高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质优秀课时练习

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知识点一
正弦曲线、余弦曲线
1.定义：正弦函数y＝sinx，x∈R和余弦函数y＝csx，x∈R的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线．
2.图象：如图所示．
3.正弦曲线和余弦曲线的关系
eq \x(\a\al(y＝sinx，,x∈R的图象))eq \(,\s\up10(向左平移eq \f(π,2)个单位,向右平移\f(π,2)个单位))eq \x(\a\al(y＝csx，,x∈R的图象))
知识点二
“五点法”作函数的图象
①列表：列出x,y的五组对应值表
②描点：在平面直角坐标系中描出五点
③用光滑的曲线顺次连接这五个点
知识点三
正弦、余弦及正切函数的图象与性质
正弦函数,余弦函数,正切函数的图象与性质
【特别提醒】
(1)正、余弦函数一个完整的单调区间的长度是半个周期，y＝tan x无单调递减区间，y＝tan x在整个定义域内不单调．
(2)求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，要注意A和ω的符号．尽量化成ω＞0的形式，避免出现增减区间的混淆．
知识点四
常用结论
1．对称与周期
(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是eq \f (1,4)个周期．
(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期．
2．函数具有奇、偶性的充要条件
(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数⇔φ＝kπ(k∈Z)；
(2)函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数⇔φ＝kπ＋eq \f (π,2)(k∈Z)；
(3)函数y＝Acs(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数⇔φ＝kπ＋eq \f (π,2)(k∈Z)；
(4)函数y＝Acs(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数⇔φ＝kπ(k∈Z)．
考点01 “五点法”做函数的图象
【典例1】用“五点法”作出下列函数的简图：
(1)y＝sinx－1，x∈[0,2π]；
(2)y＝2＋csx，x∈[0,2π]．
【典例2】用“五点法”画出下列函数在区间[0,2π]上的简图．
(1)y＝2－sinx；(2)y＝csx－1．
【总结提升】
用“五点法”画函数y＝Asinx＋b(A≠0)或y＝Acsx＋b(A≠0)在[0,2π]上的简图的步骤：
(1)列表：
(2)描点：在平面直角坐标系中描出下列五个点：(0，y1)，(eq \f(π,2)，y2)，(π，y3)，(eq \f(3π,2)，y4)，(2π，y5)．
(3)连线：用光滑的曲线将描出的五个点连接起来．
考点02 利用图象变换作三角函数的图象
【典例3】利用图象变换作出下列函数的简图：
(1)y＝1－csx，x∈[0,2π]；
(2)y＝|sinx|，x∈[0,4π]．
【典例4】关于三角函数的图象，有下列说法：
①y＝sin|x|与y＝sinx的图象关于y轴对称；
②y＝cs(－x)与y＝cs|x|的图象相同；
③y＝|sinx|与y＝sin(－x)的图象关于x轴对称；
④y＝csx与y＝cs(－x)的图象关于y轴对称；
其中正确说法的序号是 ．
考点03 利用图象解三角不等式
【典例5】画出正弦函数y＝sinx(x∈R)的简图，并根据图象写出y≥eq \f(1,2)时x的集合．
【典例6】观察正切曲线，解不等式tanx>1．
【规律总结】
1.用三角函数的图象解sinx>a(或csx>a)的方法
(1)作出直线y＝a，作出y＝sinx(或y＝csx)的图象．
(2)确定sinx＝a(或csx＝a)的x值．
(3)确定sinx>a(或csx>a)的解集．
2．利用三角函数线解sinx>a(或csx>a)的方法
(1)找出使sinx＝a(或csx＝a)的两个x值的终边所在的位置．
(2)根据变化趋势，确定不等式的解集．
3.解形如tanx>a的不等式的步骤
eq \x(作图象)―→eq \x(作在－\f(π,2)，\f(π,2)上的正切函数图象)
↓
eq \x(求界点)―→eq \x(求在－\f(π,2)，\f(π,2)上使tanx＝a成立的x值)
↓
eq \x(求范围)―→eq \x(求在－\f(π,2)，\f(π,2)上使tanx>a成立的x的范围)
↓
eq \x(写出解集)―→eq \x(根据正切函数的周期性，写出解集)
考点04 三角函数的定义域
【典例7】（2022上·重庆北碚·高一西南大学附中校考期末）函数的定义域为 ．
【典例8】（2023上·全国·高一专题练习）函数的定义域为 ．
【总结提升】
三角函数定义域的求法
(1)求三角函数的定义域常化为解三角不等式(组)．
(2)解三角不等式(组)时常借助三角函数的图象或三角函数线．
(3)对于函数y＝Atan(ωx＋φ)的定义域可令ωx＋φ≠kπ＋eq \f (π,2)，k∈Z求解．
考点05 三角函数的值域(最值)
