【暑假衔接】人教A版新高二数学 新课预习-2.4 圆的方程（教师版+学生版）

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1．掌握圆的定义及标准方程与一般方程.
2．会将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能熟练地指出圆心的坐标和半径的大小.
3．会用待定系数法求圆的方程.
4．能准确判断点与圆的位置关系．
【知识梳理】
知识点一 圆的标准方程
(1)条件：圆心为C(a，b)，半径长为r.
(2)方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
(3)特例：圆心为坐标原点，半径长为r的圆的方程是x2＋y2＝r2.
知识点二 圆的一般方程
1．圆的一般方程
当D2＋E2－4F>0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0称为圆的一般方程．
2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形
知识点三 点与圆的位置关系
点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断方法
【例题详解】
一、求圆的标准方程
例1 (1)圆心，半径为的圆的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据圆心坐标及半径，即可得到圆的方程.
【详解】因为圆心为，半径为，
所以圆的方程为:.
故选：D.
(2)某圆经过两点，圆心在直线上，则该圆的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据圆的平面几何性质可知圆心在的中垂线上，联立方程可得圆心坐标，再求出半径即可得解.
【详解】因为圆经过两点，
所以圆心在中垂线上，
联立解得圆心，所以圆的半径，
故所求圆的方程为，
故选：D
(3)求满足下列条件的圆的方程：
( = 1 \* rman \* MERGEFORMAT i)经过点，，圆心在轴上；
( = 2 \* rman \* MERGEFORMAT ii)经过直线与的交点，圆心为点.
【答案】( = 1 \* rman \* MERGEFORMAT i)
( = 2 \* rman \* MERGEFORMAT ii)
【分析】( = 1 \* rman \* MERGEFORMAT i)设出圆的方程，代入A、B两点坐标，求出圆心和半径，从而求出圆的方程；( = 2 \* rman \* MERGEFORMAT ii)先求出交点坐标，进而求出半径，写出圆的方程.
【详解】( = 1 \* rman \* MERGEFORMAT i)设圆的方程为，由题意得：，解得：，所以圆的方程为；
( = 2 \* rman \* MERGEFORMAT ii)联立与，解得：，所以交点为，则圆的半径为，所以圆的方程为.
跟踪训练1 (1)经过三个点的圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据三点在坐标系的位置，确定出是直角三角形，其中是斜边，则有过三点的圆的半径为的一半，圆心坐标为的中点，进而根据圆的标准方程求解.
【详解】由已知得，分别在原点、轴、轴上，
，
经过三点圆的半径为，
圆心坐标为的中点，即，
圆的标准方程为.
故选：C.
(2)圆心在轴上，半径为1，且过点的圆的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据圆心的位置及半径可写出圆的标准方程，然后将点代入圆的方程即可求解.
【详解】因为圆心在轴上，所以可设所求圆的圆心坐标为，则圆的方程为，又点在圆上，所以，解得.
故选：A
【点睛】本题主要考查圆的标准方程的求解，属于基础题.
二、圆的一般方程的辨析
例2 (1)圆的圆心坐标和半径分别为（ ）
A．，3B．，3C．，9D．，9
【答案】A
【分析】将圆方程化为标准方程，即可求得圆心坐标和半径.
【详解】由方程可得，
故圆心坐标为，半径为3．
故选：A.
(2)方程表示一个圆，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】运用配方法，结合圆的标准方程的特征进行求解即可.
【详解】由，得，
解得.
故选：B
跟踪训练2 (1)若圆C：的半径为1，则实数（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】将圆的一般方程转化为圆的标准方程即可求解.
【详解】由，得，
所以圆C的圆心为，半径为，
因为圆C：的半径为1，
所以，解得，
故实数.
故选：D.
(2)将圆平分的直线是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由题意可知所求的直线过圆心，所以先求出圆的圆心，然后将圆心坐标代入各直线方程验证即可.
