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人教A版（2019）高中数学必修二讲义12概率初步
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这是一份人教A版（2019）高中数学必修二讲义12概率初步，文件包含概率初步-讲义教师版docx、概率初步-讲义学生版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共40页， 欢迎下载使用。
概率初步 一、 课堂目标1．掌握事件的相关概念以及事件的关系和运算．2．掌握古典概型的概率公式，并结合枚举的思想计算事件的概率．3．掌握概率的基本性质并利用其完成概率的相关运算．4．掌握频率与概率的意义以及二者的区别与联系．二、 知识讲解1. 事件的相关概念知识精讲（1）随机试验我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母 表示．我们一般研究的是具有以下特点的随机试验：①试验可以在相同条件下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果．（2）有限样本空间①样本点：随机试验 的每个可能的基本结果称为样本点．②样本空间：全体样本点的集合称为试验 的样本空间（sample space）．③有限样本空间：一般地，我们用 表示样本空间，用ω表示样本点．在本章中，我们只讨论 为有限集 的情况．如果一个随机试验有 个可能结果ω ， ω ， ， ωω ， ω ， ， ω 为有限样本空间．（3）随机事件，则称样本空间 ①随机事件（事件）：一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示．为了叙述方便，我们将样本空间 的子集称为随机事件（random event），简称事件．②基本事件：把只包含一个样本点的事件称为基本事件（elementary event）． 随机事件一般用大写字母为事件 发生．， ， ，表示．在每次试验中，当且仅当 中某个样本点出现时，称 ③必然事件： 作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以 总会发生，我们称 为必然事件．④不可能事件：空集 不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称 为不可能事件．经典例题1. 下列随机事件中，随机试验各指什么？试写出它们的样本空间．（ 1 ）抛掷两枚质地均匀的硬币． （ 2 ）从集合 中任取 个元素，组成集合 的子集． 巩固练习2. 先后投掷三枚硬币，观察正反面出现的情况，出现正面记为 ，出现反面记为 ，则这一事件的样本 空间为 ． 经典例题3. 下面给出五个事件：①某地 月 日下雪； ②函数 （ ，且 ）在定义域上是增函数； ③实数的绝对值不小于 ；④标准大气压下，水在 时会结冰； ⑤ ， ， ． 其中必然事件是 ；不可能事件是 ；随机事件是 ．（填序号） 巩固练习4. 给出下列四个命题：①“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件 ②“当 为某一实数时可使 ”是不可能事件 ③“明天兰州要下雨”是必然事件④“从 个灯泡中取出 个， 个都是次品”是随机事件，其中正确命题的序号是． 2. 事件的关系和运算知识精讲 （1）事件的包含关系 定义一般地，若事件 发生，则事件 一定发生，就称事件 包含事件 （或事件 包含于事件 ）． 符号 （或 ） 图示 ①不可能事件记作 ，显然 （ 为任一事 注意事项件）；②事件 也包含于事件 ，即 ；③事件 包含事件 ，其含义就是事件 发生，事件 一定发生，而事件 发生，事件 不一定发生． （2）事件的相等关系 一般地，如果事件 包含事件 ，事件 也包含事 定义 件 ，即 ，且 ，则称事件 与事件 相等． 符号图示（ ） 注意事项①两个相等事件总是同时发生或同时不发生；②所谓 ，就是 ， 是同一事件；③在验证两个事件是否相等时，常用到事件相等的定义． （3）事件的并（或和） 定义一般地，事件 与事件 至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件 中，或者在事件中，我们称这个事件为事件 与事件 的并事件（或和事件）． 符号 （或 ） 图示 注意事项① ；②例如，在挪骰子试验中，事件出现 点， 点这两个事件，则点或 点 }．