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苏教版 (2019)选择性必修第一册第4章 数列4.3 等比数列评课ppt课件
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这是一份苏教版 (2019)选择性必修第一册第4章 数列4.3 等比数列评课ppt课件，共60页。PPT课件主要包含了3等比数列，第4章数列，答案略，an＝a1qn－1，答案第8年，习题431，感受·理解，－81，答案q＝3，答案证明略等内容，欢迎下载使用。
回顾本章 4.1 节开始我们遇到的数列 ③④，再考察下面的问题：
某轿车的售价约为 36 万元，年折旧率约为 10% (就是说这辆车每年减少它的价值的 10%)，那么该车从购买当年算起，逐年的价值依次为 36，36×0.9，36×0.92，36×0.93，···.
某人年初投资 10000 元，如果年收益率是 5%，那么按照复利，5年内各年末的本利和依次为 10000×1.05，10000×1.052，···，10000×1.055，···.
复利的本利和公式是本利和＝本金× (1＋利率)存期.
●与等差数列相比，上面这些数列有什么共同的特点?
4.3.1 等比数列的概念
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫作等比数列(gemetric prgressin)，这个常数叫作等比数列的公比 (cmmn rati)，公比通常用字母 q 表示.
你能再举出一些等比数列的例子吗?
答案：(1) 不是；(2)是；(3) 是；(4) 不是；(5) 不是； (6) 是.
2. 从下面的表中，请你用彩笔涂出 3 个等比数列，满足以下要求：(1) 每个数列的项所在的框是相连接的(顶点相连或者边相连)；(2) 三个数列的公比是不同的.
4. 已知数列 {an} 是等比数列.(1) 如果 a2＝2，a3＝－6，求公比 q 和 a1；(2) 如果 a1＝3，a2＝6，求公比 q 和 a5 .
5. 已知数列 {an} 的通项公式，判断它是否为等比数列.(1) an＝ 3n；(2) an＝4×23n－1；(3) an＝(－3)－n；(4) an＝0.
答案：(1) 是；(2) 是；(3) 是；(4) 不是 .
6. 若 a1，a2，a3，···，an 是公比为 q 的等比数列，则数列 an，an－1，···，a2，a1 也是等比数列吗? 如果是，公比是多少?
4.3.2 等比数列的通项公式
设 {an} 是首项为 2，公比为 3 的等比数列，则a2＝2×3，a3＝2×3×3＝2×32，a4＝2×3×3＝2×33，······
你能写出第 n 项 an 吗?
一般地，对于等比数列 {an} 的第 n 项an，有
这就是等比数列 {an} 的通项公式，其中 a1 为首项，q 为公比.
在等比数列 {an} 中，(1) 已知 a1＝3，q＝－2，求 a6；(2) 已知 a3＝20，a6＝160，求 an.
解 (1) 由等比数列的通项公式，得 a6＝3×(－2)6－1＝－96.
在 243 和 3 中间插入 3 个数，使这 5 个数成等比数列.
已知等比数列 {an} 的通项公式为 an＝3×2n－3，求首项 a1 和公比 q .
如果一个数列 {an} 的通项公式为 an＝aqn，其中 a，q 都是不为 0 的常数，那么这个数列一定是等比数列吗?
4. 在等比数列 {an} 中，(1)已知 a5＝8，a8＝1，求 a1 和 q；(2)已知 a3＝2，q＝－1，求 a15；(3)已知 a4＝ 12，a8＝6，求 a12.
5. 三个数成等比数列，它们的积等于8，它们的和等于－3，求这三个数.
答案： －1，2，－4 或 －4，2，－1.
6. 如图，在边长为1的等边三角形ABC中，连接各边中点得 △A1B1C1，再连接△A1B1C1 的各边中点得 △A2B2C2······如此继续下去，试证明数列S△ABC，S△A1B1C1， S△A2B2C2 ，··· 是等比数列.
7. 在本章4.3节的关于轿车折旧的问题中，大约在购车后的第几年，该辆车的价值只有原来的一半?
