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高中数学苏教版 (2019)选择性必修第一册第1章 直线与方程1.5 平面上的距离授课课件ppt
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这是一份高中数学苏教版 (2019)选择性必修第一册第1章 直线与方程1.5 平面上的距离授课课件ppt，共60页。PPT课件主要包含了5平面上的距离，第1章直线与方程，习题15，感受·理解，答案AB＝2，答案证明略，思考·运用，探究·拓展，答案略，问题与探究等内容，欢迎下载使用。
在平面直角坐标系中，我们建立了点与坐标、直线与方程的对应关系，并据此研究了点与直线、直线与直线之间的位置关系，那么，
● 怎样借助点的坐标和直线的方程，来探求点与点、点与直线以及两平行直线之间的距离?
1.5.1 平面上两点间的距离
● 对于平面上的两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，如何求这两点间的距离?
我们先看一个具体的例子.
已知点 P1(－1，3)，P2(3，－2)，下面探求 P1，P2 两点间的距离 P1P2.
如图1-5-1，过点 P1 向 x 轴作垂线，过点 P ，向 y 轴作垂线，两条垂线交于点 Q，则 Q 点的坐标是 (－1，－2)，且QP1＝|3－(－2)|＝5，QP2＝|3－(－1)|＝4.
一般地，如果 x1≠x2，y1≠y2，过点 P1，P2 分别向 y 轴、x 轴作垂线，两条垂线交于点 Q (图1-5-2(1))，则点 Q 的坐标是 (x2，y)，且QP1＝|x2－x1|， QP2＝| y2－y1|.在 Rt△P1QP2 中，P1P22＝QP12＋QP22 ＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2. (*)
x轴上两点 P1(x1，0)，P2(x2，0) 之间的距离可以表示为 P1P2＝|x2－x1|. 当点 P1 在点 P2 的左侧时，P1P2＝x2－x1.
如果 x1＝x2 (图1-5-2(2))，那么P1P2＝| y2－y1 |，(*) 式也成立.如果 y1＝y2，那么P1P2＝| x2－x1 |，(*) 式也成立. 由此，我们得到平面上 P1(x1，y1)，P2(x2，y2) 两点间的距离公式
能用其他方法得到这一结果吗?
(1) 求 A (－1，3)，B (2，5) 两点间的距离；(2)设 a 为实数，已知 A(0，10)，B(a，－5) 两点间的距离是17，求 a 的值.
已知 △ABC 的三个顶点为 A(－1，5)，B(－2，－1)，C(4，7)，求 BC 边上的中线 AM 的长和 AM 所在直线的方程.
解 如图1-5-3，设点 M 的坐标为 (x，y)，过点 B，M，C 向 x 轴作垂线，垂足分别为点 B′，M′，C′，则点 B′，M′，C′ 的横坐标分别为 －2，x，4.
对于平面上的两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，线段 P1P2 的中点是 M (x0，y0)，则
在直角三角形 ABC 中，点 M 为斜边 BC 的中点，试建立适当的直角坐标系，求证：AM＝－BC.
3. 已知两点 P(1，－4)，A(3，2)，求点 A 关于点 P 的对称点 B 的坐标.
答案：(1) B(－1，－10).
4. 证明：点 M (1，1) 与点 N (5，－1) 关于直线 l：2x－y－6＝0 对称.
1.5.2 点到直线的距离
●对于平面上确定的直线 l：Ax＋By＋C＝0 (A，B不全为0) 和直线 l 外一点 P(x0，y0)，如何求点 P 到直线 l 的距离呢?
我们先看一个具体的例子.已知点 P(2，4) 和直线 l：5x＋4y－7＝0，下面探求点 P 到直线 l 的距离.如图 1-5-5，过点 P 作 PE⊥l，垂足为 E，则点 P 到直线 l 的距离就是线段 PE的长.
方法1 通过求点 E 的坐标，用两点间距离公式求 PE.
方法2 通过构造三角形，利用面积关系求点 P 到直线 l 的距离.
如图1-5-6，过点 P 分别作 y 轴、x 轴的垂线，交直线 l 于点 M，N，我们通过计算 Rt△PMN 的面积求PE.
