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所属成套资源：【暑假衔接】高中数学新高二（高一升高二）暑假自学
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【暑假衔接】人教A版新高二数学 新课预习-1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题（教师版+学生版）
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1．理解点到直线、点到平面距离的公式及其推导.
2．利用空间向量求点到直线、点到平面、直线到直线、直线到平面、平面到平面的距离．
3．会用向量法求线线、线面、面面夹角.
4．能正确区分向量夹角与所求线线角、线面角、面面角的关系．
【知识梳理】
知识点一 点P到直线 l 的距离
已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量eq \(AP,\s\up6(→))=a，则向量eq \(AP,\s\up6(→))在直线l上的投影向量为eq \(AQ,\s\up6(→))＝，则点P到直线l的距离为eq \r(a2－a·u2) (如图)．
知识点二 点P到平面α的距离
设平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，则点P到平面α的距离为eq \f(|\(AP,\s\up6(→))·n|,|n|)(如图)．
知识点三 两个平面的夹角
平面α与平面β的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90° 的二面角称为平面α与平面β的夹角．
知识点四 空间角的向量法解法
【例题详解】
一、点到直线的距离
例1 (1)已知空间直角坐标系中的三点，，，则点A到直线的距离为（ ）
A．B．C．D．
(2)直线l的方向向量为，且l过点，则点到l的距离为__________.
(3)如图，在空间直角坐标系中有长方体求点B到直线的距离.
跟踪训练1 (1)已知直线l过点，且直线l的一个方向向量为，则坐标原点O到直线l的距离d为___________.
(2)如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，且，为棱的中点，点在上，且，则的中点到直线的距离是______．
二、点到平面的距离与直线到平面的距离
例2 如图，正方体的棱长为2，点为的中点．
(1)求点到平面的距离为；
(2)求到平面的距离．
跟踪训练2 (1)已知平面的一个法向量，点在内，则到的距离为（ ）
A．10 B．3 C． D．
(2)如图所示的多面体是由底面为的长方体被截面所截得到的，其中，，，，则点到平面的距离为（ ）
A．B．C．D．
(3)如图所示，若正方形ABCD的边长为1，平面ABCD，且，E、F分别为AB、BC的中点，则直线AC到平面PEF的距离为______．
三、两条异面直线所成的角
例3 (1)正方体中，E，F分别为，的中点，则异面直线AE与FC所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
(2)如图，在圆锥中，，为底面圆的两条直径，，且，，，异面直线与所成角的正切值为（ ）
A．B．C．D．
跟踪训练3 (1)在棱长均等的正三棱柱中，直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
(2)如图，在四棱锥中，，底面ABCD为长方形，，，Q为PC上一点，且，则异面直线AC与BQ所成的角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
四、直线与平面所成的角
例4 在四棱锥中，底面．
(1)证明：；
(2)求PD与平面所成的角的正弦值．
跟踪训练4 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，M，N分别为的中点，.
（1）证明：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
五、两个平面的夹角
例5 如图1，在直角梯形中，，，，，.现沿平行于的折叠，使得且平面，如图2所示.
(1)求的长度；
(2)求二面角的大小.
跟踪训练5 如图，在圆锥中，是底面的直径，是底面圆周上的一点，且，，，是的中点.
(1)求证：平面平面；
(2)求二面角的余弦值.
【课堂巩固】
1．已知空间中三点，则点到直线的距离为（ ）
A．B．C．D．
2．已知正方体的棱长为2，，分别为上底面和侧面的中心，则点到平面的距离为（ ）
A．B．C．D．
3．已知棱长为1的正方体 ABCD－A1B1C1D1，则平面 AB1C 与平面 A1C1D 之间的距离为( )
A．eq \f(\r(3),6) B．eq \f(\r(3),3) C．eq \f(2\r(3),3) D．eq \f(\r(3),2)
4．若异面直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角为150°，则l1与l2所成的角为( )
A．eq \f(π,6) B．eq \f(5π,6) C．eq \f(π,6)或eq \f(5π,6) D．以上均不对
5．在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
6．如图，在三棱锥中，平面，是边长为的正三角形，，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
7．已知点，若，两点在直线l上，则点A到直线l的距离为______.