【典例9】（2023上·北京顺义·高三校考阶段练习）某同学用“五点法”作函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，见下表：
(1)求函数的解析式；
(2)求在区间上的最大值和最小值．
【典例10】（2023上·全国·高一专题练习）已知函数．
(1)若，求实数的值；
(2)求的最大值．
【总结提升】
1．求形如y＝asinx＋b的函数的最值或值域时，可利用正弦函数的有界性(－1≤sinx≤1)求解．
2．对于形如y＝Asin(ωx＋φ)＋k(Aω≠0)的函数，当定义域为R时，值域为[－|A|＋k，|A|＋k]；当定义域为某个给定的区间时，需确定ωx＋φ的范围，结合函数的单调性确定值域．
3．求形如y＝asin2x＋bsinx＋c，a≠0，x∈R的函数的值域或最值时，可以通过换元，令t＝sinx，将原函数转化为关于t的二次函数，利用配方法求值域或最值，求解过程中要注意正弦函数的有界性．
4．求形如y＝eq \f(asinx＋b,csinx＋d)，ac≠0的函数的值域，可以用分离常量法求解；也可以利用正弦函数的有界性建立关于y的不等式反解出y．
综上可知，求与三角函数有关的函数的值域(或最值)的常用方法有：(1)借助于正弦函数的有界性、单调性求解；
(2)转化为关于sinx的二次函数求解．注意求三角函数的最值对应的自变量x的值时，要考虑三角函数的周期性．
考点06 三角函数的周期性
【典例11】（2023·全国·高一随堂练习）求下列函数的定义域、最小正周期：
(1)；
(2)；
(3)．
【典例12】（2023上·江苏·高一专题练习）求下列函数的周期：
(1)，；
(2)，；
(3)，．
【总结提升】
求三角函数周期的常用方法
(1)公式法求周期
①函数f (x)＝Asin(ωx＋φ)＋B与f (x)＝Acs(ωx＋φ)＋B的周期为T＝eq \f (2π,|ω|)；
②函数f (x)＝Atan(ωx＋φ)＋B的周期T＝eq \f (π,|ω|).
考点07 三角函数的单调性
【典例13】（2023上·河南郑州·高一河南省实验中学校考阶段练习）已知函数的最小正周期为.
(1)求的值；
(2)求函数单调递增区间；
(3)求在区间上的最值.
【典例14】（2023·全国·高一随堂练习）求函数的定义域、最小正周期和单调区间．
【规律方法】
三角函数单调区间的求法
(1)将函数化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acs(ωx＋φ)的形式，若ω＜0，借助诱导公式将ω化为正数．
(2)根据y＝sin x和y＝cs x的单调区间及A的正负，列不等式求解．
考点08 比较三角函数值大小
【典例15】（2023上·江苏·高一专题练习）比较下列正切值的大小：
(1)与；
(2)tan与tan．
【典例16】（2023上·全国·高一专题练习）比较下列各组数的大小：
(1)，；
(2)，.
【总结提升】
比较三角函数值大小的步骤：①异名函数化为同名函数；②利用诱导公式把角化到同一单调区间上；③利用函数的单调性比较大小．
考点09 已知单调区间求参数范围
【典例17】（2023上·江苏南通·高一统考阶段练习）已知在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【典例18】（2023上·湖北黄冈·高一校考期末）已知函数，其中.若在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【总结提升】
已知单调区间求参数范围的三种方法
（1）子集法：求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解
（2）反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解
（3）周期性法：由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过周期列不等式(组)求解.
考点10 三角函数的奇偶性
【典例19】（2023上·全国·高一专题练习）下列函数中，偶函数是（ ）
A．B．
C．D．
【典例20】（2023·全国·高一专题练习）判断下列函数的奇偶性：
(1)；
(2)；
(3).
【总结提升】
1.三角函数是奇、偶函数的充要条件
(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)：是奇函数⇔φ＝kπ(k∈Z)；偶函数⇔φ＝kπ＋eq \f (π,2)(k∈Z)；
(2)函数y＝Acs(ωx＋φ)(x∈R)：是奇函数⇔φ＝kπ＋eq \f (π,2)(k∈Z)；是偶函数⇔φ＝kπ(k∈Z)．
2．如何判断函数的奇偶性:根据三角函数的奇偶性，利用诱导公式可推得函数的奇偶性，常见的结论如下：
(1)若为偶函数，则有;若为奇函数则有；
(2)若为偶函数，则有;若为奇函数则有；
(3)若为奇函数则有.
考点11 三角函数对称轴、对称中心
【典例21】（2022上·内蒙古赤峰·高一校考期末）函数的图像关于（ ）
A．点对称B．点对称C．直线对称D．直线对称
【典例22】函数y＝3tan(2x＋eq \f(π,3))的对称中心的坐标为 ．
【总结提升】
求对称轴方程(对称中心坐标)的方法
(1)求f (x)＝Asin(ωx＋φ)图象的对称轴方程，只需对ωx＋φ＝eq \f (π,2)＋kπ(k∈Z)整理，对称中心横坐标只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求x.
