【暑假衔接】人教A版新高二数学 新课预习-1.2 空间向量基本定理（教师版+学生版）

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1．掌握空间向量基本定理.
2．会用基底法表示空间向量.
3．初步体会利用空间向量基本定理求解立体几何问题的思想．
【知识梳理】
知识点一 空间向量基本定理
如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.
我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．
知识点二 空间向量的正交分解
1．单位正交基底
如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底 ，常用{i，j，k}表示．
2．向量的正交分解
由空间向量基本定理可知，对空间任一向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk使得a＝xi＋yj＋zk. 像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解．
知识点三 证明平行、共线、共面问题
(1) 对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.
(2) 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.
知识点四 求夹角、证明垂直问题
(1)θ为a，b的夹角，则cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|).
(2)若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0.
知识点五 求距离(长度)问题
eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a))＝eq \r(a·a)( eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up6(→))))＝eq \r(\(AB,\s\up6(→))·\(AB,\s\up6(→))) )．
【例题详解】
一、空间的基底
例1 (1)为空间的一组基底，则下列各项中能构成基底的一组向量是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
【答案】C
【分析】确定，，排除ABD，得到答案.
【详解】对选项A：，向量共面，故不能构成基底，错误；
对选项B：，向量共面，故不能构成基底，错误；
对选项C：假设，即，这与题设矛盾，假设不成立，可以构成基底，正确；
对选项D：，向量共面，故不能构成基底，错误；
故选：C
(2)已知平面ABC，，，，则空间的一个单位正交基底可以为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据正交基地的定义可知，三个向量两两互相垂直，且模长为1.
【详解】因为平面ABC，AB、AC都在面ABC内，
所以，.
因为，，，所以，又SA=1，
所以空间的一个单位正交基底可以为.
故选：A
跟踪训练1 (1)设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底，给出下列向量组：①{a，b，x}，②{b，c，z}，③{x，y，a＋b＋c}，其中可以作为空间一个基底的向量组有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
【答案】B
【详解】因为x＝a＋b，所以向量x，a，b共面．
如图，
令a＝eq \(AB,\s\up6(→))，b＝eq \(AA1,\s\up6(→))，c＝eq \(AD,\s\up6(→))，则x＝eq \(AB1,\s\up6(→))，y＝eq \(AD1,\s\up6(→))，z＝eq \(AC,\s\up6(→))，
a＋b＋c＝eq \(AC1,\s\up6(→)).
可知向量b，c，z和x，y，a＋b＋c不共面，故选B.
(2)已知空间的一个基底{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋c，若m与n共线，则x＋y＝________.
【答案】0
【详解】因为m与n共线，所以xa＋yb＋c＝z(a－b＋c)．
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝z，,y＝－z，,1＝z.))所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝－1.))所以x＋y＝0.
二、空间向量基本定理
例2 (1)在平行六面体中，为的中点，为的中点，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】设，根据空间向量的线性运算表达，再联立求解即可.
【详解】设则.
所以，，所以.
故选：C
(2)如图，在四面体OABC中，，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用空间向量基本定理求解出，从而求出.
【详解】因为，所以，
又，所以．
故选：D
跟踪训练2 (1)如图，在四面体中，，，，为的重心，为的中点，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】首先用，，，表示向量，再利用为的中点，得代入整理得答案.
【详解】因为为的重心，所以.
为的中点，所以.
故选：C.
(2)已知四棱锥，底面为平行四边形，M，N分别为棱BC，PD上的点，，，设，，，则向量用为基底表示为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由图形可得，根据比例关系可得，，再根据向量减法，代入整理并代换为基底向量．
【详解】
即
故选：D．
三、证明平行、共面问题
例3 如图，在四面体ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点.
（1）求证：E，F，G，H四点共面；
（2）求证：平面EFGH；
（3）设M是EG和FH的交点，求证：对空间任意一点O，有.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析
【分析】（1）根据题意得出可证；
（2）通过证明可得；
（3）可得四边形EFGH为平行四边形，为EG中点，即可证明.
