（人教版）初升高数学暑假衔接高一预习-专题强化1 函数性质的综合问题（学生版+教师版）

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1．函数单调性应用问题的常见类型及解题策略
(1)比较大小．
(2)求最值．
(3)解不等式．利用函数的单调性将“f”符号去掉，转化为具体的不等式求解，应注意函数的定义域．
(4)利用单调性求参数．
①依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较．
②需注意若函数在区间[a，b]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也单调．
③分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．
2．利用定义判断或证明函数单调性的步骤
3．判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：
(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；
(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式
(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立．
4．利用函数奇偶性可以解决以下问题
(1)求函数值：将待求值利用奇偶性转化为求已知解析式的区间上的函数值．
(2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知解析式的区间上，再利用奇偶性的定义求出．
(3)求解析式中的参数：利用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于参数的恒等式，由系数的对等性得方程(组)，进而得出参数的值．
(4)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象．
(5)求特殊值：利用奇函数的最大值与最小值之和为零可求一些特殊结构的函数值．
【题型目录】
一、利用函数的奇偶性、单调性比较大小
二、利用奇函数、偶函数的图象解不等式
三、利用函数的奇偶性、单调性解不等式
四、利用函数的奇偶性、单调性求函数的最值
五、函数性质的综合应用
六、抽象函数的性质应用
【例题详解】
一、利用函数的奇偶性、单调性比较大小
1．若偶函数f（x）在（-∞，-1]上是增函数，则（ ）
A．f（-1.5）＜f（-1）＜f（2）B．f（-1）＜f（-1.5）＜f（2）
C．f（2）＜f（-1）＜f（-1.5）D．f（2）＜f（-1.5）＜f（-1）
【答案】D
【分析】根据偶函数得再利用单调性即可求解.
【详解】是偶函数，
又在（-∞，-1]上是增函数，
，即.
故选：D
2．已知定义域为的函数在上为减函数，且对称轴为，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据函数对称性，将研究数值都转化到同一单调区间，利用单调性比较即可.
【详解】因为对称轴为，则，C错误.
又因为定义域为的函数在上为减函数，
所以，A B 错误，D正确.
故选：D.
3．已知函数的图象关于直线对称，且在(－∞，]上单调递增，，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由的图象关于对称，将问题转化为比较，，的大小.
【详解】的图象关于对称，所以，
又因为在上单调递增，所以在上单调递减，
所以.
故选：B.
4．已知函数对任意实数都有，并且对任意，总有，则下列不等式正确的是（ ）
A．B．C．D．无法确定
【答案】B
【分析】根据题意结合函数单调性的定义和性质运算分析.
【详解】∵对任意，总有，
∴在上单调递增，
故，A错误；
对于，分别令，可得，
故，即，B正确；
，即，C、D错误.
故选：B.
5．定义在上的偶函数满足：对任意有则当时，有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据函数的单调性和奇偶性求得正确答案.
【详解】依题意，对任意有，
则对任意有
所以在上递减，由于是偶函数，所以在上递增，
则，因为，
所以，即.
故选：B.
6．定义在上的偶函数满足：对任意的，有，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】依题意可得在上单调递减，再根据偶函数的性质得到在上的单调性，根据单调性与奇偶性判断即可.
【详解】解：因为对任意的，有，
所以在上单调递减，又为偶函数，
所以在上单调递增，则，
又，所以.
故选：A
7．（多选）已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且，在单调递减，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】由奇偶函数的单调性的关系确定两函数的单调性，再结合，逐项判断即可.
【详解】因为是定义在R上的偶函数，是定义在R上的奇函数，且两函数在上单调递减，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减，
所以，，
所以，，，
所以BD正确，C错误；
若，则，A错误.
故选：BD
二、利用奇函数、偶函数的图象解不等式
1．若是奇函数，且在上是增函数，又，则的解是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先根据函数为奇函数求得且在上是增函数，进而根据得出且或且，最后取并集．
【详解】解：函数为奇函数，
，，
函数在上是增函数，函数在上是增函数，
所以当或时，当或时，
对于，
则或，解得或
的取值范围是．
故选：D．
2．定义在R上的奇函数，满足，且在上单调递减，则不等式的解集为（ ）
A．或B．或
C．或D．或
【答案】B
【分析】由已知化简不等式可得.然后根据单调性、奇偶性，分别讨论求解以及时，不等式的解集，即可得出答案.
【详解】由已知可得.
当时，有.
由，且在上单调递减，可知；
当时，有.
根据奇函数的性质，可推得，且在上单调递减，
所以.