，分别表示{ 出现 （4）事件的交（或积） 定义一般地，事件 与事件 同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件 中，也在事件 中，我们称这样的一个事件为事件 与事件 的交事件（或积事件）． 符号 （或 ） 图示 注意事项① ；②例如，挪一枚骰子，事件 { 出现的点数为奇数 } { 出现的点数为偶数 } ． （5）互斥事件和对立事件 一般地，如果事件 与事件 不 能同时发生，也就是说 是 定义一个不可能事件，即，则称事件 与事件 互斥（或互不相容）． 符号 互斥事件 图示 例如，在挪骰子试验中，记 注意事项 { 出现 点 } ， { 出现 点 } ，则 与 互斥．一般地，如果事件 和事件 在任何一次试验中有且仅有一个发 定义生，即，且，那么称事件 与事 件 互为对立． 对立事件符号图示 注意事项 的对立事件一般记作 ． 知识点睛（1）证明事件 与事件 相等（），即证明：，且． （2）若事件 的对立事件为事件 ，则 ． 经典例题 5. 事件 与事件 的关系如图所示，则（ ）． A. B. C. 与 互斥 D. 与 互为对立事件 6. 从装有 个红球和 个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是( ) A. 恰好有一个黑球与恰好有两个红球 B. 至少有一个黑球与至少有一个红球 C. 至少有一个黑球与都是黑球 D. 至少有一个黑球与都是红球 巩固练习7. 一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（ ）． A. 至多有一次中靶 B. 只有一次中靶 C. 两次都中靶 D. 两次都不中靶 8. 袋中装有大小和质地相同的 个红球 个白球和 个黑球，从中任取 个，则互斥而不对立的两个事件是（ ）． A. B. C. D.至少有 个白球；都是白球至少有 个白球；至少有 个红球至少有 个白球； 个红球 个黑球恰有 个白球； 个白球 个黑球 3. 古典概型知识精讲（1）事件的概率对随机事件发生可能性大小的度量（数值）称为事件的概率，事件 的概率用表示． （2）古典概型的定义考察一些试验，它们具有如下共同特征：①有限性：样本空间的样本点只有有限个；②等可能性：每个样本点发生的可能性相等．将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型．（3）古典概型的概率公式一般地，设试验 是古典概型，样本空间 包含 个样本点，事件 包含其中的 个样本点，则定义事件 的概率： ． 其中， 和 分别表示事件 和样本空间 包含的样本点个数． 经典例题9. 从 ， ， ， ， 中任取一个数，它是偶数或能被 整除的数的概率为（ ）． A. B. C. D. 10. 从分别写有 ， ， ， ， 的 张卡片中随机抽取 张，放回后再随机抽取 张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（ ）． A. B. C. D. 巩固练习11. 柜子里有 双不同的鞋子，随机地取出 只，则取出的 只鞋子刚好成对的概率为． 12. 在大小相同的 个球中， 个是红球， 个是白球，若从中任取 个，则所取的 个球中至少有一个红 球的概率是 ． 4. 概率的基本性质知识精讲一般地，概率有如下性质：性质1 ：对任意的事件 ，都有 ．性质2 ：必然事件的概率为 ，不可能事件的概率为 ，即性质3 ：如果事件 与事件 互斥，那么互斥事件的概率加法公式可以推广到多个事件的情况．如果事件， ．．， ， ，两两互斥，那么 事件发生的概率等于这 个事件分别发生的概率之和，即． 性质4： 如果事件 与事件 互为对立事件，那么性质5 ：如果 ，那么 ．性质6 ：设 ， 是一个随机试验中的两个事件，我们有知识点睛，．. ①在概率基本性质中，需要注意的是必然事件发生的概率为 ，不可能事件发生的概率为 ，反过来并不成立，即概率为 的事件不一定是必然事件，而概率为 的事件不一定是不可能事件，这点在几何概型中我们会加以说明． ②互斥事件的概率的加法公式中的条件“事件 与事件 互斥”不可去掉，否则就变为一般事件的概率的加 法公式，即 ．当 与 互斥时， ， ，可见 互斥事件的概率加法公式满足一般事件的概率加法公式．经典例题 13. 若 ， 是互斥事件， ， ，则 ． 14. 掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率均为 ，事件 表示“出现小于 的偶数点”，事件 表示“出现 小于 的点数”，则一次试验中，事件 （ 表示事件 的对立事件)发生的概率为 ． 