【详解】（1）E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，
，，，
又E，F，G，H四点不共线，故E，F，G，H四点共面；
（2）E，H分别是AB，AD的中点，
，，，
平面EFGH，平面EFGH，平面EFGH；
（3）由（1）知四边形EFGH为平行四边形，为EG中点，
E，G分别是AB，CD的中点，
.
跟踪训练3 (1)如图，已知斜三棱柱，在和上分别取点，，使，，其中，求证：平面.
【答案】证明见解析
【分析】用、表示，即可得到与向量，共面，从而得证.
【详解】证明 因为，
，
所以，
所以与向量，共面，
而平面，
所以平面.
(2)如图，在四面体中，点、分别为、的中点，问：与、是否共面？
【答案】共面，理由见解析.
【分析】计算可得，以及，可得出关于、的表达式，由此可得出结论.
【详解】，且、分别为、的中点，
所以，.
因此，与、共面.
四、求夹角、证明垂直问题
例4 如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点．设，，.
(1)求证EG⊥AB；
(2)求异面直线AG和CE所成角的余弦值．
【分析】（1）作出辅助线，利用三线合一证明出，从而得到线面垂直，进而证明线线垂直；
（2）用表达与，利用空间向量夹角公式求解异面直线AG和CE所成角的余弦值.
【详解】（1）证明：连接DE，
因为空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，且E，G分别是AB，CD的中点，
所以，
故，
又因为，平面，
所以平面，
因为平面，
所以.
（2）由题意得：均为等边三角形且边长为1，
所以
，，
所以
，
设异面直线AG和CE所成角为，
则
跟踪训练4 已知平行六面体的底面是边长为1的菱形，且，.
（1）证明：；
（2）求异面直线与夹角的余弦值.
【答案】（1）证明见详解；（2）
【解析】（1）由题，选定空间中三个不共面的向量为基向量，只需证明即可；
（2）用基向量求解向量的夹角即可，先计算向量的数量积，再求模长，代值计算即可.
【详解】设，，
由题可知：两两之间的夹角均为，且，
（1）由
所以即证.
（2）由，又
所以，
又
则
又异面直线夹角范围为
所以异面直线夹角的余弦值为.
【点睛】本题考查用基向量求解空间向量的问题，涉及异面直线的夹角，以及线线垂直的证明，是难得的好题，值得总结此类方法.
五、求距离(长度)问题
例5 如图，在平行六面体中，两两夹角为60°，长度分别为2，3，1，点P在线段BC上，且，记.
（1）试用表示；
（2）求模.
【答案】（1）； （2）.
【分析】（1）利用空间向量的线性运算，即可用，，表示.
（2）由（1）得，根据向量的模的运算及向量的数量积，即可得出答案.
【详解】（1），
.
（2）因为AB，AD，两两夹角为60°，长度分别为2，3，1.
所以，
.
.
【点睛】本题考查空间向量的加减法运算和向量的模，以及运用向量的数量积运算，同时考查空间想象能力和计算能力.
跟踪训练5 如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为2，且PA与AB、AD的夹角都等于60°，M是PC的中点，设，，.
(1)试用表示向量；
(2)求BM的长.
【答案】(1)；(2)
【分析】利用空间向量基本定理用基底表示；（2）在第一问的基础上运用空间向量数量积运算法则进行运算.
【详解】（1）
（2）
，所以，则BM的长为.
【课堂巩固】
1．下列说法正确的是（ ）
A．若向量、共线，则向量、所在的直线平行．
B．若、、是空间三个向量，则对空间任一向量，总存在唯一的有序实数组，使．
C．若向量、所在的直线是异面直线，则向量、一定不共线．
D．若三个向量、、两两共面，则三个向量、、一定共面．
【答案】C
【分析】根据空间向量的相关概念以及空间向量基本定理分析判断.
