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人教A版 (2019)必修 第一册5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）导学案
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这是一份人教A版 (2019)必修 第一册5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）导学案，共15页。学案主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
1．由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，φ＞0)的变换：向左平移eq \f(φ,ω)个单位长度而非φ个单位长度．
2．函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴由ωx＋φ＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)确定；对称中心由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)确定其横坐标．
每日一练
一、单选题
1．把函数的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，若函数是偶函数，则下列数中可能是的值的为（ ）
A．B．C．D．
2．将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，若存在，使得，且的最小值为，则（ ）
A．B．C．D．
3．若函数()的图象向左平移个单位后得到一个偶函数的图象；若向右平移个单位后得到一个奇函数的图象，则的值可以是（ ）
A．B．C．D．
4．已知函数的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，则（ ）
A．是奇函数B．图象关于直线对称
C．在上是增函数D．图象关于直线对称
5．函数的部分图象如图所示，若△的面积为，则（ ）
A．1B．2C．4D．
6．函数(其中，)的图像如图所示，为了得到的图像，则只要将的图像（ ）
A．向右移个单位长度
B．向右移个单位长度
C．向左移个单位长度
D．向左移个单位长度
7．如图是函数(，)的部分图象，则（ ）
A．函数的最小正周期为
B．直线是函数图象的一条对称轴
C．点是函数图象的一个对称中心
D．函数为奇函数
8．要得到函数的图像，只需要将函数的图像（ ）
A．向左平移个单位B．向右平移个单位
C．向左平移个单位D．向右平移个单位
二、多选题
9．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值是2 B．向左平移个单位后为奇函数
C．的图象关于对称 D．在上是递增的
10．函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．的最小正周期为
B．
C．在区间上单调递增
D．将的图象向左平移个单位长度后得到的图象
11．已知函数①，②函数，则下列正确的有（ ）
A．①②周期相同，最大小值相同B．①由②向左平移个单位长度得到
C．①由②向右平移个单位长度得到D．①由②向左平移个单位长度得到
12．函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的振幅是2，初相是
B．若把图像上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到的函数在上是增函数
C．若把函数的图像向左平移个单位，则所得函数是奇函数
D．，若恒成立，则的范围为
三、填空题
13．已知函数（，）的最小正周期为，将的图象向左平移（）个单位长度，所得函数为偶函数时，则的最小值是______．
14．若定义在上的非零函数，对任意实数，存在常数，使得恒成立，则称是一个“函数”，试写出一个“函数”：__________．
15．已知函数(，)的部分图象如图所示，则的解析式为___________.
16．已知函数是奇函数，且的最小正周期为，将的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为，若，则__________.
四、解答题
17．已知函数．
（1）函数图象上所有的点_______，再_________得到的图象．
（2）若在区间内是单调函数，求实数m的最大值．
18．已知同时满足下列四个条件中的三个：①；②的图象可以由的图像平移得到；③相邻两条对称轴之间的距离为；④最大值为2.
（1）请指出这三个条件，并说明理由；
（2）若曲线的对称轴只有一条落在区间上，求m的取值范围.
19．如图是函数（，，）的部分图象．
（1）求函数的表达式；
（2）若函数满足方程（），求在内所有实数根之和．
20．已知函数的最大值为1，其图象相邻两对称轴之间的距离为．若将的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的图象关于原点中心对称．
（1）求函数的解析式；
（2）已知常数，，且函数在内恰有2021个零点，求常数与n的值．
21．已知函数．
（1）求图象的对称轴；
（2）当时，求的值域．
22．已知函数.
（1）若先将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将之向左平移个单位，得到函数图象，求函数的解析式
（2）设，则是否存在实数，满足对于任意，都存在，使得成立?如果存在，请求出实数的取值范围；若不存在，请说明你的理由.
参考答案
1．D由题意，它为偶函数，则，，只有时满足．
2．D，，则和中一个取1，另一个取，所以可令，解得，，因为的最小值为，所以.
3．D由题意可得：因为函数()的图象向左平移个单位后得到，要使其为偶函数，只需()，解得()，同理可得()，
取，得.
4．D函数的图象向左平移个单位后，得到，即.
所以为偶函数，故A错误；当时，，所以不是的对称轴，故B错误；当时，，单调递减，故C错误；当时，，所以是的一条对称轴，故D正确；
5．A令,则，则，所以，解得．
6．A由函数图象可得，则，可得.
再由五点作图法可得，得，故函数的解析式为.
由，
故将函数的图象向右平移个单位长度可得到的图象.
