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【暑假衔接】人教A版新高二数学 新课预习-1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系（教师版+学生版）
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1．理解直线的方向向量与平面的法向量，会求一个平面的法向量．
2．熟练掌握用方向向量、法向量证明线线、线面、面面间的平行关系．
3．熟练掌握用方向向量、法向量证明线线、线面、面面间的垂直关系．
【知识梳理】
知识点一 空间中直线、平面的向量表示
1．直线的方向向量
在直线l上取非零向量a，我们把与向量a平行的非零向量称为直线 l 的方向向量．
2．平面的法向量
如图，若直线 l⊥α ，取直线 l 的方向向量a ，我们称a为平面α的法向量；过点A且以 a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合 {P|a·eq \(AP,\s\up6(→))＝0}．
知识点二 线线、线面、面面平行的向量表示
1．设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得u1＝λu2.
2．设u是直线 l 的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔u⊥n⇔u·n＝0.
3．设n1 ，n2 分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2 .
知识点三 线线、线面、面面垂直的向量表示
1．设 u1，u2 分别是直线 l1 , l2 的方向向量，则l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0.
2．设u是直线 l 的方向向量，n是平面α的法向量， l⊄α，则l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R，使得u＝λn.
3．设n1，n2 分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0.
【例题详解】
一、直线的方向向量
例1 (1)若点，在直线l上，则直线l的一个方向向量为（ ）
A．B．C．D．
(2)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，AB＝AP＝1，
AD＝，试建立恰当的空间直角坐标系，求直线PC的一个方向向量．
跟踪训练1 (1)设l1的方向向量为=（1，2，﹣2），l2的方向向量为 =（﹣2，3，m），若l1⊥l2，则m等于（ ）
A．1B．2C．D．3
(2) 在如图所示的坐标系中，ABCD－A1B1C1D1为正方体，棱长为1，则直线DD1的一个方向向量为________，直线 BC1 的一个方向向量为________．
二、求平面的法向量
例2 如图在长方体中，，，，M是的中点．以D为原点，，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
(1)求平面的法向量；
(2)求平面的法向量．
跟踪训练2 已知四棱锥S﹣ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝90°，AD∥BC，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD，试建立空间直角坐标系，求平面SAB，平面SDC的一个法向量．
三、证明线线平行
例3 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝4，AA1＝2，点M在棱BB1上，且BM＝2MB1，点S在DD1上，且SD1＝2SD，点N，R分别为A1D1，BC的中点．求证：MN∥RS.
跟踪训练3 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为DD1和BB1的中点．
求证：四边形AEC1F是平行四边形．
四、证明线面平行
例4 如图，在正方体中，E，F分别是面，面的中心．求证：平面．
跟踪训练4 如图，在长方体中，底面是边长为2的正方形，，E，F分别是的中点．求证：平面．
五、证明面面平行
例5 如图，长方体中，，，
(1)求证：平面平面;
(2)线段上，是否存在点，使得平面.
跟踪训练5 如图，已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分别是AD1，BD，B1C的中点，利用向量法证明：
（1）MN∥平面CC1D1D；
（2）平面MNP∥平面CC1D1D．
六、证明线线垂直问题
例6 如图，在直四棱柱中，，，，．
求证：；
跟踪训练6 如图，在直三棱柱-中，3，=4，5，
(1)求证；
(2)在上是否存在点，使得并说明理由
七、证明线面垂直问题
例7 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC， E为PC的中点，EF⊥BP于点F. 求证：PB⊥平面EFD.
跟踪训练7 在正四棱柱中，，为的中点.
求证：（1）平面.
（2）平面.
