【暑假衔接】人教A版新高二数学 新课预习-3.3 抛物线（教师版+学生版）

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1．掌握抛物线的定义及其焦点、准线的概念.
2．会求简单的抛物线方程．
3．掌握抛物线的几何性质.
4．会求一些与抛物线有关的轨迹方程问题.
5．掌握直线与抛物线的位置关系的判断及相关问题．
【知识梳理】
知识点一 抛物线的定义
1．定义：平面内与一定点F和一条定直线l(不经过点F)距离相等的点的轨迹．
2．焦点：定点F.
3．准线：定直线l.
知识点二 抛物线的简单几何性质
知识点三 和抛物线有关的轨迹方程
根据定义，可以直接判定一个动点的轨迹是抛物线，求动点的轨迹方程．
知识点四 直线和抛物线
1．直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋b，,y2＝2px))解的个数，
即二次方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0解的个数．
当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；
若Δ＝0，直线与抛物线有一个公共点；
若Δ<0，直线与抛物线没有公共点．
当k＝0时，直线与抛物线的轴平行或重合，此时直线与抛物线有1个公共点．
2．抛物线的通径(过焦点且垂直于轴的弦)长为2p.
3．抛物线的焦点弦
过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的一条直线与它交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
①y1y2＝－p2，x1x2＝eq \f(p2,4)；
②eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AB))＝x1＋x2＋p；
③eq \f(1,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AF)))＋eq \f(1,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(BF)))＝eq \f(2,p).
【例题详解】
一、求抛物线的标准方程
例1 (1)已知点是拋物线的焦点，是上的一点，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据抛物线的定义即可求解.
【详解】由抛物线的定义可知，，所以．
故选：C.
(2)已知抛物线C与双曲线有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据双曲线的方程可求得其焦点坐标，从而可设抛物线的方程，利用焦点和双曲线焦点相同，求得参数值，即得答案.
【详解】由已知可知双曲线的焦点为,
故设抛物线方程为 ，则 ，
故 ，所以抛物线方程为,
故选:D.
(3)已知抛物线过点，则抛物线的标准方程为 ．
【答案】或
【分析】由于点在第四象限，所以抛物线的开口向右或向下，然后设出抛物线方程，将点的坐标代入可求出，从而可得抛物线方程
【详解】∵抛物线过点，且点在第四象限，
∴抛物线的开口向右或向下．
若开口向右，则设方程为，
∵过点，∴，
∴抛物线的标准方程为；
若开口向下，则设方程为，
∵过点，∴，
∴抛物线的标准方程为．
综上，抛物线的标准方程为或．
跟踪训练1 (1)已知点为抛物线：上一点，且点到轴的距离比它到焦点的距离小3，则（ ）
A．3B．6C．8D．12
【答案】B
【解析】由抛物线的定义可知点到焦点的距离等于它到准线的距离，可得，从而得出答案.
【详解】由题得，抛物线的准线方程为，
由抛物线的定义可知，点到焦点的距离等于它到准线的距离，
所以点到轴的距离比它到准线的距离小3，
于是得，所以．
故选：B
【点睛】本题考查抛物线的定义的应用，属于基础题.
(2)以椭圆的左焦点为焦点的抛物线的标准方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用椭圆和抛物线的几何意义求解即可.
【详解】由椭圆可得，
所以左焦点坐标为，
所以以为焦点的抛物线的标准方程为，
故选：C.
(3)已知抛物线的准线是圆与圆的公共弦所在的直线，则抛物线的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，求出两个圆的公共弦所在的直线方程，再求出抛物线方程作答.
【详解】将两圆、的方程相减得：，
显然圆的圆心到直线距离1小于其半径2，
圆的圆心到直线距离小于其半径，
因此直线是圆与圆的公共弦所在的直线，即抛物线的准线，
所以抛物线的标准方程为：.