还可用两点间距离公式求 MN.
第四步 由三角形面积公式可知
一般地，对于直线l：Ax＋By＋C＝0 (A≠0，B≠0)和直线 l 外一点 P(x0，y0)，过点 P 作 PQ⊥l，垂足为 Q . 过点 P 分别作 y轴、x 轴的垂线，交 l 于点 M(x1，y0)，N(x0，y1) (图1-5-7).
当A＝0或 B＝0时，此式仍然成立.
由此，我们得到点 P(x0，y0) 到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离为
你还能通过其他途径求点 P 到直线 l 的距离吗?
分别求点 P(－1，2) 到下列直线的距离：(1) 2x＋y－10＝0； (2) 3x＝2.
当 A＝0 或 B＝0 时，可直接利用图形性质求出点到直线的距离.
求两条平行直线 x＋3y－4＝0 与 2x＋6y－9＝0 之间的距离.
分析 在两条平行直线中的一条直线上任取一点，将两条平行直线之间的距离转化为点到直线的距离.
建立适当的直角坐标系，证明：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高.
证明 设 △ABC 是等腰三角形，以底边 CA 所在直线为 x 轴，过顶点 B 且垂直于 CA 的直线为 y 轴，建立直角坐标系 (图1－5－8).
1. 分别根据下列条件，求点 P 到直线 l 的距离：(1) P(3，－2)，l：3x＋4y－25＝0；(2) P(－2，1)，l：3y＋5＝0.
3. 已知直线 l 过原点，且点 M(5，0) 到直线 l 的距离等于3，求直线 l 的方程.
答案：3x－4y＝0 或 3x＋4y＝0.
4. 已知 △ABC 的三个顶点为 A(1，1)，B(3，4)，C(4，－1)，求 AB 边上高的长.
1.5 平面上的距离
1. 分别根据下列条件，求 A，B 两点之间的距离：(1) A(－2，0)，B(－2，－3)；(2) A(0，－3)，B(－3，－3)；(3) A(3，5)，B(－3，3).
2. 已知点 P(－1，2)，求点 P 分别关于原点、x 轴和 y 轴的对称点的坐标.
答案：关于原点的对称点为：P1(1，－2)，关于 x 轴的对称点为：P2(－1，－2)，关于 y 轴的对称点为：P3(1，2).
3. 已知点 A 在 x 轴上，点 B 在 y 轴上，线段 AB 的中点 M 的坐标是 (2，－1)，求线段 AB 的长.
5. 已知两点 A(2，3)，B(－1，4)，且点 P(x，y) 到点 A，B 的距离相等，求实数 x，y 满足的条件.
答案：3x－y＋2＝0.
6. 已知点 P(x，y) 在直线 x＋y－4＝0上，O是坐标原点，求 OP 的最小值.
7. 分别根据下列条件，求点 P 到直线 l 的距离：(1) P(2，1)，l：2x＋3＝0；(2) P(－3，4)，l：3x＋4y－30＝0.
8. 已知直线到两条平行直线 2x－y＋2＝0 和 2x－y＋4＝0 的距离相等，求直线 l 的方程.
答案：2x－y＋3＝0.
9. 已知直线 l 在 y 轴上的截距是10，且原点到直线 l 的距离是8，求直线 l 的方程.
答案：(2，－1) 或 (1，2).
11. 已知点 A(7，8)，B(10，4)，C(2， －4)，求 △ABC 的面积.
答案：S△ABC＝28.
12. 已知直线 l 过点 (－2，3)，且原点到直线 l 的距离是 2，求直线 l 的方程.
答案： 5x＋12y－26＝0 或 x＝－2.
13. 在 △ABC 中，E，F 分别为 AB，AC 的中点，建立适当的直角坐标系，求证：EF∥BC，且 EF＝－BC.
14. 过点 P(3，0) 作直线l，使它被两条相交直线 2x－y－2＝0 和 x＋y＋3＝0 所截得的线段恰好被点 P 平分，求直线 l 的方程.
答案： 8x－y－24＝0.
