【暑假衔接】人教A版新高二数学 新课预习-1.1.1 空间向量及其线性运算（教师版+学生版）

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【划重点】
1．理解空间向量的有关概念.
2．类比平面向量，会用平行四边形法则、三角形法则作出向量的和与差.
3．理解向量共线、向量共面的定义.
4．掌握共线向量定理和共面向量定理，会证明空间三点共线、四点共面．
【知识梳理】
知识点一 空间向量的概念
1．定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量．
注：空间中的任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量．
2．长度或模：向量的大小．
3．表示方法：
①几何表示法：空间向量用有向线段表示；
②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作eq \(AB,\s\up6(→))，其模记为|a|或|eq \(AB,\s\up6(→))|.
4．几类特殊的空间向量
知识点二 空间向量的线性运算
知识点三 共线向量
1．空间两个向量共线的充要条件
对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.
2．直线的方向向量
在直线l上取非零向量a，我们把与向量a平行的非零向量称为直线 l 的方向向量．
知识点四 共面向量
1．共面向量
如图，如果表示向量a的有向线段eq \(OA,\s\up6(→))所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线l.如果直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量．
2．向量共面的充要条件
如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，
使p＝xa＋yb.
【例题详解】
一、向量概念的应用
例1 (1)下列关于空间向量的说法中正确的是（ ）
A．方向相反的两个向量是相反向量
B．空间中任意两个单位向量必相等
C．若向量满足，则
D．相等向量其方向必相同
(2)下列命题中，正确的是（ ）.
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
跟踪训练1 (1)下列关于空间向量的说法中错误的是（ ）
A．零向量与任意向量平行
B．任意两个空间向量一定共面
C．零向量是任意向量的方向向量
D．方向相同且模相等的两个向量是相等向量
(2)给出下列命题：
①将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆；
②若空间向量满足，则；
③在正方体中，必有 ；
④若空间向量 满足，，则；
⑤空间中任意两个单位向量必相等；其中假命题的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、空间向量的加减运算
例2 (1)空间向量（ ）
A．B．C．D．
(2)已知空间向量，化简的结果为（ ）
A．B．C．D．
跟踪训练2 (1)（多选）已知平行六面体，则下列各式运算结果是的为（ ）
A．B．
C．D．
(2)在正方体中，________．
三、空间向量的线性运算
例3 (1)已知在空间四边形中，，则（ ）
A．B．C．D．
(2)如图，平行六面体中，AC与BD的交点为M，设，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）
A．B．
C．D．
跟踪训练3 (1)在三棱锥中，是的中点，则________.
(2)如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC的中点．
( = 1 \* rman \* MERGEFORMAT i)化简：－－＝________；
( = 2 \* rman \* MERGEFORMAT ii)用，，表示，则＝________.
四、向量共线的判定及应用
例4 (1)满足下列条件，能说明空间不重合的A、B、C三点共线的是( )
A．B．
C．D．
(2)如图，已知空间四边形，点，分别是，的中点，点，分别是，上的点，且，. 用向量法求证：四边形是梯形.

跟踪训练4 (1)已知空间向量，，且，，，则一定共线的三点是（ ）
A．B．C．D．
(2)已知A，B，C三点共线，O为直线外空间任意一点，若eq \(OC,\s\up6(→))＝meq \(OA,\s\up6(→))＋neq \(OB,\s\up6(→))，则m＋n＝________.
五、向量共面的判定
例5 (1)对于空间任意一点和不共线的三点、、，有如下关系：，则（ ）.
A．四点、、、必共面
B．四点、、、必共面
C．四点、、、必共面
D．五点、、、、必共面
(2)已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，求证：
( = 1 \* rman \* MERGEFORMAT i)E，F，G，H四点共面；
( = 2 \* rman \* MERGEFORMAT ii)BD∥平面EFGH.
跟踪训练5 (1)对于空间任意一点O和不共线的三点A、B、C，有如下关系：，则（ ）
A．四点P、A、B、C不一定共面B．四点P、A、B、C必共面
C．四点O、P、B、C必共面D．无法判断
(2)如图，已知O､A､B､C､D､E､F､G､H为空间的9个点，且，，，，，. 求证：
( = 1 \* rman \* MERGEFORMAT i)A､B､C､D四点共面，E､F､G､H四点共面；
( = 2 \* rman \* MERGEFORMAT ii)；
( = 3 \* rman \* MERGEFORMAT iii).