故选：C
二、抛物线定义的应用
例2 (1)已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，若到直线的距离为7，则（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】B
【分析】根据题意转化为点到准线的距离为，结合抛物线的定义，即可求解.
【详解】由抛物线的焦点为，准线方程为，如图，
因为点在上，且到直线的距离为，
可得到直线的距离为，即点到准线的距离为，
根据抛物线的定义，可得点到焦点的距离等于点到准线的距离，
所以.
故选：B
(2)已知抛物线的焦点为，为抛物线上一个动点，，则的最小值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【分析】利用抛物线的定义，结合抛物线的性质，转化求解即可．
【详解】由题意可知抛物线的焦点坐标为，准线的方程为，过作于，
由抛物线定义可知，所以，
则当共线时取得最小值，所以最小值为．
故选：B．
(3)已知抛物线的焦点为F，点P在C上，若点，则周长的最小值为（ ）．
A．13B．12C．10D．8
【答案】A
【分析】由抛物线的定义结合三点共线取得最小值.
【详解】，故,
记抛物线的准线为，则：，
记点到的距离为，点到的距离为，
则.
故选：A.

(4)若抛物线C ：上的一点到焦点的距离为，到轴的距离为3，则 .
【答案】2
【分析】由抛物线的定义可得，解之即可求得.
【详解】抛物线C ：上的一点到焦点的距离为，
该点到准线的距离为.
又该点到轴的距离为3，
，解之可得或，
又.
故答案为：.
跟踪训练2 (1)已知点P是抛物线上的动点，点P在y轴上的射影是点M，已知点，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先由题意求得抛物线的准线和焦点，再利用抛物线的定义即可求得的最小值.
【详解】因为抛物线的方程为，
所以抛物线的准线：，焦点，
不妨设在准线：上的射影为，又，如图，
所以.
故选：A.
.
(2)设抛物线的焦点为F，l为准线，P为C上一动点，则点P到准线l的距离和点P到直线的距离之和的最小值为（ ）
A．4B．3C．D．
【答案】A
【分析】过点，作与直线垂直，垂足为，结合抛物线的定义可知.结合图象可知，当共线时，距离和取得最小值，根据点到直线的距离，即可得出答案.
【详解】由已知，可得，过点P作，垂足为.
由抛物线的定义，点到准线的距离等于点到焦点的距离.
过点，作与直线垂直，垂足为，
则，
当三点共线，且点位于线段上时，等号成立.
此时的最小值等于点到直线的距离.
故选：A.
三、抛物线的几何性质的应用
例3 (1)（多选）关于抛物线，下列说法正确的是（ ）
A．开口向左B．焦点坐标为 C．准线为 D．对称轴为轴
【答案】AD
【分析】根据抛物线标准方程依次判断选项即可得到答案.
【详解】对选项A，，开口向左，故A正确；
对选项B，，焦点为，故B错误；
对选项C，，准线方程为，故C错误；
对选项D，，对称轴为轴，故D正确.
故选：AD
(2)已知抛物线上一点到其准线及对称轴的距离分别为3和，则（ ）
A．2B．2或4C．1或2D．1
【答案】B
【解析】由题意，得到，结合抛物线方程，即可求出结果.
【详解】因为抛物线上一点到其准线及对称轴的距离分别为3和，
所以，即，代入抛物线方程可得，
整理得，解得或.
故选：B.
(3)O为坐标原点，F为抛物线的焦点，M为C上一点，若，则的面积为（ ）
A．B．C．8D．
【答案】A
【分析】先根据定义求出点的横坐标，将其代入抛物线方程，求出点的纵坐标，进而求出面积.
【详解】由可得抛物线的焦点，准线方程为，
由抛物线焦半径公式知，
将代入，可得，
所以的面积为，
故选：A．
跟踪训练3 (1)等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2＝2px(p>0)，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则△AOB的面积是( )
A．8p2 B．4p2 C．2p2 D．p2
【答案】B
【详解】因为抛物线的对称轴为x轴，内接△AOB为等腰直角三角形，所以由抛物线的对称性知，直线AB与抛物线的对称轴垂直，从而直线OA与x轴的夹角为45°.
