人教A版 (2019)选择性必修 第二册第四章 数列4.2 等差数列优秀课件ppt

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高考政策|高中“新”课程，新在哪里?
1、科目变化：外语语种增加，体育与健康必修。第一，必修课程，由国家根据学生全面发展需要设置，所有学生必须全部修习、全部考试。第二，选择性必修课程，由国家根据学生个性发展和升学考试需要设置。第三，选修课程，由学校根据实际情况统筹规划开设，学生自主选择修习。2、课程类别变化，必修课程、选择性必修课程将成为高考考查范围。在毕业总学分不变的情况下，对原必修课程学分进行重构，由必修课程学分、选择性必修课程学分组成，适当增加选修课程学分。3、学时和学分变化，高中生全年假期缩减到11周。4、授课方式变化，选课制度将全面推开。5、考试方式变化，高考统考科目由教育部命题，学业水平合格性、等级性考试由各省命题。
1.构造等差数列求和模型，解决实际问题.2.能够利用等差数列前n项和的函数性质求其前n项和的最值.3.理解并应用等差数列前n项和的性质.
一、等差数列前n项和的实际应用
二、等差数列中前n项和的最值问题
三、等差数列中的片段和问题
问题1　请同学们围绕身边的相关生活背景，发挥智慧，命制一个等差数列求和的应用题.
提示　我们学校会议室里的一排排座位；超市里摆放的水果；工地上的一堆钢管等.
例1　某单位用分期付款的方式为职工购买40套住房，共需1 150万元，购买当天先付150万元，按约定以后每月的这一天都交付50万元，并加付所有欠款利息，月利率为1%，若交付150万元后的一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第10个月应付多少钱？全部付清后，买这40套住房实际花了多少钱？
解　因购房时付150万元，则欠款1 000万元，依题意知分20次付款，则每次付款的数额依次构成数列{an}，则a1＝50＋1 000×1%＝60，a2＝50＋(1 000－50)×1%＝59.5，a3＝50＋(1 000－50×2)×1%＝59，a4＝50＋(1 000－50×3)×1%＝58.5，所以an＝50＋[1 000－50(n－1)]×1%
＝10×(60＋50.5)＝1 105.所以实际共付1 105＋150＝1 255(万元).
反思感悟　(1)本题属于与等差数列前n项和有关的应用题，其关键在于构造合适的等差数列.(2)遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知识联系，抽象出数列的模型，并用有关知识解决相关的问题，是数学建模的核心素养的体现.
跟踪训练1　《张邱建算经》卷上第22题为：今有女善织，日益功疾，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第1天织5尺布，现在一月(按30天计)共织390尺布，则每天比前一天多织____尺布(不作近似计算).
解析　由题意知，该女每天的织布尺数构成等差数列{an}，其中a1＝5，S30＝390，
问题2　根据上节课所学，等差数列前n项和公式有什么样的函数特点？
等差数列前n项和的最值(1)在等差数列{an}中，当a1>0，d<0时，Sn有最　值，使Sn取得最值的n可由不等式组________确定；当a1<0，d>0时，Sn有最　值，使Sn取得最值的n可由不等式组________确定．
例2　在等差数列{an}中，a1＝25，S8＝S18，求前n项和Sn的最大值.
解　方法一　因为S8＝S18，a1＝25，
所以当n＝13时，Sn有最大值为169.方法二　同方法一，求出公差d＝－2.所以an＝25＋(n－1)×(－2)＝－2n＋27.因为a1＝25>0，
又因为n∈N*，所以当n＝13时，Sn有最大值为169.方法三　因为S8＝S18，所以a9＋a10＋…＋a18＝0.由等差数列的性质得a13＋a14＝0.因为a1>0，所以d<0.所以a13>0，a14<0.
所以当n＝13时，Sn有最大值.由a13＋a14＝0，得a1＋12d＋a1＋13d＝0，解得d＝－2，
所以Sn的最大值为169.方法四　设Sn＝An2＋Bn.因为S8＝S18，a1＝25，
所以当n＝13时，Sn取得最大值.
所以Sn＝－n2＋26n，所以S13＝169，即Sn的最大值为169.
反思感悟　(1)等差数列前n项和Sn最大(小)值的情形①若a1>0，d<0，则Sn存在最大值，即所有非负项之和；②若a1<0，d>0，则Sn存在最小值，即所有非正项之和.(2)求等差数列前n项和Sn最值的方法①寻找正、负项的分界点，可利用等差数列性质或利用
②运用二次函数求最值.
