【暑假衔接】人教A版新高二数学 新课预习-1.1.2 空间向量的数量积运算（教师版+学生版）

这是一份【暑假衔接】人教A版新高二数学 新课预习-1.1.2 空间向量的数量积运算（教师版+学生版），文件包含暑假衔接人教A版新高二数学新课预习-112空间向量的数量积运算教师版docx、暑假衔接人教A版新高二数学新课预习-112空间向量的数量积运算学生版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共45页， 欢迎下载使用。

1．会识别空间向量的夹角.
2．熟记数量积公式a·b＝|a||b|cs〈a，b〉及其变形.
3．能用空间向量数量积解决简单的立体几何问题．
4．理解并熟记向量a在向量b上的投影向量：|a|cs〈a，b〉eq \f(b,|b|)
【知识梳理】
知识点一 空间向量的夹角
1．定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉．
2．范围：0≤〈a，b〉≤π.
特别地，当〈a，b〉＝eq \f(π,2)时，a⊥b.
知识点二 空间向量的数量积
知识点三 向量a的投影
1．如图(1)，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cs〈a，b〉eq \f(b,|b|)，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．类似地，可以将向量a向直线l投影(如图(2))．
2．如图(3)，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到eq \(A′B′,\s\up6(———→))，向量eq \(A′B′,\s\up6(———→))称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，eq \(A′B′,\s\up6(———→))的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角．
【例题详解】
一、数量积的计算
例1 (1)如图，已知四棱锥的各棱长均为，则（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】D
【分析】依题意可得底面四边形为正方形，为边长为的正三角形，根据，数量积的运算律及数量积的定义计算可得.
【详解】因为四棱锥的各棱长均为，则四棱锥为正四棱锥，
所以底面四边形为正方形，为边长为的正三角形，
所以，且，
因为，
所以.
故选：D
(2)如图所示，已知空间四边形ABDC的对角线和每条边长都等于1，点E、F分别是AB、AD的中点．计算：
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①；
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②；
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③；
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④．
【分析】确定向量的模与向量的夹角，再运用向量的数量积运算即可.
【详解】 = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①因为，
由题意，可知，所以，
所以.
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②.
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③由题意，可知，
.
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④
.
跟踪训练1 (1)已知空间四面体D­ABC的每条棱长都等于1，点E，F分别是AB，AD的中点，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题意可得，再利用空间向量的数量积运算即可得到答案.
【详解】因为点分别是的中点，所以，，
所以，则，
又因为空间四面体D­ABC的每条棱长都等于1，所以是等边三角形，则，
所以.
故选：B．
.
(2)如图，在直三棱柱中，，E，F分别为棱的中点，则_____________．
【答案】4
【分析】由空间向量线性运算的几何表示，结合空间向量的数量积运算即可求.
【详解】在直三棱柱中，，E，F分别为棱的中点，
则
故答案为：4
二、利用数量积证明垂直问题
例2 (1)如图，四面体OABC各棱的棱长都是1，D，E分别是OC，AB的中点，记，，.
( = 1 \* rman \* MERGEFORMAT i)用向量表示向量；
( = 2 \* rman \* MERGEFORMAT ii)求证.
【分析】( = 1 \* rman \* MERGEFORMAT i)通过空间向量的加减和数乘运算，结合图形即可得到答案；
( = 2 \* rman \* MERGEFORMAT ii)通过空间向量数量积的运算即可证明.
【详解】( = 1 \* rman \* MERGEFORMAT i)根据题意，
.
( = 2 \* rman \* MERGEFORMAT ii)根据题意，相互之间的夹角为，且模均为1，由（1）
，
所以.
(2)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点，求证：A1O⊥平面GBD.
【详解】证明 设eq \(A1B1,\s\up6(—→))＝a，eq \(A1D1,\s\up6(—→))＝b，eq \(A1A,\s\up6(—→))＝c，
则a·b＝0，b·c＝0，a·c＝0，|a|＝|b|＝|c|.
∵eq \(A1O,\s\up6(—→))＝eq \(A1A,\s\up6(—→))＋eq \(AO,\s\up6(→))＝eq \(A1A,\s\up6(—→))＋eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))
＝c＋eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b，
eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＝b－a，
eq \(OG,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))＋eq \(CG,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))＋eq \f(1,2)eq \(CC1,\s\up6(—→))＝eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b－eq \f(1,2)c，
∴eq \(A1O,\s\up6(—→))·eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c＋\f(1,2)a＋\f(1,2)b))·(b－a)
＝c·b－c·a＋eq \f(1,2)a·b－eq \f(1,2)a2＋eq \f(1,2)b2－eq \f(1,2)b·a
＝eq \f(1,2)(b2－a2)
＝eq \f(1,2)(|b|2－|a|2)＝0.