【详解】对于A：若向量、共线，则向量、所在的直线平行或重合，故A错误；
对于B：根据空间向量基本定理可知，此时、、应是空间三个不共面的向量，故B错误；
对于C：反证：若向量、共线，则向量、所在的直线平行或重合，
这与向量、所在的直线是异面直线相矛盾，故C正确；
对于D：若三个向量、、两两共面，则三个向量、、不一定共面，
例如、、所在的直线为三棱锥的三条侧棱，故D错误；
故选：C.
2．是空间的一组基底，则可以与向量构成基底的向量（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用向量基底的定义和共面向量的充要条件逐一判断即可求解.
【详解】因为是空间的一组基底，所以不共面，不共线，
因为，若，则，
显然这样的不存在，所以不共线，
对于A，因为，所以，
由共面的充要条件知，共面，故不能构成基底向量，故A错误；
对于B，因为，所以，
由共面的充要条件知，共面，故不能构成基底向量，故B错误；
对于C，因为，若，显然这样的不存在，
所以不能用与表示，不共面，
故能构成基底向量，故C正确；
对于D，因为，所以，
由共面的充要条件知，共面，故不能构成基底向量，故D错误.
故选：C.
3．如图，在正方体，中，点是的中点，点在上，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据空间向量的加法和数乘运算，以及相等向量的转化，即可求解.
【详解】易知，，，，，，所以.
故选：D
4．如图，二面角α－l－β等于eq \f(2π,3)，A，B是棱l上两点， BD, AC 分别在平面α，β内，AC⊥l ，BD⊥l ，
且 2AB＝AC＝BD＝2，则CD的长等于( )
A．2eq \r(3) B.eq \r(13) C．4 D．5
【答案】B
【详解】∵二面角α－l－β等于eq \f(2π,3)，AC⊥l,BD⊥l，所以〈eq \(CA,\s\up6(→))，eq \(BD,\s\up6(→))〉＝π－eq \f(2π,3)＝eq \f(π,3)，
∵eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))，
∴eq \(CD,\s\up6(→))2＝eq \(CA,\s\up6(→))2＋eq \(AB,\s\up6(→))2＋eq \(BD,\s\up6(→))2＋2eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＋2eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))＋2eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))
＝22＋12＋22＋0＋0＋2×2×2×cs eq \f(π,3)＝13.即CD＝eq \r(13).
5．如图，三棱锥S－ABC中，SA⊥底面 ABC，AB⊥BC，AB＝BC＝2，SA＝2eq \r(2)，则SC与AB所成角的大小为( )
A．90° B．60° C．45° D．30°
【答案】B
【详解】因为SA⊥底面ABC，所以SA⊥AC，SA⊥AB，所以eq \(AS,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝0，
又AB⊥BC，AB＝BC＝2，
所以 ∠BAC＝45° ，AC＝2eq \r(2) .
因此eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up6(→))))eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AC,\s\up6(→))))cs 45°＝2×2eq \r(2)×eq \f(\r(2),2)＝4，
所以eq \(SC,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AS,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝4，
又SA＝2eq \r(2)，所以 SC＝eq \r(SA2＋AC2)＝4 ，
因此cs〈eq \(SC,\s\up6(→))，eq \(AB,\s\up6(→))〉＝eq \f(\(SC,\s\up6(→))·\(AB,\s\up6(→)),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(SC,\s\up6(→))))\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up6(→)))))＝eq \f(4,4×2)＝eq \f(1,2) ，
所以SC与AB所成角的大小为60° .
6．（多选）已知是空间的一个基底，若，则错误的是（ ）
A．是空间的一组基底B．是空间的一组基底
C．是空间的一组基底D．与中的任何一个都不能构成空间的一组基底
【答案】ABD
【分析】根据空间向量基底的概念逐项分析判断即可求出结果.
