内,有多长时间此人相对于地面的高度不小于17 m.