【暑假衔接】人教A版新高二数学 新课预习-专题强化1：空间向量的应用（教师版+学生版）

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1．设向量是直线l的方向向量，是平面α的法向量，则（ ）
A．B．或C．D．
【答案】B
【分析】由，得，所以或
【详解】，，，
则有，
又是直线l的方向向量，是平面α的法向量，所以或.
故选：B
2．两平面α，β的法向量分别为，若α⊥β，则y＋z的值是（ ）
A．－3B．6C．－6D．－12
【答案】B
【分析】根据题意结合空间向量的坐标运算求解.
【详解】∵分别为α，β的法向量且α⊥β，则，
∴，整理得：y＋z＝6.
故选：B.
3．如图，在正三棱锥D-ABC中，，，O为底面ABC的中心，点P在线段DO上，且，若平面PBC，则实数（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由正棱锥的结构特征构建空间直角坐标系，根据已知条件确定相关点坐标并求出面PBC的法向量，结合线面平行及向量共线定理求参数即可.
【详解】由题设，△为边长为的等边三角形，且，
等边△的高为，
在正棱锥中，以为原点，平行为x轴，垂直为y轴，为z轴，如上图示，
则，且，
所以，，，
若为面PBC的法向量，则，令，则，
又平面PBC，则且k为实数，，故.
故选：D
4．若直线的方向向量与平面的法向量的夹角等于，则直线与平面的所成的角等于（ ）
A．B．C．D．以上均错
【答案】A
【分析】利用直线的方向向量与法向量的夹角与线面角的关系可求答案.
【详解】因为直线的方向向量与平面的法向量的夹角等于，
所以直线与平面的所成的角为.
故选：A.
5．已知点在平面内，是平面的一个法向量，则下列点中，在平面内的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据每个选项中P点的坐标，求出的坐标，计算，根据结果是否等于0，结合线面垂直的性质，即可判断点是否在平面内.
【详解】对于选项A，，所以，
根据线面垂直的性质可知,故在平面内；
对于选项B，，则，
在平面内，根据线面垂直的性质可知,故不在平面内；
对于选项C，，则，
在平面内，根据线面垂直的性质可知,故不在平面内；
对于选项D，，则，
在平面内，根据线面垂直的性质可知,故不在平面内；
故选：A
6．若是直线的方向向量，是平面的法向量，则与的位置关系是（ ）
A．B．
C．D．与相交但不垂直
【答案】D
【分析】根据直线的方向向量与平面的法向量的位置关系可判断直线与平面的位置关系可得.
【详解】因为且
所以与不平行，也不垂直，
所以与相交但不垂直.
故选：D
7．已知两个平面的法向量分别为，则这两个平面的夹角为（ ）
A．B．C．或D．
【答案】B
【分析】根据两平面夹角与其法向量夹角的关系，利用向量夹角公式即可得到答案.
【详解】，因为向量夹角范围为，
故两向量夹角为，故两平面夹角为，即，
故选：B.
8．将边长为的正方形（及其内部）绕旋转一周形成圆柱，如图，，，其中与在平面的同侧，则异面直线与所成角的大小是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量夹角公式即可得出异面直线与所成角的大小.
【详解】
如图所示，建立空间直角坐标系.
，，，，，
，
设异面直线与所成角为，
，
，
异面直线与所成角的大小是.
故选：C.
9．已知平面内一点，点在平面外，若的一个法向量为，则Q到平面的距离为______．
【答案】
【分析】求出，得到点到平面的距离公式求出答案.
【详解】因为，
所以Q到平面的距离为.
故答案为：
10．已知向量，分别是直线和平面的方向向量和法向量，若，则与所成角的大小是______.
【答案】/
【分析】若直线与平面所成角为，则直线方向向量与平面法向量的夹角为或，由此计算即可.
【详解】设直线与平面所成角为（），
则直线的方向向量与平面的法向量的夹角为或，
由题意，∵且，
∴，
∴，
∴与所成角的大小是.
故答案为：.
11．设分别是空间两直线的方向向量，则直线，所成角的大小为___________.
【答案】/
【分析】空间中直线与直线所成的角，与其对应的方向向量夹角相同，直接利用空间向量的夹角公式计算即可.
【详解】因为，
所以与的夹角为，即直线，所成角的大小为.
故答案为：.
12．已知二面角，其中平面的一个法向量，平面的一个法向量，则二面角的大小可能为__________.