【详解】解：对于A选项，，所以共面，故错误；
对于B选项，，所以共面，故错误；
对于C选项，假设，即，得，这与是空间的一个基底矛盾，故是空间的一组基底，正确；
对于D选项，由C选项可知D选项错误.
故选：ABD
7．如图，已知▱ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠D＝60°，PA⊥平面ABCD，且PA＝6，则PC的长为________．
【答案】7
【详解】∵eq \(PC,\s\up6(→))＝eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→))，
∴|eq \(PC,\s\up6(→))|2＝eq \(PC,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))＝(eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→)))2＝|eq \(PA,\s\up6(→))|2＋|eq \(AD,\s\up6(→))|2＋|eq \(DC,\s\up6(→))|2＋2eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＋2eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→))＋2eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→))
＝62＋42＋32＋2|eq \(AD,\s\up6(→))||eq \(DC,\s\up6(→))|cs 120°＝61－12＝49.
∴PC＝7.
8．已知是空间的一个单位正交基底，向量是空间的另一个基底，用基底表示向量___________.
【答案】
【分析】设，然后整理解方程组即可.
【详解】设，
即有，
因为是空间的一个单位正交基底，
所以有，
所以.
故答案为：
9．如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝DD1.求证：A，E，C1，F四点共面.
【答案】证明见解析.
【分析】根据空间向量定义及运算法则，用，表示出，从而证得四点共面.
【详解】证明:因为
＝
＝＋
＝，
所以，，共面，
所以A，E，C1，F四点共面.
10．如图，在长方体中，M为的中点，N在AC上，且．求证：与、共面．
【答案】证明见解析
【分析】用表示出后可得结论．
【详解】因为，，，
所以，
所以与、共面．
11．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是DD1的中点，O是底面ABCD的中心．求证：B1O⊥平面PAC.
【详解】证明 如图，连接BD，则BD过点O，令eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AD,\s\up6(→))＝b，eq \(AA1,\s\up6(—→))＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝1，
且eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＝a＋b，
eq \(OB1,\s\up6(—→))＝eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(BB1,\s\up6(—→))＝eq \f(1,2)eq \(DB,\s\up6(→))＋eq \(BB1,\s\up6(—→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→)))＋eq \(BB1,\s\up6(—→))＝eq \f(1,2)a－eq \f(1,2)b＋c .
∴eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(OB1,\s\up6(—→))＝(a＋b)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)a－\f(1,2)b＋c))
＝eq \f(1,2)|a|2＋eq \f(1,2)a·b－eq \f(1,2)a·b－eq \f(1,2)|b|2＋a·c＋b·c＝eq \f(1,2)－eq \f(1,2)＝0.
∴eq \(AC,\s\up6(→))⊥eq \(OB1,\s\up6(—→))，即AC⊥OB1.
又eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(DD1,\s\up6(—→))＝b＋eq \f(1,2)c，
∴eq \(OB1,\s\up6(—→))·eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)a－\f(1,2)b＋c))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b＋\f(1,2)c))
＝eq \f(1,2)a·b－eq \f(1,2)|b|2＋c·b＋eq \f(1,4)a·c－eq \f(1,4)b·c＋eq \f(1,2)|c|2
＝－eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)＝0，
∴eq \(OB1,\s\up6(—→))⊥eq \(AP,\s\up6(→))，
即OB1⊥AP.又AC∩AP＝A，AC，AP⊂平面PAC，
∴OB1⊥平面PAC.
12．如图，空间四边形的各边及对角线长都为2，E是的中点，F在上，且.
（1）用表示；
（2）求向量与向量所成角的余弦值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）由E是的中点，F在上，得到，进而结合向量的基本定理，即可求解；
（2）由（1）分别求得，，以及
，结合向量的夹角公式，即可求解.
【详解】（1）因为E是的中点，F在上，且，
所以，
于是.
（2）由（1）得，
因此，
，
又因为，
所以向量与向量所成角的余弦值为.