15. 已知光线通过点 A(－2，3)，经 x 轴反射，其反射光线通过点 B(5，7)，求：(1) 入射光线所在直线的方程；(2) 反射光线所在直线的方程.
答案： (1) 10x＋7y－1＝0； (2) 10x－7y－1＝0.
16. 已知点 A(2，1)，直线 l：x－y＋1＝0，求点 A 关于直线 l 的对称点 B 的坐标.
答案： (0，3).
17. 在直线 x＋2y＝0 上求一点 P ，使它到原点的距离与到直线 x＋2y－3＝0 的距离相等.
18. 已知直线 l：y＝3x＋3，求：(1)直线 l 关于点 M(3，2) 对称的直线的方程；(2)直线 x－y－2＝0 关于直线对称的直线的方程.
答案： (1) y＝3x－17. (2) 7x＋y＋22＝0.
19. 建立适当的直角坐标系，证明：平行四边形四边的平方和等于两条对角线的平方和.
20. 证明：点 A(a，b)，B(b，a) 关于直线 y＝x 对称.
22. 如图，点 P 是角 α 的终边与单位圆的交点，点 Q 是角－β 的终边与单位圆的交点.(1) 求 PQ；(2) 求证：cs (α＋β)＝csα csβ － sinα sinβ.
23. 某人上午8时从山下大本营出发登山，下午4时到达山顶. 次日上午8时从山顶沿原路返回，下午4时回到山下大本营，如果该人以同样的速度匀速上山、下山，那么两天中他可能在同一时刻经过途中同一地点吗?如果他在上山、下山过程中不是匀速行进的，他还可能在同一时刻经过途中同一地点吗?
解：都有可能，因为同一路线，同一时刻从两头出发，必然有交点，交点即为同时刻经过的同一点，当以勾速行进时，刚好在同一时刻经过“中点”处.
24.(阅读题)点到直线的距离.已知直线l:Ax+By+C=0(A,B不同时为0)和直线外一点P。(x，y),过点P。且与直线l垂直的直线'的方程为B(x-x)-A(y-ya)=0,直线l与!的交点为P,(x，y),则点P。到直线l的距离为
向量方法在直线中的应用
借助平面直角坐标系，可以建立点与坐标、直线与方程之间的对应关系，而向量也是沟通几何与代数的一种重要工具，利用向量也可以有效地研究与直线、直线方程有关的问题.那么，如何利用向量来研究与直线有关的问题呢?
问题 1 已知直线l经过点 P0(x0，y0)，且它的一个法向量为 m＝(A，B) (A，B 不同时为0)，求直线 l 的方程.
问题 2 已知直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0 (A1，B1不同时为0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0 (A2，B2 不同时为0)，利用向量的方法探究两直线平行的条件.
直线 l2，l2 不重合.
探究 请你用向量的方法推导：
(1)直线 l1：Ax＋By＋C1＝0 与直线 l2：A2x＋B2y＋C2＝0 垂直的条件；(2)点 P0(x0，y0) 到直线 l：Ax＋By＋C＝0 (A，B 不同时为0) 的距离公式.
对于曲线性质的研究，一直是古希腊几何学的一大内容. 古希腊数学家通过对众多曲线的研究，开始对曲线的本质有了统一的认识，他们把曲线看成由符合一定条件的所有点组成的集合，从而把曲线称为动点的轨迹.认识是统一了，但是在具体的研究中，又各不相同，对于各种不同的曲线，缺少一种一般的表示方法和统一的研究手段.
17 世纪前半叶，一个崭新的数学分支——解析几何学的创立，标志着近代数学的开端，并为数学的应用开辟了广阔的领域.在创建解析几何学的过程中，法国数学家笛卡儿 (R. Descartes，1596-1650) 和费马 (P. de Fermat，1601—1665) 做出了最重要的贡献，成为解析几何学的创立者.
笛卡儿1596年3月31日出生于法国，1650年2月11日卒于瑞典. 1637年，笛卡儿发表了《几何学》，它确立了笛卡儿在数学史上的地位. 在《几何学》卷一中，笛卡儿用平面上一点到两条固定直线的距离来确定点的位置，用坐标来描述平面上的点.
