高中数学苏教版 (2019)必修 第二册15.1 随机事件和样本空间学案

随机事件和样本空间

1.随机试验

对某随机现象进行的实验、观察,称为随机试验,简称试验.

2.样本空间

定义:①样本点:随机试验的每一个可能的结果.

②样本空间:所有样本点组成的集合.记作:Ω

3.随机事件、必然事件、不可能事件

(1)随机事件:样本空间的子集称为随机事件,也简称事件.

表示:一般用大写英文字母A,B,C表示.

(2)基本事件:当一个事件仅包含单一样本点时,称该事件为基本事件.

(3)必然事件:Ω(全集)是必然事件.

(4)不可能事件:∅(空集)是不可能事件.

1.下列事件是必然事件的是(　　)

A.一天中进入某超市的顾客人数

B.一顾客在超市中购买的商品数

C.一颗麦穗上长着的麦粒数

D.早晨太阳从东方升起

【解析】选D.只有D是在一定条件下必然发生的事件,其他三个每次发生的结果不一定相同.

2.从5个男生、2个女生中任选3人,则下列事件中是必然事件的是(　　)

A.3个都是男生 B.至少有1个男生

C.3个都是女生 D.至少有1个女生

【解析】选B.由于只有2个女生,而要选派3人,故至少有1个男生.

3.一个家庭有两个小孩,把第一个孩子的性别写在前边,第二个孩子的性别写在后边,则所有的样本点有(　　)

A.(男,女),(男,男),(女,女)

B.(男,女),(女,男)

C.(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)

D.(男,男),(女,女)

【解析】选C.由题知所有的样本点是(男,男),(男,女),(女,男),(女,女).

4.下列事件中,是必然事件的有__________,是随机事件的有__________ (填序号). 

(1)“抛一石块,下落”;

(2)“在标准大气压下且温度低于0 ℃时,冰融化”;

(3)“某人射击一次,中靶”;

(4)“如果a>b,那么a-b>0”;

(5)“掷一枚硬币,出现正面”;

(6)“导体通电后,发热”;

(7)“从分别标有号数1,2,3,4,5的5张标签中任取一张,得到4号签”;

(8)“某电话机在1分钟内收到2次呼叫”;

(9)“没有水分,种子能发芽”;

(10)“在常温下,焊锡熔化”.

【解析】事件(1)(4)(6)是必然事件;事件(3)(5)(7)(8)是随机事件.

答案:(1)(4)(6)　(3)(5)(7)(8)

5.袋中有8个大小和质地相同的小球,标号为1,2,3,4,5,6,7,8,从中随机摸出一个球,用集合表示下列事件:

(1)A=“摸到球的号码小于5”;

(2)B=“摸到球的号码为奇数”.

【解析】从中摸出一个球,样本空间:

Ω={1,2,3,4,5,6,7,8}

(1)事件“摸到球的号码小于5”表示为A={1,2,3,4}.

(2)事件“摸到球的号码为奇数”表示为B={1,3,5,7}.

一、单选题

1.有下列事件:

①连续掷一枚硬币两次,两次都出现正面朝上;②异性电荷相互吸引;③在标准大气压下,水在1 ℃结冰;④买了一注彩票就得了特等奖.

其中是随机事件的有(　　)

A.①②  B.①④  C.①③④ D.②④

【解析】选B.①④是随机事件,②为必然事件,③为不可能事件.

2.同时投掷两枚大小相同的骰子,用(x,y)表示结果,记A为“所得点数之和小于5”,则事件A包含的样本点的个数是(　　)

A.3  B.4  C.5  D.6

【解析】选D.有(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1)共6个样本点.

3.对空中飞行的飞机连续射击两次,每次发射一枚炮弹,设A={两次都击中飞机},B={两次都没击中飞机},C={恰有一弹击中飞机},D={至少有一弹击中飞机},下列关系不正确的是(　　)

A.A⊆D  B.B∩D=∅

C.A∪C=D D.A∪C=B∪D

【解析】选D.对于选项A,事件A包含于事件D,故A正确.对于选项B,由于事件B,D不能同时发生,故B∩D=∅正确.对于选项C,由题意知正确.对于选项D,由于A∪C=D={至少有一弹击中飞机},不是必然事件;而B∪D为必然事件,所以A∪C≠B∪D,故D不正确.