【详解】要使直线平分圆，只要直线经过圆的圆心即可，
由，得，
所以圆心坐标为，
对于A，因为，所以直线不过圆心，所以A错误，
对于B，因为，所以直线不过圆心，所以B错误，
对于C，因为，所以直线过圆心，所以C正确，
对于D，因为，所以直线不过圆心，所以D错误，
故选：C
三、求圆的一般方程
例3 (1)过坐标原点，且在x轴和y轴上的截距分别为2和3的圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用待定系数法设出圆的一般方程，将三个点的坐标代入得到方程组，求出圆的方程.
【详解】设圆的方程为，
由题意知,圆过点，和，
所以，解得，
所以所求圆的方程为.
故选：A
(2)求以为圆心，且经过点的圆的一般方程（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据题意，利用两点间的距离公式求得圆的半径，写出圆的标准方程，进而得到圆的一般方程，得到答案.
【详解】由题意得，圆的半径，
所以圆的方程为，
所以圆的一般方程为.
故选：C.
跟踪训练3 已知圆C过点.
(1)求圆C的方程；
(2)求圆C关于直线对称圆的方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设圆的一般方程，代入点，得到方程组，解出即可；
（2）设所求圆的圆心为，根据点关于直线的对称得到关于的方程，解出即可.
【详解】（1）设圆C：，其中，
则，解得，
所以圆C的一般方程是：，
化为标准方程是：.
（2）设所求圆的圆心为，由（1）知圆的圆心，
则由已知得，解得，
故圆C关于直线对称圆的方程为.
四、点与圆的位置关系
例4 (1)点在圆的（ ）
A．圆上 B．圆内 C．圆外 D．无法判定
【答案】A
【解析】直接将点的坐标代入圆的方程即可判断；
【详解】解：将点的坐标代入圆的方程即，∴点在圆上，
故选：A
【点睛】本题考查点与圆的位置关系的判定，属于基础题.
(2)直线与圆的位置关系是（ ）
A．相离B．相交C．相切D．与k取值有关
【答案】B
【分析】先判断直线过定点在圆内，即可判断直线与圆的位置.
【详解】∵直线恒过定点，且该点在圆内，
∴直线与圆相交,
故选：B
(3)若点在圆的外部，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据点与圆的位置关系及方程表示圆列出方程组，从而可得出答案.
【详解】解：因为点在圆的外部，
所以，解得.
故选：C．
跟踪训练4 (1)点与圆的位置关系是 ．（填“在圆内”、“在圆上”、“在圆外”）
【答案】在圆内
【分析】利用点到圆心的距离与圆的半径的大小关系去判断点与圆的位置关系即可.
【详解】圆的圆心坐标为，半径为2
点到圆心的距离，
因为，所以点在圆内．
故答案为：在圆内
(2)若点（1，1）在圆的外部，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用点和圆的位置关系列出不等式即可求解.
【详解】由题意可知，解得或a＞3，
则实数a的取值范围是，
故选：C.
五、求动点的轨迹方程
例5 已知圆经过点，，且圆与轴相切．
(1)求圆的一般方程；
(2)设是圆上的动点，求线段的中点的轨迹方程．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）设圆的方程为，依题意可得圆心在轴右侧，且跟轴的切点为，即可得到圆心的纵坐标为，再将点的坐标代入方程，即可得到方程组，解得即可；
（2）设则，再由点是圆上的动点，代入圆的方程，即可得解.
【详解】（1）解：设圆的方程为，
因为圆过点，，又跟轴相切，
圆必在轴右侧，且跟轴的切点为，
圆心的纵坐标为．
，解得，
圆的方程为，化简得．
（2）解：设．因为为线段的中点，所以，
因为点是圆上的动点，所以，即，
所以的轨迹方程为．
跟踪训练5 已知圆C经过（2，6），（5，3），（2，0）三点．
(1)求圆C的方程；
(2)设点A在圆C上运动，点，且点M满足，求点M的轨迹方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】(1) 设圆C的方程的一般式，代入三点求系数得圆的方程.