7．C由题意可知，根据图像得到，，，则选项A错误；
，又，解得，，则，，即，，
所以直线不是函数图象的一条对称轴，则选项B错误；
，所以点是函数图象的一个对称中心，
选项C正确；不是奇函数，
所以选项D错误.
8．B，∴将函数的图像向右平移个单位，可得.
9．BC由辅助角公式可知：，
A．，故错误；B．向左平移个单位得到，又，定义域为关于原点对称，所以是奇函数，故正确；C．因为为最大值，
所以的图象关于对称，故正确；D．因为，所以，因为在上不是单调函数，所以在上不是单调函数，故错误；
10．BD因为，所以，所以，
又因为，所以，所以，所以，又因为，所以，所以，
所以，所以，所以；
A．，故错误；B．，故正确；
C．当时，，因为在上不单调，
所以在区间上不单调，故错误；D．将的图象向左平移个单位长度后得到，故正确；
11．AC解：两个函数的周期都为，最大值为1，最小值为-1，最大小值相同，故A正确；
由，则①由② 向右平移个单位长度得到，故C正确，
将②向左平移个单位长度得到，不能得到①，B错误；将②向左平移个单位长度得到，不能得到①，D错误；
12．BCD由图象可得，，，
，，即，，，，，
，故A正确；把的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到的函数为，因为所以在上是增函数，故B正确；
把函数的图象向左平移个单位，得到的函数为，是奇函数，故C正确；由可得
当时，，的最小值为
所以，即，故D正确
13．∵函数（，）的最小正周期为，
∴，．将的图象向左平移（）个单位长度，所得函数的图象，由于得到的函数为偶函数，
∴，，则的最小值是，
14． (答案不唯一).
当时，由得，所以只需写一个周期为1的函数，
所以满足条件的函数可以为.
15．由图可知最大值为2，故，由图可知，所以，又因为，所以，故，
又因为函数经过点，即，所以，又因为，所以，所以，
16．函数是奇函数，则，
因为的最小正周期为，所以，将的图像上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，所得图像对应的函数为，又，所以，解得，所以所以.
17．（1）向右平移个单位；把所得图象上点的横坐标变为原来的，纵坐标不变；（2）．
（1），
所以把图象上的点向右平移个单位，再把所得图象上点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到的图象．
（2）由得，因此在上单调递增，是最大值点．所以的最大值是．
18．（1）①③④，理由见解析；（2）.
（1）三个条件是：①③④，理由如下：
若满足②：因为，所以；
若满足③：因为，所以，所以，
若满足④：，由此可知：若满足②，则③④均不满足，所以满足的三个条件是：①③④；
（2）由③④知：，由①知：，所以，所以，又因为，或，
所以或，所以，所以，不妨令，所以，
当时，；当时，；当时，，
所以若要的对称轴只有一条落在区间上，只需,
所以的取值范围是.
19．（1）；（2）答案见解析.
（1）由图可知：，，即，，
又由图可知：，即，所以，所以，所以，，
所以，，因为，所以，
．
（2）因为的周期为，在内恰有个周期．
①当时，方程在内有个实根，
设为、、、，结合图象知，，
故所有实数根之和为；
②当时，方程在内有个实根为，，，，，
故所有实数根之和为；
③当时，方程在内有个实根，
设为、、、，结合图象知，，
故所有实数根之和为；
综上：当时，方程所有实数根之和为；
当时，方程所有实数根之和为．
20．（1）；（2），．解：（1）依题意，，，
将的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的函数为
，而图象关于原点中心对称，则有，．
而，，所以．
（2）
当时，，则在内的零点个数为偶数个，
因为在内恰有2021个零点，为奇数个零点，故，
由，可得，
设，在和上递减，，
因为，
①若，由得或，则由（n为奇数），解得，或（n为偶数），解得n不是整数，舍去；
②若，由得或，则由（n为奇数）或，解得n不是整数，舍去；
③若且，在内的零点个数为偶数；
④或，在内的零点个数为偶数．
综上，．
21．（1）；（2）．
（1）
，
由，得图象对称轴：；
（2）由，得，对递增，对递减，所以，，故函数由的值域为．
22．（1）；（2）存在，.
（1
将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到，再向左平移个单位，得到函数所以函数的解析式为：
（2），，，
即；，，，
又当，
，即假设存在实数，满足对任意，都存在，使得成立，则，解得
又当，，即，
则依题意满足，则，与矛盾.舍去.