由方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝x，,y2＝2px))
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝0，,y＝0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2p，,y＝2p，))
不妨设A，B两点的坐标分别为(2p，2p)和(2p，－2p)．
所以|AB|＝4p，所以S△AOB＝eq \f(1,2)×4p×2p＝4p2.
(2)边长为1的等边三角形AOB，O为坐标原点，AB⊥x轴，以O为顶点且过A，B的抛物线方程是( )
A．y2＝eq \f(\r(3),6)x B．y2＝－eq \f(\r(3),3)x
C．y2＝±eq \f(\r(3),6)x D．y2＝±eq \f(\r(3),3)x
【答案】C
【详解】设抛物线方程为y2＝ax(a≠0)．
又Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(±\f(\r(3),2)，\f(1,2)))(取点A在x轴上方)，则有eq \f(1,4)＝±eq \f(\r(3),2)a，
解得a＝±eq \f(\r(3),6)，所以抛物线方程为y2＝±eq \f(\r(3),6)x. 故选C.
(2)已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p>0)的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点，若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为eq \r(3)，则抛物线的焦点坐标为( )
A．(2,0) B．(1,0)
C．(8,0) D．(4,0)
【答案】B
【详解】因为eq \f(c,a)＝2，所以eq \f(c2,a2)＝eq \f(a2＋b2,a2)＝4，于是b2＝3a2，则eq \f(b,a)＝eq \r(3)，
故双曲线的两条渐近线方程为y＝±eq \r(3)x.
而抛物线y2＝2px(p>0)的准线方程为x＝－eq \f(p,2)，
不妨设Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，\f(\r(3)p,2)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，－\f(\r(3)p,2)))，
则|AB|＝eq \r(3)p，又三角形的高为eq \f(p,2)，
则S△AOB＝eq \f(1,2)·eq \f(p,2)·eq \r(3)p＝eq \r(3)，
即p2＝4.因为p>0，所以p＝2，故抛物线焦点坐标为(1,0)．
四、和抛物线有关的轨迹问题
例4 (1)动点满足方程，则点M的轨迹是（ ）
A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线
【答案】D
【分析】根据轨迹方程所代表的意义和抛物线的定义可得答案.
【详解】由得，
等式左边表示点和点的距离，等式的右边表示点到直线的距离，整个等式表示的意义是点到点的距离和到直线的距离相等，且点不在直线上，所以其轨迹为抛物线.
故选：D.
(2)设圆与y轴交于A，B两点（A在B的上方），过B作圆O的切线l，若动点P到A的距离等于P到l的距离，则动点P的轨迹方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意分别求得，的坐标与切线，再根据抛物线的定义即可求得动点的轨迹方程．
【详解】因为圆与轴交于，两点（在的上方），
所以，，
又因为过作圆的切线，
所以切线的方程为，
因为动点到的距离等于到的距离，
所以动点的轨迹为抛物线，且其焦点为，准线为，
所以的轨迹方程为．
故选：A.
跟踪训练4 已知动圆M与直线相切，且与定圆C：外切，那么动圆圆心M的轨迹方程为 .
【答案】
【分析】根据动圆与直线相切，且与定圆C：外切，可得动点到的距离与到直线的距离相等，由抛物线的定义知，点的轨迹是抛物线，由此易得轨迹方程．
【详解】解：方法一：由题意知，设，
则，
，
解得.
方法二：由题意知，动点M到的距离比到的距离多1，
则动点M到的距离与到的距离相等，
根据抛物线的定义，为准线，为焦点，
设抛物线为，，，
故.
故答案为：.
五、直线与抛物线的位置关系
例5 (1)已知过抛物线的焦点，且倾斜角为的直线交抛物线于A，B两点，则（ ）
A．32B．C．D．8
【答案】A
【分析】由题意可得直线的方程为，联立直线与抛物线的方程得，由韦达定理可得，再根据抛线的定义即可得答案.