笛卡儿的解析几何有两个基本的思想：
(1) 用有序数对表示点的坐标；(2) 把互相关联的两个未知数的代数方程，看成平面上的一条曲线.
对于坐标，笛卡儿与前人所不同的是，他不仅用坐标表示点的位置，而且通过“点动成线”的思想，把坐标具体用到了建立曲线的方程上；对于方程，笛卡儿则不仅把它看成未知数与已知数之间的关系式，而且更多地把它看作两个变量之间的关系式.这样，他就建立了点和有序实数对之间以及曲线和方程之间的对应关系，从而把研究曲线的几何问题转化为研究方程的代数问题，通过对方程的讨论来研究曲线的几何性质.
费马1601年8月出生于法国，他是一位业余数学家，被后人誉为“业余数学家之王”.费马在他的《平面和立体轨迹引论》一书中，指出了对轨迹要给予一般的表示，就只能借助于代数.
费马所建立的一般方法，就是坐标法，即通过引进坐标把曲线用代数方程表示出来，费马所用的坐标实际上是斜角坐标，但是没有标明y轴，而且他不用负数. 尽管他的坐标法并不那么简便，但其本质与现代解析几何是一致的.
由此，历史上公认笛卡儿和费马为解析几何的奠基人.但是笛卡儿和费马的解析几何和现在通用的有很大的不同他们的书中都没有出现过现在称为“笛卡儿坐标”的直角坐标系.笛卡儿是根据问题特点选用他的轴系，仍然属于斜角坐标，他们的书中都没有使用“坐标”等术语“坐标” (crdinates) 一词是由德国数学家莱布尼茨(G. W. Leibniz，1646-1716)于1692年首先使用的.我们知道，曲线可以看作按照某种规律运动的点的集合或轨迹在平面直角坐标系中，设动点 P 的坐标是(x，y)，点 P 在运动，它的坐标 x 和 y 也随之相应地变化.
由于点 P 是按照某种规律在运动，因此 x 和 y 这两个变量相互依赖和制约，也就是说，它们之间应满足一定的关系. 这种关系用代数方法表示出来，就可以得到一个含有 x，y 两个变量的方程 F(x，y)＝0.这样，就建立了曲线和方程之间的对应关系.
在平面直角坐标系中，我们建立了点与坐标、直线与方程的对应关系，并据此研究了点与直线、直线与直线之间的位置关系，那么，
● 怎样借助点的坐标和直线的方程，来探求点与点、点与直线以及两平行直线之间的距离?
1.5.1 平面上两点间的距离
● 对于平面上的两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，如何求这两点间的距离?
我们先看一个具体的例子.
已知点 P1(－1，3)，P2(3，－2)，下面探求 P1，P2 两点间的距离 P1P2.
如图1-5-1，过点 P1 向 x 轴作垂线，过点 P ，向 y 轴作垂线，两条垂线交于点 Q，则 Q 点的坐标是 (－1，－2)，且QP1＝|3－(－2)|＝5，QP2＝|3－(－1)|＝4.
一般地，如果 x1≠x2，y1≠y2，过点 P1，P2 分别向 y 轴、x 轴作垂线，两条垂线交于点 Q (图1-5-2(1))，则点 Q 的坐标是 (x2，y)，且QP1＝|x2－x1|， QP2＝| y2－y1|.在 Rt△P1QP2 中，P1P22＝QP12＋QP22 ＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2. (*)
x轴上两点 P1(x1，0)，P2(x2，0) 之间的距离可以表示为 P1P2＝|x2－x1|. 当点 P1 在点 P2 的左侧时，P1P2＝x2－x1.
如果 x1＝x2 (图1-5-2(2))，那么P1P2＝| y2－y1 |，(*) 式也成立.如果 y1＝y2，那么P1P2＝| x2－x1 |，(*) 式也成立. 由此，我们得到平面上 P1(x1，y1)，P2(x2，y2) 两点间的距离公式
能用其他方法得到这一结果吗?