综上所述，的取值范围是.
y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x∈[0，＋∞)表示一个振动量时
振幅
周期
频率
相位
初相
A
T＝eq \f(2π,ω)
f＝eq \f(1,T)＝eq \f(ω,2π)
ωx＋φ
φ
y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
1．由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，φ＞0)的变换：向左平移eq \f(φ,ω)个单位长度而非φ个单位长度．
2．函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴由ωx＋φ＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)确定；对称中心由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)确定其横坐标．
每日一练
一、单选题
1．把函数的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，若函数是偶函数，则下列数中可能是的值的为（ ）
A．B．C．D．
2．将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，若存在，使得，且的最小值为，则（ ）
A．B．C．D．
3．若函数()的图象向左平移个单位后得到一个偶函数的图象；若向右平移个单位后得到一个奇函数的图象，则的值可以是（ ）
A．B．C．D．
4．已知函数的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，则（ ）
A．是奇函数B．图象关于直线对称
C．在上是增函数D．图象关于直线对称
5．函数的部分图象如图所示，若△的面积为，则（ ）
A．1B．2C．4D．
6．函数(其中，)的图像如图所示，为了得到的图像，则只要将的图像（ ）
A．向右移个单位长度
B．向右移个单位长度
C．向左移个单位长度
D．向左移个单位长度
7．如图是函数(，)的部分图象，则（ ）
A．函数的最小正周期为
B．直线是函数图象的一条对称轴
C．点是函数图象的一个对称中心
D．函数为奇函数
8．要得到函数的图像，只需要将函数的图像（ ）
A．向左平移个单位B．向右平移个单位
C．向左平移个单位D．向右平移个单位
二、多选题
9．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值是2 B．向左平移个单位后为奇函数
C．的图象关于对称 D．在上是递增的
10．函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．的最小正周期为
B．
C．在区间上单调递增
D．将的图象向左平移个单位长度后得到的图象
11．已知函数①，②函数，则下列正确的有（ ）
A．①②周期相同，最大小值相同B．①由②向左平移个单位长度得到
C．①由②向右平移个单位长度得到D．①由②向左平移个单位长度得到
12．函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的振幅是2，初相是
B．若把图像上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到的函数在上是增函数
C．若把函数的图像向左平移个单位，则所得函数是奇函数
D．，若恒成立，则的范围为
三、填空题
13．已知函数（，）的最小正周期为，将的图象向左平移（）个单位长度，所得函数为偶函数时，则的最小值是______．
14．若定义在上的非零函数，对任意实数，存在常数，使得恒成立，则称是一个“函数”，试写出一个“函数”：__________．
15．已知函数(，)的部分图象如图所示，则的解析式为___________.
16．已知函数是奇函数，且的最小正周期为，将的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为，若，则__________.
四、解答题
17．已知函数．
（1）函数图象上所有的点_______，再_________得到的图象．
（2）若在区间内是单调函数，求实数m的最大值．
18．已知同时满足下列四个条件中的三个：①；②的图象可以由的图像平移得到；③相邻两条对称轴之间的距离为；④最大值为2.
（1）请指出这三个条件，并说明理由；
（2）若曲线的对称轴只有一条落在区间上，求m的取值范围.
19．如图是函数（，，）的部分图象．
（1）求函数的表达式；
（2）若函数满足方程（），求在内所有实数根之和．
20．已知函数的最大值为1，其图象相邻两对称轴之间的距离为．若将的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的图象关于原点中心对称．
（1）求函数的解析式；
（2）已知常数，，且函数在内恰有2021个零点，求常数与n的值．
21．已知函数．
（1）求图象的对称轴；
（2）当时，求的值域．
22．已知函数.
（1）若先将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将之向左平移个单位，得到函数图象，求函数的解析式
（2）设，则是否存在实数，满足对于任意，都存在，使得成立?如果存在，请求出实数的取值范围；若不存在，请说明你的理由.
参考答案
1．D由题意，它为偶函数，则，，只有时满足．
2．D，，则和中一个取1，另一个取，所以可令，解得，，因为的最小值为，所以.
3．D由题意可得：因为函数()的图象向左平移个单位后得到，要使其为偶函数，只需()，解得()，同理可得()，
取，得.
4．D函数的图象向左平移个单位后，得到，即.
所以为偶函数，故A错误；当时，，所以不是的对称轴，故B错误；当时，，单调递减，故C错误；当时，，所以是的一条对称轴，故D正确；
5．A令,则，则，所以，解得．
6．A由函数图象可得，则，可得.
再由五点作图法可得，得，故函数的解析式为.
由，
故将函数的图象向右平移个单位长度可得到的图象.
