【暑假衔接】人教A版新高二数学 新课预习-1.3 空间向量及其运算的坐标表示（教师版+学生版）

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1．了解空间直角坐标系，能在空间直角坐标系中写出所给定点、向量的坐标．
2．掌握空间两点间距离公式.
3．会用向量的坐标解决一些简单的几何问题．
【知识梳理】
知识点一 空间直角坐标系
(1)空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(i，j，k))，以O为原点，分别以i，j，k 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz.
(2)相关概念：O叫做原点，i，j，k 都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面，它们把空间分成八个部分．
知识点二 空间一点的坐标
在空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量eq \(OA,\s\up6(→))，且点A的位置由向量eq \(OA,\s\up6(→))唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使eq \(OA,\s\up6(→))＝xi＋yj＋zk. 在单位正交基底 {i，j，k}下与向量 eq \(OA,\s\up6(→)) 对应的有序实数组(x，y，z)叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标．
知识点三 空间向量的坐标
在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a. 由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，上式可简记作a＝(x，y，z)．
知识点四 空间向量的坐标运算
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有
知识点五 空间向量的平行、垂直及模、夹角
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则有
当b≠0时，a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；
a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0；
|a|＝eq \r(a·a)＝eq \r(a\\al(2,1)＋a\\al(2,2)＋a\\al(2,3))；
cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝ eq \f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\\al(2,1)＋a\\al(2,2)＋a\\al(2,3)) \r(b\\al(2,1)＋b\\al(2,2)＋b\\al(2,3))).
知识点六 空间两点间的距离公式
设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，
则P1P2＝|eq \(P1P2,\s\up6(→))|＝eq \r(x2－x12＋y2－y12＋z2－z12).
【例题详解】
一、求空间点的坐标
例1 (1)在长方体中，，，建立适当的空间直角坐标系并确定点的坐标．
(2)如图所示，△ABC是一个正三角形， 平面ABC，，且CE＝CA＝2BD=2，M为AE的中点.请建立适当空间直角坐标系，并求各个点的坐标．
跟踪训练1 (1)如图，四边形ABCD和ADPQ均为边长为2的正方形，它们所在的平面互相垂直，M，E，F分别为PQ，AB，BC的中点，建立适当的空间直角坐标系并求点A，E，M，F的坐标．
(2)在平行六面体中，底面是矩形，，，平行六面体高为，顶点在底面的射影是中点，设的重心，建立适当空间直角坐标系并写出点的坐标.
二、空间点的对称问题
例2 在空间直角坐标系中，已知点P(－2,1,4)．
(1)求点P关于x轴对称的点的坐标；
(2)求点P关于xOy平面对称的点的坐标；
(3)求点P关于点M(2，－1，－4)对称的点的坐标．
跟踪训练2 (1)已知B与点关于点对称，则点B的坐标是______．
(2)点在平面内的射影的坐标为_______．
(3)已知点P(2,3，－1)关于坐标平面xOy的对称点为P1，点P1关于坐标平面yOz的对称点为P2，点P2关于z轴的对称点为P3，则点P3的坐标为________．
三、空间向量的坐标
例3 如图，在棱长为1的正方体中，E， F分别是的中点，点G在棱CD上，且， H是的中点．以D为坐标原点，所在直线分别为 x 轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，求向量和的坐标．
跟踪训练3 如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1的底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别为A1B1，A1A的中点，试建立恰当的坐标系求向量，，的坐标．
四、空间向量的坐标运算
例4 (1)已知，，则（ ）
A．B．C．D．
(2)设是实数，已知三点，，在同一条直线上，那么（ ）
A．2B．3C．4D．5
(3)已知空间直角坐标系中，点，，若，，则__________.
(4)已知，，则线段的中点坐标为________；________．
(5)已知向量，，，且，.
( = 1 \* rman \* MERGEFORMAT i)求向量，，；
( = 2 \* rman \* MERGEFORMAT ii)求向量与向量所成角的余弦值.
跟踪训练4 (1)与向量共线的单位向量可以为（ ）
A．B．C．D．
(2)已知，，且，则向量与的夹角为__________
(3)在空间直角坐标系中，已知点A的坐标为，，则点B的坐标是______________.