8．在直三棱柱中，，，，分别为的中点.则点到平面的距离为__________.
9．已知向量为平面的法向量，点在内，则点到平面的距离为__________．
10．如图，在三棱锥中，，，两两垂直，，．
(1)求点到直线的距离；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
11．如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别为BB1,CC1的中点，，过点E, F, G的平面交AA1于点H，求D1A1到平面EFGH的距离．
12．如图，在空间直角坐标系中有单位正方体，点E是的中点，求直线与直线CE所成角的余弦值．
13．如图，在棱长为2的正方体中，E为棱BC的中点，F为棱CD的中点．
（I）求证：平面；
（II）求直线与平面所成角的正弦值．
（III）求二面角的正弦值．
14．如图，已知三棱柱，平面平面,，分别是的中点.
（1）证明：；
（2）求直线与平面所成角的余弦值.
15．如图，在底面是矩形的四棱雉中，平面，，，是PD的中点.
(1)求证：平面平面PAD；
(2)求平面EAC与平面ACD夹角的余弦值；
(3)求B点到平面EAC的距离.
【课时作业】
1．在棱长为2的正方体中，点E为棱的中点，则点到直线BE的距离为（ ）
A．3B．C．D．
2．直线l的方向向量为，且l过点，则点到直线l的距离为（ ）
A．B．C．D．
3．已知正方形的边长为1，平面，且，分别为的中点，则直线到平面的距离为（ ）
A．2 B． C． D．
4．如图，已知是侧棱长和底面边长均等于的直三棱柱，是侧棱的中点.则点到平面的距离为（ ）
A．B．C．D．
5．如图，在正方体中，点E是上底面的中心，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
6．已知向量m，n分别是平面α和平面β的法向量，若cs〈m，n〉＝－eq \f(1,2)，则α与β的夹角为( )
A．30° B．60° C．120° D．150°
7．设直线l与平面α相交，且l的方向向量为a，α的法向量为n，若〈a，n〉＝eq \f(2π,3)，则l与α所成的角为( )
A．eq \f(2π,3) B．eq \f(π,3) C．eq \f(π,6) D．eq \f(5π,6)
8．在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段上的中点，点M满足，则点M到直线AE的距离为________________．
9．已知平面的一个法向量，点在平面内，则点到平面的距离为__________.
10．在三棱锥中，平面平面，若棱长，且，则点到平面的距离为________．
11．已知正△ABC与正△BCD所在平面垂直，则平面ABD与平面BDC夹角的余弦值为____．
12．如图，已知正三棱柱的所有棱长均为1，则线段上的动点P到直线的距离的最小值为______.
13．如图，在棱长为2的正方体中，E为的中点．
(1)求证：平面；
(2)求点C到平面的距离．
13．如图，在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段的中点．
(1)求直线与平面所成角的余弦值．
(2)求直线到平面的距离．
14．斜三棱柱的各棱长都为2，，点在下底面ABC的投影为AB的中点O．
(1)在棱（含端点）上是否存在一点D使？若存在，求出BD的长；若不存在，请说明理由；
(2)求点到平面的距离．
15．如图在边长是2的正方体中，E，F分别为AB，的中点．
（1）求异面直线EF与所成角的大小．
（2）证明：平面．
16．如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=2，点P，Q分别为A1B1，BC的中点．
（1）求异面直线BP与AC1所成角的余弦值；
（2）求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值．
17．如图，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角为．设M，N分别为的中点．
(1)证明：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
18．如图，在四棱锥中，，底面ABCD为菱形，边长为2，，
且，异面直线PB与CD所成的角为，
(1)求证：
(2)若E是线段OC的中点，求点E到直线BP的距离.
(3)求平面APB与平面PBC夹角的余弦值．
角的分类
向量求法
范围
两条异面直线所成的角
设两异面直线 l1，l2 所成的角为θ，其方向向量分别为u，v，则cs θ＝|cs〈u，v〉|＝ eq \f(|u·v|,|u||v|)
eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))
直线与平面所成的角
设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cs 〈u，n〉|＝eq \f(|u·n|,|u||n|)
eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))
两个平面的夹角
设平面α与平面β的夹角为θ，平面α，β的法向量分别为n1，n2，则cs θ＝|cs 〈n1，n2〉|＝eq \f(|n1·n2|,|n1||n2|)
eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))
1．理解点到直线、点到平面距离的公式及其推导.
