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高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.1 基本立体图形优秀学案及答案
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这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.1 基本立体图形优秀学案及答案，文件包含立体几何选填综合-讲义教师版docx、立体几何选填综合-讲义学生版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共52页， 欢迎下载使用。
立体几何选填综合
一、 课堂目标
掌握立体几何在选填中的应用及解题方法．
二、 知识讲解
1. 空间中点、线、面位置关系问题
知识精讲
空间中的点、线、面位置关系在期中、期末考试中属于重要考点，通常以选填形式考试，难度并不是很大，学生要熟练掌握直线与直线、直线与平面、平面与平面平行和垂直的判定方法，以及利用一些具体实物（如墙角）进行判断.
经典例题
1. 已知两条直线 ， 和平面 ，那么下列命题中的真命题是（ ）．
A. B. C. D.
若若若若
，
，，，
，则
，则
，则
，则
2. 在正方体中， ， 分别是线段 ，的中点，则直线与直线 的位置
关系是()
A. 相交B. 异面C. 平行D. 垂直
巩固练习
3. 在空间中， 、 是两条不同的直线， 、 是两个不同的平面，则下列判断正确的是（ ）．
A.
B.
若 ，
若 ，
，则
， ，则
C.
D.
若
若
，
，
，则
，则
4. 下列命题中，正确命题的个数是（ ）．
①若直线 上有无数个点不在平面 内，则
；
②若直线 与平面 平行，则 与平面 内的任意一条直线都平行；
③若直线 与平面 平行，则 与平面 内的任意一条直线都没有公共点．
A.B.C.D.
2. 空间几何体长度、表面积、体积问题
知识精讲
三视图在新教材弱化，但是课本上仍然出现相关考题，以及期中、期末的考题还是比较多的.在这里，重点要求学生会根据三视图还原图形.
空间几何体的表面积与体积
空间几何体表面积体积
棱柱表侧底底
多面体棱锥表侧底底
棱台圆柱圆锥
表
侧
上底
下底
上
底
底
上 下下
旋转体
圆台
球
上
上 下下
经典例题
5. 已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的所有棱中，最短的棱其长为（ ）．
正视图侧视图
俯视图
A.B.C.D.
巩固练习
6. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱的长为（ ）．
正视图侧视图
俯视图
A.B.C.D.
经典例题
7. 如图，正方体的棱长为 ，那么四棱锥的体积是（ ）．
A.B.C.D.
8. 已知正方体的棱长为 ，它的 个顶点都在一个球面上，则此球的表面积是（ ）．
A.B.C.D.
巩固练习
9. 在中，，，．以 所在的直线为轴将旋转一周，则旋转所
得圆锥的侧面积为（ ）．
A.B.C.D.
10. 如图所示，球内切于正方体．如果该正方体的棱长为 ，那么球的体积为（ ）．
A.B.
C.D.
3. 截面问题
知识精讲
1.截面的概念：
用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面.
2.画正方体截面的方法步骤：
①用线段分别连接已知的三点；
②用投影法作出其中两点的连线在第三点所在的正方体面上的投影，得连线在此面上的斜足，连接斜足
与第三点得截面与此正方体面的交线；
③选择另外两点的连线，重复第二步，最后连接相关交点即可．
当已知的三点中有两点在正方体的同一个面上时，只要作两次投影即可．
3.常见的截面图形：
用一个平面截正方体，截面的形状可能是三角形、四边形、五边形、六边形．
经典例题
11. 已知在一个棱长为 的正方体中，和的中点分别为 ， ．如图
，则过 ， ， 三点的平面被正方体所截得的截面图形为（ ）．
图
A. 六边形B. 五边形C. 四边形D. 三角形
巩固练习
12. 一正四面体木块如图所示，点 是棱 的中点，过点 将木块锯开，使截面平行于棱 和 ，
则下列关于截面的说法正确的是（ ）．
A. 满足条件的截面不存在B. 截面是一个梯形
C. 截面是一个菱形D. 截面是一个三角形
经典例题
13. 如图，空间四边形
的两条对棱 、 的长分别为 和 ， 、 、 分别在 、 、
上，且，，则过 、 、 的平面与空间四边形相交所得的截面多边形的周长的
取值范围是．
巩固练习
14. 如图，正三棱锥的底面边长为 ， ， ， ， 分别为 ， ， ， 的中点，则
四边形的面积的取值范围是（ ）．
A.B.
C.D.