【详解】解：因为抛物线，
所以，，
所以直线的方程为，
由，得，
显然，
设
则有，
所以，
由抛物线定义可知.
故选：A.
(2)（多选）已知抛物线的焦点为F，过焦点F的直线l交抛物线于A，B两点（其中点A在x轴上方），则（ ）
A．
B．弦AB的长度最小值为l
C．以AF为直径的圆与y轴相切
D．以AB为直径的圆与抛物线的准线相切
【答案】ACD
【分析】由弦长公式计算可得选项A、B；C、D选项，可以利用圆的性质，圆心到直线的距离等于半径判定直线与圆相切.
【详解】
由题，焦点，设直线,
联立，
，
，
同理可得，，
，故A选项正确；
，故弦AB的长度最小值为4，B选项错误；
记中点，则点M到y轴的距离为，
由抛物线的性质，，所以以AF为直径的圆与y轴相切，故C选项正确；
，记中点，
则点N到抛物线的准线的距离，故以AB为直径的圆与抛物线的准线相切，D选项正确.
故选：ACD.
【点睛】结论点睛：抛物线的焦点弦常见结论：
设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

(1)
(2)弦长 (α为弦AB的倾斜角)．
(3)以弦AB为直径的圆与准线相切．
(4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长度等于2p，通径是过焦点最短的弦．
(5) （定值）.
(6) 以AF或BF为直径的圆与y轴相切.
(3)已知抛物线：的焦点为，过点作的一条切线，切点为，则的面积为
【答案】
【分析】求出切点坐标后可求的面积.
【详解】过点作的一条切线，该切线的斜率必定存在，可设为，
则切线方程为：，
由可得即，
所以，故，所以，
而，故的面积为.

故答案为：
跟踪训练5 (1)已知命题p：，命题q：直线与抛物线有两个公共点，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】联立直线方程和抛物线方程，消元后利用判别式为正可求的范围，故可得正确的选项.
【详解】由和可得，
整理得到：，
因为直线与抛物线有两个不同的交点，故，
故，故命题q成立能推出命题p成立；
反之，若，取，此时仅有一个实数根，
故此时直线与抛物线仅有一个不同的交点，
故命题p成立不能推出命题q成立，
故p是q的必要不充分条件，
故选：B.
(2)（多选）设F为抛物线C：的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AB
【分析】求得直线AB的方程，代入抛物线方程，由根与系数的关系求解可判断CD；利用数量积的定义计算可判断B；由抛物线的定义求解可判断A．
【详解】抛物线C的焦点为，所以直线AB的方程为，
将代入，整理得，
设，由根与系数的关系得，故D错误；
，故C错误；
，故B正确；
由抛物线的定义可得，故A正确.
故选：AB．
【课堂巩固】
1．过点，且焦点在y轴上的抛物线的标准方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设抛物线方程为，代入点的坐标，即可求出的值，即可得解；
【详解】解：依题意设抛物线方程为，因为抛物线过点，
所以，解得，所以抛物线方程为；
故选：C
2．已知抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线交抛物线于两点，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意，作出抛物线与直线AB的图像，利用抛物线的定义将曲线上的点到焦点的距离转化为曲线上的点到准线的距离，借助几何图形可判断直线AB的倾斜角，从而可得答案．
【详解】如图，当点在第一象限时，过点分别向准线作垂线，垂足为，作，垂足为，
则轴，设，则，，
由抛物线的定义得，则有，
在中，等于直线的倾斜角，其正切值即为值，
，，∴，
于是直线l的倾斜角为，斜率．
当点在第四象限时，根据抛物线的对称性可得斜率为.
故选：D．
3．若动点到点的距离等于它到直线的距离，则点的轨迹方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据抛物线的定义求得正确答案.
【详解】依题意，动点到点的距离等于它到直线的距离，
所以的轨迹为抛物线，，
所以点的轨迹方程为.