【点睛】本题主要考查了空间向量的基本定理，以及向量的数量积和向量的夹角公式的应用，其中解答中熟记向量的线性运算法则，以及向量的数量积积的运算公式是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于中档试题.
【课时作业】
1．若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
【答案】C
【分析】根据基底的性质，结合共面向量的性质逐一判断即可.
【详解】假设，，是共面向量，则存在 使，因为构成空间的一个基底，所以有，因此假设成立，故选项A不符合题意；
假设，，是共面向量，则存在 使，因为构成空间的一个基底，所以有，因此假设成立，故选项B不符合题意；
假设，，是共面向量，则存在 使，即，
因为构成空间的一个基底，所以上式向量式无实数解，因此假设不成立，故选项C符合题意；
假设，，是共面向量，则存在 使，因为构成空间的一个基底，
所以有，因此假设成立，故选项D不符合题意，
故选：C
2．如图，在四面体中，点在棱上，且满足，点，分别是线段，的中点，则用向量，，表示向量应为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用空间向量基本定理以及空间向量的线性运算进行求解即可．
【详解】解：因为，所以，
因为点，分别是线段，的中点，
所以，
所以．
故选：A．
3．如图，平行六面体中，为的中点.若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用向量的加减法公式，对向量进行分解，进而求出，，的值.
【详解】，故，，，即
故选：.
4．已知是空间的一组基底，其中，，.若A，B，C，D四点共面，则λ=（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意，设存在唯一的实数对，使得，结合向量的数乘运算和相等向量的概念计算，即可求解.
【详解】由题意，设存在唯一的实数对，使得，
即，
则，
则x=2，，，解得.
故选：D.
5．如图，平行六面体，其中，，，，，，则的长为（ ）
A．B．C．D．10
【答案】C
【分析】利用空间向量基本定理表达出，平方后利用空间向量数量积公式求出，得到的长.
【详解】，故
，
故.
故选：C
6．点是三棱锥底面的重心，且满足，则为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】连接并延长交于点，连接，则为的中点，由重心的性质可得出，利用空间向量的线性运算可得出关于、、的表达式，即可得出实数的值.
【详解】连接并延长交于点，连接，则为的中点，
所以，，
因为为的重心，则，即，
所以，，即，故.
故选：C.
7．（多选）设是空间一个基底，则下列选项中正确的是（ ）
A．若，，则
B．，，一定能构成空间的一个基底
C．对空间中的任一向量，总存在有序实数组，使
D．存在有序实数对，使得
【答案】BC
【分析】根据空间向量的基本定理，对选项中的命题进行分析、判断正误即可．
【详解】对于，，，不能得出，也可能是、相交不一定垂直，选项错误；
对于，假设向量，，共面，则，、，
化简得，所以、、共面，这与已知矛盾，所以选项正确；
对于，根据空间向量基本定理知，对空间任一向量，总存在有序实数组,,，使，选项正确；
对于，因为是空间一个基底，所以与、不共面，选项错误．
故选：．
8．（多选）如图，在三棱柱中，，分别是，上的点，且，．设，，，若，，，则下列说法中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】利用向量的线性运算的几何表示，向量数量积的定义及运算律逐项分析即得.
【详解】因为，，
所以，，
所以，
故A错误；
因为，，，
所以，
所以，故B正确；
因为，，
所以，故C错误；
因为，所以，
因为，
所以，
所以，故D正确.
故选：BD.
9．如图，、、分别是正方体的棱、、的中点，是上的点，平面.若，则___________.
【答案】
【分析】设，其中，将、、用基底表示，分析可知、、共面，则存在、，使得，根据空间向量的基本定理可得出关于、、的方程组，解出的值，即可得出的长度.
【详解】设，其中，，
，
，
因为平面，则、、共面，显然、不共线，
所以，存在、，使得，
即
，
因为为空间中的一组基底，所以，，解得，
因此，.