巩固练习15. 从 名男同学和 名女同学中任选 名同学参加志愿者服务，则选出的 名同学中至少有 名女同学的 概率是 ． 16. 抛掷一枚质地均匀的骰子（六个面上的点数分别为 ， ， ， ， ， )，事件 为“正面朝上的点数 为 ”，事件 为“正面朝上的点数为偶数”，则 ． 5. 事件的相互独立性知识精讲（1）两个事件相互独立的定义对任意两个事件 与 ，如果成立，则称事件 与事件 相互独立，简称为独立． 一般地，当事件 ， 相互独立时， 与 与 ， 与 也相互独立． （2）相互独立事件与互斥事件的区别 相互独立事件 互斥事件 概念如果事件 （或 ）是否发生对事件 （或 ）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫作相互独立事件．不可能同时发生的两个事件叫作互斥事件． 符号计算公式相互独立事件 ，记作：同时发生，互斥事件记作：，中有一个发生，（或 ） 知识点睛（1） 两个事件相互独立性判定的一般步骤 第一步：求出试验的样本空间，确定 ； 第二步：分别求出事件第三步：求出 ，第四步：验算，与的集合并确定， ；是否相等；，； 第五步：依据验算作出结论．（2）应用相互独立事件的概率乘法公式求概率的解题步骤第一步：确定各事件是相互独立的；第二步：确定各事件会同时发生；第三步：先求每个事件发生的概率，再求其积．（3）求复杂事件概率的一般步骤第一步：确定事件的性质，把问题化归为古典概型、互斥事件，相互性独立事件，三种问题中的某一种； 第二步：运用古典概型： ；互斥事件： ； 独立事件： 等公式求简单事件的概率； 第三步：将复杂事件利用基本事件的关系用简单事件表示；第四步：综合运用公式求出结论．注意：①解答概率综合问题时，一般“大化小”，即将问题划分为若干个彼此互斥的事件，然后运用概率的加法公式和乘法公式来求解，在运用乘法公式时一定要注意是否满足彼此独立，只有彼此独立才能运用乘法公式．最后利用互斥事件概率的可加性，得到最终结果．②在求事件的概率时，有时遇到求“至少……”或“至多……”等事件概率的问题，如果从正面考查这些问题，它们是诸多事件的和或积，求解过程繁琐，但“至少……”“至多……”这些事件的对立事件却往往很简单，其概率也易求出，此时，可逆向思考，先求其对立事件的概率，再利用概率的和与积的互补公式求得原来事件的概率．这是“正难则反”思想的具体体现．经典例题17. 加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为 、 、 ，且各道工 序互不影响，则加工出来的零件的次品率为 ． 巩固练习 18. 三个人独立地破译一个密码， 他们能单独译出的概率分别为 ， ， ，假设他们破译密码是彼此独立的，则此密码被破译出的概率为（ ）． A. B. C. D. 不确定 19. 已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为 和 ，假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都 落入盒子的概率为 ，甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为 ． 经典例题20. 甲、乙、丙 位学生用电脑学习数学，每天上课后独立完成 道自我检测题，甲答题及格的概率为，乙答题及格的概率为 ，丙答题及格的概率为 ， 人各答题 次，则 人中只有 人答题及格的概率为（ ）． A. B. C. D. 以上全不对 巩固练习21. 两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为 和 ，两个零件是否加工为一等品相 互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( ) A. B. C. D. 6. 频率与概率知识精讲（1）频率的稳定性大量试验表明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件 发生的频率具有随机性．一般地，随着 试验次数 的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件 发生的频率 会逐渐稳定于事件 发生的 概率 ．我们称频率的这个性质为频率的稳定性．因此，我们可以用频率 估计概率 ． （2）频率与概率的关系①区别：频率是利用频数 除以总试验次数 所得到的确定的数值，而概率是频率的稳定值，因此频率是一个精确值，而概率是一个估计值，根据这两点来区分频率与概率，从而判断所给的数值是频率还是概率．