(1) 求 A (－1，3)，B (2，5) 两点间的距离；(2)设 a 为实数，已知 A(0，10)，B(a，－5) 两点间的距离是17，求 a 的值.
已知 △ABC 的三个顶点为 A(－1，5)，B(－2，－1)，C(4，7)，求 BC 边上的中线 AM 的长和 AM 所在直线的方程.
解 如图1-5-3，设点 M 的坐标为 (x，y)，过点 B，M，C 向 x 轴作垂线，垂足分别为点 B′，M′，C′，则点 B′，M′，C′ 的横坐标分别为 －2，x，4.
对于平面上的两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，线段 P1P2 的中点是 M (x0，y0)，则
在直角三角形 ABC 中，点 M 为斜边 BC 的中点，试建立适当的直角坐标系，求证：AM＝－BC.
3. 已知两点 P(1，－4)，A(3，2)，求点 A 关于点 P 的对称点 B 的坐标.
答案：(1) B(－1，－10).
4. 证明：点 M (1，1) 与点 N (5，－1) 关于直线 l：2x－y－6＝0 对称.
1.5.2 点到直线的距离
●对于平面上确定的直线 l：Ax＋By＋C＝0 (A，B不全为0) 和直线 l 外一点 P(x0，y0)，如何求点 P 到直线 l 的距离呢?
我们先看一个具体的例子.已知点 P(2，4) 和直线 l：5x＋4y－7＝0，下面探求点 P 到直线 l 的距离.如图 1-5-5，过点 P 作 PE⊥l，垂足为 E，则点 P 到直线 l 的距离就是线段 PE的长.
方法1 通过求点 E 的坐标，用两点间距离公式求 PE.
方法2 通过构造三角形，利用面积关系求点 P 到直线 l 的距离.
如图1-5-6，过点 P 分别作 y 轴、x 轴的垂线，交直线 l 于点 M，N，我们通过计算 Rt△PMN 的面积求PE.
还可用两点间距离公式求 MN.
第四步 由三角形面积公式可知
一般地，对于直线l：Ax＋By＋C＝0 (A≠0，B≠0)和直线 l 外一点 P(x0，y0)，过点 P 作 PQ⊥l，垂足为 Q . 过点 P 分别作 y轴、x 轴的垂线，交 l 于点 M(x1，y0)，N(x0，y1) (图1-5-7).
当A＝0或 B＝0时，此式仍然成立.
由此，我们得到点 P(x0，y0) 到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离为
你还能通过其他途径求点 P 到直线 l 的距离吗?
分别求点 P(－1，2) 到下列直线的距离：(1) 2x＋y－10＝0； (2) 3x＝2.
当 A＝0 或 B＝0 时，可直接利用图形性质求出点到直线的距离.
求两条平行直线 x＋3y－4＝0 与 2x＋6y－9＝0 之间的距离.
分析 在两条平行直线中的一条直线上任取一点，将两条平行直线之间的距离转化为点到直线的距离.
建立适当的直角坐标系，证明：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高.
证明 设 △ABC 是等腰三角形，以底边 CA 所在直线为 x 轴，过顶点 B 且垂直于 CA 的直线为 y 轴，建立直角坐标系 (图1－5－8).
1. 分别根据下列条件，求点 P 到直线 l 的距离：(1) P(3，－2)，l：3x＋4y－25＝0；(2) P(－2，1)，l：3y＋5＝0.
3. 已知直线 l 过原点，且点 M(5，0) 到直线 l 的距离等于3，求直线 l 的方程.
答案：3x－4y＝0 或 3x＋4y＝0.
4. 已知 △ABC 的三个顶点为 A(1，1)，B(3，4)，C(4，－1)，求 AB 边上高的长.
1.5 平面上的距离
1. 分别根据下列条件，求 A，B 两点之间的距离：(1) A(－2，0)，B(－2，－3)；(2) A(0，－3)，B(－3，－3)；(3) A(3，5)，B(－3，3).
2. 已知点 P(－1，2)，求点 P 分别关于原点、x 轴和 y 轴的对称点的坐标.
答案：关于原点的对称点为：P1(1，－2)，关于 x 轴的对称点为：P2(－1，－2)，关于 y 轴的对称点为：P3(1，2).