2．利用空间向量求点到直线、点到平面、直线到直线、直线到平面、平面到平面的距离．
3．会用向量法求线线、线面、面面夹角.
4．能正确区分向量夹角与所求线线角、线面角、面面角的关系．
【知识梳理】
知识点一 点P到直线 l 的距离
已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量eq \(AP,\s\up6(→))=a，则向量eq \(AP,\s\up6(→))在直线l上的投影向量为eq \(AQ,\s\up6(→))＝，则点P到直线l的距离为eq \r(a2－a·u2) (如图)．
知识点二 点P到平面α的距离
设平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，则点P到平面α的距离为eq \f(|\(AP,\s\up6(→))·n|,|n|)(如图)．
知识点三 两个平面的夹角
平面α与平面β的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90° 的二面角称为平面α与平面β的夹角．
知识点四 空间角的向量法解法
【例题详解】
一、点到直线的距离
例1 (1)已知空间直角坐标系中的三点，，，则点A到直线的距离为（ ）
A．B．C．D．
(2)直线l的方向向量为，且l过点，则点到l的距离为__________.
(3)如图，在空间直角坐标系中有长方体求点B到直线的距离.
跟踪训练1 (1)已知直线l过点，且直线l的一个方向向量为，则坐标原点O到直线l的距离d为___________.
(2)如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，且，为棱的中点，点在上，且，则的中点到直线的距离是______．
二、点到平面的距离与直线到平面的距离
例2 如图，正方体的棱长为2，点为的中点．
(1)求点到平面的距离为；
(2)求到平面的距离．
跟踪训练2 (1)已知平面的一个法向量，点在内，则到的距离为（ ）
A．10 B．3 C． D．
(2)如图所示的多面体是由底面为的长方体被截面所截得到的，其中，，，，则点到平面的距离为（ ）
A．B．C．D．
(3)如图所示，若正方形ABCD的边长为1，平面ABCD，且，E、F分别为AB、BC的中点，则直线AC到平面PEF的距离为______．
三、两条异面直线所成的角
例3 (1)正方体中，E，F分别为，的中点，则异面直线AE与FC所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
(2)如图，在圆锥中，，为底面圆的两条直径，，且，，，异面直线与所成角的正切值为（ ）
A．B．C．D．
跟踪训练3 (1)在棱长均等的正三棱柱中，直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
(2)如图，在四棱锥中，，底面ABCD为长方形，，，Q为PC上一点，且，则异面直线AC与BQ所成的角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
四、直线与平面所成的角
例4 在四棱锥中，底面．
(1)证明：；
(2)求PD与平面所成的角的正弦值．
跟踪训练4 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，M，N分别为的中点，.
（1）证明：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
五、两个平面的夹角
例5 如图1，在直角梯形中，，，，，.现沿平行于的折叠，使得且平面，如图2所示.
(1)求的长度；
(2)求二面角的大小.
跟踪训练5 如图，在圆锥中，是底面的直径，是底面圆周上的一点，且，，，是的中点.
(1)求证：平面平面；
(2)求二面角的余弦值.
【课堂巩固】
1．已知空间中三点，则点到直线的距离为（ ）
A．B．C．D．
2．已知正方体的棱长为2，，分别为上底面和侧面的中心，则点到平面的距离为（ ）
A．B．C．D．
3．已知棱长为1的正方体 ABCD－A1B1C1D1，则平面 AB1C 与平面 A1C1D 之间的距离为( )
A．eq \f(\r(3),6) B．eq \f(\r(3),3) C．eq \f(2\r(3),3) D．eq \f(\r(3),2)
4．若异面直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角为150°，则l1与l2所成的角为( )
A．eq \f(π,6) B．eq \f(5π,6) C．eq \f(π,6)或eq \f(5π,6) D．以上均不对
5．在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
6．如图，在三棱锥中，平面，是边长为的正三角形，，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
7．已知点，若，两点在直线l上，则点A到直线l的距离为______.
8．在直三棱柱中，，，，分别为的中点.则点到平面的距离为__________.