(2) 设，表示出点的坐标，将的坐标代入圆的方程即得到点M的轨迹方程.
【详解】（1）设圆C的方程为
则有，解之得，
则圆C的方程为．
（2）设，，
则有，，．
由，可得，解之得
由点A在圆C上，得
即，
故点M的轨迹方程为
【课堂巩固】
1．圆的半径为（ ）
A．2B．4C．8D．16
【答案】B
【分析】将圆的方程配成标准式，即可判断.
【详解】圆，即，
所以半径.
故选：B
2．三个顶点的坐标分别是，，，则外接圆方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，借助斜率判断形状，再求出圆方程作答.
【详解】依题意，直线AC斜率，直线BC斜率，有，即，
因此外接圆是以线段为直径的圆，AB的中点为，半径，
所以外接圆方程是，即.
故选：A
3．“”是“方程表示圆”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据二元二次方程表示圆的充要条件是可得答案.
【详解】因为方程，即表示圆，
等价于0，解得或.
故“”是“方程表示圆”的充分不必要条件.
故选：A
4．圆关于直线对称的圆的方程为 ．
【答案】
【分析】先求圆心关于直线的对称点，半径不变，可得圆的方程.
【详解】圆的圆心为，半径为；
圆心关于直线对称的点为，
所以所求圆的方程为.
故答案为：.
5．直线始终平分圆的周长，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】由题意可得直线过圆心，再将用表示，结合二次函数即可得解.
【详解】解：圆化为标准方程：，
圆心为，
因为直线始终平分圆的周长，
所以直线过圆心，
则，所以，
则，
当时，取得最小值.
故答案为：.
6．已知圆关于直线对称，则 .
【答案】
【分析】由圆的方程可确定圆心，根据直线过圆心可构造方程求得结果.
【详解】由圆方程知：圆心；
圆关于直线对称，直线过圆的圆心，，解得：.
故答案为：.
7．过点的直线与圆交于点B，则线段中点P的轨迹方程为 .
【答案】
【分析】设点P的坐标为，点B为，结合中点坐标公式可得，代入圆的方程即可求解.
【详解】设点P的坐标为，点B为，
由题意，结合中点坐标公式可得，
故，化简得.
即线段AB中点P的轨迹方程为.
故答案为：
8．已知圆过点，．
(1)求圆心所在直线的方程；
(2)求周长最小的圆的标准方程；
(3)求圆心在直线2x－y－4＝0上的圆的标准方程；
(4)若圆心的纵坐标为2，求圆的标准方程．
【答案】(1)x－3y＋3＝0
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）利用已知条件求出直线的垂直平分线所在的直线方程即可；
（2）利用已知条件求出线段AB为圆的直径的圆的方程即可；
（3）由（1）可知，圆心所在直线的方程为，且圆心在直线上，即可求解圆的方程；
（4）由（1）可知，圆心所在直线的方程为，即可求出圆心的横坐标，即可求解圆的方程.
【详解】（1）由题意可知线段AB的中点坐标是，
∵直线AB的斜率，且圆心在线段AB的垂直平分线上，
∴圆心所在直线的方程为，即x－3y＋3＝0．
（2）当线段AB为圆的直径时，过点A，B的圆的半径最小，从而周长最小，
即圆心为线段AB的中点（0，1），半径为．
则所求圆的标准方程为．
（3）由（1）可知，圆心所在直线的方程为，
又∵圆心也在直线2x－y－4＝0上，∴圆心是这两条直线的交点，
∴ ，解得，即圆心的坐标是（3，2），
∴半径，
∴所求圆的标准方程是．
（4）设圆心的坐标为（m，2），
由（1）知m－3×2＋3＝0，得m＝3，
∴圆的半径，
∴所求圆的标准方程为．
9．（1）已知的三个顶点分别为，，，求的外接圆的方程．
（2）已知点在圆：外，求实数的取值范围．
【答案】（1） ；（2） ．
【分析】（1）根据三点确定一个圆，把三点坐标代入圆的一般式列方程求解即可；
（2）根据圆的一般式条件及点在圆外分别建立m的不等式，解之即可求得．
【详解】（1）解：设的外接圆的方程为，
由，解得，
故的外接圆的方程为．
（2）解：若方程表示圆，
则，解得，
根据点在圆外，
可得，
则，
．
10．已知点，，动点满足.