【答案】或
【分析】利用法向量夹角可得二面角.
【详解】由，，
则，
所以二面角余弦值，
所以或，
故答案为：或.
13．如图，在直三棱柱中，，，分别为，，的中点．
(1)求证：平面；
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析；(2)
【分析】（1）连接，依题意可得，从而得到，再说明，，即可得到，从而得证；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.
【详解】（1）连接，因为，分别为，的中点，所以．
在三棱柱中，，
所以，四点共面．
因为，，、分别为、的中点，
所以，，所以四边形为平行四边形．
所以，
因为平面，平面，
所以平面．
（2）由题设平面，平面，所以，，
因为，所以两两垂直，
如图建立空间直角坐标系，
所以，
则，，．
设平面的法向量为，则，即，
令，则，，于是，
设直线与平面所成角为，
则，
故直线与平面所成角的正弦值为．
14．在直角梯形中，，O为中点，如图（1）．把沿翻折，使得平面平面，如图（2）．
(1)求证：；
(2)若M为线段的中点，求点M到平面的距离．
【答案】(1)证明见解析；(2)．
【分析】（1）先根据面面垂直证线面垂直，再由线面垂直的性质定理证明线线垂直；
（2）建系，利用空间向量求点到面的距离.
【详解】（1）在中，，且O为中点，则，
平面平面，平面平面平面，
所以平面，
且平面，
所以.
（2）在直角梯形中，，
所以，则，
∴，
又∵O、M分别为、的中点
∴，∴
以O为原点，以所在直线分别为x，y，z轴，建立如图空间直角坐标系，
则，
可得，
平面的一个法向量为，
由，令，则，可得，
则点M到平面的距离．
15．如图,在三棱台中,已知平面平面,,,
(1)求证:直线平面;
(2)求平面与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析；(2)
【分析】(1)由平面平面,若证直线平面,只需即可,在等腰梯形中,根据边和角的关系即可得到;
(2)由(1)的结论可证明,根据线面垂直判定定理,和面面垂直判定定理即可证明平面平面,即可以为原点建立合适空间直角坐标系,找出点的坐标,分别求出平面与平面的法向量,求出法向量夹角的余弦值的绝对值即面面角的余弦值,根据同角的三角函数的关系,即可得出正弦值.
【详解】（1）证明:在等腰梯形中,
过作于点,画图如下:
所以,且,,
所以,
即,
即,
因为平面平面,
平面平面,
平面,
,
所以平面;
（2）由(1)知平面,
所以,
又因为,
,平面,平面,
所以平面,
因为平面,
所以平面平面,
以为原点,以方向分别为轴,过点在平面内,做垂直于的线为轴,建立如图所示空间直角坐标系:
则,,,,
由,可得,
所以,,
,,
设平面与平面的一个法向量分别为,,
所以,
即,
取,可得,
由,
可得,
取,可得,
设平面与平面所成角为,
所以,
故.
故平面与平面所成角的正弦值为.
16．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，平面平面，，．且
(1)证明：；
(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求点C到平面的距离．
【答案】(1)证明过程见解析；(2).
【分析】（1）根据面面垂直的性质定理，结合线面垂直的性质进行证明即可；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间夹角公式和点到面距离公式进行求解即可.
【详解】（1）因为平面平面，交线为，
且平面中，，
所以平面，
又平面，
所以,因为，平面，
所以平面，而平面，
所以；
（2）由（1）知，平面且，
所以、、两两垂直
因此以原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，，，设
所以，，，，，
因为平面平面，交线为，且平面中，，
所以平面，
所以为平面的法向量且，
，
因为直线与平面所成角的正弦值为
所以，解得：
所以，又，，
平面的法向量分别为：，
所以， 令，则，
，
设点C到平面的距离为，
所以.
【综合运用】
17．如图，圆锥的高为是底面圆的直径，为圆锥的母线，四边形是底面圆的内接等腰梯形，且，点在母线上，且．
(1)证明：平面平面；
(2)求平面与平面的夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析；(2)
【分析】（1）连接，可证出菱形中，结合可证出平面，再由平面与平面垂直判定定理即可证出平面平面；
（2）取中点，以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，使用空间向量进行求解.