3. 已知点 A 在 x 轴上，点 B 在 y 轴上，线段 AB 的中点 M 的坐标是 (2，－1)，求线段 AB 的长.
5. 已知两点 A(2，3)，B(－1，4)，且点 P(x，y) 到点 A，B 的距离相等，求实数 x，y 满足的条件.
答案：3x－y＋2＝0.
6. 已知点 P(x，y) 在直线 x＋y－4＝0上，O是坐标原点，求 OP 的最小值.
7. 分别根据下列条件，求点 P 到直线 l 的距离：(1) P(2，1)，l：2x＋3＝0；(2) P(－3，4)，l：3x＋4y－30＝0.
8. 已知直线到两条平行直线 2x－y＋2＝0 和 2x－y＋4＝0 的距离相等，求直线 l 的方程.
答案：2x－y＋3＝0.
9. 已知直线 l 在 y 轴上的截距是10，且原点到直线 l 的距离是8，求直线 l 的方程.
答案：(2，－1) 或 (1，2).
11. 已知点 A(7，8)，B(10，4)，C(2， －4)，求 △ABC 的面积.
答案：S△ABC＝28.
12. 已知直线 l 过点 (－2，3)，且原点到直线 l 的距离是 2，求直线 l 的方程.
答案： 5x＋12y－26＝0 或 x＝－2.
13. 在 △ABC 中，E，F 分别为 AB，AC 的中点，建立适当的直角坐标系，求证：EF∥BC，且 EF＝－BC.
14. 过点 P(3，0) 作直线l，使它被两条相交直线 2x－y－2＝0 和 x＋y＋3＝0 所截得的线段恰好被点 P 平分，求直线 l 的方程.
答案： 8x－y－24＝0.
15. 已知光线通过点 A(－2，3)，经 x 轴反射，其反射光线通过点 B(5，7)，求：(1) 入射光线所在直线的方程；(2) 反射光线所在直线的方程.
答案： (1) 10x＋7y－1＝0； (2) 10x－7y－1＝0.
16. 已知点 A(2，1)，直线 l：x－y＋1＝0，求点 A 关于直线 l 的对称点 B 的坐标.
答案： (0，3).
17. 在直线 x＋2y＝0 上求一点 P ，使它到原点的距离与到直线 x＋2y－3＝0 的距离相等.
18. 已知直线 l：y＝3x＋3，求：(1)直线 l 关于点 M(3，2) 对称的直线的方程；(2)直线 x－y－2＝0 关于直线对称的直线的方程.
答案： (1) y＝3x－17. (2) 7x＋y＋22＝0.
19. 建立适当的直角坐标系，证明：平行四边形四边的平方和等于两条对角线的平方和.
20. 证明：点 A(a，b)，B(b，a) 关于直线 y＝x 对称.
22. 如图，点 P 是角 α 的终边与单位圆的交点，点 Q 是角－β 的终边与单位圆的交点.(1) 求 PQ；(2) 求证：cs (α＋β)＝csα csβ － sinα sinβ.
23. 某人上午8时从山下大本营出发登山，下午4时到达山顶. 次日上午8时从山顶沿原路返回，下午4时回到山下大本营，如果该人以同样的速度匀速上山、下山，那么两天中他可能在同一时刻经过途中同一地点吗?如果他在上山、下山过程中不是匀速行进的，他还可能在同一时刻经过途中同一地点吗?
解：都有可能，因为同一路线，同一时刻从两头出发，必然有交点，交点即为同时刻经过的同一点，当以勾速行进时，刚好在同一时刻经过“中点”处.
24.(阅读题)点到直线的距离.已知直线l:Ax+By+C=0(A,B不同时为0)和直线外一点P。(x，y),过点P。且与直线l垂直的直线'的方程为B(x-x)-A(y-ya)=0,直线l与!的交点为P,(x，y),则点P。到直线l的距离为
向量方法在直线中的应用
借助平面直角坐标系，可以建立点与坐标、直线与方程之间的对应关系，而向量也是沟通几何与代数的一种重要工具，利用向量也可以有效地研究与直线、直线方程有关的问题.那么，如何利用向量来研究与直线有关的问题呢?