于是eq \(A1O,\s\up6(—→))⊥eq \(BD,\s\up6(→))，即A1O⊥BD.
同理可证eq \(A1O,\s\up6(—→))⊥eq \(OG,\s\up6(→))，即A1O⊥OG.
又∵OG∩BD＝O，OG⊂平面GBD，BD⊂平面GBD，
∴A1O⊥平面GBD.
跟踪训练2 (1)已知：如图，OB是平面α的斜线，O为斜足，，A为垂足，，且．求证：．
【答案】证明见解析
【分析】要证，只要证，即证，结合空间向量分析运算．
【详解】因为，所以，
因为，，所以，．
又，所以，
故．
三、用数量积求解夹角和模
例3 (1)如图，已知平行六面体中，底面ABCD是边长为1的菱形，，.
( = 1 \* rman \* MERGEFORMAT i)求线段的长；
( = 2 \* rman \* MERGEFORMAT ii)求异面直线与所成角的大小.
【分析】( = 1 \* rman \* MERGEFORMAT i)设，，然后表示出，然后结合已知条件，利用数量积求解即可；
( = 2 \* rman \* MERGEFORMAT ii)利用，，表示出，，然后利用数量积求得即可证明.
【详解】( = 1 \* rman \* MERGEFORMAT i)设，，，
则，，，，，
∵，
∴
∴线段的长为.
( = 2 \* rman \* MERGEFORMAT ii)∵，，
∴，
∴，
故异面直线与所成的角为90°.
(2)如图，正四面体（四个面都是正三角形）OABC的棱长为1，M是棱BC的中点，点N满足，点P满足．
( = 1 \* rman \* MERGEFORMAT i)用向量表示；
( = 2 \* rman \* MERGEFORMAT ii)求．
【答案】( = 1 \* rman \* MERGEFORMAT i)；( = 2 \* rman \* MERGEFORMAT ii)
【分析】( = 1 \* rman \* MERGEFORMAT i)根据空间向量的线性运算即可求解；
( = 2 \* rman \* MERGEFORMAT ii)先计算，再开方即可求解
【详解】( = 1 \* rman \* MERGEFORMAT i)因为M是棱BC的中点，点N满足，点P满足．
所以
．
( = 2 \* rman \* MERGEFORMAT ii)因为四面体是正四面体，则，
，
，
所以．
跟踪训练3 棱长为2的正方体中，E，F分别是，DB的中点，G在棱CD上，且，H是的中点．
(1)求．
(2)求FH的长．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）将分别用表示，再根据数量积的运算律分别求出，再根据即可得解；
（2）将用表示，再根据数量积的运算律即可得解.
【详解】（1）由题意，
，
，
则
，
，
，
所以；
（2）
，
所以
，
所以FH的长为.
四、投影向量
例4 (1)四棱锥中，底面，底面是矩形，则在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】过点和点分别作直线的垂线，由垂足确定在向量上的投影向量.
【详解】四棱锥如图所示，
底面是矩形，∴，
底面，底面，∴，
过向量的始点作直线的垂线，垂足为点，过向量的终点作直线的垂线，垂足为点，在向量上的投影向量为，由底面是矩形,，
故选：B
(2)如图，在三棱锥中，平面，，，．试确定在上的投影向量，并求．
【答案】，
【分析】由题意可知，即可转化为，并化简利用数量积公式运算即可求得的值；由投影向量的定义可得在上的投影向量为，化简运算即可等于.
【详解】 平面，，
因为．
又，
所以在上的投影向量为：
，
由数量积的几何意义可得：．
跟踪训练4 如图，已知 平面 ， ， ，则向量 在 上的投影向量等于____.
【答案】
【分析】先求出，再根据投影向量的公式计算即可.
【详解】平面，
则，
向量在上的投影向量为
故答案为：.
【课堂巩固】
1．已知，均为空间单位向量，它们的夹角为60°，那么等于（ ）
A．B．C．D．4
【答案】C
【分析】根据，展开后根据空间向量的数量积公式计算即可得到结果.
【详解】由题意可得，
.
故选：C
2．空间四边形中，，，则的值是（ ）
A．0B．C．D．
【答案】A
【分析】根据向量关系可得，再化简计算求得即可求出.
【详解】因为
，
因为，所以，
所以，
故选：A.
3．已知正四面体的棱长为为棱的中点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用基底表示出，利用数量积的定义可求答案.
【详解】因为M是棱CD的中点，所以
所以.
故选：D.
4．四面体中，，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意得
，由数量积公式计算即可.