②联系：随机事件的频率，指此事件发生的次数与试验总次数的比值，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种摆动幅度越来越小．我们给这个常数取一个名字，叫作这个随机事件的概率．概率可看作频率在理论上的期望值，它从数值上反映了随机事件发生的可能性的大小．频率在大量重复试验的前提下可近似地作为这个事件的概率． （3）随机模拟随机数与伪随机数例如我们要产生 ~ 之间的随机整数，像彩票摇奖那样，把 个质地和大小相同的号码球放入摇奖器中，充分搅拌后摇出一个球，这个球上的号码就称为随机数．计算器或计算机产生的随机数是按照确定的算法产生的数，具有周期性（周期很长），它们具有类似随机数的性质．因此，计算器或计算机产生的随机数不是真正的随机数，我们称它们为伪随机数．随机数产生的方法①抽签法：保证机会相等，但是耗费大量的人力物力．②用计算器或计算机产生：操作简单，省时省力；由于是伪随机数，不能保证等可能性．知识点睛（1）由频率估计随机事件的概率①频率与概率的联系在实际问题中，某些随机事件的概率往往难以确切得到，因此，我们常常通过做大量的重复试验，用随机事件发生的频率作为它的概率的估计值．②“频率”与“概率”之间的区别．频率随着试验次数的变化而变化，概率却是一个常数，它是频率在理论上的期望值，它在数量上反映了随机事件发生的可能性的大小．特别提醒：（i）求一个事件的概率的基本方法是做大量的重复试验；（ii）只有频率在某个常数附近摆动时，这个常数才叫作事件 发生的概率；（iii）概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值．③在由频率估计概率时，频率的计算公式是一个比值的形式．试验次数越多，得到的频率值越接近于概率．④概率意义上的“可能性”是大量随机事件的客观规律，与我们日常所说的“可能”“估计”是不同的．（2）随机模拟法求概率用随机模拟的方法估计概率的方法：用计算机或计算器模拟试验的方法称为随机模拟法，我们称利用随机模拟解决问题的方法为蒙特卡洛方法．①随机模拟法估计概率的基本思想：随机模拟法是通过将一次试验所有可能发生的结果数字化，用计算机或计算器产生的随机数来替代每次试验的结果．其基本思想是：用产生整数值随机数的频率估计事件发生的概率．②随机模拟法的优点：不需要对试验进行具体操作，是一种简单，实用的科研方法，可以广泛地应用到生产生活的各个领域中去． ③利用随机模拟法估计概率的思路：用随机模拟法估计概率的关键是用相应的整数表示试验的结果，然后按实际需要将所得的随机数分为若干个一组（比如试验要求随机抽取三个球，就三个数据一组），明 晰所求事件的特点后去找符合要求的数据组，所求概率的近似值即符合要求的数据组数随机数的总组数． 经典例题22. 下列说法中，正确的有（填序号）． ①频率反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性的大小． ②做 次随机试验，事件 发生 次，则事件 发生的概率是 ． ③某事件发生次数的百分率是频率，但不是概率．④频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值．23. 九华山是著名的旅游胜地．气象部门预测 月 日后连续四天，每天下雨的概率为 ．现用随机模 拟的方法估计四天中恰有三天下雨的概率：在 十个整数值中，假定 ， ， ， ， ， 表示当天 下雨， ， ， ， 表示当天不下雨．在随机数表中从某位置按从左到右的顺序读取如下 组四位随机数：据此估计四天中恰有三天下雨的概率为（ ）． A. B. C. D. 巩固练习24. 在一次掷硬币试验中，掷次，其中有次正面朝上，则出现正面朝上的频率是， 据此，掷一枚硬币，正面朝上的概率是 ． 25. 下表是某批乒乓球质量的检查结果：抽取球数优等品数优等品频率（ 1 ）在上表中填上优等品的频率（结果保留到小数点后两位）．（ 2 ）试估计该批乒乓球优等品的概率． 三、 思维导图你学会了吗？画出思维导图总结本课所学吧！四、 出门测 26. 已知随机事件 ， ， 中， 与 互斥， 与 对立，且 ， ，则 （ ）． A. B. C. D. 27. 在一次随机试验中，事件 ， ， 彼此互斥，它们的和为必然事件，则下列说法正确的是（ ）． A. B. C.与 是互斥事件，也是对立事件与 是互斥事件，也是对立事件与 是互斥事件，但不是对立事件 D. 与 是互斥事件，也是对立事件 28. 把一枚质地均匀的硬币连续抛掷 次，其中有 次正面朝上， 次反面朝上，则硬币正面朝上 的频率为 ，掷一次硬币正面朝上的概率为 ． 29. 甲、乙两人各投篮 次，设甲的命中率是 ，乙的命中率是 ．求：（ 1 ）两人都命中的概率．（ 2 ）至少一人命中的概率． （ 3 ）恰有一人命中的概率．13