2. 已知 {an} 是等比数列，在下表中填入适当的数：
5. 在两个非零实数 a 和 b 之间插入 2 个数，使它们成等比数列，试用 a，b 表示这个等比数列的公比.
6. 已知公差不为0的等差数列的第 2，3，6 项依次构成一个等比数列，求该等比数列的公比.
7. 某地为防止水土流失，实行退耕还林，如果计划第一年 (今年) 退耕10万公顷，以后每年增加10%，那么第7年须退耕多少公顷(精确到1公顷)?
答案：177 156 公顷.
9. 在等比数列 {an} 中，如果对任意的 n∈N*，都有 an＞0，求证：数列 {lgan} 为等差数列.
答案：(1) 成立；(2) 成立；(3) 更一般的结论：在等比数列 {an} 中，若m＋n＝p＋q (m，n，p， q∈N*)，则 aman＝apaq.
13. 三个数成等比数列，它们的积等于 27，它们的平方和等于 91，求这三个数.
答案：1，3，9 或 －1，3，－9 或 9，3，1 或 －9，3，－1.
14. 已知等比数列 {an} 的公比 q＝2，且 a1a2a3···a30＝230，求 a3a6a9···a30 的值.
答案：a3a6a9···a30 ＝220.
答案：设 {an} 的公差为 d，则一般规律：a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6，a7＋a8，···是首项为 a1＋a2，公差为 4d 的等差数列.规律推广：a1＋a2＋···＋am，am＋1＋am＋2＋···＋a2m，a2m+1＋a2m＋2＋···＋a3m，···是首项为 a1＋a2＋···＋am，公差为 m2d 的等差数列.
在等比数列中类似的结论：设等比数列 {an} 的公比为 q，则 a1a2···am，am＋1am＋2···a2m，a2m＋1 a2m＋2···a3m，··· 是首项为 a1a2···am，公比为 qm2 的等比数列.
17. 如图，将一个边长为1的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向形外作正三角形，并擦去中间一段，得图 (2). 如此继续下去，得图 (3) ······试探求第 n 个图形的边长和周长.
这样形成的图形称为分形 (fractal).
4.3.3 等比数列的前n项和
已知等比数列 {an} 的第1项 a1 和公比 q，如何求出它的前 n 项和 Sn?
根据等比数列的通项公式，这个等比数列就是a1，a1q，a1q2，···，a1qn－1，···，所以它的前 n 项和是Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋···＋a1qn－1. ①
①式等号右边的每一项是它前一项的 q 倍，根据这个特点，在上式两边同乘以 q，得qSn＝a1q＋a1q2＋a1q3＋···＋a1qn. ②①－②，得(1－q)Sn＝a1－a1qn.
所以，当 q≠1 时，
根据等比数列的通项公式 an＝a1qn－1，又可得到
显然，当 q＝1 时，Sn＝na1.
在等比数列的通项公式与前 n 项和公式中，共含有 a1，q，n，an，Sn 五个量，只要已知其中的三个量，就可以求出其余的两个量.
分析 这个数列的每一项都是一个等差数列与一个等比数列的对应项的和，因此可以分组求和.
1. 某厂去年的产值记为1，若计划在今后五年内每年的产值比上年增长10%，则从今年起到第五年，这个厂的总产值为( ).A. 1.14 B. 1.15C. 11×(1.15－1) D. 10×(1.16－1)
为了恢复生态，某地决定从今年开始逐步将 6370 万亩耕地退耕还林，计划今年退耕土地面积为 515 万亩，以后每年退耕土地面积比上一年递增 12%，那么经过 6 年该地区退耕还林的面积共有多少万亩 (精确到1万亩)?
例4中，该地区要经过多少年才能基本解决退耕还林问题?
某人今年初向银行申请贷款 20 万元，月利率为 3.375%，按复利计算，每月等额还贷一次，并从贷款后的次月初开始还贷. 如果10年还清，那么每月应还贷多少元?
分析 对于分期付款，银行有如下规定：(1)分期付款为复利计息，每期付款数相同，且在期末付款；(2)到最后一次付款时，各期所付的款额的本利之和等于商品售价的本利之和.为解决上述问题，我们先考察一般情形.