综上所述，不等式的解集为或.
故选：B.
3．已知函数是定义在上的偶函数，在上单调递减，且，则不等式的解集为_______________.
【答案】
【分析】由题意和偶函数的性质可知函数在上为减函数，在上为增函数，结合，分类讨论当、时，利用函数的单调性解不等式即可.
【详解】因为函数是定义在R上的偶函数，且在上单调递减
所以在上为增函数，
由，得，
，当时，，
有，解得；
当时，，
有，解得，
综上，不等式的解集为.
故答案为：.
4．已知函数是定义在上的奇函数，对任意，有，若，则的解集为________．
【答案】
【分析】根据函数为奇函数,由已知得函数在上单调递增，则函数在上单调递增，又，可得函数大致图象，结合图象即可得解集.
【详解】已知是定义在上的奇函数，则，且
又对任意且，都有，
不妨设，则，所以，即，
所以函数在上单调递增，则函数在上单调递增，
又，所以，
则函数的大致图象如下图：
根据图象可得不等式的解集为：.
故答案为：.
三、利用函数的奇偶性、单调性解不等式
1．定义在R上的函数f（x）满足，且当时，单调递增，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据函数的对称性和单调性即可.
【详解】由，得的对称轴方程为，故，即，解得．
故选：D.
2．已知函数是定义在上的单调减函数：若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据函数的单调性即可解不等式．
【详解】由已知，解得，
故选：D
3．已知是定义在实数集上的增函数，且，函数在上为增函数，在上为减函数，且，则集合等于（ ）
A．或B．
C．或D．
【答案】A
【分析】根据所给条件得到、的取值情况，不等式等价于或，分别计算可得.
【详解】解：因为是定义在实数集上的增函数，且，
所以当时，当时，
又函数在上为增函数，在上为减函数，且，
所以当时，当或时，
不等式等价于或，解得或，
即不等式的解集为或.
故选：A
4．定义在的函数满足：对，，且，成立，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】构造函数，讨论单调性，利用单调性解不等式.
【详解】由且，，
则两边同时除以可得，
令，则在单调递增，
由得且，
即解得，
故选：D.
5．已知是定义在上的减函数，则不等式的解集为________.
【答案】
【分析】根据函数定义域及减函数列不等式组求解集即可.
【详解】因为是定义在上的减函数，
则，可得，故解集为.
故答案为：
四、利用函数的奇偶性、单调性求函数的最值
1．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则的最小值是（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】A
【分析】先求得时，函数的值域为，结合函数为奇函数，求得函数的值域，进而求得其最小值.
【详解】当时，函数，
当时，；当时，，
所以函数在上的值域为
因为是上的奇函数，所以的值域为，
所以的最小值是.
故选：A.
2．已知函数，则的单调增区间为______；若则最小值为______．
【答案】
【分析】先通过奇函数的定义判断函数为奇函数，再利用奇函数及二次函数的单调性求解单调区间，利用函数的单调性求最值即可.
【详解】函数的定义域为R，且，
所以函数为奇函数，
当时，，
由二次函数性质得函数在区间单调递增，在[1,2]上单调递减.
由奇函数在对称区间的单调性一致得，函数在上单调递增，且，
所以的单调增区间为，
同样根据奇函数的对称性可得函数在上单调递减，
所以在[-2,1]上的最小值为.
故答案为：；.
3．已知函数f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,x)－2，0【详解】如图，画出f(x)在(0，＋∞)上的图象，
由图知，当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，4))时，
f(x)min＝f(1)＝－1，
又f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))＝2，f(4)＝5，
所以f(x)max＝f(4)＝5.
又f(x)为奇函数，所以当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－4，－\f(1,4)))时，
f(x)max＝f(－1)＝－f(1)＝1，
f(x)min＝f(－4)＝－f(4)＝－5.
所以m＝1，n＝－5，故m＋n＝1－5＝－4.
五、函数性质的综合应用
1．函数．
(1)判断函数的奇偶性并证明；
(2)解方程．
【答案】(1)偶函数，证明见解析
(2)、2、3、4
【分析】（1）根据奇偶性的定义即可证明；
（2）由于函数是偶函数，列出方程组，即可求出x.
【详解】（1）答：函数是偶函数.
证明：，
，
所以函数是偶函数.
（2）解：由（1）知函数是偶函数，
，
， 或；解得或，或，
即、2、3、4.
2．已知是定义在上的奇函数，当时，.
(1)求的值，并写出的解析式；
(2)若，求实数a，b的值.
【答案】(1),.