故选：D
4．已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和距离之和的最小值是（ ）
A．B．2C．D．3
【答案】D
【分析】根据抛物线的定义可得动点到直线和直线的距离之和的最小值为焦点到直线的距离加1，由点到直线的距离公式计算可得选项.
【详解】由题可知是抛物线的准线，设抛物线的焦点为，则，
所以动点到的距离等于到的距离加1，即动点到的距离等于.
所以动点到直线和直线的距离之和的最小值为焦点到直线的距离加1，
即其最小值是.

故选：D
5．抛物线的焦点为F，点，P为抛物线上的动点，则的最小值为（ ）
A．B．3C．2D．
【答案】A
【分析】利用抛物线定义，结合图形可解.
【详解】如图，过点P作PH垂直于准线，垂直为H，
根据抛物线的定义，所以当A，P，H三点共线时最小，
此时.
故选：A．

6．抛物线上一点到直线距离的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】求出与平行且与相切的直线方程，从而与之间的距离即为上一点到直线距离的最小值，利用点到直线距离公式求出即可.
【详解】设直线与相切，
联立与得：，
由，得：，
则直线为，
故与之间的距离即为上一点到直线距离的最小值，
由两平行线间距离公式得：.
故选：A
7．在平面直角坐标系xOy中，抛物线上点到焦点的距离为3，则焦点到y轴的距离为（ ）
A．8B．4C．2D．1
【答案】C
【分析】由抛物线的性质可求得，从而可得焦点坐标.
【详解】抛物线的准线方程为：，
由抛物线的性质可知：点到焦点的距离等于到准线的距离，
即，得，抛物线方程为，
则焦点坐标为，焦点到y轴的距离为2.
故选：C
8．已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线交于点，与抛物线的一个交点为，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】作，根据共线向量可确定为中点，根据三角形中位线性质可求得，根据抛物线定义可求得，进而得到.
【详解】由抛物线方程知：，，
设准线与轴交于点，作，垂足为，
，为中点，又，，
由抛物线定义知：，.
故选：C.
9．（多选）已知抛物线的焦点在直线上，则抛物线的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】分焦点在轴，轴上进行讨论，根据条件求出即可
【详解】由于焦点在直线上，
则当焦点在y轴上时，令，
所以焦点坐标为：，
设方程为，由焦点坐标知，
所以抛物线的方程为：
当焦点在x轴上时，令，
所以焦点坐标为：，
设方程为，由焦点坐标知，
所以抛物线的方程为：，
故选：BC.
10．（多选）已知抛物线的焦点为是抛物线上一个动点，点，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．过点与抛物线有唯一公共点的直线有2条
C．的最小值为
D．点到直线的最短距离为
【答案】AD
【分析】先求出抛物线的焦点坐标和准线方程，根据该抛物线的性质逐项分析.
【详解】由抛物线方程知： ，焦点坐标为 ，准线方程为： ；
对于A， 表示点M到焦点F的距离，等于M点到准线的距离，即 ，正确；
对于B，如图：
过A点有 和y轴与抛物线C有一个交点，错误；
对于C，当M点在AF的连线上时， 最小，错误；
对于D，设 ，由点到直线距离公式得 ，
当 时，d最小， ，正确；
故选：AD.
11．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，则 ．
【答案】
【分析】根据抛物线的定义到焦点的距离等于到准线的距离计算可得.
【详解】抛物线的准线方程为，
因为点在抛物线上，且，所以，解得.
故答案为：
12．已知为抛物线上的动点，为抛物线的焦点，点，则周长的最小值为 .
【答案】7
【分析】设抛物线的准线为，过作于，过作于，由抛物线的性质可将的周长转化为，由图可知当三点共线时，取得最小值，从而可求得答案.