设某商品一次性付款的金额为a元，以分期付款的形式等额地分成 n 次付清，每期期末所付款是x元，期利率为 r，则分期付款方式可表示为
使用 Excel 中的财务函数，可以方便地求出每期的付款额.
1. 某市近 8 年的生产总值第一年为 1000 亿元，从第二年开始以 10% 的速度增长，那么这个城市近 8 年的生产总值一共是多少亿元 (精确到 0.01 亿元)?
答案：大约是 11 435.89 亿元.
2. 回答我国古代用诗歌形式提出的一个数列问题：远望巍魏塔七层，红灯向下成倍增，共灯三百八十一，试问塔顶几盏灯?
3. 一个球从32m的高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半，当它第5次着地时，共经过的路程是多少?
4. 顾客采用分期付款的方式购买一件5000元的商品，在购买一个月后第一次付款，且每月等额付款一次，在购买后的第12个月将货款全部付清，月利率为0.5%，按复利计算，该顾客每月应付款多少元(精确到1元)?
答案：约 430 元.
“现值”与“终值”是利息计算中的两个基本概念，掌握好这两个概念，对于顺利解决有关金融中的数学问题以及理解各种不同的算法都是十分有益的.所谓“现值”是指在 n 期末的金额，把它扣除利息后，折合成现时的值，而“终值”是指 n 期后的本利和，它们计算的基点分别是存期的起点和终点.
某厂为试制新产品，需增加某些设备，若购置这些设备，需一次付款 25万元；若租赁这些设备，每年初付租金3.3万元，已知一年期存款的年利率为 2.55%，试讨论哪种方案更好 (设备的寿命为10年).
解法1 (从终值来考虑) 若购置设备，则25万元10年后的价值为25(1＋2.55%)10≈32.159(万元).若租赁设备，每年初付租金3.3万元，10年后的总价值为S＝3.3(1＋2.55%)10＋3.3(1＋2.55%)9＋···＋3.3(1＋2.55%) ≈38.00(万元).因此，购买设备较好.
解法2 (从现值来考虑)每年初付租金3.3万元的10年现值之和为比购置设备一次付款25万元多，故购置设备的方案较好
●EXCELExcel提供了丰富的财务函数，利用这些函数我们能够轻松地完成有关投资或贷款等问题的计算，下面介绍常用的几个函数.(1)PMT函数，在固定利率的等额分期付款方式中，计算投资或贷款的每期付款额.对于例5，只需在Excel单元格中输入“＝PMT(0.3375%，12*10，200000)”，即可得到 x≈2029.66元，函数 PMT 的含义见图4-3-2.
type 的默认值为0，表示各期结算时间在期末.若结算时间在期初，则其值为 1.
(2) FV函数，在固定利率的等额分期付款方式中，计算某项投资的终值.如在上面“链接”的例题中，可用“＝FV(2.55%，10，3.3，，1)”计算得 S≈38.00 (图4-3-3)，FV(rate，nper，pmt，[pv]，[type])中参数的含义同上.
单元格中的负值表示支出.
(3) PV函数，计算一系列未来付款的现值累积和，如在上面“链接”中，可用“＝ PV(2.55%，10,3.3，，1)”计算得 Q≈29.54 (图4-3-4). PV (rate，nper，pmt，[fv]，[type]) 中参数的含义同上.如果你在实际生活中还需要使用其他一些财务函数，可以查看Excel帮助文档中的相关资料.
● GGB在GGB中，与Excel类似，可用“每期付款额 [ ]”“未来值 [ ]”“现值 [ ]”等函数处理财务问题.例如，对于例5，在输入框中输入“每期付款额 [0.3375%，12*10，200000”，即可得到 x≈2029.66元. 在“链接”的例题中，可用“未来值[2.55%，10，3.3，0，1]”计算得S≈38.00；用“现值[2.55%，10，3.3，0，1]”计算得 Q≈29.54 (图4-3-5).
2. 在等比数列 {an} 中，
答案：2n＋1－2 .