【详解】（1）
连接，由已知，，且，
∴四边形为菱形，∴，
在圆锥中，∵平面，平面，
∴．
∵，平面，平面，
∴平面．
又∵平面，
∴平面平面．
（2）
取中点，易知平面，，
以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，
∵，∴，
∴，
∴，．
设平面的一个法向量为．
因为所以，令，则，，
∴，
易知平面即平面，∴平面的一个法向量为，
设平面与平面的夹角为，
则，
∴平面与平面的夹角的余弦值为．
18．如图，多面体中，是平行四边形，⊥平面，⊥，，，，点在棱上.
(1)求证：平面；
(2)求二面角的余弦值；
(3)若点到平面的距离为，求线段的长.
【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)
【分析】（1）先得到平面，平面，证明出面面平行，从而证明平面；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解二面角的余弦值；
（3）设，由点到平面距离公式列出方程，求出线段的长.
【详解】（1）因为是平行四边形，所以.
因为平面，平面，
所以平面.
又因为在平面中，，，
所以，
因为平面，平面，
所以平面.
又因为平面，平面，，
所以平面平面.
因为平面，所以平面
（2）因为平面，所以，，
又因为，所以，，两两垂直，如图建立空间直角坐标系，
则，，，所以，.
设平面的一个法向量为，则
即
令，则，.于是.
取平面的法向量为
则
由图可知二面角为锐角，
所以二面角的余弦值是
（3）令线段的长为，则，，所以
因为点到平面的距离
所以，即，得或（舍），
所以线段的长为.
【拓广探究】
19．四棱锥，平面ABCD，底面ABCD是菱形，，平面平面PBC.
(1)证明：⊥；
(2)设M为PC上的点，求PC与平面ABM所成角的正弦值的最大值.
【答案】(1)证明过程见解析；(2)
【分析】（1）作出辅助线，由面面垂直证明出线面垂直，得到AE⊥BC，结合PA⊥BC，得到线面垂直，证明出BC⊥平面PAB，⊥；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求出线面角的正弦值的最大值.
【详解】（1）如图，过点A作AE⊥PB于点E，
因为平面平面PBC，交线为PB，且AE平面PAB，
所以AE⊥平面PBC，
因为平面PBC，
所以AE⊥BC，
因为平面ABCD，平面ABCD，
所以PA⊥BC，
因为，平面PAB，
所以BC⊥平面PAB，
因为AB平面PAB，
所以BC⊥AB；
（2）因为底面ABCD是菱形，且BC⊥AB，
所以四边形ABCD为正方形，
以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
设AB=1，则，
，
设，，
则，
设平面ABM的法向量为，
则，
解得：，不妨令，则，
故，
设PC与平面ABM所成角大小为，
则，
，
当时，取得最大值，最大值为，
所以PC与平面ABM所成角的正弦值的最大值为.
20．如图，三棱柱的所有棱长都为2，，.
(1)求证：平面⊥平面；
(2)在棱上是否存在点，使直线与平面所成角的正弦值为，若不存在，请说明理由：若存在，求的长.
【答案】(1)证明见详解.
(2)在棱上存在点，使直线与平面所成角的正弦值为，的长为.
【分析】（1）取中点连接．证明平面．得，计算出后由勾股定理逆定理得，从而可得平面，得证面面垂直．
（2）假设在棱上是否存在点，使直线与平面所成角的正弦值为，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，由共线得，用空间向量法求二面角的余弦，从而可得，进一步求出的长.
【详解】（1）证明：取中点连接，如图所示：
因为三棱柱的所有棱长都为2，
所以，
又因为且平面，
所以平面，
又因为平面，
所以．
在直角三角形中，，
所以，
在三角形中，，
所以，
所以，
又因为平面
所以平面．
又因为平面，
所以平面平面．
（2）假设在棱上存在点，使直线与平面所成角的正弦值为，
则以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
因此，，．
因为点在棱上，
则设，其中．
则
设平面的法向量为，
由得，取
所以平面的一个法向量为．
因为直线与平面所成角的正弦值为，
所以，
化简得解得，
所以，
所以在棱上存在点，使直线与平面所成角的正弦值为，
此时的长为.
【点睛】方法点睛：本题考查证明面面垂直，由线面角确定点的位置．掌握面面垂直、线面垂直、线线垂直的相互转化是证明垂直的关键．求线面角常用方法：
（1）定义法：作出直线与平面所成的角并证明，然后在直角三角形中计算可得；
（2）向量法：建立空间直角坐标系，由直线的方向向量与平面的法向量夹角的余弦的绝对值等于直线与平面所成角的正弦值计算．