【课堂巩固】
1．已知，，，为空间中的任意四点，则（ ）
A．B．C．D．
2．下列命题为真命题的是（ ）
A．若两个空间向量所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量
B．若，则､的长度相等且方向相同
C．若向量､满足，且与同向，则
D．若两个非零向量与满足，则.
3．对于空间中的三个向量，，，它们一定是（ ）
A．共面向量B．共线向量C．不共面向量D．无法判断
4．若空间中任意四点O，A，B，P满足，其中m＋n＝1，则（ ）
A．P∈ABB．P∉AB
C．点P可能在直线AB上D．以上都不对
5．在下列条件中，能使与，，一定共面的是（ ）
A．B．
C．D．
6．（多选）在正方体中，下列各式中运算结果为的是（ ）
A．B．
C．D．
7．（多选）如图所示，在长方体中，，则在以八个顶点中的两个分别为始点和终点的向量中（ ）
A．单位向量有8个
B．与相等的向量有3个
C．与的相反向量有4个
D．向量共面
8．空间中任意四个点，，，，则________．
9．如图，在长方体中，设，，，则______．
10．已知向量，，不共面，，，．求证：B，C，D三点共线．
【课时作业】
1．正方体中，化简（ ）
A．B．C．D．
2．如图，在平行六面体中，E是的中点，则（ ）
A．B．
C．D．
3．对空间中任意一点和不共线的三点，能得到在平面内的是（ ）
A．B．
C．D．
4．有下列命题：
①若与平行，则与所在的直线平行；
②若与所在的直线是异面直线，则与一定不共面；
③若、、两两共面，则、、一定也共面；
④若与是平面上互不平行的向量，点，点，则与、一定不共面．
其中正确命题的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
5．在长方体中，，，点分别在棱上，，，则（ ）
A． B． C． D．
6．若向量与不共线且，，，则（ ）
A．，，共线B．与共线
C．与共线D．，，共面
7．给出下列命题：
①若A，B，C，D是空间任意四点，则有；
②是，共线的充要条件；
③若，共线，则；
④对空间任意一点O与不共线的三点A，B，C，若币（其中x，y，），则P，A，B，C四点共面.
其中不正确命题的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
8．已知，是空间两个不共线的向量，，那么必有（ ）
A．，共线B．，共线
C．，，共面D．，，不共面
9．（多选）如图，在三棱柱中，P为空间一点，且满足，，则（ ）
A．当时，点P在棱上
B．当时，点P在棱上
C．当时，点P在线段上
D．当时，点P在线段上
10．（多选）空间四点及空间任意一点，由下列条件一定可以得出四点共面的有（ ）
A．B．
C．D．
11．如图，已知空间四边形，连接分别是的中点，则________．
12．光丘楼亦称“余木楼”“鼓楼”“东昌楼”，位于山东省聊城市，其墩台为砖石砌成的正四棱台，直观图如图所示，其上下底面边长之比约为，则______．
13．已知长方体，若为与的交点，则___________.
14．设，是两个不共线的空间向量，若，，，且A，C，D三点共线，则实数k的值为______.
15．如图所示，在三棱柱中，是的中点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量.
(1)；
(2)；
(3).
16．如图，已知，分别为四面体的面与面的重心，为上一点，且.求证：，，三点共线.
名称
定义及表示
零向量
长度为0的向量叫做零向量，记为0
单位向量
模为1的向量称为单位向量
相反向量
与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为 －a
共线向量(平行向量)
如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a，都有0∥a
相等向量
方向相同且模相等的向量称为相等向量
空间向量的线性运算
加法
a＋b＝eq \(OA,\s\up6(→))＋ eq \(AB,\s\up6(→)) ＝eq \(OB,\s\up6(→))
减法
a－b＝eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \(CA,\s\up6(→))
数乘
当λ>0时，λa＝λeq \(OA,\s\up6(→))＝eq \(PQ,\s\up6(→))；
当λ<0时，λa＝λeq \(OA,\s\up6(→))＝eq \(MN,\s\up6(→))；
当λ＝0时，λa＝0
运算律
交换律：a＋b＝b＋a；
结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a；
分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.