八、证明面面垂直问题
例8 如图，在直三棱柱中，为的中点．
(1)证明：平面；
(2)证明：平面平面．
跟踪训练8 如图，在正四棱锥P－ABCD中，侧棱长为，底面边长为2．点E，F分别CD，BC中点．
求证：(1)PA⊥EF；
(2)平面PAB⊥平面PCD．
【课堂巩固】
1．有以下命题：
①一个平面的单位法向量是唯一的
②一条直线的方向向量和一个平面的法向量平行，则这条直线和这个平面平行
③若两个平面的法向量不平行，则这两个平面相交
④若一条直线的方向向量垂直于一个平面内两条直线的方向向量，则直线和平面垂直
其中真命题的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．已知平面的法向量，平面的法向量，若，则（ ）
A．B．C．2D．4
3．若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则可能使的是（ ）
A．B．
C．D．
4．已知平面平面，＝（1，－1，1）为平面的一个法向量，则下列向量是平面的一个法向量的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（多选）在菱形中，若是平面的法向量，则以下结论一定成立的是（ ）
A．平面平面B．平面平面
C．平面平面D．平面平面
6．（多选）已知为两个不重合的平面，l为上的一条直线，且其方向向量为，若，则平面的法向量可能为（ ）
A．B．C．D．
7．（多选）若平面，平面的法向量为，则平面的一个法向量可以是（ ）
A．B．C．D．
8．放置于空间直角坐标系中的棱长为2的正四面体ABCD中，H是底面中心，平面ABC，写出：
（1）直线BC的一个方向向量___________；
（2）点OD的一个方向向量___________；
（3）平面BHD的一个法向量___________；
（4）的重心坐标___________.
9．已知平面的一个法向量为，直线的一个方向向量为，且平面，则______.
10．设直线的一个方向向量，平面的一个法向量，则直线与平面的位置关系为______.
11．已知直线的一个方向向量，平面α的一个法向量，若，则______．
12．已知为直线l的方向向量，为平面的法向量，且，判断直线l与平面的位置关系是平行还是垂直．
(1)，；
(2)，．
13．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，
PC⊥平面BDE，设PA＝1，AD＝2．求平面BPC的法向量．
14．如图，在棱长为的正方体中，，分别是棱，上的动点，且，其中，以为原点建立空间直角坐标系.
(1)写出点，的坐标；
(2)求证：.
15．如图，且，，且，且，
平面ABCD，. 若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：平面CDE．
16．如图，正方体中，、分别为、的中点．
(1)用向量法证明平面平面；
(2)用向量法证明平面．
【课时作业】
1．已知，则平面ABC的一个单位法向量是（ ）
A．B．
C．D．
2．已知向量，分别为直线方向向量和平面的法向量，若，则实数的值为（ ）
A．B．C．1D．2
3．已知平面过点，它的一个法向量为，则下列哪个点不在平面内（ ）
A． B． C． D．
4．设平面的法向量的坐标为，平面的法向量的坐标为.若，则等于（ ）
A．4B．-4C．2D．-2
5．设为直线的一个方向向量，为平面的一个法向量，则“”是“”的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．非充分非必要条件
6．已知平面外的直线的方向向量是，平面的法向量是，则与的位置关系是（ ）
A．B．C．与相交但不垂直 D．或
7．（多选）在如图所示的空间直角坐标系中，是棱长为1的正方体，给出下列结论中，正确的是（ ）
A．直线的一个方向向量为
B．直线的一个方向向量为
C．平面的一个法向量为
D．平面的一个法向量为
8．（多选）已知为直线l的方向向量,分别为平面,的法向量（,不重合）,那么下列说法中正确的有（ ）．
A．B．
C．D．
9．放置于空间直角坐标系中的棱长为2的正四面体ABCD中，H是底面中心，平面ABC，写出：
平面BHD的一个法向量___________；
10．直线l的方向向量是，平面的法向量，若直线平面，则______．
11．若平面、的法向量分别为，，则与的位置关系是________．
12．已知平面的法向量分别为，，若，则的值为_______．
13．已知，，．
(1)写出直线BC的一个方向向量；
(2)设平面经过点A，且是的法向量，是平面内任意一点，试写出x，y，z满足的关系式．
14．在棱长为2的正方体中，E，F分别为棱的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求：
(1)平面的一个法向量；
(2)平面的一个法向量.
15．已知长方体中，，，，点S、P在棱、上，且，，点R、Q分别为AB、的中点．求证：直线直线．
16．如图，在直三棱柱中，，，D为AB的中点．试用向量的方法证明：
(1)；
(2)平面．
17．如图，在四棱锥中，底面ABCD，，，，，E为PC上一点，且．
(1)求证：平面PBC；
(2)求证：平面BDE．
18．如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，BC∥AD，PA=AB=BC=2，AD=4，E为棱PD的中点，（为常数，且）．若直线BF平面ACE，求实数的值．
19．已知在正方体中，分别是棱的中点．
证明：与平面不平行.