问题 1 已知直线l经过点 P0(x0，y0)，且它的一个法向量为 m＝(A，B) (A，B 不同时为0)，求直线 l 的方程.
问题 2 已知直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0 (A1，B1不同时为0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0 (A2，B2 不同时为0)，利用向量的方法探究两直线平行的条件.
直线 l2，l2 不重合.
探究 请你用向量的方法推导：
(1)直线 l1：Ax＋By＋C1＝0 与直线 l2：A2x＋B2y＋C2＝0 垂直的条件；(2)点 P0(x0，y0) 到直线 l：Ax＋By＋C＝0 (A，B 不同时为0) 的距离公式.
对于曲线性质的研究，一直是古希腊几何学的一大内容. 古希腊数学家通过对众多曲线的研究，开始对曲线的本质有了统一的认识，他们把曲线看成由符合一定条件的所有点组成的集合，从而把曲线称为动点的轨迹.认识是统一了，但是在具体的研究中，又各不相同，对于各种不同的曲线，缺少一种一般的表示方法和统一的研究手段.
17 世纪前半叶，一个崭新的数学分支——解析几何学的创立，标志着近代数学的开端，并为数学的应用开辟了广阔的领域.在创建解析几何学的过程中，法国数学家笛卡儿 (R. Descartes，1596-1650) 和费马 (P. de Fermat，1601—1665) 做出了最重要的贡献，成为解析几何学的创立者.
笛卡儿1596年3月31日出生于法国，1650年2月11日卒于瑞典. 1637年，笛卡儿发表了《几何学》，它确立了笛卡儿在数学史上的地位. 在《几何学》卷一中，笛卡儿用平面上一点到两条固定直线的距离来确定点的位置，用坐标来描述平面上的点.
笛卡儿的解析几何有两个基本的思想：
(1) 用有序数对表示点的坐标；(2) 把互相关联的两个未知数的代数方程，看成平面上的一条曲线.
对于坐标，笛卡儿与前人所不同的是，他不仅用坐标表示点的位置，而且通过“点动成线”的思想，把坐标具体用到了建立曲线的方程上；对于方程，笛卡儿则不仅把它看成未知数与已知数之间的关系式，而且更多地把它看作两个变量之间的关系式.这样，他就建立了点和有序实数对之间以及曲线和方程之间的对应关系，从而把研究曲线的几何问题转化为研究方程的代数问题，通过对方程的讨论来研究曲线的几何性质.
费马1601年8月出生于法国，他是一位业余数学家，被后人誉为“业余数学家之王”.费马在他的《平面和立体轨迹引论》一书中，指出了对轨迹要给予一般的表示，就只能借助于代数.
费马所建立的一般方法，就是坐标法，即通过引进坐标把曲线用代数方程表示出来，费马所用的坐标实际上是斜角坐标，但是没有标明y轴，而且他不用负数. 尽管他的坐标法并不那么简便，但其本质与现代解析几何是一致的.
由此，历史上公认笛卡儿和费马为解析几何的奠基人.但是笛卡儿和费马的解析几何和现在通用的有很大的不同他们的书中都没有出现过现在称为“笛卡儿坐标”的直角坐标系.笛卡儿是根据问题特点选用他的轴系，仍然属于斜角坐标，他们的书中都没有使用“坐标”等术语“坐标” (crdinates) 一词是由德国数学家莱布尼茨(G. W. Leibniz，1646-1716)于1692年首先使用的.我们知道，曲线可以看作按照某种规律运动的点的集合或轨迹在平面直角坐标系中，设动点 P 的坐标是(x，y)，点 P 在运动，它的坐标 x 和 y 也随之相应地变化.
由于点 P 是按照某种规律在运动，因此 x 和 y 这两个变量相互依赖和制约，也就是说，它们之间应满足一定的关系. 这种关系用代数方法表示出来，就可以得到一个含有 x，y 两个变量的方程 F(x，y)＝0.这样，就建立了曲线和方程之间的对应关系.
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