(2)求f (x)＝Acs(ωx＋φ)的对称轴方程，只需对ωx＋φ＝kπ(k∈Z)整理，对称中心横坐标为ωx＋φ＝eq \f (π,2)＋kπ(k∈Z)，求x即可．
(3)求f (x)＝Atan(ωx＋φ)的对称中心的横坐标，只需对ωx＋φ＝eq \f (kπ,2)(k∈Z)，求x.
考点12 三角函数的零点问题
【典例23】设函数f(x)＝4sin(2x＋1)－x，则在下列区间中函数f(x)不存在零点的是( )
A．[－4，－2] B．[－2,0]
C．[0,2] D．[2,4]
【答案】A
【解析】[思路分析] 求f(x)的零点，可转化为函数g(x)＝4sin(2x＋1)与h(x)＝x的交点．
要求f(x)＝0，可以将f(x)的零点转化为函数
g(x)＝4sin(2x＋1)与h(x)＝x的交点．如图，g(x)和h(x)在同一坐标系中的图象．由此可知，本题选A．
【典例24】（2022上·黑龙江佳木斯·高一校考期末）若关于的方程在内有实数解，则的取值范围是
【总结提升】
将三角函数图象与方程的知识相结合，把函数零点问题转化为函数图象的交点问题，从而通过数形结合巧妙解决．
考点13 根据三角函数性质求参数
【典例25】（2023上·广东广州·高三统考阶段练习）若为奇函数，则实数（ ）
A．B．C．D．
【典例26】（2023上·广东肇庆·高三统考阶段练习）已知函数在区间上的值域为，则 .
考点14 三角函数图象和性质的综合问题
【典例27】（2022上·黑龙江佳木斯·高一校考期末）已知函数，最小正周期为
(1)求的值及的的取值集合；
(2)当时，恒成立，求实数的取值范围
【典例28】（2023上·浙江杭州·高一学军中学校考阶段练习）已知函数．
(1)求函数的最小正周期、对称中心、单调减区间；
(2)若定义在区间上的函数的最大值为6，最小值为，求实数的值．
1.（2023·天津·统考高考真题）已知函数的一条对称轴为直线，一个周期为4，则的解析式可能为（ ）
A．B．
C．D．
2.（2021年新高考I）下列区间中，函数单调递增的区间是（ ）
A．B．C．D．
3.（2020·山东·统考高考真题）小明同学用“五点法”作某个正弦型函数在一个周期内的图象时，列表如下：
根据表中数据，求：
（1）实数，，的值；
（2）该函数在区间上的最大值和最小值.
一、单选题
1.（2023上·北京朝阳·高三统考期中）函数的图象的一条对称轴是（ ）
A．B．C．D．
2.（2023·全国·高一专题练习）下列函数中是奇函数，且最小正周期是的函数是（ ）
A． B．
C．D．
3．（2023上·广东深圳·高三校考阶段练习）已知，，，，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
4．（2023上·湖南长沙·高二校考期中）已知函数，则（ ）
A．的最小正周期为
B．的图象关于直线对称
C．是偶函数
D．的单调递减区间为
5．（2023上·黑龙江牡丹江·高三校联考阶段练习）已知函数，则（ ）
A．为偶函数
B．是的一个单调递增区间
C．
D．当时，
三、填空题
6．（2022上·湖北孝感·高一校考期末）函数的定义域为 .
7．（2023上·天津河东·高三校考阶段练习）函数，函数的值域为，则 ．
8．（2023上·全国·高一专题练习）函数的最小正周期是，则 ．
四、解答题
9.（2022上·吉林四平·高一校考期末）已知函数.
(1)求函数的最小正周期；
(2)若，求的最大值和最小值.
10．（2022上·新疆乌鲁木齐·高一新疆农业大学附属中学校考期末）已知函数
(1)求函数的最小正周期；
(2)求函数的对称轴方程和对称中心；
(3)求的单调递减区间.
11．（2019下·广东清远·高一校考阶段练习）已知关于的函数（），图象的一条对称轴是.
(1)求的值；
(2)求使成立的的取值集合.
12．（2023上·广东广州·高一广州市海珠中学校考阶段练习）已知函数．
(1)求函数的最小正周期和单调递减区间；
(2)求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时的值．
性质
图象
定义域
值域
最值
当时，；当时，．
当时，；当时，．
既无最大值，也无最小值
周期性
奇偶性
,奇函数
偶函数
奇函数
单调性
在上是增函数；在上是减函数．
在上是增函数；在上是减函数．
在上是增函数．
对称性
对称中心
对称轴，既是中心对称又是轴对称图形.
对称中心
对称轴，既是中心对称又是轴对称图形.
对称中心
无对称轴，是中心对称但不是轴对称图形.
x
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3,2)π
2π
sinx或csx
0或1
1或0
0或－1
－1或0
0或1
y
y1
y2
y3
y4
y5
0
x
0
0
0
0
3
0
-3
0