20．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CC1上的动点．
(1)求证：A1E⊥BD；
(2)若平面A1BD⊥平面EBD，试确定E点的位置．
1．理解直线的方向向量与平面的法向量，会求一个平面的法向量．
2．熟练掌握用方向向量、法向量证明线线、线面、面面间的平行关系．
3．熟练掌握用方向向量、法向量证明线线、线面、面面间的垂直关系．
【知识梳理】
知识点一 空间中直线、平面的向量表示
1．直线的方向向量
在直线l上取非零向量a，我们把与向量a平行的非零向量称为直线 l 的方向向量．
2．平面的法向量
如图，若直线 l⊥α ，取直线 l 的方向向量a ，我们称a为平面α的法向量；过点A且以 a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合 {P|a·eq \(AP,\s\up6(→))＝0}．
知识点二 线线、线面、面面平行的向量表示
1．设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得u1＝λu2.
2．设u是直线 l 的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔u⊥n⇔u·n＝0.
3．设n1 ，n2 分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2 .
知识点三 线线、线面、面面垂直的向量表示
1．设 u1，u2 分别是直线 l1 , l2 的方向向量，则l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0.
2．设u是直线 l 的方向向量，n是平面α的法向量， l⊄α，则l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R，使得u＝λn.
3．设n1，n2 分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0.
【例题详解】
一、直线的方向向量
例1 (1)若点，在直线l上，则直线l的一个方向向量为（ ）
A．B．C．D．
(2)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，AB＝AP＝1，
AD＝，试建立恰当的空间直角坐标系，求直线PC的一个方向向量．
跟踪训练1 (1)设l1的方向向量为=（1，2，﹣2），l2的方向向量为 =（﹣2，3，m），若l1⊥l2，则m等于（ ）
A．1B．2C．D．3
(2) 在如图所示的坐标系中，ABCD－A1B1C1D1为正方体，棱长为1，则直线DD1的一个方向向量为________，直线 BC1 的一个方向向量为________．
二、求平面的法向量
例2 如图在长方体中，，，，M是的中点．以D为原点，，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
(1)求平面的法向量；
(2)求平面的法向量．
跟踪训练2 已知四棱锥S﹣ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝90°，AD∥BC，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD，试建立空间直角坐标系，求平面SAB，平面SDC的一个法向量．
三、证明线线平行
例3 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝4，AA1＝2，点M在棱BB1上，且BM＝2MB1，点S在DD1上，且SD1＝2SD，点N，R分别为A1D1，BC的中点．求证：MN∥RS.
跟踪训练3 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为DD1和BB1的中点．
求证：四边形AEC1F是平行四边形．
四、证明线面平行
例4 如图，在正方体中，E，F分别是面，面的中心．求证：平面．
跟踪训练4 如图，在长方体中，底面是边长为2的正方形，，E，F分别是的中点．求证：平面．
五、证明面面平行
例5 如图，长方体中，，，
(1)求证：平面平面;
(2)线段上，是否存在点，使得平面.
跟踪训练5 如图，已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分别是AD1，BD，B1C的中点，利用向量法证明：
（1）MN∥平面CC1D1D；
（2）平面MNP∥平面CC1D1D．
六、证明线线垂直问题
例6 如图，在直四棱柱中，，，，．
求证：；
跟踪训练6 如图，在直三棱柱-中，3，=4，5，
(1)求证；
(2)在上是否存在点，使得并说明理由
七、证明线面垂直问题
例7 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC， E为PC的中点，EF⊥BP于点F. 求证：PB⊥平面EFD.
跟踪训练7 在正四棱柱中，，为的中点.
求证：（1）平面.
（2）平面.