(2)
【分析】(1)根据函数奇偶性的概念求函数值和解析式；
(2)根据函数的单调性结合值域列出方程即可求解.
【详解】（1）因为是定义在上的奇函数，
所以，
当时，，
所以，即.
（2）因为当时，单调递减，
且函数为奇函数，所以在上单调递减，
所以当时，，当时，，
因为，所以，
所以，即解得.
3．已知函数.
(1)判断函数的奇偶性，并证明；
(2)证明在区间上是增函数；
(3)求函数在区间上的最大值和最小值.
【答案】(1)为奇函数，证明见解析
(2)证明见解析
(3)，
【分析】（1）首先求出函数的定义域，再根据奇偶性的定义证明即可；
（2）利用单调性的定义证明，按照设元、作差、变形、判断符号、下结论的步骤完成即可.
（3）根据的奇偶性与单调性得到在区间的单调性，从而求出函数的最值.
【详解】（1）解：为奇函数，
证明：由已知，函数的定义域为．
则，都有，
且，
所以函数为奇函数．
（2）证明：任取，且，则，
那么
因为， 所以，，，
所以，
所以，
所以在上是增函数．
（3）解：因为为奇函数，且在上单调递增，
所以函数在上单调递增，
所以当时，取得最小值，即，
当时，取得最大值，即.
4．已知函数定义在上的奇函数，且.
(1)求；
(2)判断函数在上的单调性并加以证明；
(3)解不等式.
【答案】(1)
(2)单调递增；证明见解析
(3)
【分析】（1）由奇函数在处有定义，则，又，代入可得；（2）由单调性的定义，结合不等式的性质，可得函数在上的单调性；（3）通过计算可得，则原不等式可化为，再结合函数在上的单调性，将转化为，解不等式可得所求解集.
【详解】（1）由题意可知，，
解得；经检验成立
（2）由（1）可知，设，则
，
，，，，
，即，
在上单调递增；
（3）由，则，即，
由（2）可知在上单调递增，
，解得，
不等式的解集为.
六、抽象函数的性质应用
1．定义在上的函数满足，.
(1)求的值
(2)判断函数的奇偶性，并证明你的结论；
(3)若函数在上单调递增，求不等式的解集.
【答案】(1)
(2)函数为奇函数，证明见解析
(3)
【分析】（1）令，根据已知列方程即可得出答案；
（2）令，根据已知列方程结合小问一即可得出，即可证明；
（3）令，得出，即，根据已知结合奇函数的性质得出，得出，根据已知结合奇函数的性质得出函数在上单调递增，即可根据单调性解不等式得出解集.
【详解】（1）令，得，解得；
（2）因为函数的定义域为，令，
则，
，
，
函数为奇函数；
（3），
令，得，
，
，
，
，
，
函数在上单调递增，且函数为奇函数，
函数在上单调递增，
，解得，
故不等式的解集为.
2．已知奇函数f（x）对任意x，y∈R，总有f（x+y）＝f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＜0，．
(1)求证：f（x）是R上的减函数．
(2)求f（x）在[-3，3]上的最大值和最小值．
(3)若f（x）+f（x-3）≤-2，求实数x的范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)最大值为2，最小值为-2
(3)
【分析】(1)利用函数的单调性的定义与奇函数的性质，结合已知即可证得是R上的减函数.
(2)利用是减函数，直接求最大值和最小值；
(3)依题意得，结合单调性解不等式.
【详解】（1）因为时，，且是奇函数；
在R上任意取，则
则
∴
∴函数是R上的减函数．
（2）∵函数是R上的减函数，
，
则，
∴在[-3，3]上的最大值为2，最小值为-2
（3），
∵，∴，
∵函数是R上的减函数，
∴，∴，
故解集为：
3．已知函数的定义域为R，且对任意a，R，都有，且当时，恒成立.
(1)证明函数是奇函数；
(2)证明函数是R上的减函数；
(3)若，求x的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)或
【分析】（1）利用特殊值求出，从而证明即可；（2）证明出，再利用当时，恒成立即可得解；（3）利用函数的单调性和奇偶性进行证明即可得解.
【详解】（1）证明：由，
令可得，
解得，
令可得，
即，而，
，而函数的定义域为R，
故函数是奇函数．
（2）证明：设，且，，则，
而
，
又当时，恒成立，即，，
函数是R上的减函数；
（3）(方法一）由，
得，
又是奇函数，
即，
又在R上是减函数，
解得或
故x的取值范围是或.
方法二由且，
得，
又在R上是减函数，
，解得或
故x的取值范围是 或.