答案：最大值约是 79.61 .
答案：S20≈ 230.94 .
答案： n＝6 ，q＝2.
答案：(1) 3.0×104 (t).(2) 5.2×105 m2.
回顾本章 4.1 节开始我们遇到的数列 ③④，再考察下面的问题：
某轿车的售价约为 36 万元，年折旧率约为 10% (就是说这辆车每年减少它的价值的 10%)，那么该车从购买当年算起，逐年的价值依次为 36，36×0.9，36×0.92，36×0.93，···.
某人年初投资 10000 元，如果年收益率是 5%，那么按照复利，5年内各年末的本利和依次为 10000×1.05，10000×1.052，···，10000×1.055，···.
复利的本利和公式是本利和＝本金× (1＋利率)存期.
●与等差数列相比，上面这些数列有什么共同的特点?
4.3.1 等比数列的概念
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫作等比数列(gemetric prgressin)，这个常数叫作等比数列的公比 (cmmn rati)，公比通常用字母 q 表示.
你能再举出一些等比数列的例子吗?
答案：(1) 不是；(2)是；(3) 是；(4) 不是；(5) 不是； (6) 是.
2. 从下面的表中，请你用彩笔涂出 3 个等比数列，满足以下要求：(1) 每个数列的项所在的框是相连接的(顶点相连或者边相连)；(2) 三个数列的公比是不同的.
4. 已知数列 {an} 是等比数列.(1) 如果 a2＝2，a3＝－6，求公比 q 和 a1；(2) 如果 a1＝3，a2＝6，求公比 q 和 a5 .
5. 已知数列 {an} 的通项公式，判断它是否为等比数列.(1) an＝ 3n；(2) an＝4×23n－1；(3) an＝(－3)－n；(4) an＝0.
答案：(1) 是；(2) 是；(3) 是；(4) 不是 .
6. 若 a1，a2，a3，···，an 是公比为 q 的等比数列，则数列 an，an－1，···，a2，a1 也是等比数列吗? 如果是，公比是多少?
4.3.2 等比数列的通项公式
设 {an} 是首项为 2，公比为 3 的等比数列，则a2＝2×3，a3＝2×3×3＝2×32，a4＝2×3×3＝2×33，······
你能写出第 n 项 an 吗?
一般地，对于等比数列 {an} 的第 n 项an，有
这就是等比数列 {an} 的通项公式，其中 a1 为首项，q 为公比.
在等比数列 {an} 中，(1) 已知 a1＝3，q＝－2，求 a6；(2) 已知 a3＝20，a6＝160，求 an.
解 (1) 由等比数列的通项公式，得 a6＝3×(－2)6－1＝－96.
在 243 和 3 中间插入 3 个数，使这 5 个数成等比数列.
已知等比数列 {an} 的通项公式为 an＝3×2n－3，求首项 a1 和公比 q .
如果一个数列 {an} 的通项公式为 an＝aqn，其中 a，q 都是不为 0 的常数，那么这个数列一定是等比数列吗?
4. 在等比数列 {an} 中，(1)已知 a5＝8，a8＝1，求 a1 和 q；(2)已知 a3＝2，q＝－1，求 a15；(3)已知 a4＝ 12，a8＝6，求 a12.
5. 三个数成等比数列，它们的积等于8，它们的和等于－3，求这三个数.
答案： －1，2，－4 或 －4，2，－1.
6. 如图，在边长为1的等边三角形ABC中，连接各边中点得 △A1B1C1，再连接△A1B1C1 的各边中点得 △A2B2C2······如此继续下去，试证明数列S△ABC，S△A1B1C1， S△A2B2C2 ，··· 是等比数列.
7. 在本章4.3节的关于轿车折旧的问题中，大约在购车后的第几年，该辆车的价值只有原来的一半?
2. 已知 {an} 是等比数列，在下表中填入适当的数：
5. 在两个非零实数 a 和 b 之间插入 2 个数，使它们成等比数列，试用 a，b 表示这个等比数列的公比.