7．C由题意可知，根据图像得到，，，则选项A错误；
，又，解得，，则，，即，，
所以直线不是函数图象的一条对称轴，则选项B错误；
，所以点是函数图象的一个对称中心，
选项C正确；不是奇函数，
所以选项D错误.
8．B，∴将函数的图像向右平移个单位，可得.
9．BC由辅助角公式可知：，
A．，故错误；B．向左平移个单位得到，又，定义域为关于原点对称，所以是奇函数，故正确；C．因为为最大值，
所以的图象关于对称，故正确；D．因为，所以，因为在上不是单调函数，所以在上不是单调函数，故错误；
10．BD因为，所以，所以，
又因为，所以，所以，所以，又因为，所以，所以，
所以，所以，所以；
A．，故错误；B．，故正确；
C．当时，，因为在上不单调，
所以在区间上不单调，故错误；D．将的图象向左平移个单位长度后得到，故正确；
11．AC解：两个函数的周期都为，最大值为1，最小值为-1，最大小值相同，故A正确；
由，则①由② 向右平移个单位长度得到，故C正确，
将②向左平移个单位长度得到，不能得到①，B错误；将②向左平移个单位长度得到，不能得到①，D错误；
12．BCD由图象可得，，，
，，即，，，，，
，故A正确；把的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到的函数为，因为所以在上是增函数，故B正确；
把函数的图象向左平移个单位，得到的函数为，是奇函数，故C正确；由可得
当时，，的最小值为
所以，即，故D正确
13．∵函数（，）的最小正周期为，
∴，．将的图象向左平移（）个单位长度，所得函数的图象，由于得到的函数为偶函数，
∴，，则的最小值是，
14． (答案不唯一).
当时，由得，所以只需写一个周期为1的函数，
所以满足条件的函数可以为.
15．由图可知最大值为2，故，由图可知，所以，又因为，所以，故，
又因为函数经过点，即，所以，又因为，所以，所以，
16．函数是奇函数，则，
因为的最小正周期为，所以，将的图像上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，所得图像对应的函数为，又，所以，解得，所以所以.
17．（1）向右平移个单位；把所得图象上点的横坐标变为原来的，纵坐标不变；（2）．
（1），
所以把图象上的点向右平移个单位，再把所得图象上点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到的图象．
（2）由得，因此在上单调递增，是最大值点．所以的最大值是．
18．（1）①③④，理由见解析；（2）.
（1）三个条件是：①③④，理由如下：
若满足②：因为，所以；
若满足③：因为，所以，所以，
若满足④：，由此可知：若满足②，则③④均不满足，所以满足的三个条件是：①③④；
（2）由③④知：，由①知：，所以，所以，又因为，或，
所以或，所以，所以，不妨令，所以，
当时，；当时，；当时，，
所以若要的对称轴只有一条落在区间上，只需,
所以的取值范围是.
19．（1）；（2）答案见解析.
（1）由图可知：，，即，，
又由图可知：，即，所以，所以，所以，，
所以，，因为，所以，
．
（2）因为的周期为，在内恰有个周期．
①当时，方程在内有个实根，
设为、、、，结合图象知，，
故所有实数根之和为；
②当时，方程在内有个实根为，，，，，
故所有实数根之和为；
③当时，方程在内有个实根，
设为、、、，结合图象知，，
故所有实数根之和为；
综上：当时，方程所有实数根之和为；
当时，方程所有实数根之和为．
20．（1）；（2），．解：（1）依题意，，，
将的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的函数为
，而图象关于原点中心对称，则有，．
而，，所以．
（2）
当时，，则在内的零点个数为偶数个，
因为在内恰有2021个零点，为奇数个零点，故，
由，可得，
设，在和上递减，，
因为，
①若，由得或，则由（n为奇数），解得，或（n为偶数），解得n不是整数，舍去；
②若，由得或，则由（n为奇数）或，解得n不是整数，舍去；
③若且，在内的零点个数为偶数；
④或，在内的零点个数为偶数．
综上，．
21．（1）；（2）．
（1）
，
由，得图象对称轴：；
（2）由，得，对递增，对递减，所以，，故函数由的值域为．
22．（1）；（2）存在，.
（1
将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到，再向左平移个单位，得到函数所以函数的解析式为：
（2），，，
即；，，，
又当，
，即假设存在实数，满足对任意，都存在，使得成立，则，解得
又当，，即，
则依题意满足，则，与矛盾.舍去.
综上所述，的取值范围是.
y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x∈[0，＋∞)表示一个振动量时
振幅
周期
频率
相位
初相
A
T＝eq \f(2π,ω)
f＝eq \f(1,T)＝eq \f(ω,2π)
ωx＋φ
φ
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