数学人教A版 (2019)5.5 三角恒等变换精品当堂检测题

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知识点一
两角和与差的正弦、余弦、正切公式
1．C(α－β)：cs(α－β)＝csαcsβ＋sinαsinβ；
C(α＋β)：cs(α＋β)＝csαcs_β－sin_αsinβ；
S(α＋β)：sin(α＋β)＝sinαcsβ＋csαsinβ；
S(α－β)：sin(α－β)＝sin_αcs_β－csαsinβ；
T(α＋β)：tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)；
T(α－β)：tan(α－β)＝eq \f(tan α－tan β,1＋tan αtan β).
2．变形公式：
tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)；
.
sinαsinβ＋cs(α＋β)＝csαcsβ，
csαsinβ＋sin(α－β)＝sinαcsβ，
3.适用条件：
公式Tα±β只有在α≠eq \f(π,2)＋kπ，β≠eq \f(π,2)＋kπ，α±β≠eq \f(π,2)＋kπ(k∈Z)时才成立，否则就不成立，这是由正切函数的定义域决定的．
4．辅助角公式：
函数f(α)＝acs α＋bsin α(a，b为常数)，可以化为f(α)＝eq \r(a2＋b2)sin(α＋φ)或f(α)＝eq \r(a2＋b2)cs(α－φ)，其中φ可由a，b的值唯一确定．
知识点二
二倍角的正弦、余弦、正切公式
1.S2α：sin 2α＝2sinαcsα；
C2α：cs 2α＝cs2α－sin2α＝2cs2α－1＝1－2sin2α；
T2α：tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α).
2.变形公式：
（1）降幂公式：cs2α＝eq \f(1＋cs 2α,2)，sin2α＝eq \f(1－cs 2α,2)，sin αcs α＝eq \f (1,2)sin 2α.
（2）升幂公式
1＋cs α＝2cs2eq \f (α,2)；
1－cs α＝2sin2eq \f (α,2)；
1＋sin α＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f (α,2)＋cs \f (α,2)))eq \s\up12(2)；
1－sin α＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f (α,2)－cs \f (α,2)))eq \s\up12(2).
（3）配方变形：1＋sin 2α＝(sin α＋cs α)2,1－sin 2α＝(sin α－cs α)2
1±sinα＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2)±cs\f(α,2)))2,1＋csα＝2cs2eq \f(α,2)，1－csα＝2sin2eq \f(α,2)
（4）sin 2α＝eq \f (2sin αcs α,sin2α＋cs2α)＝eq \f (2tan α,1＋tan2α)；
cs 2α＝eq \f (cs2α－sin2α,cs2α＋sin2α)＝eq \f (1－tan2α,1＋tan2α).
tan eq \f (α,2)＝eq \f (sin α,1＋cs α)＝eq \f (1－cs α,sin α).
3．公式的适用条件：
在S2α，C2α中，α∈R，在T2α中，α≠eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,4)且α≠kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，当α＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)时，tanα不存在，求tan2α的值可采用诱导公式．
知识点三
简单的三角恒等变换
1．半角公式(不要求记忆)
sineq \f(α,2)＝±eq \r(\f(1－csα,2))，cseq \f(α,2)＝±eq \r(\f(1＋csα,2)) ，taneq \f(α,2)＝±eq \r(\f(1－csα,1＋csα)) ＝eq \f(1－csα,sinα)＝eq \f(sinα,1＋csα).符号由eq \f(α,2)所在的象限决定．
2.积化和差与和差化积
(1)积化和差公式(不要求记忆和应用)
sinαcsβ＝eq \f(1,2)[sin(α＋β)＋sin(α－β)]，
csαsinβ＝eq \f(1,2)[sin(α＋β)－sin(α－β)]，
csαcsβ＝eq \f(1,2)[cs(α＋β)＋cs(α－β)]，
sinαsinβ＝－eq \f(1,2)[cs(α＋β)－cs(α－β)]．
(2)和差化积公式(不要求记忆和应用)
sinx＋siny＝2sineq \f(x＋y,2)cseq \f(x－y,2)，
sinx－siny＝2cseq \f(x＋y,2)sineq \f(x－y,2)，
csx＋csy＝2cseq \f(x＋y,2)cseq \f(x－y,2)，
csx－csy＝－2sineq \f(x＋y,2)sineq \f(x－y,2)．
知识点四
常见变换规律
(1)角的变换：明确各个角之间的关系(包括非特殊角与特殊角、已知角与未知角)，熟悉角的变换技巧，及半角与倍角的相互转化，如：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，40°＝60°－20°，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))＝eq \f(π,2)，eq \f(α,2)＝2×eq \f(α,4)，15°＝45°－30°＝60°－45°＝eq \f(30°,2)，β＝eq \f(α＋β,2)－eq \f(α－β,2)＝(α＋2β)－(α＋β)．eq \f(π,3)－α＝eq \f(π,2)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋α))，
eq \f(π,6)－α＝eq \f(π,2)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋α))，eq \f(π,3)＋α＝π－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－α))，eq \f(π,4)＋α＝π－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)－α)).