4. 折叠问题
知识精讲
折叠问题的2个解题策略：
（1）确定折叠前后变与不变的关系：分清折叠前后的平面图形与立体图形，分清折叠前后图形的位置和数量关系的变与不变.一般地，位于“折痕”同侧的点、线、面之间的位置和数量关系不变，而位于“折痕”两侧的点、线、面之间的关系会发生变化；对于不变的关系应在平面图形中处理，而对于变化的关系则要在立体图形中解决.
（2）确定折叠后关键点的位置：所谓的关键点，是指折叠过程中运动变化的点.因为这些点的位置移
动，会带动与其相关的其他的点、线、面的关系变化，以及其他点、线、面之间位置关系与数量关系的变化.只有分析清楚关键点的准确位置，才能以此为参照点，确定其他点、线、面的位置，进而进行有关的证明与计算.
经典例题
15. 如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，① 与 平行；② 与 是异面直线；③
与平面平行；④平面与平面平行．以上四个命题中，正确命题的序号是（
）．
A. ①②B. ②③C. ③④D. ①④
巩固练习
16. 如图是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中，
① 与 是异面直线；
② 与 平行；
③ 与 成 角；
④ 与 垂直，
以上四个说法中正确的序号是
．
17. 如图所示，在四边形中，，，，，将
沿 折起，使得平面平面，构成四面体，则在四面体中，下列说法
正确的是（ ）．
A. 平面平面B. 平面平面
C. 平面平面D. 平面平面
5. 空间中角的问题
知识精讲
（1）求异面直线的夹角
平移法求异面直线所成角：
恰当选点，作两条异面直线的平行线，构成平面角 ．则 （或其补角）就是异面直线所成角．
然后利用锐角三角函数或解三角形中的余弦定理，求出所构造角 的度数．
异面直线所成角的范围．
特别地，若能判断这两条异面直线互相垂直，则无需平移即可知道它们所成角为 ．
（2）求线面角定义法求线面角
根据线面角定义，求斜线和平面所成的角，一般步骤是：
①在斜线上取一点（除斜足外）作平面的垂线，再连接垂足和斜足得到直线在平面上的射影，则直线和
射影的夹角（取锐角）就是所求角.
②由垂线、斜线、射影所组成的直角三角形中求解.
（3）求二面角
用定义法求二面角
定义法求二面角大小的一般步骤是：
①找出或作出平面角；
②证明它符合二面角的平面角的定义；
③通过解三角形(斜三角形或直角三角形)计算求解．
经典例题
18. 如图，若正方体的棱长为 ，则异面直线 与所成的角的大小
是；直线和底面所成的角的大小是．
巩固练习
19. 如图，正方体的棱长为 ， 、 分别为棱 、 的中点，则平面
与底面所成的二面角的余弦值为（ ）．
A.B.
C.D.
20. 如图，直三棱柱中，，则异面直线和 所成角的
余弦值为（ ）．
A.B.
C.D.
6. 动点问题
知识精讲
在立体几何问题中，当一个点在一定的约束条件下位置可以变动时，称这类问题为“动点问题”．
动点问题综合性很强，一般的思路是进行“转化”：将问题特殊化、空间问题平面化，多需要进行分类讨论．
（1）动点存在性问题的解题方法：
①根据题目的已知条件进行综合分析和观察猜想，找出点或线的位置关系，然后加以证明，得出结论．②假设所求的点或线存在，并设定参数表达已知条件，根据题目进行求解，若能求出参数的值且符合已知限定的范围，则存在这样的点或线，否则不存在．
（2）动点中最值问题：
空间中几何体中的某些对象，如点、线、面，在约束条件下运动，带动相关的线段长度、体积等发生变
化，进而就有了面积与体积有关的最值问题.
①定性分析：在空间几何体的变化过程中，通过观察动点的位置问题，确定其相关量的变化规律进而发
现相关面积或体积的变化规律，求得其最大值或最小值.
②定量分析：将所求问题转化为某一个相关量的问题，即转化为关于其中一个量的函数，求其最大值或
最小值的问题.根据具体情况，有函数法、不等式法、三角函数法等.
经典例题
21. 如图，在四棱锥中，侧面底面， 是底面正方形内的一个动点，
且满足，是等边三角形，则点 在底面上的轨迹为（ ）．
A.B.
C.D.
巩固练习
22. 如图，正方体中， 为平面内一动点，且点 到和 的距离相
等，则 点的轨迹是下图中的（ ） ．
A.B.
C.D.
经典例题
23. 如图，正方体
的棱长为 ，点 在正方形
边界及其内部运动．平面区域
由所有满足的点 组成，则 的面积是，四面体的体积的最大值
是．
巩固练习
24. 如图，正方体的棱长为 ，点 是面内任意一点，则四棱锥
的体积为（ ）．
A.B.C.D.