【详解】当时，，所以点在抛物线内，
由，得焦点为，准线为，
过作于，过作于，则，
所以的周长为，
由图可知当三点共线时，取得最小值，
此时的最小值为，
因为，
所以的最小值为7，即的周长的最小值为7，
故答案为：7

13．若点满足方程，则点P的轨迹是 ．
【答案】抛物线
【分析】根据轨迹方程所代表的意义判断点的轨迹满足曲线的定义.
【详解】由得，
等式左边表示点和点的距离，等式的右边表示点到直线的距离.
整个等式表示的意义是点到点的距离和到直线的距离相等，
其轨迹为抛物线.
故答案为：抛物线
14．已知抛物线的焦点为F，点M（3，6），点Q在抛物线上，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】根据抛物线的定义可求出结果.
【详解】抛物线的准线方程为，
过作准线的垂线，垂足为，则，
所以.当且仅当与准线垂直时，取等号.
所以的最小值为.

故答案为：.
15．分别求符合下列条件的抛物线方程:
(1)顶点在原点,以坐标轴为对称轴,且过点;
(2)顶点在原点,以坐标轴为对称轴,焦点到准线的距离为.
【答案】(1)或
(2)或或或
【分析】（1）由题意方程可设为或,将代入求解即可;
（2）根据抛物线的定义焦点到准线的距离为,即,写出抛物线方程即可.
【详解】（1）由题意,方程可设为或,
将点的坐标代入,得或,
∴或,
∴所求的抛物线方程为或.
（2）由焦点到准线的距离为,可知,
∴所求抛物线方程为或或或.
16．已知抛物线的焦点在直线上
(1)求抛物线的方程
(2)设直线经过点，且与抛物线有且只有一个公共点，求直线的方程
【答案】(1)
(2)的方程为、、
【分析】（1）求得点的坐标，由此求得，进而求得抛物线的方程.
（2）结合图象以及判别式求得直线的方程.
【详解】(1)抛物线的焦点在轴上，且开口向上，
直线与轴的交点为，则，
所以，抛物线的方程为.
(2)当直线的斜率不存在时，直线与抛物线只有一个公共点.
那个直线的斜率存在时，设直线的方程为，
，，
，解得或.
所以直线的方程为或.
综上所述，的方程为、、.
【课时作业】
1．若抛物线上的点到其焦点的距离是点到轴距离的3倍，则等于（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】D
【解析】由抛物线的定义得出，将点坐标代入方程可得．
【详解】由题意，，，则，解得
故选：D
2．若抛物线（）上一点到其焦点的距离为2，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】用焦半径公式解方程算出即可获解.
【详解】∵抛物线上的点到焦点的距离为2，
∴，即，则，
∴，则.
故选：D.
3．已知抛物线的焦点为，直线与该抛物线交于A，B两点，则（ ）
A．4B．C．8D．
【答案】D
【分析】根据题意可得抛物线的方程，从而可得坐标，从而得到.
【详解】因为抛物线的焦点为，则，所以抛物线方程为，
设，不妨令，
则可得，即，
所以.
故选:D
4．已知抛物线的焦点为F，点P在抛物线上且纵坐标为4，则（ ）
A．2B．3C．5D．6
【答案】C
【分析】利用抛物线的定义求解即可.
【详解】抛物线的焦点为，准线方程为，
点P在抛物线上，等于点P到准线的距离，点P纵坐标为4，则.
故选：C
5．过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A，B点，，且，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】根据，和抛物线的定义得到，，然后根据，得到直线的倾斜角为，即可得到，最后将点坐标代入抛物线方程中求即可.
【详解】
过点，作准线的垂线，交准线与，，过点作，交与点，
因为，所以，
又因为，所以，，，
在直角三角形中，，，所以，即直线的倾斜角为，所以，
将点坐标代入抛物线方程中可得，解得或（舍去）.
故选：C.