(4)已知点、、，，．
( = 1 \* rman \* MERGEFORMAT i)若，且，求；
( = 2 \* rman \* MERGEFORMAT ii)求；
( = 3 \* rman \* MERGEFORMAT iii)若与垂直，求．
五、向量的坐标表示的应用
命题角度1 空间平行垂直问题
例5 (1)在正方体中，如图E、F分别是，CD的中点，求证：平面ADE．
(2)已知在正四棱柱中，,，点E为的中点，点F为的中点．
( = 1 \* rman \* MERGEFORMAT i)求证：且；
( = 2 \* rman \* MERGEFORMAT ii)求证：．
跟踪训练5 (1)如图，在直棱柱中，，，分别是，，的中点．求证：．
(2)如图，在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，，，，是棱的中点．求证：平面平面.
命题角度2 夹角、距离问题
例6 如图，长为1的正方体中，，分别为，的中点，在棱上，且，为的中点.
（1）求证：．
（2）求的长.
（3）求与所成角的余弦值．
跟踪训练6 如图，已知直三棱柱ABC－A1B1C1，在底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别是A1B1，A1A的中点．
（1）求 的模；
（2）求cs〈，〉的值；
（3）求证：A1B⊥C1M.
【课堂巩固】
1．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点坐标为（ ）
A．B．C．D．
2．在空间直角坐标系中，，则的值为（ ）
A．0B．1C．2D．-1
3．如图所示，已知正方体，，分别是正方形和的中心，则和所成的角是（ ）
A．B．C．D．
4．如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，，为的中点，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
5．已知，，则线段中点的坐标为________．
6．已知点是点关于坐标平面yz内的对称点，则__________
7．如图，在四棱锥中，底面为矩形，点在棱上，且，底面，，．建立适当的空间直角坐标系并求点的坐标．
8．如图，四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面所成的角为，底面ABCD为直角梯形，请建立适当空间直角坐标系，并求各个点的坐标．
9．如图，在空间直角坐标系中有一长方体，且，，
(1)写出点的坐标，并将用标准正交基表示；
(2)求的坐标．
10．已知，．
(1)求；
(2)当时，求实数k的值．
11．已知棱长为1的正方体在空间直角坐标系中的位置如图所示，分别为棱的中点，求证：.
12．如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，且，，，，点M为棱PC的中点，
证明：.
13．如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1D，BD的中点，G在棱CD上，且，H为C1G的中点．求||.
14．如图，在直三棱柱中，，，，分别是，的中点．
(1)求的距离；
(2)求的值．
【课时作业】
1．在空间直角坐标系中，已知点，则点P关于x轴的对称点的坐标是（ ）
A．B．
C．D．
2．向量，若，则实数（ ）
A．1B．2C．-1D．-2
3．若，，则等于（ ）
A．5B．－5C．7D．－1
4．如图，将的菱形ABCD沿对角线BD折起，使得平面平面CBD，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
5．如图，已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，为下底面圆周上一点，满足，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
6．（多选）已知向量，，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．记与的夹角为，则D．若，则
7．在空间直角坐标中，已知点，则_______________________.
8．已知点，则点关于原点的对称的点的坐标为______.
9．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标为________.
10．已知点与点，则的中点坐标为__________．
11．在空间直角坐标系中，过作平面的垂线，为垂足，则点坐标为__．
12．如图，四棱锥中，底面，，，，为的中点.请建立适当空间直角坐标系，并求各个点的坐标．
13．如图，已知直四棱柱中，，底面是直角梯形，为直角，AB∥CD，，，，请建立适当空间直角坐标系，并求各个点的坐标．
14．已知长方体中,，点N是AB的中点，点M是的中点．建立如图所示的空间直角坐标系．
（1）写出点的坐标；
（2）求线段的长度；
（3）判断直线与直线是否互相垂直，说明理由．
15．如图垂直于正方形所在的平面，分别是的中点，并且．试建立适当的空间直角坐标系，求向量的坐标．
16．已知向量，，，且．
(1)求实数的值；
(2)若，求实数的值．
17．如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，AA1=AB=AC=1，AB⊥AC，M，N分别是CC1，BC的中点，点P在直线A1B1上．证明：PN⊥AM．
18．如图，在四棱锥中，底面，四边形为正方形，，，分别是，的中点.
(1)证明：平面；
(2)求直线与直线所成角的余弦值.
19．如图，在空间直角坐标系中，正方体的棱长为1，顶点位于坐标原点，若是棱的中点，是侧面的中心.
(1)求点，的坐标及；
(2)求向量在方向上的投影数量.
20．如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1D，BD的中点，G在棱CD上，且．求．
向量运算
向量表示
坐标表示
加法
a＋b
a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
减法
a－b
a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)
数乘
λa
λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R
数量积
a·b
a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3