经典例题
25. 如图，在棱长为 的正方体中，点 ， 是棱 ， 的中点， 是底面
上（含边界）一动点，满足，则线段长度的取值范围是（ ）．
A.B.
C.D.
巩固练习
26. 已知正方体
的棱长为 ， ， 分别是棱 ，
的中点，动点 在正方形
（包括边界）内运动．若面，则线段的长度范围是（ ）．
A.B.
C.D.
7. 综合问题
经典例题
27. 在正方体 中， 是棱 的中点， 是侧面内的动点，且与平面的垂线垂
直，如图所示，下列说法不. 正. 确. 的是（ ）．
A.
B.
点 的轨迹是一条线段与 是异面直线
C.
D.
与
三棱锥
不可能平行
的体积为定值
巩固练习
28. 如图所示，直线 垂直于⊙ 所在的平面，内接于⊙ ，且 为⊙ 的直径，点 为线段
的中点，现有结论：①；②平面；③点 到平面的距离等于线段 的
长，其中正确的是（ ）．
A. ①②B. ①②③C. ①D. ②③
经典例题
29. 如图，正方体的棱长为 ，线段上有两个动点 、 ，且，则下
列结论中正确的是（ ）．
A.
B. C. D.
平面
三棱锥
的面积与
的体积为定值
的面积相等
巩固练习
30. 如图，点 是正方体的棱的中点，点 在线段上运动，则下列结论
正确的是（ ）．
A.
B.
直线 与直线
存在点 ，使得
始终是异面直线
C.
D.
四面体
当
的体积为定值
时，平面
平面
三、 思维导图
你学会了吗？画出思维导图总结本课所学吧！
四、 出门测
31. 如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中直线 与 的位置关系为（ ）．
A. 相交B. 平行C. 异面但不垂直D. 异面而且垂直
32. 如图，用小刀切一块长方体橡皮的一个角，在棱 、、 上的截点分别是 、 、 ，则截
面（ ）．
A. 一定是等边三角形 B. 一定是钝角三角形 C. 一定是锐角三角形 D. 一定是直角三角形
33. 如图，四边形是边长为 的正方形，平面，平面，
，在线段 上有两个动点 ， ．且，点 在线段 上运动．给出下列
四个命题：
①
；
②平面平面；
③直线 ， 相交；
④三棱锥的体积是定值．
其中所有真命题的序号是．
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立体几何选填综合
一、 课堂目标
掌握立体几何在选填中的应用及解题方法．
二、 知识讲解
1. 空间中点、线、面位置关系问题
知识精讲
空间中的点、线、面位置关系在期中、期末考试中属于重要考点，通常以选填形式考试，难度并不是很大，学生要熟练掌握直线与直线、直线与平面、平面与平面平行和垂直的判定方法，以及利用一些具体实物（如墙角）进行判断.
经典例题
1. 已知两条直线 ， 和平面 ，那么下列命题中的真命题是（ ）．
A. B. C. D.
若若若若
，
，，，
，则
，则
，则
，则
2. 在正方体中， ， 分别是线段 ，的中点，则直线与直线 的位置
关系是()
A. 相交B. 异面C. 平行D. 垂直
巩固练习
3. 在空间中， 、 是两条不同的直线， 、 是两个不同的平面，则下列判断正确的是（ ）．
A.
B.
若 ，
若 ，
，则
， ，则
C.
D.
若
若
，
，
，则
，则
4. 下列命题中，正确命题的个数是（ ）．
①若直线 上有无数个点不在平面 内，则
；
②若直线 与平面 平行，则 与平面 内的任意一条直线都平行；
③若直线 与平面 平行，则 与平面 内的任意一条直线都没有公共点．
A.B.C.D.
2. 空间几何体长度、表面积、体积问题
知识精讲
三视图在新教材弱化，但是课本上仍然出现相关考题，以及期中、期末的考题还是比较多的.在这里，重点要求学生会根据三视图还原图形.
空间几何体的表面积与体积
空间几何体表面积体积
棱柱表侧底底
多面体棱锥表侧底底
棱台圆柱圆锥
表
侧
上底
下底
上
底
底
上 下下
旋转体
圆台
球
上
上 下下
经典例题
5. 已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的所有棱中，最短的棱其长为（ ）．
正视图侧视图
俯视图
A.B.C.D.
巩固练习
6. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱的长为（ ）．
正视图侧视图
俯视图
A.B.C.D.
经典例题
7. 如图，正方体的棱长为 ，那么四棱锥的体积是（ ）．
A.B.C.D.
