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所属成套资源：【暑假衔接】高中数学新高二（高一升高二）暑假自学
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【暑假衔接】人教A版新高二数学 新课预习-3.1 椭圆（教师版+学生版）
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【划重点】
1．理解并掌握椭圆的定义及椭圆的标准方程.
2．掌握用定义法、待定系数法和相关点法求椭圆的标准方程．
3．掌握椭圆的几何性质，了解椭圆标准方程中a，b，c的几何意义.
4．会判断直线与椭圆的位置关系．
【知识梳理】
知识点一 椭圆的定义
1．定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹．
2．焦点：两个定点F1，F2.
3．焦距：两焦点间的距离|F1F2|.
4．几何表示：|MF1|＋|MF2|＝2a(常数)且2a>|F1F2|.
知识点二 椭圆的标准方程及其几何性质
知识点三 直线与椭圆的位置关系
(1)直线y＝kx＋m与椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的位置关系的判断方法：联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋m，,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1.))
消去y得到一个关于x的一元二次方程．直线与椭圆的位置关系、对应一元二次方程解的个数及Δ的取值的关系如表所示．
(2)弦长公式：
设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则|AB|＝eq \r(1＋k2[x1＋x22－4x1x2]) 或 |AB|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,k2)))[y1＋y22－4y1y2]) (k为直线斜率)．
【例题详解】
一、椭圆的定义及其应用
例1 (1)设定点，，动点P满足条件，则点P的轨迹是（ ）
A．椭圆B．线段C．不存在D．椭圆或线段
(2)设是椭圆上的动点，则到该椭圆的两个焦点距离之和为（ ）
A．B．C．4D．
(3)设分别为椭圆的左右焦点，过的直线交椭圆于A、B两点，则的周长为（ ）
A．12B．24C．D．
跟踪训练1 (1)P是椭圆上的一点，F是椭圆的左焦点，O是坐标原点，已知点M是线段PF的中点，且，则（ ）
A．B．C．D．
(2)已知点，是椭圆上关于原点对称的两点，，分别是椭圆的左、右焦点，若，则（ ）
A．1B．2C．4D．5
二、椭圆的简单几何性质
例2 (1)椭圆与椭圆的（ ）
A．长轴长相等B．短轴长相等
C．离心率相等D．焦距相等
(2)椭圆的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
(3)中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是（ ）
A．B．
C．D．
跟踪训练2 (1)已知椭圆为两个焦点，为椭圆上一点，若的周长为4，则（ ）
A．2B．3C．D．
(2)（多选）已知是椭圆上的一点，是椭圆的两个焦点，则下列结论正确的是（ ）
A．椭圆的短轴长为B．的坐标为
C．椭圆的离心率为D．存在点P，使得
三、求椭圆的标准方程
例3 求满足下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦点在y轴上，焦距是4，且经过点；
(2)经过两点和；
(3)经过两点.
(4)过点且与椭圆有相同焦点.
跟踪训练3 求满足下列条件的椭圆的标准方程．
(1)长轴在x轴上，长轴长为12，离心率为；
(2)椭圆过点，离心率；
(3)在x轴上的一个焦点与短轴上的两个顶点的连线互相垂直，且焦距为8；
(4)与椭圆有相同的焦点，且短轴长为2．
四、与椭圆有关的轨迹问题
例4 (1)在平面直角坐标系中，点到点、的距离之和为，则点的轨迹方程是 .
(2)已知为椭圆上一动点，记原点为，若，则点的轨迹方程为 ．
跟踪训练4 (1)已知定圆，圆，动圆M和定圆外切和圆内切，求动圆圆心M的轨迹方程．
(2)点是圆内一定点，动圆与已知圆相内切且过点，判断圆心的轨迹．
(3)已知是椭圆上一动点，为坐标原点，求线段的中点的轨迹方程．
五、求椭圆的离心率
例5 (1)椭圆的半焦距为c，若直线y=2x与椭圆的一个交点的横坐标恰为c，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．-1C．D．
(2)已知椭圆的三个顶点构成等边三角形，则椭圆的离心率是 .
跟踪训练5 (1)已知是椭圆的两个焦点，是上一点，若，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
(2)已知椭圆的焦点分别为，则的离心率为 .