概率初步 一、 课堂目标1．掌握事件的相关概念以及事件的关系和运算．2．掌握古典概型的概率公式，并结合枚举的思想计算事件的概率．3．掌握概率的基本性质并利用其完成概率的相关运算．4．掌握频率与概率的意义以及二者的区别与联系．二、 知识讲解1. 事件的相关概念知识精讲（1）随机试验我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母 表示．我们一般研究的是具有以下特点的随机试验：①试验可以在相同条件下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果．（2）有限样本空间①样本点：随机试验 的每个可能的基本结果称为样本点．②样本空间：全体样本点的集合称为试验 的样本空间（sample space）．③有限样本空间：一般地，我们用 表示样本空间，用ω表示样本点．在本章中，我们只讨论 为有限集 的情况．如果一个随机试验有 个可能结果ω ， ω ， ， ωω ， ω ， ， ω 为有限样本空间．（3）随机事件，则称样本空间 ①随机事件（事件）：一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示．为了叙述方便，我们将样本空间 的子集称为随机事件（random event），简称事件．②基本事件：把只包含一个样本点的事件称为基本事件（elementary event）． 随机事件一般用大写字母为事件 发生．， ， ，表示．在每次试验中，当且仅当 中某个样本点出现时，称 ③必然事件： 作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以 总会发生，我们称 为必然事件．④不可能事件：空集 不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称 为不可能事件．经典例题1. 下列随机事件中，随机试验各指什么？试写出它们的样本空间．（ 1 ）抛掷两枚质地均匀的硬币． （ 2 ）从集合 中任取 个元素，组成集合 的子集． 巩固练习2. 先后投掷三枚硬币，观察正反面出现的情况，出现正面记为 ，出现反面记为 ，则这一事件的样本 空间为 ． 经典例题3. 下面给出五个事件：①某地 月 日下雪； ②函数 （ ，且 ）在定义域上是增函数； ③实数的绝对值不小于 ；④标准大气压下，水在 时会结冰； ⑤ ， ， ． 其中必然事件是 ；不可能事件是 ；随机事件是 ．（填序号） 巩固练习4. 给出下列四个命题：①“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件 ②“当 为某一实数时可使 ”是不可能事件 ③“明天兰州要下雨”是必然事件④“从 个灯泡中取出 个， 个都是次品”是随机事件，其中正确命题的序号是． 2. 事件的关系和运算知识精讲 （1）事件的包含关系 定义一般地，若事件 发生，则事件 一定发生，就称事件 包含事件 （或事件 包含于事件 ）． 符号 （或 ） 图示 ①不可能事件记作 ，显然 （ 为任一事 注意事项件）；②事件 也包含于事件 ，即 ；③事件 包含事件 ，其含义就是事件 发生，事件 一定发生，而事件 发生，事件 不一定发生． （2）事件的相等关系 一般地，如果事件 包含事件 ，事件 也包含事 定义 件 ，即 ，且 ，则称事件 与事件 相等． 符号图示（ ） 注意事项①两个相等事件总是同时发生或同时不发生；②所谓 ，就是 ， 是同一事件；③在验证两个事件是否相等时，常用到事件相等的定义． （3）事件的并（或和） 定义一般地，事件 与事件 至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件 中，或者在事件中，我们称这个事件为事件 与事件 的并事件（或和事件）． 符号 （或 ） 图示 注意事项① ；②例如，在挪骰子试验中，事件出现 点， 点这两个事件，则点或 点 }．，分别表示{ 出现 （4）事件的交（或积） 定义一般地，事件 与事件 同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件 中，也在事件 中，我们称这样的一个事件为事件 与事件 的交事件（或积事件）． 