6．已知抛物线的焦点到其准线的距离为是抛物线上一点，若，则的最小值为（ ）
A．8B．6C．5D．4
【答案】D
【分析】由抛物线的焦点坐标求得，设在准线上的射影为，利用抛物线的定义进行转化后易得最小值．
【详解】由焦点到其准线的距离为得；
设在准线上的射影为如图,
则，
当且仅当共线时取得等号．所以所求最小值是4．
故选：D．
7．是抛物线的焦点，点，为抛物线上一点，到直线的距离为，则的最小值是（ ）
A．B．C．3D．
【答案】C
【分析】根据抛物线定义有，数形结合判断其最小值.
【详解】由题设，抛物线焦点，准线为，故，
如上图：，仅当共线且在两点之间时等号成立.
故选：C
8．若点，在抛物线上，是坐标原点，若等边三角形的面积为，则该抛物线的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据等边三角形的面积求得边长，根据角度求得点的坐标，代入抛物线方程求得的值.
【详解】设等边三角形的边长为，
则，解得．
根据抛物线的对称性可知，且，
设点在轴上方，则点的坐标为，即，
将代入抛物线方程得，
解得，故抛物线方程为．
故选：A
9．已知抛物线C：的焦点为F，A是C上一点，O为坐标原点，若，则的面积为（ ）
A．B．3C．D．6
【答案】A
【分析】利用题目所给的条件，计算出A点的坐标可得答案.
【详解】依题意作下图：

设，，所以，
可得，由，解得，所以，
所以.
故选：A.
10．过抛物线的焦点且斜率为的直线交抛物线于、两点，抛物线的准线为，于，于，则四边形的面积为（ ）
A．32B．C．64D．
【答案】D
【分析】设直线AB的方程为，与抛物线的方程联立整理得，求得，及，，，由面积公式求得四边形的面积得选项.
【详解】解：由抛物线得其焦点，设直线AB的方程为，
与抛物线的方程联立，整理得，即，解得，
所以，
所以，，，
所以四边形的面积为，
故选：D.
11．（多选）已知抛物线的焦点到准线的距离为2，则（ ）
A．焦点的坐标为
B．过点恰有2条直线与抛物线有且只有一个公共点
C．直线与抛物线相交所得弦长为8
D．抛物线与圆交于两点，则
【答案】ACD
【分析】先求出抛物线方程，对选项逐一判断即可.
【详解】由题可知抛物线方程为
对于A，焦点的坐标为，故A正确
对于B，过点有抛物线的2条切线，还有，共3条直线与抛物线有且只有一个交点，故B错误
对于C，，弦长为，故C正确
对于D，，解得（舍去），交点为，有，故D正确
故选：ACD
12．（多选）已知抛物线C的方程为，焦点为F，且过点，直线l：，点P是抛物线C上一动点，则（ ）
A．
B．的最小值为2
C．点P到直线l的距离的最小值为2
D．点P到直线l的距离与到准线的距离之和的最小值为
【答案】ABD
【分析】对于A，根据抛物线方程直接求解，对于B，设点，然后表示出，结合抛物线的性质可求出其最小值，对于C，设过点P且与直线l平行的直线为：，代入抛物线方程化简，由判别式等于零可求出，再利用两平行线间的距离公式可求得结果，对于D，由抛物线的性质可得点P到直线l的距离与到准线的距离之和的最小值就是点到直线l的距离.
【详解】∵抛物线C过点，则，∴，
∴抛物线C的方程为，则焦点的坐标为，故选项A正确；
设点，，则，故选项B正确；
设过点P且与直线l平行的直线为：，
与抛物线方程联立得，
令，解得，
∴：，此时两直线间的距离为，
∴点P到直线l距离的最小值为，故选项C错误；
∵点P到直线l的距离与到准线的距离之和大于等于点到直线l的距离，
∴点P到直线l的距离与到准线的距离之和的最小值为点到直线l的距离为，故D选项正确，
故选：ABD．
13．已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点，点是抛物线上一点，到准线的距离为，且，则抛物线的方程为 .
【答案】
【分析】根据抛物线的几何意义结合三角形种的关系求解即可
【详解】依题意可得，所以抛物线的方程为.