【详解】由题知，，
所以
，
所以，解得，
故选：C
5．（多选）已知四面体中，，，两两垂直，则以下结论中一定成立的是（ ）
A．；B．
C．；D．
【答案】ACD
【分析】利用，，两两垂直，可得，对于A选项，两边平方化简后相等可判断A选项；对于B选项，将，代入化简得到不一定为0，可判断B选项；对于C选项，左边直接平方利用向量垂直数量积为0化简，可判断C选项；对于D选项，将，同理，可判断D选项.
【详解】由题意可知，，，两两垂直，所以，
对于A选项，
，
，故，所以A选项正确；
对于B选项，，
当时，，否则不成立，所以选项B不正确；
对于C选项，
，所以选项C正确；
对于D选项，，同理可得，，
所以，选项D正确，
故选：ACD
6．（多选）在棱长均为1的四面体中，下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【分析】取的中点，连接，，通过证明平面，即可得到，从而判断A，根据空间向量线性运算判断B，根据空间向量数量积的定义判断C，根据数量积的运算律求出，即可判断D；
【详解】解：取的中点，连接，，∴，，
，平面，
所以平面，又平面，所以，则，故A正确；
因为，故B正确；
∵，，
又，，
所以，故C正确；
因为，
所以，故D不正确，
故选：ABC.
7．在棱长为1的正方体中，为棱上任意一点，则=_______.
【答案】1
【分析】根据空间向量的线性运算及数量积的运算性质求解.
【详解】如图，在正方体中，为棱上任意一点，则，，
.
故答案为：1.
8．若ABCD为空间四边形，则______．
【答案】0
【分析】由向量的减法运算可知，代入并结合数量积的运算性质即可得出结果．
【详解】
．
故答案为：0．
9．已知在三棱锥中，，则___________.
【答案】
【分析】用表示目标向量，结合空间向量的数量积运算即可求得结果.
【详解】
.
故答案为：.
10．已知向量，向量与的夹角都是，且，试求
(1)；
(2)．
【答案】(1)11；(2)
【分析】（1）计算，展开计算得到答案.
（2），代入计算得到答案.
【详解】（1）向量，向量与的夹角都是，且，
，
；
（2）
11．如图所示，在棱长为2的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求：
(1)·；
(2)·；
(3)·.
【答案】(1)1；(2)2；(3)0
【分析】分别将，，转化为，，后根据数量积定义计算即可.
【详解】（1）在正四面体ABCD中，
（2）
（3）
在正四面体ABCD中，，
故
12．如图, 在直三棱柱 (即平面),, , 求
【答案】1
【分析】直三棱柱中可得，根据 ，由勾股定理可知，由向量的线性运算可得，从而有转化为化简即可求得答案.
【详解】∵平面，.
又，∴E为BC的中点，．
又
.
13．如图，在平行六面体中，，，，M，N分别为，中点．
(1)求的长；
(2)证明：．
【分析】（1）设，，，将用表示出来，根据向量的模长公式即可得到结果.
（2）将，分别用表示出来，根据，即可证明.
【详解】（1）设，，，则，，，，
．
因为
，
所以
（2）证明：因为
，
所以．
14．如图，空间四边形的各边及对角线长为，是的中点，在上，且，设，，，
(1)用，，表示；
(2)求向量与向量所成角的余弦值.
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）利用空间向量的线性运算即可求解；
（2）计算的值即可得，再计算的值，由空间向量夹角公式即可求解.
【详解】（1）因为，，，
所以.
（2）因为空间四边形的各边及对角线长为，
所以四面体是正四面体，，且，，间的夹角为，
所以，
，
，
所以，所以，
所以向量与向量所成角的余弦值为.
【课时作业】
1．在空间四边形中，等于（ ）
A．B．0C．1D．不确定
【答案】B
【分析】令，利用空间向量的数量积运算律求解.
【详解】令，
则，
，
.
故选：B
2．已知，，均为空间单位向量，它们之间的夹角均为，那么（ ）
A．2 B． C． D．6
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用空间向量数量积的运算律、垂直关系的向量表示求解作答.
【详解】因为，，均为空间单位向量，它们之间的夹角均为，，
所以
.
故选：C
3．空间有一四面体A-BCD，满足，，则所有正确的选项为（ ）
①；
②若∠BAC是直角，则∠BDC是锐角；
③若∠BAC是钝角，则∠BDC是钝角；
④若且，则∠BDC是锐角
A．②B．①③C．②④D．②③④
【答案】C
【分析】由题意知，，可判断①；若∠BAC是直角，则，可判断②；设，，由余弦定理可判断③；若且，则，可得可判断④.【详解】对于①，因为，，所以，，
则，故①不正确；
对于②，若∠BAC是直角，则，
所以∠BDC是锐角，故②正确；
对于③，若∠BAC是钝角，设，，
在中，由余弦定理可得：，
而，所以在中，，
所以∠BDC为锐角，所以③不正确；
对于④，，
若且，则，
因为，
，所以∠BDC是锐角，故④正确；
故选：C.