6. 已知公差不为0的等差数列的第 2，3，6 项依次构成一个等比数列，求该等比数列的公比.
7. 某地为防止水土流失，实行退耕还林，如果计划第一年 (今年) 退耕10万公顷，以后每年增加10%，那么第7年须退耕多少公顷(精确到1公顷)?
答案：177 156 公顷.
9. 在等比数列 {an} 中，如果对任意的 n∈N*，都有 an＞0，求证：数列 {lgan} 为等差数列.
答案：(1) 成立；(2) 成立；(3) 更一般的结论：在等比数列 {an} 中，若m＋n＝p＋q (m，n，p， q∈N*)，则 aman＝apaq.
13. 三个数成等比数列，它们的积等于 27，它们的平方和等于 91，求这三个数.
答案：1，3，9 或 －1，3，－9 或 9，3，1 或 －9，3，－1.
14. 已知等比数列 {an} 的公比 q＝2，且 a1a2a3···a30＝230，求 a3a6a9···a30 的值.
答案：a3a6a9···a30 ＝220.
答案：设 {an} 的公差为 d，则一般规律：a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6，a7＋a8，···是首项为 a1＋a2，公差为 4d 的等差数列.规律推广：a1＋a2＋···＋am，am＋1＋am＋2＋···＋a2m，a2m+1＋a2m＋2＋···＋a3m，···是首项为 a1＋a2＋···＋am，公差为 m2d 的等差数列.
在等比数列中类似的结论：设等比数列 {an} 的公比为 q，则 a1a2···am，am＋1am＋2···a2m，a2m＋1 a2m＋2···a3m，··· 是首项为 a1a2···am，公比为 qm2 的等比数列.
17. 如图，将一个边长为1的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向形外作正三角形，并擦去中间一段，得图 (2). 如此继续下去，得图 (3) ······试探求第 n 个图形的边长和周长.
这样形成的图形称为分形 (fractal).
4.3.3 等比数列的前n项和
已知等比数列 {an} 的第1项 a1 和公比 q，如何求出它的前 n 项和 Sn?
根据等比数列的通项公式，这个等比数列就是a1，a1q，a1q2，···，a1qn－1，···，所以它的前 n 项和是Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋···＋a1qn－1. ①
①式等号右边的每一项是它前一项的 q 倍，根据这个特点，在上式两边同乘以 q，得qSn＝a1q＋a1q2＋a1q3＋···＋a1qn. ②①－②，得(1－q)Sn＝a1－a1qn.
所以，当 q≠1 时，
根据等比数列的通项公式 an＝a1qn－1，又可得到
显然，当 q＝1 时，Sn＝na1.
在等比数列的通项公式与前 n 项和公式中，共含有 a1，q，n，an，Sn 五个量，只要已知其中的三个量，就可以求出其余的两个量.
分析 这个数列的每一项都是一个等差数列与一个等比数列的对应项的和，因此可以分组求和.
1. 某厂去年的产值记为1，若计划在今后五年内每年的产值比上年增长10%，则从今年起到第五年，这个厂的总产值为( ).A. 1.14 B. 1.15C. 11×(1.15－1) D. 10×(1.16－1)
为了恢复生态，某地决定从今年开始逐步将 6370 万亩耕地退耕还林，计划今年退耕土地面积为 515 万亩，以后每年退耕土地面积比上一年递增 12%，那么经过 6 年该地区退耕还林的面积共有多少万亩 (精确到1万亩)?
例4中，该地区要经过多少年才能基本解决退耕还林问题?
某人今年初向银行申请贷款 20 万元，月利率为 3.375%，按复利计算，每月等额还贷一次，并从贷款后的次月初开始还贷. 如果10年还清，那么每月应还贷多少元?
分析 对于分期付款，银行有如下规定：(1)分期付款为复利计息，每期付款数相同，且在期末付款；(2)到最后一次付款时，各期所付的款额的本利之和等于商品售价的本利之和.为解决上述问题，我们先考察一般情形.
设某商品一次性付款的金额为a元，以分期付款的形式等额地分成 n 次付清，每期期末所付款是x元，期利率为 r，则分期付款方式可表示为
使用 Excel 中的财务函数，可以方便地求出每期的付款额.