(2)名的变换：明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦．
考点01 两角和与差的三角函数公式的“正用”
【典例1】（2022上·吉林·高一校考期末）已知，则的值为 ．
【典例2】（2023上·全国·高一专题练习）利用和（差）公式，求下列各式的值
(1)
(2)
(3)
(4)
【总结提升】
三角公式化简求值的策略
(1)使用两角和、差及倍角公式，首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”．
(2)使用公式求值，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．
(3)使用公式求值，应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．
考点02 两角和与差的三角函数公式的“逆用”“变用”
【典例3】（2023上·湖北·高一湖北省天门中学校联考阶段练习）（ ）
A．B．C．1D．
【典例4】（2023·全国·高一随堂练习）化简：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【总结提升】
注意三角函数公式逆用和变形用的两个问题
(1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系．
(2)注意特殊角的应用，当式子中出现eq \f(1,2)，1，eq \f(\r(3),2)，eq \r(3)等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”构造适合公式的形式．
考点03 利用“角的变换”求值
【典例5】（2023上·陕西渭南·高三校考阶段练习）已知，，，，则 .
【典例6】（2023上·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨市第六中学校校考阶段练习）已知，，，．
(1)求的值；
(2)求的值．
【规律总结】
三角公式求值中变角的解题思路
(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．
(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．
考点04 二倍（半）角公式的应用
【典例7】（2023·全国·高一随堂练习）已知，，求，，．
【典例8】（2023·全国·高一随堂练习）已知，，求，的值．
考点05 三角函数式的化简
【典例9】（2023下·辽宁铁岭·高一西丰县高级中学校考期中） .
【典例10】（2023·全国·高一课堂例题）化简．
【总结提升】
1.三角函数式的化简遵循的三个原则
(1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的变换，从而正确使用公式．
(2)二看“名”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”或“弦化切”．
(3)三看“形”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”“整式因式分解”“二次式配方”“遇到平方要降幂”等．
2.三角函数式化简的方法
(1)弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．
(2)在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次，去掉根号．
考点06 三角函数式求值
【典例11】（2023下·四川眉山·高一统考期中）已知，，其中，为锐角．
(1)求的值；
(2)求的值．
【典例12】（2022上·黑龙江鸡西·高一校考期末）已知，且为第二象限角．
(1)求，的值；
(2)求的值．
【总结提升】
三角函数式求值的三种题型
(1)给角求值：该类问题中给出的角一般都不是特殊角，需要通过三角恒等变换将其变为特殊角，或者能够正负相消，或者能够约分相消，最后得到具体的值．
(2)给值求值：一般是给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，使相关角相同或具有某种关系．
(3)给值求角：实质上可转化为“给值求值”，即通过求角的某一个三角函数值来求角．在选取函数时，遵循以下原则：
①已知正切函数值，选正切函数．
②已知正、余弦函数值，若角的范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f (π,2)))，选正、余弦函数皆可，若角的范围是(0，π)，选余弦函数，若角的范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f (π,2)，\f (π,2)))，选正弦函数．
考点07 三角恒等式的证明
【典例13】（2023下·江苏徐州·高一校考期中）求证下列恒等式：
(1)；
(2)
【典例14】（2023·全国·高一随堂练习）求证：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
考点08 研究三角函数的图像和性质
【典例15】（2023上·全国·高一专题练习）函数的值域为（ ）
A．B．
C．D．
【典例16】已知函数f(x)＝cs x(2eq \r(3)sin x＋cs x)－sin2x.