(3)已知是椭圆的左焦点，经过原点的直线与椭圆交于两点，
若，且，则椭圆的离心率 ．
六、直线与椭圆
命题角度1 直线与椭圆的位置关系
例6 (1)直线：与椭圆的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．相切或相交
(2)直线与椭圆只有一个交点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
跟踪训练6 (1)已知直线，椭圆，则直线与椭圆的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．无法确定
(2)若直线 与圆没有交点，则过点的直线与椭圆的交点的个数为（ ）
A．0或1B．2C．1D．0或1或2
命题角度2 弦长问题
例7 (1)直线x－y＋1＝0被椭圆＋y2＝1所截得的弦长|AB|等于（ ）
A．B．C．D．
(2)过椭圆的左焦点作斜率为1的弦，则弦的长为（ ）
A．B．C．D．
(3)已知直线与椭圆交于M，N两点，且，则 .
跟踪训练7 (1)一条过原点的直线与椭圆的一个交点为，则它被椭圆截得的弦长等于（ ）
A．3B．6C．D．
(2)已知椭圆的右焦点为，左、右顶点为A、，，．则直线被椭圆截得的弦长为 ．
(3)已知直线：与椭圆：交于，两点．
( = 1 \* rman \* MERGEFORMAT i)求的取值范围；
( = 2 \* rman \* MERGEFORMAT ii)若，求的值．
【课堂巩固】
1．，为椭圆的两个焦点，P是椭圆上的点，且，则（ ）
A．9B．4C．2D．1
2．如果椭圆上一点到此椭圆一个焦点的距离为2，是的中点，是坐标原点，则的长为（ ）
A．6B．10C．8D．12
3．椭圆的焦距是（ ）
A．2B．C．D．
4．曲线与曲线一定有（ ）
A．相同的焦距B．相同的离心率
C．相等的长轴长D．相等的短轴长
5．点M与定点的距离和它到定直线的距离的比为，则点M的轨迹方程为（ ）
A．B．C．D．
6．直线与椭圆的位置关系是（ ）
A．相离B．相切C．相交D．无法确定
7．已知椭圆的左、右焦点分别为、，过且斜率为1的直线交椭圆于A、两点，则等于（ ）
A．B．C．D．
8．已知椭圆的焦点为、，P为椭圆上的一点，若，则的面积为（ ）
A．3B．9C．D．
9．已知椭圆的离心率为，则长轴与短轴的比值为 .
10．在平面直角坐标中，已知椭圆：（）的左焦点为，左顶点为，过点作轴的垂线在第二象限交椭圆于点，连接并延长交轴于点.若，则椭圆的离心率为 .
11．已知椭圆的两焦点为，点在椭圆上．若的面积最大为12，则椭圆的标准方程为 ．
12．椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，焦距为2，且经过点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)求椭圆的长轴长、短轴长、离心率、顶点坐标，并用描点法画出它的图形．
13．已知椭圆焦点为，且过点，椭圆第一象限上的一点到两焦点的距离之差为2．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)求外接圆的标准方程．
14．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦点在轴上，长轴长为4，焦距为2；
(2)经过两点；
(3)经过点，且与椭圆有共同的焦点.
15．已知离心率为的椭圆过点．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作斜率为直线与椭圆相交于两点，求的长．
【课时作业】
1．已知，动点C满足，则点C的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．直线 C．线段 D．点
2．若椭圆的离心率为，则椭圆的长轴长为（ ）
A．B．或
C．D．或
3．已知椭圆的方程为，弦AB过椭圆的焦点F1，另一焦点为F2，则△ABF2的周长为（ ）
A．8B．10C．16D．20
4．已知点P为椭圆上动点，分别是椭圆C的焦点，则的最大值为（ ）
A．2B．3C．D．4
5．椭圆的焦点为、，点在椭圆上且轴，则到直线的距离为（ ）
A．B．3C．D．
6．椭圆与椭圆的关系为（ ）
A．有相同的长轴长与短轴长B．有相同的焦距
C．有相同的焦点D．有相同的离心率
7．已知椭圆长轴、短轴的一个端点分别为A，B，F为椭圆的一个焦点，若为直角三角形，则该椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
8．直线与椭圆的两个交点在x轴上的射影恰为椭圆的两个焦点，则椭圆的离心率e等于（ ）
A． B． C． D．
9．（多选）对于椭圆，下面说法正确的是（ ）
A．长轴长为2B．短轴长为3C．离心率为D．焦距为2
10．（多选）关于椭圆有以下结论，其中正确的有（ ）
A．离心率为B．长轴长是
C．焦距2D．焦点坐标为
11．直线和曲线的位置关系为 .