(1)求点的轨迹的方程；
(2)已知曲线与圆的交点为，，点，求外接圆的一般方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设P（x，y），由，直接法可求出直线方程.
（2）利用圆系方程或用待定系数法求外接圆的一般方程.
【详解】（1）设P（x，y），因为，，，
所以，
整理得，
所以曲线C的方程为.
（2）解法一：设过两圆交点E，F的圆系方程为：，
代入点 ， 解得
∴外接圆的一般方程为：..
解法二：
联立方程组：，
解得或，
∴，，.
设△MEF外接圆的一般式方程为，代入E，F，M三点，
有，解得：，
∴△MEF外接圆的一般方程为：.
【课时作业】
1．已知圆经过点，，且圆心在直线上，则圆的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用代入法，通过解方程组进行求解即可.
【详解】设圆的标准方程为，
因为圆经过点，，且圆心在直线上，
所以有，
因此圆的标准方程为，
故选：A
2．若的三个顶点坐标分别为，，，则外接圆的圆心坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】求出线段的中点的坐标即得解.
【详解】解：由题得是直角三角形，且.
所以的外接圆的圆心就是线段的中点，
由中点坐标公式得.
故选：C
3．已知直线l过圆的圆心，且与直线2x＋y－3＝0垂直，则l的方程为（ ）
A．x－2y＋1＝0B．x＋2y－1＝0
C．2x＋y－2＝0D．x－2y－1＝0
【答案】D
【分析】利用配方法求出圆心坐标，结合垂直直线之间斜率的关系进行求解即可.
【详解】由，所以圆心坐标为，
因为直线2x＋y－3＝0的斜率为，
所以与直线2x＋y－3＝0垂直的直线l的斜率为，
所以l的方程为：，
故选：D
4．圆的圆心到直线x-y+3=0的距离为（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】D
【分析】由圆的方程确定圆心，利用点到直线距离公式进行求解.
【详解】的圆心为，
则由点到直线距离公式可得：.
故选：D
5．方程表示圆，则该圆半径的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据配方法，结合二次函数的单调性进行求解即可.
【详解】，
所以
所以有
故选：B
6．如果圆关于直线对称，则有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】圆心在直线上，代入计算得到答案.
【详解】由圆的对称性知，圆心在直线上，故有，即.
故选：B
7．若圆的面积是，则该圆的圆心坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】通过半径公式，代入即可解出值，即可得到圆心坐标.
【详解】圆的半径，即，，则，
圆心坐标为，即.
故选：B.
8．设，为实数，若直线与圆相交，则点与圆的位置关系是（ ）
A．在圆上B．在圆外C．在圆内D．不能确定
【答案】B
【分析】根据直线与圆的位置关系，求得满足的关系式，结合点与圆位置关系的判断方法，判断即可.
【详解】根据题意，即，故点在圆外.
故选：B.
9．（多选）已知曲线（ ）
A．若，则C是圆
B．若，，则C是圆
C．若，，则C是直线
D．若，，则C是直线
【答案】BC
【分析】根据圆的一般方程对选项一一判断即可.
【详解】对于A，当时，，
若，则C是圆；
若，则C是点；
若，则C不存在.故A错误.
对于B，当时，，且，
则C是圆，故B正确.
对于C，当时，，且，则C是直线，故C正确.
对于D，当，时，，
若，则表示一元二次方程，
若，则表示抛物线，故D错误.