9．已知向量为平面的法向量，点在内，则点到平面的距离为__________．
10．如图，在三棱锥中，，，两两垂直，，．
(1)求点到直线的距离；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
11．如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别为BB1,CC1的中点，，过点E, F, G的平面交AA1于点H，求D1A1到平面EFGH的距离．
12．如图，在空间直角坐标系中有单位正方体，点E是的中点，求直线与直线CE所成角的余弦值．
13．如图，在棱长为2的正方体中，E为棱BC的中点，F为棱CD的中点．
（I）求证：平面；
（II）求直线与平面所成角的正弦值．
（III）求二面角的正弦值．
14．如图，已知三棱柱，平面平面,，分别是的中点.
（1）证明：；
（2）求直线与平面所成角的余弦值.
15．如图，在底面是矩形的四棱雉中，平面，，，是PD的中点.
(1)求证：平面平面PAD；
(2)求平面EAC与平面ACD夹角的余弦值；
(3)求B点到平面EAC的距离.
【课时作业】
1．在棱长为2的正方体中，点E为棱的中点，则点到直线BE的距离为（ ）
A．3B．C．D．
2．直线l的方向向量为，且l过点，则点到直线l的距离为（ ）
A．B．C．D．
3．已知正方形的边长为1，平面，且，分别为的中点，则直线到平面的距离为（ ）
A．2 B． C． D．
4．如图，已知是侧棱长和底面边长均等于的直三棱柱，是侧棱的中点.则点到平面的距离为（ ）
A．B．C．D．
5．如图，在正方体中，点E是上底面的中心，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
6．已知向量m，n分别是平面α和平面β的法向量，若cs〈m，n〉＝－eq \f(1,2)，则α与β的夹角为( )
A．30° B．60° C．120° D．150°
7．设直线l与平面α相交，且l的方向向量为a，α的法向量为n，若〈a，n〉＝eq \f(2π,3)，则l与α所成的角为( )
A．eq \f(2π,3) B．eq \f(π,3) C．eq \f(π,6) D．eq \f(5π,6)
8．在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段上的中点，点M满足，则点M到直线AE的距离为________________．
9．已知平面的一个法向量，点在平面内，则点到平面的距离为__________.
10．在三棱锥中，平面平面，若棱长，且，则点到平面的距离为________．
11．已知正△ABC与正△BCD所在平面垂直，则平面ABD与平面BDC夹角的余弦值为____．
12．如图，已知正三棱柱的所有棱长均为1，则线段上的动点P到直线的距离的最小值为______.
13．如图，在棱长为2的正方体中，E为的中点．
(1)求证：平面；
(2)求点C到平面的距离．
13．如图，在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段的中点．
(1)求直线与平面所成角的余弦值．
(2)求直线到平面的距离．
14．斜三棱柱的各棱长都为2，，点在下底面ABC的投影为AB的中点O．
(1)在棱（含端点）上是否存在一点D使？若存在，求出BD的长；若不存在，请说明理由；
(2)求点到平面的距离．
15．如图在边长是2的正方体中，E，F分别为AB，的中点．
（1）求异面直线EF与所成角的大小．
（2）证明：平面．
16．如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=2，点P，Q分别为A1B1，BC的中点．
（1）求异面直线BP与AC1所成角的余弦值；
（2）求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值．
17．如图，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角为．设M，N分别为的中点．
(1)证明：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
18．如图，在四棱锥中，，底面ABCD为菱形，边长为2，，
且，异面直线PB与CD所成的角为，
(1)求证：
(2)若E是线段OC的中点，求点E到直线BP的距离.
(3)求平面APB与平面PBC夹角的余弦值．
角的分类
向量求法
范围
两条异面直线所成的角
设两异面直线 l1，l2 所成的角为θ，其方向向量分别为u，v，则cs θ＝|cs〈u，v〉|＝ eq \f(|u·v|,|u||v|)
eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))
直线与平面所成的角
设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cs 〈u，n〉|＝eq \f(|u·n|,|u||n|)
eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))
两个平面的夹角
设平面α与平面β的夹角为θ，平面α，β的法向量分别为n1，n2，则cs θ＝|cs 〈n1，n2〉|＝eq \f(|n1·n2|,|n1||n2|)
eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))
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