12．已知P是圆上任一点，，线段PA的垂直平分线l和半径CP交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹方程为 .
13．已知是椭圆：的右焦点，直线过椭圆的下顶点且斜率为，以点为圆心、半焦距为半径的圆与直线相切，则椭圆的离心率为 .
14．已知为椭圆C：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为 ．
15．已知椭圆的左右焦点分别为、.
(1)求椭圆的长轴长、短轴长和焦点坐标；
(2)若点在椭圆上，且，求的外接圆的方程；
(3)求过点且与椭圆有相同焦点的椭圆方程.
16．圆：与轴的两个交点分别为，，点为圆上一动点，过作轴的垂线，垂足为，点满足 求点的轨迹方程．
17．椭圆C：左右焦点为，，离心率为，点在椭圆C上．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)经过点，倾斜角为直线l与椭圆交于B，C两点，求．
18．已知椭圆及直线．
（1）当为何值时，直线与椭圆有公共点？
（2）若直线被椭圆截得的弦长为，求直线的方程．
焦点的位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
标准方程
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)
eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)
范围
－a≤x≤a，－b≤y≤b
－b≤x≤b，－a≤y≤a
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)，
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，
B1(－b，0)，B2(b，0)
轴长
短轴长＝2b，长轴长＝2a
焦点
(±eq \r(a2－b2)，0)
(0，±eq \r(a2－b2))
焦距
|F1F2|＝2eq \r(a2－b2)
对称性
对称轴：x轴、y轴 对称中心：原点
离心率
e＝eq \f(c,a)∈(0,1)
直线与椭圆
解的个数
Δ的取值
两个不同的公共点
两解
Δ>0
一个公共点
一解
Δ＝0
没有公共点
无解
Δ<0
【划重点】
1．理解并掌握椭圆的定义及椭圆的标准方程.
2．掌握用定义法、待定系数法和相关点法求椭圆的标准方程．
3．掌握椭圆的几何性质，了解椭圆标准方程中a，b，c的几何意义.
4．会判断直线与椭圆的位置关系．
【知识梳理】
知识点一 椭圆的定义
1．定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹．
2．焦点：两个定点F1，F2.
3．焦距：两焦点间的距离|F1F2|.
4．几何表示：|MF1|＋|MF2|＝2a(常数)且2a>|F1F2|.
知识点二 椭圆的标准方程及其几何性质
知识点三 直线与椭圆的位置关系
(1)直线y＝kx＋m与椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的位置关系的判断方法：联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋m，,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1.))
消去y得到一个关于x的一元二次方程．直线与椭圆的位置关系、对应一元二次方程解的个数及Δ的取值的关系如表所示．
(2)弦长公式：
设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则|AB|＝eq \r(1＋k2[x1＋x22－4x1x2]) 或 |AB|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,k2)))[y1＋y22－4y1y2]) (k为直线斜率)．
【例题详解】
一、椭圆的定义及其应用
例1 (1)设定点，，动点P满足条件，则点P的轨迹是（ ）
A．椭圆B．线段C．不存在D．椭圆或线段
(2)设是椭圆上的动点，则到该椭圆的两个焦点距离之和为（ ）
A．B．C．4D．
(3)设分别为椭圆的左右焦点，过的直线交椭圆于A、B两点，则的周长为（ ）
A．12B．24C．D．
跟踪训练1 (1)P是椭圆上的一点，F是椭圆的左焦点，O是坐标原点，已知点M是线段PF的中点，且，则（ ）
A．B．C．D．
(2)已知点，是椭圆上关于原点对称的两点，，分别是椭圆的左、右焦点，若，则（ ）
A．1B．2C．4D．5
二、椭圆的简单几何性质
例2 (1)椭圆与椭圆的（ ）
A．长轴长相等B．短轴长相等
C．离心率相等D．焦距相等
(2)椭圆的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
(3)中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是（ ）
A．B．
C．D．
跟踪训练2 (1)已知椭圆为两个焦点，为椭圆上一点，若的周长为4，则（ ）
A．2B．3C．D．
(2)（多选）已知是椭圆上的一点，是椭圆的两个焦点，则下列结论正确的是（ ）
A．椭圆的短轴长为B．的坐标为
C．椭圆的离心率为D．存在点P，使得
三、求椭圆的标准方程
例3 求满足下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦点在y轴上，焦距是4，且经过点；
(2)经过两点和；
(3)经过两点.