八、证明面面垂直问题
例8 如图，在直三棱柱中，为的中点．
(1)证明：平面；
(2)证明：平面平面．
跟踪训练8 如图，在正四棱锥P－ABCD中，侧棱长为，底面边长为2．点E，F分别CD，BC中点．
求证：(1)PA⊥EF；
(2)平面PAB⊥平面PCD．
【课堂巩固】
1．有以下命题：
①一个平面的单位法向量是唯一的
②一条直线的方向向量和一个平面的法向量平行，则这条直线和这个平面平行
③若两个平面的法向量不平行，则这两个平面相交
④若一条直线的方向向量垂直于一个平面内两条直线的方向向量，则直线和平面垂直
其中真命题的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．已知平面的法向量，平面的法向量，若，则（ ）
A．B．C．2D．4
3．若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则可能使的是（ ）
A．B．
C．D．
4．已知平面平面，＝（1，－1，1）为平面的一个法向量，则下列向量是平面的一个法向量的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（多选）在菱形中，若是平面的法向量，则以下结论一定成立的是（ ）
A．平面平面B．平面平面
C．平面平面D．平面平面
6．（多选）已知为两个不重合的平面，l为上的一条直线，且其方向向量为，若，则平面的法向量可能为（ ）
A．B．C．D．
7．（多选）若平面，平面的法向量为，则平面的一个法向量可以是（ ）
A．B．C．D．
8．放置于空间直角坐标系中的棱长为2的正四面体ABCD中，H是底面中心，平面ABC，写出：
（1）直线BC的一个方向向量___________；
（2）点OD的一个方向向量___________；
（3）平面BHD的一个法向量___________；
（4）的重心坐标___________.
9．已知平面的一个法向量为，直线的一个方向向量为，且平面，则______.
10．设直线的一个方向向量，平面的一个法向量，则直线与平面的位置关系为______.
11．已知直线的一个方向向量，平面α的一个法向量，若，则______．
12．已知为直线l的方向向量，为平面的法向量，且，判断直线l与平面的位置关系是平行还是垂直．
(1)，；
(2)，．
13．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，
PC⊥平面BDE，设PA＝1，AD＝2．求平面BPC的法向量．
14．如图，在棱长为的正方体中，，分别是棱，上的动点，且，其中，以为原点建立空间直角坐标系.
(1)写出点，的坐标；
(2)求证：.
15．如图，且，，且，且，
平面ABCD，. 若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：平面CDE．
16．如图，正方体中，、分别为、的中点．
(1)用向量法证明平面平面；
(2)用向量法证明平面．
【课时作业】
1．已知，则平面ABC的一个单位法向量是（ ）
A．B．
C．D．
2．已知向量，分别为直线方向向量和平面的法向量，若，则实数的值为（ ）
A．B．C．1D．2
3．已知平面过点，它的一个法向量为，则下列哪个点不在平面内（ ）
A． B． C． D．
4．设平面的法向量的坐标为，平面的法向量的坐标为.若，则等于（ ）
A．4B．-4C．2D．-2
5．设为直线的一个方向向量，为平面的一个法向量，则“”是“”的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．非充分非必要条件
6．已知平面外的直线的方向向量是，平面的法向量是，则与的位置关系是（ ）
A．B．C．与相交但不垂直 D．或
7．（多选）在如图所示的空间直角坐标系中，是棱长为1的正方体，给出下列结论中，正确的是（ ）
A．直线的一个方向向量为
B．直线的一个方向向量为
C．平面的一个法向量为
D．平面的一个法向量为
8．（多选）已知为直线l的方向向量,分别为平面,的法向量（,不重合）,那么下列说法中正确的有（ ）．
A．B．
C．D．
9．放置于空间直角坐标系中的棱长为2的正四面体ABCD中，H是底面中心，平面ABC，写出：
平面BHD的一个法向量___________；
10．直线l的方向向量是，平面的法向量，若直线平面，则______．
11．若平面、的法向量分别为，，则与的位置关系是________．
12．已知平面的法向量分别为，，若，则的值为_______．
13．已知，，．
(1)写出直线BC的一个方向向量；
(2)设平面经过点A，且是的法向量，是平面内任意一点，试写出x，y，z满足的关系式．
14．在棱长为2的正方体中，E，F分别为棱的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求：
(1)平面的一个法向量；
(2)平面的一个法向量.
15．已知长方体中，，，，点S、P在棱、上，且，，点R、Q分别为AB、的中点．求证：直线直线．
16．如图，在直三棱柱中，，，D为AB的中点．试用向量的方法证明：
(1)；
(2)平面．
17．如图，在四棱锥中，底面ABCD，，，，，E为PC上一点，且．
(1)求证：平面PBC；
(2)求证：平面BDE．
18．如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，BC∥AD，PA=AB=BC=2，AD=4，E为棱PD的中点，（为常数，且）．若直线BF平面ACE，求实数的值．
19．已知在正方体中，分别是棱的中点．
证明：与平面不平行.
20．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CC1上的动点．
(1)求证：A1E⊥BD；
(2)若平面A1BD⊥平面EBD，试确定E点的位置．
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