故答案为：.
10．在四面体中，是棱的中点，且，则的值为__________.
【答案】0
【分析】利用空间向量加减法法则，把用表示出来，即可求出结果.
【详解】
如图所示，因为是棱的中点，
所以，
则，
所以，
故答案为：0.
11．如图，两个正方形，的边长都是3，且二面角为，为对角线靠近点的三等分点，为对角线的中点，则线段______.
【答案】
【分析】由已知可得.进而表示出，即可根据数量积的运算性质求出，进而即可求出答案.
【详解】由已知可得，，，所以即为二面角的平面角，即.
因为，为对角线的中点，所以.
因为为对角线靠近点的三等分点，所以，
所以.
所以，
所以.
所以，
所以线段.
故答案为：.
12．设是空间的一个单位正交基底，且向量，若，则用基底表示向量______________．
【答案】
【分析】设，从而根据列出方程组，求出，求出答案.
【详解】设，
则，
故，解得：，故
故答案为：
13．如图所示，四面体中，G，H分别是的重心，设，点D，M，N分别为BC，AB，OB的中点．
(1)试用向量表示向量；
(2)试用空间向量的方法证明MNGH四点共面．
【答案】(1)，；(2)证明见解析
【分析】（1）结合空间向量的线性运算即可求出结果；
（2）证得，即可得出结论.
【详解】（1）
因为，
而，
又D为的中点，所以，
所以
．
（2）因为，
，
所以，
，所以．
所以四点共面．
14．如图所示，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱AM的长为3，且，N是CM的中点，设，，，用、、表示向量，并求BN的长．
【答案】，
【分析】根据题中条件，由向量的线性运算，即可得出；再由向量模的计算公式，结合题中条件，可求出，即得出结果.
【详解】解：因为是的中点，底面是正方形，
所以
，
又由题意，可得，，，，
，
因此
，
所以，即的长为.
15．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝B1B＝1，M，N分别是AD，DC的中点．求异面直线MN与BC1所成角的余弦值．
【详解】eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \(DN,\s\up6(→))－eq \(DM,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(DC,\s\up6(→))－eq \(DA,\s\up6(→)))，
eq \(BC1,\s\up6(—→))＝eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CC1,\s\up6(—→))＝－eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \(DD1,\s\up6(—→)) ，
所以eq \(MN,\s\up6(→))·eq \(BC1,\s\up6(—→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)\(DC,\s\up6(→))－\f(1,2)\(DA,\s\up6(→))))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\(DA,\s\up6(→))＋\(DD1,\s\up6(—→))))＝eq \f(1,2)eq \(DA,\s\up6(→))2＝eq \f(1,2)，
又eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(MN,\s\up6(→))))＝eq \f(1,2)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AC,\s\up6(→))))＝eq \f(\r(5),2)， eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(BC1,\s\up6(—→))))＝eq \r(2)，
所以 cs〈eq \(MN,\s\up6(→))，eq \(BC1,\s\up6(—→))〉＝eq \f(\(MN,\s\up6(→))·\(BC1,\s\up6(—→)),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(MN,\s\up6(→))))\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(BC1,\s\up6(—→)))))＝eq \f(\f(1,2),\f(\r(5),2)×\r(2))＝eq \f(\r(10),10)，
故异面直线MN与BC1所成角的余弦值为eq \f(\r(10),10).
16．如图，在底面为菱形的平行六面体中，分别在棱上，且，且．
(1)用向量表示向量；
(2)求证：共面；
(3)当为何值时，．
【答案】(1)；(2)证明见解析；(3)1
【分析】（1）根据空间向量线性运算法则计算可得；
（2）根据空间向量线性运算法则得到，即可证明共面；
（3）设，因为底面为菱形，则当时，，由，即可得出答案.
【详解】（1）．
（2）证明：，，
，共面．
（3）当，，
证明：设，
底面为菱形，则当时，，
，，
，
，
．