符号 （或 ） 图示 注意事项① ；②例如，挪一枚骰子，事件 { 出现的点数为奇数 } { 出现的点数为偶数 } ． （5）互斥事件和对立事件 一般地，如果事件 与事件 不 能同时发生，也就是说 是 定义一个不可能事件，即，则称事件 与事件 互斥（或互不相容）． 符号 互斥事件 图示 例如，在挪骰子试验中，记 注意事项 { 出现 点 } ， { 出现 点 } ，则 与 互斥．一般地，如果事件 和事件 在任何一次试验中有且仅有一个发 定义生，即，且，那么称事件 与事 件 互为对立． 对立事件符号图示 注意事项 的对立事件一般记作 ． 知识点睛（1）证明事件 与事件 相等（），即证明：，且． （2）若事件 的对立事件为事件 ，则 ． 经典例题 5. 事件 与事件 的关系如图所示，则（ ）． A. B. C. 与 互斥 D. 与 互为对立事件 6. 从装有 个红球和 个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是( ) A. 恰好有一个黑球与恰好有两个红球 B. 至少有一个黑球与至少有一个红球 C. 至少有一个黑球与都是黑球 D. 至少有一个黑球与都是红球 巩固练习7. 一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（ ）． A. 至多有一次中靶 B. 只有一次中靶 C. 两次都中靶 D. 两次都不中靶 8. 袋中装有大小和质地相同的 个红球 个白球和 个黑球，从中任取 个，则互斥而不对立的两个事件是（ ）． A. B. C. D.至少有 个白球；都是白球至少有 个白球；至少有 个红球至少有 个白球； 个红球 个黑球恰有 个白球； 个白球 个黑球 3. 古典概型知识精讲（1）事件的概率对随机事件发生可能性大小的度量（数值）称为事件的概率，事件 的概率用表示． （2）古典概型的定义考察一些试验，它们具有如下共同特征：①有限性：样本空间的样本点只有有限个；②等可能性：每个样本点发生的可能性相等．将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型．（3）古典概型的概率公式一般地，设试验 是古典概型，样本空间 包含 个样本点，事件 包含其中的 个样本点，则定义事件 的概率： ． 其中， 和 分别表示事件 和样本空间 包含的样本点个数． 经典例题9. 从 ， ， ， ， 中任取一个数，它是偶数或能被 整除的数的概率为（ ）． A. B. C. D. 10. 从分别写有 ， ， ， ， 的 张卡片中随机抽取 张，放回后再随机抽取 张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（ ）． A. B. C. D. 巩固练习11. 柜子里有 双不同的鞋子，随机地取出 只，则取出的 只鞋子刚好成对的概率为． 12. 在大小相同的 个球中， 个是红球， 个是白球，若从中任取 个，则所取的 个球中至少有一个红 球的概率是 ． 4. 概率的基本性质知识精讲一般地，概率有如下性质：性质1 ：对任意的事件 ，都有 ．性质2 ：必然事件的概率为 ，不可能事件的概率为 ，即性质3 ：如果事件 与事件 互斥，那么互斥事件的概率加法公式可以推广到多个事件的情况．如果事件， ．．， ， ，两两互斥，那么 事件发生的概率等于这 个事件分别发生的概率之和，即． 性质4： 如果事件 与事件 互为对立事件，那么性质5 ：如果 ，那么 ．性质6 ：设 ， 是一个随机试验中的两个事件，我们有知识点睛，．. ①在概率基本性质中，需要注意的是必然事件发生的概率为 ，不可能事件发生的概率为 ，反过来并不成立，即概率为 的事件不一定是必然事件，而概率为 的事件不一定是不可能事件，这点在几何概型中我们会加以说明． ②互斥事件的概率的加法公式中的条件“事件 与事件 互斥”不可去掉，否则就变为一般事件的概率的加 法公式，即 ．当 与 互斥时， ， ，可见 互斥事件的概率加法公式满足一般事件的概率加法公式．经典例题 13. 若 ， 是互斥事件， ， ，则 ． 14. 掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率均为 ，事件 表示“出现小于 的偶数点”，事件 表示“出现 小于 的点数”，则一次试验中，事件 （ 表示事件 的对立事件)发生的概率为 ． 巩固练习15. 从 名男同学和 名女同学中任选 名同学参加志愿者服务，则选出的 名同学中至少有 名女同学的 概率是 ． 16. 抛掷一枚质地均匀的骰子（六个面上的点数分别为 ， ， ， ， ， )，事件 为“正面朝上的点数 为 ”，事件 为“正面朝上的点数为偶数”，则 ． 5. 