(4)过点且与椭圆有相同焦点.
跟踪训练3 求满足下列条件的椭圆的标准方程．
(1)长轴在x轴上，长轴长为12，离心率为；
(2)椭圆过点，离心率；
(3)在x轴上的一个焦点与短轴上的两个顶点的连线互相垂直，且焦距为8；
(4)与椭圆有相同的焦点，且短轴长为2．
四、与椭圆有关的轨迹问题
例4 (1)在平面直角坐标系中，点到点、的距离之和为，则点的轨迹方程是 .
(2)已知为椭圆上一动点，记原点为，若，则点的轨迹方程为 ．
跟踪训练4 (1)已知定圆，圆，动圆M和定圆外切和圆内切，求动圆圆心M的轨迹方程．
(2)点是圆内一定点，动圆与已知圆相内切且过点，判断圆心的轨迹．
(3)已知是椭圆上一动点，为坐标原点，求线段的中点的轨迹方程．
五、求椭圆的离心率
例5 (1)椭圆的半焦距为c，若直线y=2x与椭圆的一个交点的横坐标恰为c，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．-1C．D．
(2)已知椭圆的三个顶点构成等边三角形，则椭圆的离心率是 .
跟踪训练5 (1)已知是椭圆的两个焦点，是上一点，若，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
(2)已知椭圆的焦点分别为，则的离心率为 .
(3)已知是椭圆的左焦点，经过原点的直线与椭圆交于两点，
若，且，则椭圆的离心率 ．
六、直线与椭圆
命题角度1 直线与椭圆的位置关系
例6 (1)直线：与椭圆的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．相切或相交
(2)直线与椭圆只有一个交点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
跟踪训练6 (1)已知直线，椭圆，则直线与椭圆的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．无法确定
(2)若直线 与圆没有交点，则过点的直线与椭圆的交点的个数为（ ）
A．0或1B．2C．1D．0或1或2
命题角度2 弦长问题
例7 (1)直线x－y＋1＝0被椭圆＋y2＝1所截得的弦长|AB|等于（ ）
A．B．C．D．
(2)过椭圆的左焦点作斜率为1的弦，则弦的长为（ ）
A．B．C．D．
(3)已知直线与椭圆交于M，N两点，且，则 .
跟踪训练7 (1)一条过原点的直线与椭圆的一个交点为，则它被椭圆截得的弦长等于（ ）
A．3B．6C．D．
(2)已知椭圆的右焦点为，左、右顶点为A、，，．则直线被椭圆截得的弦长为 ．
(3)已知直线：与椭圆：交于，两点．
( = 1 \* rman \* MERGEFORMAT i)求的取值范围；
( = 2 \* rman \* MERGEFORMAT ii)若，求的值．
【课堂巩固】
1．，为椭圆的两个焦点，P是椭圆上的点，且，则（ ）
A．9B．4C．2D．1
2．如果椭圆上一点到此椭圆一个焦点的距离为2，是的中点，是坐标原点，则的长为（ ）
A．6B．10C．8D．12
3．椭圆的焦距是（ ）
A．2B．C．D．
4．曲线与曲线一定有（ ）
A．相同的焦距B．相同的离心率
C．相等的长轴长D．相等的短轴长
5．点M与定点的距离和它到定直线的距离的比为，则点M的轨迹方程为（ ）
A．B．C．D．
6．直线与椭圆的位置关系是（ ）
A．相离B．相切C．相交D．无法确定
7．已知椭圆的左、右焦点分别为、，过且斜率为1的直线交椭圆于A、两点，则等于（ ）
A．B．C．D．
8．已知椭圆的焦点为、，P为椭圆上的一点，若，则的面积为（ ）
A．3B．9C．D．
9．已知椭圆的离心率为，则长轴与短轴的比值为 .