8. 已知正方体的棱长为 ，它的 个顶点都在一个球面上，则此球的表面积是（ ）．
A.B.C.D.
巩固练习
9. 在中，，，．以 所在的直线为轴将旋转一周，则旋转所
得圆锥的侧面积为（ ）．
A.B.C.D.
10. 如图所示，球内切于正方体．如果该正方体的棱长为 ，那么球的体积为（ ）．
A.B.
C.D.
3. 截面问题
知识精讲
1.截面的概念：
用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面.
2.画正方体截面的方法步骤：
①用线段分别连接已知的三点；
②用投影法作出其中两点的连线在第三点所在的正方体面上的投影，得连线在此面上的斜足，连接斜足
与第三点得截面与此正方体面的交线；
③选择另外两点的连线，重复第二步，最后连接相关交点即可．
当已知的三点中有两点在正方体的同一个面上时，只要作两次投影即可．
3.常见的截面图形：
用一个平面截正方体，截面的形状可能是三角形、四边形、五边形、六边形．
经典例题
11. 已知在一个棱长为 的正方体中，和的中点分别为 ， ．如图
，则过 ， ， 三点的平面被正方体所截得的截面图形为（ ）．
图
A. 六边形B. 五边形C. 四边形D. 三角形
巩固练习
12. 一正四面体木块如图所示，点 是棱 的中点，过点 将木块锯开，使截面平行于棱 和 ，
则下列关于截面的说法正确的是（ ）．
A. 满足条件的截面不存在B. 截面是一个梯形
C. 截面是一个菱形D. 截面是一个三角形
经典例题
13. 如图，空间四边形
的两条对棱 、 的长分别为 和 ， 、 、 分别在 、 、
上，且，，则过 、 、 的平面与空间四边形相交所得的截面多边形的周长的
取值范围是．
巩固练习
14. 如图，正三棱锥的底面边长为 ， ， ， ， 分别为 ， ， ， 的中点，则
四边形的面积的取值范围是（ ）．
A.B.
C.D.
4. 折叠问题
知识精讲
折叠问题的2个解题策略：
（1）确定折叠前后变与不变的关系：分清折叠前后的平面图形与立体图形，分清折叠前后图形的位置和数量关系的变与不变.一般地，位于“折痕”同侧的点、线、面之间的位置和数量关系不变，而位于“折痕”两侧的点、线、面之间的关系会发生变化；对于不变的关系应在平面图形中处理，而对于变化的关系则要在立体图形中解决.
（2）确定折叠后关键点的位置：所谓的关键点，是指折叠过程中运动变化的点.因为这些点的位置移
动，会带动与其相关的其他的点、线、面的关系变化，以及其他点、线、面之间位置关系与数量关系的变化.只有分析清楚关键点的准确位置，才能以此为参照点，确定其他点、线、面的位置，进而进行有关的证明与计算.
经典例题
15. 如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，① 与 平行；② 与 是异面直线；③
与平面平行；④平面与平面平行．以上四个命题中，正确命题的序号是（
）．
A. ①②B. ②③C. ③④D. ①④
巩固练习
16. 如图是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中，
① 与 是异面直线；
② 与 平行；
③ 与 成 角；
④ 与 垂直，
以上四个说法中正确的序号是
．
17. 如图所示，在四边形中，，，，，将
沿 折起，使得平面平面，构成四面体，则在四面体中，下列说法
正确的是（ ）．
A. 平面平面B. 平面平面
C. 平面平面D. 平面平面
5. 空间中角的问题
知识精讲
（1）求异面直线的夹角
平移法求异面直线所成角：
恰当选点，作两条异面直线的平行线，构成平面角 ．则 （或其补角）就是异面直线所成角．
然后利用锐角三角函数或解三角形中的余弦定理，求出所构造角 的度数．
异面直线所成角的范围．
特别地，若能判断这两条异面直线互相垂直，则无需平移即可知道它们所成角为 ．
（2）求线面角定义法求线面角
根据线面角定义，求斜线和平面所成的角，一般步骤是：
①在斜线上取一点（除斜足外）作平面的垂线，再连接垂足和斜足得到直线在平面上的射影，则直线和
射影的夹角（取锐角）就是所求角.
②由垂线、斜线、射影所组成的直角三角形中求解.
（3）求二面角
用定义法求二面角
定义法求二面角大小的一般步骤是：
①找出或作出平面角；
②证明它符合二面角的平面角的定义；
③通过解三角形(斜三角形或直角三角形)计算求解．
经典例题
18. 如图，若正方体的棱长为 ，则异面直线 与所成的角的大小
是；直线和底面所成的角的大小是．
巩固练习
19. 如图，正方体的棱长为 ， 、 分别为棱 、 的中点，则平面
与底面所成的二面角的余弦值为（ ）．
A.B.