(1)求函数f(x)的单调递减区间；
(2)若当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))时，关于x的不等式f(x)≥m________，求实数m的取值范围．
请选择①和②中的一个条件，补全问题(2)，并求解．其中，①有解，②恒成立．
【总结提升】
1.先根据和角公式、辅助角公式、倍角公式等，把函数表达式变为正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的形式.
2.求三角函数周期的常用方法
(1)公式法求周期
①函数f (x)＝Asin(ωx＋φ)＋B与f (x)＝Acs(ωx＋φ)＋B的周期为T＝eq \f (2π,|ω|)；
②函数f (x)＝Atan(ωx＋φ)＋B的周期T＝eq \f (π,|ω|).
(2)对称性求最值
①两对称轴距离的最小值和两对称中心距离的最小值都等于eq \f (T,2)；
②对称中心到对称轴距离的最小值等于eq \f (T,4)；
③两个最大(小)值点之差的最小值等于T.
3.三角函数是奇、偶函数的充要条件
(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)：是奇函数⇔φ＝kπ(k∈Z)；偶函数⇔φ＝kπ＋eq \f (π,2)(k∈Z)；
(2)函数y＝Acs(ωx＋φ)(x∈R)：是奇函数⇔φ＝kπ＋eq \f (π,2)(k∈Z)；是偶函数⇔φ＝kπ(k∈Z)．
4．如何判断函数的奇偶性:根据三角函数的奇偶性，利用诱导公式可推得函数的奇偶性，常见的结论如下：
(1)若为偶函数，则有;若为奇函数则有；
(2)若为偶函数，则有;若为奇函数则有；
(3)若为奇函数则有.
5.求对称轴方程(对称中心坐标)的方法
(1)求f (x)＝Asin(ωx＋φ)图象的对称轴方程，只需对ωx＋φ＝eq \f (π,2)＋kπ(k∈Z)整理，对称中心横坐标只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求x.
(2)求f (x)＝Acs(ωx＋φ)的对称轴方程，只需对ωx＋φ＝kπ(k∈Z)整理，对称中心横坐标为ωx＋φ＝eq \f (π,2)＋kπ(k∈Z)，求x即可．
(3)求f (x)＝Atan(ωx＋φ)的对称中心的横坐标，只需对ωx＋φ＝eq \f (kπ,2)(k∈Z)，求x.
1.（2022·北京·高考真题）已知函数，则（ ）
A．在上单调递减B．在上单调递增
C．在上单调递减D．在上单调递增
2.（2023·全国·统考高考真题）已知，则（ ）．
A．B．C．D．
3.（2021·浙江·高考真题）设函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数在上的最大值.
一、单选题
1.（2023上·全国·高一专题练习）的值是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023下·广东深圳·高一校考期中）计算：（ ）
A．B．C．D．
3．（2023上·福建厦门·高三福建省厦门第二中学校考期中）已知，则（ ）
A．B．C． D． -
二、多选题
4．（2023上·吉林长春·高一长春外国语学校校考期末）下列等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
5.（2023下·江苏连云港·高一统考期中）下列各式的值为的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
6．（2023上·江西·高二校联考期中）已知，则的值为 .
7．（2023上·湖北·高一湖北省天门中学校联考阶段练习）已知，则 .
8.（2023上·福建三明·高三三明一中校考阶段练习）已知，均为锐角，，，则 ， .
四、解答题
9.（2023·全国·高一随堂练习）已知，，求，及的值．
10.（2023下·甘肃武威·高一天祝藏族自治县第一中学校考阶段练习）已知，，其中，.
(1)求的值；
(2)求的值.
11．（2023上·湖北省直辖县级单位·高三校考阶段练习）计算求值：
(1)已知、均为锐角，，，求的值
(2)计算的值
12．（2023上·江苏南通·高一统考阶段练习）已知函数.
(1)证明：；
(2)当时，求函数的最大值.