4．已知正四面体ABCD的棱长为a，点E，F分别是BC，AD的中点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据向量的线性运算得出，，根据正四面体的性质得出，且、、三向量两两夹角为，即可通过向量数量积的运算率得出答案.
【详解】
四面体ABCD是正四面体，
，且、、三向量两两夹角为，
点E，F分别是BC，AD的中点，
，，
则，
故选：C.
5．如图，二面角的平面角为，，，，，，，若，则长为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】C
【分析】根据式子，根据空间向量数量积的运算律即可求出的长．
【详解】因为，，所以，
因为二面角的余弦值是，所以，即，
所以
，
所以，即的长为．
故选:C．
6．已知直三棱柱中，，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用向量的加减法则逆运算得，结合夹角与模长计算即可.
【详解】在直三棱柱中，侧棱与底面垂直，则
，
故选：A.
7．（多选）如图，已知四面体的所有棱长都等于，分别是的中点，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】利用空间数量积运算法则计算出ABC三个选项中的结果；作出辅助线，证明出⊥，得到.
【详解】由题意得：四面体为正四面体，
故，
故，A正确；
因为分别是的中点，
所以，，且，，
故，B错误；
，C正确；
取的中点，连接，
因为均为等边三角形，
所以⊥，且⊥，
因为，且平面，
所以⊥平面，
因为平面，
所以⊥，⊥，
故，D正确.
故选：ACD
8．（多选）已知四面体A－BCD的所有棱长均为2，E，F分别为棱AB，CD的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】CD
【分析】由异面直线和向量平行的定义判断A，由空间向量数量积的运算判断BC，由空间向量的线性运算判断D．
【详解】由题意可得四面体A－BCD为正四面体，如图.
A：因为平面ABC＝A，平面ABC，且，平面，由异面直线的定义可知，AF，CE为异面直线，故A错误；
B：因为F分别为棱CD的中点，所以，故B错误；
C：因为，所以，故C正确；
D：因为E，F分别为棱AB，CD的中点，所以，所以，故D正确.
故选：CD.
9．如图，在平行六面体中，，且，，则的长为____________．
【答案】
【分析】，结合向量数量积运算，求模即可．
【详解】设，，，则，，
由，
则，，
又，
则．
所以线段的长为．
故答案为：．
10．如图，正四面体的长为1，，则______．
【答案】
【分析】选为基底，然后表示，利用向量的数量积的公式计算即可.
【详解】
．
故答案为：
11．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，且，分别为上的点，且，__________.
【答案】
【分析】根据给定条件选定基底向量，并表示出，再利用向量运算即可得解.
【详解】在四棱锥中，底面为平行四边形，连接AC，如图，，，
则
，
又，，，
则，，
因此，
.
故答案为：.
12．平行六面体，，，若，则______.
【答案】
【分析】由几何体中线段对应向量的数量关系有，应用向量数量积的运算律、定义列方程即可求.
【详解】
如上图知：，
所以，
故.
故答案为：
13．如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条边的长度都为1，且两两夹角为.求的长.
【答案】
【分析】由题可得，且，利用空间向量数量积的运算求出的值，即可得解.
【详解】由已知可得，且，
由空间向量数量积的定义可得，
所以，，
因此，，即的长为.
14．如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的菱形，，
(1)求线段的长；
(2)求证：．
【分析】（1），结合向量数量积运算，求模即可.
（2），由向量数量积关于垂直的表示即可判断.
【详解】（1）设，则，
∵，则.
∵，∴.
故线段的长为.
（2）证明：∵，∴.
故.
15．如图，在平行六面体中，，且，
(1)试用表示向量.
(2)若，，，求的长.
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）由三角形法则以及数乘运算得出；
（2）计算，得出的长.
【详解】（1）
（2）
即，∴.
16．如图，在平行六面体中，，，，，，，与相交于点.
(1)求；
(2)求；
(3)求的长.
【答案】(1)4；(2)；(3).
【分析】（1）利用数量积的公式求数量积即可；
（2）利用余弦定理求出，即可得到；
（3）通过线性运算得到，然后利用数量积求模长即可.
【详解】（1）.
（2）因为为平行六面体，所以四边形为平行四边形，∥，，
在三角形中，，，，所以，所以，
又∥，所以.
（3）由题意知，，则
，
所以.
定义
已知两个非零向量a，b，则|a||b|cs 〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.
即a·b＝|a||b|cs〈a，b〉．
规定：零向量与任何向量的数量积都为0.
性质
①a⊥b⇔a·b＝0
②a·a＝a2＝|a|2
运算律
①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R.
②a·b＝b·a(交换律)．
③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律).