1. 某市近 8 年的生产总值第一年为 1000 亿元，从第二年开始以 10% 的速度增长，那么这个城市近 8 年的生产总值一共是多少亿元 (精确到 0.01 亿元)?
答案：大约是 11 435.89 亿元.
2. 回答我国古代用诗歌形式提出的一个数列问题：远望巍魏塔七层，红灯向下成倍增，共灯三百八十一，试问塔顶几盏灯?
3. 一个球从32m的高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半，当它第5次着地时，共经过的路程是多少?
4. 顾客采用分期付款的方式购买一件5000元的商品，在购买一个月后第一次付款，且每月等额付款一次，在购买后的第12个月将货款全部付清，月利率为0.5%，按复利计算，该顾客每月应付款多少元(精确到1元)?
答案：约 430 元.
“现值”与“终值”是利息计算中的两个基本概念，掌握好这两个概念，对于顺利解决有关金融中的数学问题以及理解各种不同的算法都是十分有益的.所谓“现值”是指在 n 期末的金额，把它扣除利息后，折合成现时的值，而“终值”是指 n 期后的本利和，它们计算的基点分别是存期的起点和终点.
某厂为试制新产品，需增加某些设备，若购置这些设备，需一次付款 25万元；若租赁这些设备，每年初付租金3.3万元，已知一年期存款的年利率为 2.55%，试讨论哪种方案更好 (设备的寿命为10年).
解法1 (从终值来考虑) 若购置设备，则25万元10年后的价值为25(1＋2.55%)10≈32.159(万元).若租赁设备，每年初付租金3.3万元，10年后的总价值为S＝3.3(1＋2.55%)10＋3.3(1＋2.55%)9＋···＋3.3(1＋2.55%) ≈38.00(万元).因此，购买设备较好.
解法2 (从现值来考虑)每年初付租金3.3万元的10年现值之和为比购置设备一次付款25万元多，故购置设备的方案较好
●EXCELExcel提供了丰富的财务函数，利用这些函数我们能够轻松地完成有关投资或贷款等问题的计算，下面介绍常用的几个函数.(1)PMT函数，在固定利率的等额分期付款方式中，计算投资或贷款的每期付款额.对于例5，只需在Excel单元格中输入“＝PMT(0.3375%，12*10，200000)”，即可得到 x≈2029.66元，函数 PMT 的含义见图4-3-2.
type 的默认值为0，表示各期结算时间在期末.若结算时间在期初，则其值为 1.
(2) FV函数，在固定利率的等额分期付款方式中，计算某项投资的终值.如在上面“链接”的例题中，可用“＝FV(2.55%，10，3.3，，1)”计算得 S≈38.00 (图4-3-3)，FV(rate，nper，pmt，[pv]，[type])中参数的含义同上.
单元格中的负值表示支出.
(3) PV函数，计算一系列未来付款的现值累积和，如在上面“链接”中，可用“＝ PV(2.55%，10,3.3，，1)”计算得 Q≈29.54 (图4-3-4). PV (rate，nper，pmt，[fv]，[type]) 中参数的含义同上.如果你在实际生活中还需要使用其他一些财务函数，可以查看Excel帮助文档中的相关资料.
● GGB在GGB中，与Excel类似，可用“每期付款额 [ ]”“未来值 [ ]”“现值 [ ]”等函数处理财务问题.例如，对于例5，在输入框中输入“每期付款额 [0.3375%，12*10，200000”，即可得到 x≈2029.66元. 在“链接”的例题中，可用“未来值[2.55%，10，3.3，0，1]”计算得S≈38.00；用“现值[2.55%，10，3.3，0，1]”计算得 Q≈29.54 (图4-3-5).
2. 在等比数列 {an} 中，
答案：2n＋1－2 .
答案：最大值约是 79.61 .
答案：S20≈ 230.94 .
答案： n＝6 ，q＝2.
答案：(1) 3.0×104 (t).(2) 5.2×105 m2.
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