事件的相互独立性知识精讲（1）两个事件相互独立的定义对任意两个事件 与 ，如果成立，则称事件 与事件 相互独立，简称为独立． 一般地，当事件 ， 相互独立时， 与 与 ， 与 也相互独立． （2）相互独立事件与互斥事件的区别 相互独立事件 互斥事件 概念如果事件 （或 ）是否发生对事件 （或 ）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫作相互独立事件．不可能同时发生的两个事件叫作互斥事件． 符号计算公式相互独立事件 ，记作：同时发生，互斥事件记作：，中有一个发生，（或 ） 知识点睛（1） 两个事件相互独立性判定的一般步骤 第一步：求出试验的样本空间，确定 ； 第二步：分别求出事件第三步：求出 ，第四步：验算，与的集合并确定， ；是否相等；，； 第五步：依据验算作出结论．（2）应用相互独立事件的概率乘法公式求概率的解题步骤第一步：确定各事件是相互独立的；第二步：确定各事件会同时发生；第三步：先求每个事件发生的概率，再求其积．（3）求复杂事件概率的一般步骤第一步：确定事件的性质，把问题化归为古典概型、互斥事件，相互性独立事件，三种问题中的某一种； 第二步：运用古典概型： ；互斥事件： ； 独立事件： 等公式求简单事件的概率； 第三步：将复杂事件利用基本事件的关系用简单事件表示；第四步：综合运用公式求出结论．注意：①解答概率综合问题时，一般“大化小”，即将问题划分为若干个彼此互斥的事件，然后运用概率的加法公式和乘法公式来求解，在运用乘法公式时一定要注意是否满足彼此独立，只有彼此独立才能运用乘法公式．最后利用互斥事件概率的可加性，得到最终结果．②在求事件的概率时，有时遇到求“至少……”或“至多……”等事件概率的问题，如果从正面考查这些问题，它们是诸多事件的和或积，求解过程繁琐，但“至少……”“至多……”这些事件的对立事件却往往很简单，其概率也易求出，此时，可逆向思考，先求其对立事件的概率，再利用概率的和与积的互补公式求得原来事件的概率．这是“正难则反”思想的具体体现．经典例题17. 加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为 、 、 ，且各道工 序互不影响，则加工出来的零件的次品率为 ． 巩固练习 18. 三个人独立地破译一个密码， 他们能单独译出的概率分别为 ， ， ，假设他们破译密码是彼此独立的，则此密码被破译出的概率为（ ）． A. B. C. D. 不确定 19. 已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为 和 ，假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都 落入盒子的概率为 ，甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为 ． 经典例题20. 甲、乙、丙 位学生用电脑学习数学，每天上课后独立完成 道自我检测题，甲答题及格的概率为，乙答题及格的概率为 ，丙答题及格的概率为 ， 人各答题 次，则 人中只有 人答题及格的概率为（ ）． A. B. C. D. 以上全不对 巩固练习21. 两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为 和 ，两个零件是否加工为一等品相 互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( ) A. B. C. D. 6. 频率与概率知识精讲（1）频率的稳定性大量试验表明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件 发生的频率具有随机性．一般地，随着 试验次数 的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件 发生的频率 会逐渐稳定于事件 发生的 概率 ．我们称频率的这个性质为频率的稳定性．因此，我们可以用频率 估计概率 ． （2）频率与概率的关系①区别：频率是利用频数 除以总试验次数 所得到的确定的数值，而概率是频率的稳定值，因此频率是一个精确值，而概率是一个估计值，根据这两点来区分频率与概率，从而判断所给的数值是频率还是概率．②联系：随机事件的频率，指此事件发生的次数与试验总次数的比值，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种摆动幅度越来越小．我们给这个常数取一个名字，叫作这个随机事件的概率．