C.D.
20. 如图，直三棱柱中，，则异面直线和 所成角的
余弦值为（ ）．
A.B.
C.D.
6. 动点问题
知识精讲
在立体几何问题中，当一个点在一定的约束条件下位置可以变动时，称这类问题为“动点问题”．
动点问题综合性很强，一般的思路是进行“转化”：将问题特殊化、空间问题平面化，多需要进行分类讨论．
（1）动点存在性问题的解题方法：
①根据题目的已知条件进行综合分析和观察猜想，找出点或线的位置关系，然后加以证明，得出结论．②假设所求的点或线存在，并设定参数表达已知条件，根据题目进行求解，若能求出参数的值且符合已知限定的范围，则存在这样的点或线，否则不存在．
（2）动点中最值问题：
空间中几何体中的某些对象，如点、线、面，在约束条件下运动，带动相关的线段长度、体积等发生变
化，进而就有了面积与体积有关的最值问题.
①定性分析：在空间几何体的变化过程中，通过观察动点的位置问题，确定其相关量的变化规律进而发
现相关面积或体积的变化规律，求得其最大值或最小值.
②定量分析：将所求问题转化为某一个相关量的问题，即转化为关于其中一个量的函数，求其最大值或
最小值的问题.根据具体情况，有函数法、不等式法、三角函数法等.
经典例题
21. 如图，在四棱锥中，侧面底面， 是底面正方形内的一个动点，
且满足，是等边三角形，则点 在底面上的轨迹为（ ）．
A.B.
C.D.
巩固练习
22. 如图，正方体中， 为平面内一动点，且点 到和 的距离相
等，则 点的轨迹是下图中的（ ） ．
A.B.
C.D.
经典例题
23. 如图，正方体
的棱长为 ，点 在正方形
边界及其内部运动．平面区域
由所有满足的点 组成，则 的面积是，四面体的体积的最大值
是．
巩固练习
24. 如图，正方体的棱长为 ，点 是面内任意一点，则四棱锥
的体积为（ ）．
A.B.C.D.
经典例题
25. 如图，在棱长为 的正方体中，点 ， 是棱 ， 的中点， 是底面
上（含边界）一动点，满足，则线段长度的取值范围是（ ）．
A.B.
C.D.
巩固练习
26. 已知正方体
的棱长为 ， ， 分别是棱 ，
的中点，动点 在正方形
（包括边界）内运动．若面，则线段的长度范围是（ ）．
A.B.
C.D.
7. 综合问题
经典例题
27. 在正方体 中， 是棱 的中点， 是侧面内的动点，且与平面的垂线垂
直，如图所示，下列说法不. 正. 确. 的是（ ）．
A.
B.
点 的轨迹是一条线段与 是异面直线
C.
D.
与
三棱锥
不可能平行
的体积为定值
巩固练习
28. 如图所示，直线 垂直于⊙ 所在的平面，内接于⊙ ，且 为⊙ 的直径，点 为线段
的中点，现有结论：①；②平面；③点 到平面的距离等于线段 的
长，其中正确的是（ ）．
A. ①②B. ①②③C. ①D. ②③
经典例题
29. 如图，正方体的棱长为 ，线段上有两个动点 、 ，且，则下
列结论中正确的是（ ）．
A.
B. C. D.
平面
三棱锥
的面积与
的体积为定值
的面积相等
巩固练习
30. 如图，点 是正方体的棱的中点，点 在线段上运动，则下列结论
正确的是（ ）．
A.
B.
直线 与直线
存在点 ，使得
始终是异面直线
C.
D.
四面体
当
的体积为定值
时，平面
平面
三、 思维导图
你学会了吗？画出思维导图总结本课所学吧！
四、 出门测
31. 如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中直线 与 的位置关系为（ ）．
A. 相交B. 平行C. 异面但不垂直D. 异面而且垂直
32. 如图，用小刀切一块长方体橡皮的一个角，在棱 、、 上的截点分别是 、 、 ，则截
面（ ）．
A. 一定是等边三角形 B. 一定是钝角三角形 C. 一定是锐角三角形 D. 一定是直角三角形
33. 如图，四边形是边长为 的正方形，平面，平面，
，在线段 上有两个动点 ， ．且，点 在线段 上运动．给出下列
四个命题：
①
；
②平面平面；
③直线 ， 相交；
④三棱锥的体积是定值．
其中所有真命题的序号是．
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