跟踪训练2　在等差数列{an}中，a10＝18，前5项的和S5＝－15.(1)求数列{an}的通项公式；
解　设等差数列的公差为d，因为在等差数列{an}中，a10＝18，S5＝－15，
所以an＝3n－12，n∈N*.
(2)求数列{an}的前n项和的最小值，并指出何时取最小值.
解　因为a1＝－9，d＝3，an＝3n－12，
所以当n＝3或4时，前n项和Sn取得最小值为S3＝S4＝－18.
问题3　等差数列{an}的前n项和Sn，你能发现Sn与S2n的关系吗？
提示　S2n＝a1＋a2＋…＋an＋an＋1＋…＋a2n＝Sn＋(a1＋nd)＋(a2＋nd)＋…＋(an＋nd)＝2Sn＋n2d，同样我们发现S3n＝3Sn＋3n2d，这里出现了一个有意思的数列Sn，S2n－Sn＝Sn＋n2d，S3n－S2n＝Sn＋2n2d，…，是一个公差为n2d的等差数列.
1.设等差数列{an}的公差为d，Sn为其前n项和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍构成等差数列，且公差为m2d.2.若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列 也是等差数列，且公差为 .3.在等差数列中，若Sn＝m，Sm＝n，则Sm＋n＝－(m＋n).
例3　已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S10＝100，S100＝10，求S110.
解　方法一　设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，∵S10＝100，S100＝10，
方法二　∵S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90，S110－S100，…成等差数列，设公差为d，
所以S110＝－110.方法四　直接利用性质Sn＝m，Sm＝n，Sm＋n＝－(m＋n)，可知S110＝－110.
反思感悟　利用等差数列前n项和的性质简化计算(1)在解决等差数列问题时，先利用已知求出a1，d，再求所求，是基本解法，有时运算量大些.(2) 等差数列前n项和Sn的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果.(3)设而不求，整体代换也是很好的解题方法.
跟踪训练3　等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，求数列{an}的前3m项的和S3m.
解　方法一　在等差数列中，∵Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列，∴30,70，S3m－100成等差数列.∴2×70＝30＋(S3m－100)，∴S3m＝210.
即S3m＝3(S2m－Sm)＝3×(100－30)＝210.
1.知识清单：(1)等差数列前n项和的实际应用.(2)等差数列前n项和的最值问题.(3)等差数列中的片段和问题.2.方法归纳：公式法、构造法、函数法、整体代换法.3.常见误区：等差数列前n项和性质应用的前提是等差数列.
1.已知数列{an}满足an＝26－2n，则使其前n项和Sn取最大值的n的值为A.11或12 B.12 C.13 D.12或13
解析　∵an＝26－2n，∴an－an－1＝－2(n≥2，n∈N*)，∴数列{an}为等差数列.又a1＝24，d＝－2，
∵n∈N*，∴当n＝12或13时，Sn最大.
2.等差数列{an}中，S3＝3，S6＝9，则S12等于A.12 B.18 C.24 D.30
解析　根据题意，得在等差数列{an}中，S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9，…也成等差数列，又由S3＝3，S6＝9，得S6－S3＝6，则S9－S6＝9，S12－S9＝12，则S12＝S3＋(S6－S3)＋(S9－S6)＋(S12－S9)＝3＋6＋9＋12＝30.
3.《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用.在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推.在这个问题中，记这位公公的第n个儿子的年龄为an，则a1等于A.35 B.32 C.23 D.38
解析　由题意可知，九个儿子的年龄成公差d＝－3的等差数列，且九项之和为207.
解析　∵Sn是等差数列{an}的前n项和，
1.在等差数列{an}中，a1＝1，其前n项和为Sn，若 ＝2，则S10等于A.10 B.100 C.110 D.120
解析　∵{an}是等差数列，a1＝1，
2.若等差数列{an}的前m项的和Sm为20，前3m项的和S3m为90，则它的前2m项的和S2m为A.30 B.70 C.50 D.60
解析　∵等差数列{an}中，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差数列，∴2(S2m－Sm)＝Sm＋S3m－S2m，∴2(S2m－20)＝20＋90－S2m，∴S2m＝50.
3.已知数列{2n－19}，那么这个数列的前n项和SnA.有最大值且是整数 B.有最小值且是整数C.有最大值且是分数 D.无最大值和最小值
解析　易知数列{2n－19}的通项公式为an＝2n－19，∴a1＝－17，d＝2.∴该数列是递增的等差数列.