概率可看作频率在理论上的期望值，它从数值上反映了随机事件发生的可能性的大小．频率在大量重复试验的前提下可近似地作为这个事件的概率． （3）随机模拟随机数与伪随机数例如我们要产生 ~ 之间的随机整数，像彩票摇奖那样，把 个质地和大小相同的号码球放入摇奖器中，充分搅拌后摇出一个球，这个球上的号码就称为随机数．计算器或计算机产生的随机数是按照确定的算法产生的数，具有周期性（周期很长），它们具有类似随机数的性质．因此，计算器或计算机产生的随机数不是真正的随机数，我们称它们为伪随机数．随机数产生的方法①抽签法：保证机会相等，但是耗费大量的人力物力．②用计算器或计算机产生：操作简单，省时省力；由于是伪随机数，不能保证等可能性．知识点睛（1）由频率估计随机事件的概率①频率与概率的联系在实际问题中，某些随机事件的概率往往难以确切得到，因此，我们常常通过做大量的重复试验，用随机事件发生的频率作为它的概率的估计值．②“频率”与“概率”之间的区别．频率随着试验次数的变化而变化，概率却是一个常数，它是频率在理论上的期望值，它在数量上反映了随机事件发生的可能性的大小．特别提醒：（i）求一个事件的概率的基本方法是做大量的重复试验；（ii）只有频率在某个常数附近摆动时，这个常数才叫作事件 发生的概率；（iii）概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值．③在由频率估计概率时，频率的计算公式是一个比值的形式．试验次数越多，得到的频率值越接近于概率．④概率意义上的“可能性”是大量随机事件的客观规律，与我们日常所说的“可能”“估计”是不同的．（2）随机模拟法求概率用随机模拟的方法估计概率的方法：用计算机或计算器模拟试验的方法称为随机模拟法，我们称利用随机模拟解决问题的方法为蒙特卡洛方法．①随机模拟法估计概率的基本思想：随机模拟法是通过将一次试验所有可能发生的结果数字化，用计算机或计算器产生的随机数来替代每次试验的结果．其基本思想是：用产生整数值随机数的频率估计事件发生的概率．②随机模拟法的优点：不需要对试验进行具体操作，是一种简单，实用的科研方法，可以广泛地应用到生产生活的各个领域中去． ③利用随机模拟法估计概率的思路：用随机模拟法估计概率的关键是用相应的整数表示试验的结果，然后按实际需要将所得的随机数分为若干个一组（比如试验要求随机抽取三个球，就三个数据一组），明 晰所求事件的特点后去找符合要求的数据组，所求概率的近似值即符合要求的数据组数随机数的总组数． 经典例题22. 下列说法中，正确的有（填序号）． ①频率反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性的大小． ②做 次随机试验，事件 发生 次，则事件 发生的概率是 ． ③某事件发生次数的百分率是频率，但不是概率．④频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值．23. 九华山是著名的旅游胜地．气象部门预测 月 日后连续四天，每天下雨的概率为 ．现用随机模 拟的方法估计四天中恰有三天下雨的概率：在 十个整数值中，假定 ， ， ， ， ， 表示当天 下雨， ， ， ， 表示当天不下雨．在随机数表中从某位置按从左到右的顺序读取如下 组四位随机数：据此估计四天中恰有三天下雨的概率为（ ）． A. B. C. D. 巩固练习24. 在一次掷硬币试验中，掷次，其中有次正面朝上，则出现正面朝上的频率是， 据此，掷一枚硬币，正面朝上的概率是 ． 25. 下表是某批乒乓球质量的检查结果：抽取球数优等品数优等品频率（ 1 ）在上表中填上优等品的频率（结果保留到小数点后两位）．（ 2 ）试估计该批乒乓球优等品的概率． 三、 思维导图你学会了吗？画出思维导图总结本课所学吧！四、 出门测 26. 已知随机事件 ， ， 中， 与 互斥， 与 对立，且 ， ，则 （ ）． A. B. C. D. 27. 在一次随机试验中，事件 ， ， 彼此互斥，它们的和为必然事件，则下列说法正确的是（ ）． A. B. C.与 是互斥事件，也是对立事件与 是互斥事件，也是对立事件与 是互斥事件，但不是对立事件 D. 与 是互斥事件，也是对立事件 28. 把一枚质地均匀的硬币连续抛掷 次，其中有 次正面朝上， 次反面朝上，则硬币正面朝上 的频率为 ，掷一次硬币正面朝上的概率为 ． 29. 甲、乙两人各投篮 次，设甲的命中率是 ，乙的命中率是 ．求：（ 1 ）两人都命中的概率．（ 2 ）至少一人命中的概率． （ 3 ）恰有一人命中的概率．13
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