故选：BC
10．（多选）已知，则下述正确的是（ ）
A．圆C的半径B．点在圆C的内部
C．直线与圆C相切D．圆与圆C相交
【答案】ACD
【分析】先将圆方程化为标准方程，求出圆心和半径，然后逐个分析判断即可
【详解】由，得，则圆心，半径，
所以A正确，
对于B，因为点到圆心的距离为，所以点在圆C的外部，所以B错误，
对于C，因为圆心到直线的距离为，
所以直线与圆C相切，所以C正确，
对于D，圆的圆心为，半径，
因为，，
所以圆与圆C相交，所以D正确，
故选：ACD
11．曲线所围成平面区域的面积为 ．
【答案】
【分析】由方程得出曲线表示的轨迹是圆，求出半径即可求出面积．
【详解】由得，
则曲线表示的是以为圆心，为半径的圆，
所以曲线所围成平面区域的面积为：，
故答案为：．
12．已知圆，点A、B在圆M上，且为的中点，则直线的方程为 ．
【答案】
【分析】根据垂径定理得到，根据两直线垂直时斜率的关系得到，
然后利用斜截式写直线方程，最后整理为一般式即可.
【详解】可整理为，
所以圆心为，根据垂径定理可得，，
所以，直线AB的方程为整理得.
故答案为:
13．已知，，动点M满足，则点M的轨迹方程是 ．
【答案】
【分析】设，根据两点间的距离公式以及已知条件化简，即可得出答案.
【详解】设，则，.
因为，
所以，，
整理可得，，
即.
所以，点M的轨迹是圆，方程为.
故答案为：.
14．若圆（）被直线平分，则的最小值为 ．
【答案】/
【分析】由题意可得直线过圆的圆心，故有，然后利用“1”的妙用进行求解即可
【详解】由，
所以该圆的圆心坐标为，
因为圆被直线平分，
所以圆心在直线上，
因此有，
所以，
当且仅当即时，取等号
故答案为：
15．已知关于x，y的二元二次方程 x2+y2+Dx+Ey+3=0.
(1)若方程表示的曲线是圆，求证：点在圆x2+y2=12外；
(2)若方程表示的圆C的圆心在直线x+y-1=0上且在第二象限， 半径为， 求圆C的方程.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由二元二次方程能表示圆的一般方程的条件易证得所求；
（2）利用圆的一般式得到圆心与半径关于的表达式，进而由题设条件得到关于的方程组，解之即可得到圆C的方程.
【详解】（1）因为方程x2+y2+Dx+Ey+3=0表示的曲线是圆，
所以D2+E2-12>0，即D2+E2>12，
因而点在圆x2+y2=12外.
（2）由题意知，圆心，
因为圆心在直线x+y-1=0上，所以，即①，
又因为半径，即②，
联立①②，解得或，
又因为圆心在第二象限，所以，，即D>0，E<0.
所以，
故圆的一般方程为，即.
16．已知圆C经过点，，且圆心C在直线上．
(1)求圆C的一般方程；
(2)若线段OP的端点P在圆C上运动，端点O为坐标原点，求线段OP的中点M的轨迹方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用待定系数法即可求得圆C的一般方程；
（2）利用直接代入法即可求得点M的轨迹方程.
【详解】（1）设所求圆的C的一般方程为，则圆心，
由题意得，解得，
所以圆的C的一般方程为.
（2）依题意，设，，
因为M为线段OP的中点，，所以，
又因为点P在圆C上运动，所以，
故，
整理得：，
所以点M的轨迹方程为.
条件
图形
D2＋E2－4F<0
不表示任何图形
D2＋E2－4F＝0
表示一个点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))
D2＋E2－4F>0
表示以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))为圆心，以eq \f(\r(D2＋E2－4F),2)为半径的圆
位置关系
利用距离判断
利用方程判断
点M在圆上
|CM|＝r
(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2
点M在圆外
|CM|>r
(x0－a)2＋(y0－b)2>r2
点M在圆内
|CM|(x0－a)2＋(y0－b)2