故答案为：
14．已知抛物线上的两点到焦点的距离之和为5，线段的中点的横坐标是2，则＝ ．
【答案】1
【分析】设，，中点坐标为，根据抛物线定义可得，再结合线段AB的中点的横坐标是2，可得，即可得答案.
【详解】解：设，，中点坐标为，
则，，
解得.
故答案为：1.
15．已知抛物线的焦点为，点，为抛物线上一动点，则周长的最小值为 .
【答案】/
【分析】过作准线的垂线，垂足为，过作准线的垂线，垂足为，进而结合抛物线的定义求解即可.
【详解】解：由题知，准线方程为.
如图，过作准线的垂线，垂足为，过作准线的垂线，垂足为，
所以周长，当且仅当为与抛物线的交点时等号成立.
故答案为：
16．设是坐标原点，是抛物线的焦点，是抛物线上的一点，与轴正向的夹角为，则 .
【答案】
【分析】由题意设，，代入抛物线方程，求出，即可求出点坐标，再由距离公式计算可得.
【详解】由题意设，，代入得，
解得或（舍去）．
，
.
故答案为：
17．已知抛物线，焦点为，准线为，抛物线上一点的横坐标为，且点到准线的距离为．
(1)求抛物线的方程；
(2)若为抛物线上的动点，求线段的中点的轨迹方程．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）先求抛物线的准线方程，根据抛物线的定义，即可求得结论；
（2）利用代入法，即可求线段的中点的轨迹方程．
【详解】（1）解：抛物线的准线方程为，
抛物线上一点的横坐标为，且点到准线的距离为，
根据抛物线的定义可知，
抛物线的方程是；
（2）解：由（1）知，设，，则，即，
而点在抛物线上，，
，即，
所以点的轨迹方程是．
18．已知动圆过定点，且与直线：相切，圆心的轨迹为．
(1)求动点的轨迹方程；
(2)过点作倾斜角为的直线交轨迹于，两点，求．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）设，利用题中条件建立等式，可求动点的轨迹方程；
（2）直线与曲线联立方程组，利用韦达定理和弦长公式计算弦长.
【详解】（1）设，由动圆过定点，且与直线：相切，
，整理得，
故动点的轨迹方程为．
（2）设，，直线的方程为，
则由，整理得,
．
19．已知动点与点的距离与其到直线的距离相等.
(1)求动点的轨迹方程；
(2)求点与点的距离的最小值，并指出此时的坐标.
【答案】(1)；
(2)，或
【分析】（1）利用抛物线的定义得解；
（2）设，求出即得解.
【详解】（1）解：由题意知动点到的距离与它到直线的距离相等，
所以动点的轨迹为以为焦点、以直线为准线的抛物线，
因此动点的轨迹方程为.
（2）解：设，
由两点间的距离公式得：，
当，即时，，
即当或时，点与点的距离最小，最小值为.
20．已知直线与抛物线交于两点，.
(1)求；
(2)设抛物线的焦点为，过点且与垂直的直线与抛物线交于，求四边形的面积.
【答案】(1)2；(2)32
【分析】（1）联立和抛物线方程，可得根与系数关系式，利用弦长公式即可求得答案；
（2）求出直线的方程，联立抛物线方程可得根与系数关系式，求出，根据四边形面积的计算可得答案.
【详解】（1）设，
由，可得，
易得，所以，
则，
即，因为，所以.
（2）由题意可得抛物线的焦点为，直线的方程为.
联立，化简可得，则，

设，则，
则，
因为，所以.
标准方程
y2＝2px(p>0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
图形
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
对称轴
x轴
x轴
y轴
y轴
焦点坐标
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，0))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(p,2)))
准线方程
x＝－eq \f(p,2)
x＝eq \f(p,2)
y＝－eq \f(p,2)
y＝eq \f(p,2)
顶点坐标
O(0,0)
离心率
e＝1
通径长
2p