苏教版 (2019)选择性必修第一册4.3 等比数列第一课时学案

等比数列的前n项和

第一课时　等比数列的前n项和公式

在信息技术高度发展的今天，人们可以借助手机、计算机等快速地传递有关信息．在此背景下，要求每一个人都要“不造谣，不信谣，不传谣”，否则要依法承担有关法律责任．你知道这其中的缘由吗？

如图所示，如果一个人得到某个信息之后，就将这个信息传给3个不同的好友(称为第1轮传播)，每个好友收到信息后，又都传给了3个不同的好友(称为第2轮传播)……，依此下去，假设信息在传播的过程中都是传给不同的人，则每一轮传播后，信息传播的人数就构成了一个等比数列．

[问题]　如果信息按照上述方式共传播了20轮，那么知晓这个信息的人数共有多少？

知识点　等比数列的前n项和公式

1．等比数列的前n项和公式的适用条件是什么？

提示：公比q≠1.

2．若首项为a的数列既是等差数列又是等比数列，则其前n项和Sn为何值？

提示：若数列既是等差数列，又是等比数列，则是非零常数列，所以前n项和为Sn＝na.

3．若某数列的前n项和公式为Sn＝－aqn＋a(a≠0，q≠0且q≠1，n∈N*)，则此数列一定是等比数列吗？

提示：是．根据等比数列前n项和公式Sn＝(q≠0且q≠1)变形为：

Sn＝－qn(q≠0且q≠1)，若令a＝，

则和式可变形为Sn＝a－aqn.

1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)等比数列前n项和Sn不可能为0.(　　)

(2)若a∈R，则1＋a＋a2＋…＋an－1＝.(　　)

答案：(1)×　(2)×

2．数列{2n－1}的前99项和为(　　)

A．2100－1　　　　　　　　 B．1－2100

C．299－1  D．1－299

解析：选C　数列{2n－1}为等比数列，首项为1，公比为2，故其前99项和为S99＝＝299－1.

3．在等比数列{an}中，若a1＝1，a4＝，则该数列的前10项和S10＝(　　)

A．2－  B．2－

C．2－  D．2－

解析：选B　易知公比q＝，则S10＝＝2－.

[例1]　(链接教科书第150页例1)求下列等比数列前8项的和：

(1)，，，…；

(2)a1＝27，a9＝，q<0.

[解]　(1)因为a1＝，q＝，

所以S8＝＝.

(2)由a1＝27，a9＝，可得＝27·q8.

又由q＜0，可得q＝－，

所以S8＝＝＝＝.

求等比数列的前n项和，要确定首项，公比或首项、末项、公比，应注意公比q＝1是否成立．　　　　

[跟踪训练]

(1)求数列{(－1)n＋2}的前100项的和；

(2)在14与之间插入n个数，组成所有项的和为的等比数列，求此数列的项数．

解：(1)法一：a1＝(－1)3＝－1，q＝－1.

∴S100＝＝0.

法二：数列{(－1)n＋2}为－1，1，－1，1，…，

∴S100＝50×(－1＋1)＝0.

(2)设此数列的公比为q(易知q≠1)，

则解得故此数列共有5项.

[例2]　(链接教科书第150页例2)在等比数列{an}中，公比为q，前n项和为Sn.

(1)a1＝8，an＝，Sn＝，求n；

(2)S3＝，S6＝，求an及Sn.

[解]　(1)显然q≠1，由Sn＝，即＝，

∴q＝.又∵an＝a1qn－1，即8×＝，

∴n＝6.

(2)法一：由S6≠2S3知q≠1，由题意得

②÷①，得1＋q3＝9，∴q3＝8，即q＝2.

代入①得a1＝，∴an＝a1qn－1＝×2n－1＝2n－2，

Sn＝＝2n－1－.

法二：由S3＝a1＋a2＋a3，S6＝S3＋a4＋a5＋a6＝S3＋q3(a1＋a2＋a3)＝S3＋q3S3＝(1＋q3)S3.

∴1＋q3＝＝9，∴q3＝8，即q＝2.

代入＝，得a1＝，∴an＝a1qn－1＝×2n－1＝2n－2，

Sn＝＝2n－1－.

在等比数列{an}的五个量a1，q，an，n，Sn中，a1与q是最基本的元素，当条件与结论间的联系不明显时，均可以用a1与q表示an与Sn，从而列方程组求解，在解方程组时经常用到两式相除达到整体消元的目的．这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用．　　　　

[跟踪训练]

已知a6－a4＝24，a3·a5＝64，求S8.

解：由题意，得

化简得

①÷②，得q2－1＝±3，负值舍去，

∴q2＝4，∴q＝2或q＝－2.

当q＝2时，代入①得a1＝1.

∴S8＝＝255.

当q＝－2时，代入①得a1＝－1.

∴S8＝＝85.

综上知S8＝255或S8＝85.

[例3]　(链接教科书第151页例4)某市共有1万辆燃油型公交车．有关部门计划于2016年投入128辆电力型公交车，随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%.则：

(1)该市在2022年应该投入电力型公交车多少辆？

(2)到哪一年年底，电力型公交车的数量开始超过公交车总量的？

[解]　(1)每年投入电力型公交车的数量可构成等比数列{an}，其中a1＝128，q＝.

∴2022年应投入的数量为a7＝a1q6＝128×＝1 458(辆)．

∴该市在2022年应该投入1 458辆电力型公交车．

(2)设{an}的前n项和为Sn.

则Sn＝＝256·，

由Sn＞(10 000＋Sn)×，即Sn＞5 000，n∈N*，解得n＞7.

∴该市在2023年底电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的.

解数列应用题的思路和方法

[跟踪训练]

为保护我国的稀土资源，国家限定某矿区的出口总量不能超过80吨，该矿区计划从2018年开始出口，当年出口a吨，以后每年出口量均比上一年减少10%.

(1)以2018年为第一年，设第n年出口量为an吨，试求an的表达式；

(2)国家计划10年后终止该矿区的出口，问2018年最多出口多少吨？(0.910≈0.35，保留一位小数)

解：(1)由题意知每年的出口量构成等比数列，且首项a1＝a，公比q＝1－10%＝0.9，

∴an＝a·0.9n－1.

(2)10年的出口总量S10＝＝10a(1－0.910)．

∵S10≤80，∴10a(1－0.910)≤80，

即a≤≈12.3，

∴a≤12.3.故2018年最多出口12.3吨．

1．数列1，5，52，53，54，…的前10项和为(　　)

A.(510－1)　　　　　　 B.(510－1)

C.(59－1)  D.(511－1)

解析：选B　S10＝＝(510－1)．

2．等比数列{an}中，公比q＝－2，S5＝44，则a1的值为(　　)

A．4  B．－4

C．2  D．－2

解析：选A　由S5＝＝44，

得a1＝4.

3．设等比数列{an}的公比q＝2，前n项和为Sn，则等于(　　)

A．2  B．4

C.  D.

解析：选C　＝×＝＝.

4．等比数列{an}中，a3＝8，a6＝64，则{an}的前5项的和是________．

解析：∵q3＝＝8，∴q＝2，从而a1＝2.

∴S5＝＝62.

答案：62

5．已知等比数列{an}中，a1＝2，q＝2，前n项和Sn＝126，则n＝________．

解析：Sn＝＝126，即2n＋1＝128，故n＋1＝7，n＝6.

答案：6