二、填空题

4.从a,b,c,d中任取两个字母,则该试验的样本空间为Ω=________________. 

答案:{ab,ac,ad,bc,bd,cd}

5.给出下列结论:

①集合{x||x|<0}为空集是必然事件;

②y=x2的图象关于y轴对称是随机事件;

③若x2>0,则x>0是必然事件;

④对顶角不相等是不可能事件.

其中正确的是________(填序号). 

【解析】因为|x|≥0恒成立,所以①正确;y=x2的图象关于y轴对称,所以②不正确;由x2>0知x≠0,所以③是随机事件,不正确;④正确.

答案:①④

三、解答题

6.设集合M={1,2,3,4},a∈M,b∈M,(a,b)是一个基本事件.

(1)“a+b=5”这一事件包含哪几个基本事件?“a<3且b>1”呢?

(2)“ab=4”这一事件包含哪几个基本事件?

【解析】这个试验的基本事件构成集合Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)}.

(1)“a+b=5”这一事件包含以下4个基本事件:(1,4),(2,3),(3,2),(4,1).

“a<3且b>1”这一事件包含以下6个基本事件:(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4).

(2)“ab=4”这一事件包含以下3个基本事件:(1,4),(2,2),(4,1).

一、选择题

1.下列事件是随机事件的是(　　)

①当x≥10时,lg x≥1;

②当x∈R时,x2-1=0有解;

③当a∈R时,关于x的方程x2+a=0在实数集内有解;

④当x2>y2时,x>y.

A.①②  B.②③  C.③④  D.①④

【解析】选C.①当x≥10时,lg x≥1,是必然事件,②当x∈R时,x2-1=0有解,解得x=±1,是必然事件,③当a∈R时,关于x的方程x2+a=0在实数集内是否有解,需要根据a的值来确定,属于随机事件,④当x2>y2时,x>y,是随机事件.

2．抛掷一枚质地均匀的骰子，记事件A＝“出现的点数是1或2”，事件B＝“出现的点数是2或3或4”，则事件“出现的点数是2”可以记为(　　)

A．A∪B    B．A∩B    C．AB    D．A＝B

【解析】选B.由题意可得：A＝，B＝，

所以A∪B＝，A∩B＝.

3．(多选)10个同类产品中有2个次品，现从中任意抽出3个，随机事件是(　　)

A．3个都是正品    B．至少有一个是次品

C．3个都是次品    D．至少有一个是正品

【解析】选AB.A，B是随机事件，因为只有2个次品，所以抽取的3个都是次品是不可能事件，至少有一个正品是必然事件．

二、填空题

4．写出下列试验的样本空间：

(1)甲、乙两队进行一场足球赛，观察甲队比赛结果(包括平局)________；

(2)从含有6件次品的50件产品中任取4件，观察其中次品数________．

【解析】(1)甲、乙两队进行一场足球赛，观察甲队比赛结果(包括平局)可能有三种：胜，平，负，所以Ω＝{胜，平，负}．

(2)从含有6件次品的50件产品中任取4件，观察其中次品数可能为0，1，2，3，4，所以Ω＝{0，1，2，3，4}．

答案：(1)Ω＝{胜，平，负}　(2)Ω＝{0，1，2，3，4}

5．在一个盒子中有3个球，蓝球、红球、绿球各1个(用1表示蓝球，2表示红球，3表示绿球)，从中随机取出一个球，观察颜色后放回，然后再随机取出1个球，则样本空间为______．若事件A＝“第一次取出的是红球”，事件B＝“两次取出的球颜色相同”，则A∩B＝______．

【解析】有放回地取两个球的样本空间为Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)}；

事件A＝{(2，1)，(2，2)，(2，3)}，

事件B＝{(1，1)，(2，2)，(3，3)}，所以A∩B＝{(2，2)}．

答案：{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)}　{(2，2)}

三、解答题

6．袋中装有大小相同的红、白、黄、黑4个球，分别写出以下随机试验的条件和样本空间：

(1)从中任取1球；

(2)从中任取2球．

【解析】(1)条件为：从袋中任取1球．样本空间：

Ω＝{红、白、黄、黑}．

(2)条件为：从袋中任取2球．若记(红，白)表示一次试验中取出的是红球与白球，样本空间：

Ω＝{(红，白)，(红，黄)，(红，黑)，(白，黄)，(白，黑)，(黄，黑)}．