10．在平面直角坐标中，已知椭圆：（）的左焦点为，左顶点为，过点作轴的垂线在第二象限交椭圆于点，连接并延长交轴于点.若，则椭圆的离心率为 .
11．已知椭圆的两焦点为，点在椭圆上．若的面积最大为12，则椭圆的标准方程为 ．
12．椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，焦距为2，且经过点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)求椭圆的长轴长、短轴长、离心率、顶点坐标，并用描点法画出它的图形．
13．已知椭圆焦点为，且过点，椭圆第一象限上的一点到两焦点的距离之差为2．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)求外接圆的标准方程．
14．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦点在轴上，长轴长为4，焦距为2；
(2)经过两点；
(3)经过点，且与椭圆有共同的焦点.
15．已知离心率为的椭圆过点．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作斜率为直线与椭圆相交于两点，求的长．
【课时作业】
1．已知，动点C满足，则点C的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．直线 C．线段 D．点
2．若椭圆的离心率为，则椭圆的长轴长为（ ）
A．B．或
C．D．或
3．已知椭圆的方程为，弦AB过椭圆的焦点F1，另一焦点为F2，则△ABF2的周长为（ ）
A．8B．10C．16D．20
4．已知点P为椭圆上动点，分别是椭圆C的焦点，则的最大值为（ ）
A．2B．3C．D．4
5．椭圆的焦点为、，点在椭圆上且轴，则到直线的距离为（ ）
A．B．3C．D．
6．椭圆与椭圆的关系为（ ）
A．有相同的长轴长与短轴长B．有相同的焦距
C．有相同的焦点D．有相同的离心率
7．已知椭圆长轴、短轴的一个端点分别为A，B，F为椭圆的一个焦点，若为直角三角形，则该椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
8．直线与椭圆的两个交点在x轴上的射影恰为椭圆的两个焦点，则椭圆的离心率e等于（ ）
A． B． C． D．
9．（多选）对于椭圆，下面说法正确的是（ ）
A．长轴长为2B．短轴长为3C．离心率为D．焦距为2
10．（多选）关于椭圆有以下结论，其中正确的有（ ）
A．离心率为B．长轴长是
C．焦距2D．焦点坐标为
11．直线和曲线的位置关系为 .
12．已知P是圆上任一点，，线段PA的垂直平分线l和半径CP交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹方程为 .
13．已知是椭圆：的右焦点，直线过椭圆的下顶点且斜率为，以点为圆心、半焦距为半径的圆与直线相切，则椭圆的离心率为 .
14．已知为椭圆C：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为 ．
15．已知椭圆的左右焦点分别为、.
(1)求椭圆的长轴长、短轴长和焦点坐标；
(2)若点在椭圆上，且，求的外接圆的方程；
(3)求过点且与椭圆有相同焦点的椭圆方程.
16．圆：与轴的两个交点分别为，，点为圆上一动点，过作轴的垂线，垂足为，点满足 求点的轨迹方程．
17．椭圆C：左右焦点为，，离心率为，点在椭圆C上．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)经过点，倾斜角为直线l与椭圆交于B，C两点，求．
18．已知椭圆及直线．
（1）当为何值时，直线与椭圆有公共点？
（2）若直线被椭圆截得的弦长为，求直线的方程．
焦点的位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
标准方程
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)
eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)
范围
－a≤x≤a，－b≤y≤b
－b≤x≤b，－a≤y≤a
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)，
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，
B1(－b，0)，B2(b，0)
轴长
短轴长＝2b，长轴长＝2a
焦点
(±eq \r(a2－b2)，0)
(0，±eq \r(a2－b2))
焦距
|F1F2|＝2eq \r(a2－b2)
对称性
对称轴：x轴、y轴 对称中心：原点
离心率
e＝eq \f(c,a)∈(0,1)
直线与椭圆
解的个数
Δ的取值
两个不同的公共点
两解
Δ>0
一个公共点
一解
Δ＝0
没有公共点
无解
Δ<0
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