∴a14.在等差数列{an}中，Sn是其前n项和，且S2 011＝S2 018，Sk＝S2 009，则正整数k为A.2 017 B.2 018 C.2 019 D.2 020
解析　因为等差数列的前n项和Sn是关于n的二次函数，所以由二次函数的对称性及S2 011＝S2 018，Sk＝S2 009，
5.在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安四百二十里，良马初日行九十七里，日增一十五里；驽马初日行九十二里，日减一里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢.问：几日相逢？A.4日 B.3日 C.5日 D.6日
解析　由题意，可知良马第n日行程记为an，则数列{an}是首项为97，公差为15的等差数列，驽马第n日行程记为bn，则数列{bn}是首项为92，公差为－1的等差数列，则an＝97＋15(n－1)＝15n＋82，bn＝92－(n－1)＝93－n.
整理得14n2＋364n－1 680＝0，即n2＋26n－120＝0，解得n＝4(n＝－30舍去)，即4日相逢.
6.(多选)设{an}是等差数列，Sn为其前n项和，且S5S8，则下列结论正确的是A.d<0B.a7＝0C.S9>S5D.S6与S7均为Sn的最大值
解析　∵S5S8，∴a6>0，a7＝0，a8<0.∴d<0.∴S6与S7均为Sn的最大值.S9－S5＝a6＋a7＋a8＋a9＝2(a7＋a8)<0.
∴S97.已知等差数列前n项和为Sn，其中S5＝8，S8＝5，则S13＝______.
解析　由性质Sn＝m，Sm＝n，Sm＋n＝－(m＋n)可知，S13＝－13.
8.已知在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，已知S3＝9，a4＋a5＋a6＝7，则S9－S6＝____.
解析　∵S3，S6－S3，S9－S6成等差数列，而S3＝9，S6－S3＝a4＋a5＋a6＝7，∴S9－S6＝5.
9.某抗洪指挥部接到预报，24小时后有一洪峰到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线.经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用20台同型号翻斗车，平均每辆车工作24小时.从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用，每隔20分钟能有一辆翻斗车到达，一共可调集25辆，那么在24小时内能否构筑成第二道防线？
解　从第一辆车投入工作算起各车工作时间(单位：小时)依次设为a1，a2，…，a25.
而需要完成的工作量为24×20＝480.∵500>480，∴在24小时内能构筑成第二道防线.
10.已知在等差数列{an}中，a1＝9，a4＋a7＝0.(1)求数列{an}的通项公式；
解　由a1＝9，a4＋a7＝0，得a1＋3d＋a1＋6d＝0，解得d＝－2，∴an＝a1＋(n－1)·d＝11－2n.
(2)当n为何值时，数列{an}的前n项和取得最大值？
解　方法一　a1＝9，d＝－2，
＝－(n－5)2＋25，∴当n＝5时，Sn取得最大值.方法二　由(1)知a1＝9，d＝－2<0，∴{an}是递减数列.令an≥0，则11－2n≥0，
∵n∈N*，∴当n≤5时，an>0；当n≥6时，an<0.∴当n＝5时，Sn取得最大值.
解析　由等差数列的性质知S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9成等差数列，设S3＝k，S6＝4k(k≠0)，则S9＝3S6－3S3＝9k，S12＝3S9－3S6＋S3＝16k，
12.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a2＝11，＝－8，则Sn取最大值时的n为A.6 B.7 C.8 D.9
解析　设数列{an}是公差为d的等差数列，
解得d＝－2；则a1＝a2－d＝13，则Sn＝－n2＋14n＝－(n－7)2＋49，故当n＝7时，Sn取得最大值.
13.等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1>0，S4＝S9，当Sn最大时，n等于A.6 B.7 C.6或7 D.13
化简得a1＋6d＝0，所以a1＝－6d，因为a1>0，所以d<0，
因为n∈N*，所以当n＝6或n＝7时，Sn取得最大值.
14.现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为_____.
解析　由题意知钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个.
当n＝19时，S19＝190.当n＝20时，S20＝210>200.∴当n＝19时，剩余钢管根数最少，为10根.
15.已知等差数列{an}，满足a2 019＋a2 020<0，a2 019·a2 020<0，且数列{an}的前n项和Sn有最大值，那么Sn取最小正值时，n等于A.4 037 B.4 036 C.4 035 D.4 034
解析　因为数列{an}的前n项和Sn有最大值，所以数列{an}是递减的等差数列.又a2 019＋a2 020<0，a2 019·a2 020<0，所以a2 019>0>a2 020，即数列的前2 019项为正数，从第2 020项开始为负数，由等差数列求和公式和性质可知，
所以当Sn取最小正值时，n＝4 037.
16.已知{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，且S7＝7，S15＝75，求数列 的前n项和Tn.
解　设等差数列{an}的公差为d，
∵S7＝7，S15＝75，