苏教版 (2019)选择性必修第一册4.3 等比数列教案设计

这是一份苏教版 (2019)选择性必修第一册4.3 等比数列教案设计，共6页。教案主要包含了新课导入，新知探究，应用举例，课堂练习，课堂小结，布置作业等内容，欢迎下载使用。

教学目标
1.探索并掌握等比数列的前n项和公式，并会应用其解决相关问题；
2.体会等比数列前n项和公式的推导过程；
3.借助等比数列前n项和公式的推导及应用，培养学生逻辑推理、数学运算等核心素养.
教学重难点
重点：等比数列的前n项和公式．
难点：等比数列的前n项和公式的推导．
教学过程
一、新课导入
情境：国际象棋起源于古印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他想要什么.发明者说：“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒……依次类推，每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”国王觉得这个要求不高，就欣然同意了.
国王一共应该给发明者多少颗麦粒？
分析： 设国王一共应该给的麦粒颗数为S64，则有
S64=1+2+22+23+…+263.
1，2，22，23，…，263是首项为1，公比为2的等比数列.
提问：如何进行等比数列的求和呢？
设计意图：通过实际情境引入等比数列的求和问题，激发学生的学习兴趣和求知欲．
二、新知探究
问题1：如何计算S64呢？
分析：S1=1，
S2=1+2=3=22−1，
S3=1+2+22=7=23−1，
S4=1+2+22+23=15=24−1，
……
S64=？
猜想：S64=264−1.
追问1：将“S64=1+2+22+23+…+263”怎样变形能出现264呢？
答案：将等式的两边各项分别乘以2.
因为S64=1+2+22+23+…+263， ①
所以2S64=2+22+23+…+263+264. ②
追问2：观察①式和②式，发现什么共同点了吗？
答案：两个等式的右边除首项与末项不同外，其余各项均相同.
追问3：如何能消去这些相同的项呢？
答案：用②式减去①式可以将这些相同的项全部消掉.
快去试一试吧！
②－①，得S64=264−1.
问题2：能否将上述方法推广到一般的等比数列求和问题的解决过程中？
答案：对于首项为a1，公差为q(q≠0)的等比数列an，设
Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn−1， ①
①式的两边同乘q，得
qSn=a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn−1+a1qn. ②
①－②，得
Sn−qSn=a1(1−qn)，
即 Sn(1−q)=a1(1−qn).
追问：要想求出Sn，能否将上式的两边同时除以1−q？
答案：不能，要分情况讨论.
当1−q≠0即q≠1时，等比数列an的前n项和公式为
Sn=a1(1−qn)1−q.
很明显，当1−q=0即q=1时，由①式可得Sn=na1.
从而，等比数列an的前n项和公式为
Sn=na1， q=1，a1(1−qn)1−q， q≠1且q≠0.
公式变形：
当q≠1时，Sn=a1(1−qn)1−q=a1−a1qn1−q=a1−anq1−q.
思考：等比数列的前n项和公式中共涉及哪几个相关量？这几个量有什么实际意义？这几个相关量中，已知几个可以求出其他几个？
答案：等比数列的前n项和公式中有五个量：首项a1，公比q，项数n，末项an，前n项和Sn，这五个量可以“知三求二”．
练一练：在等比数列an中，
（1）已知a1=−4，q=12，求前10项和S10；
（2）已知a1=1，ak=243，q=3，求前k项和Sk.
分析：根据已知条件选择合适的求和公式计算即可.
解：（1）根据等比数列的前n项和公式，得
S10=a1(1−q10)1−q=−4[1−1210]1−12=−1023128.
（2）根据等比数列的前n项和公式，得
Sk=a1−akq1−q=1−243×31−3=364.
思考：如何选择公式能让运算过程更简便呢？
答案：当q≠1时，已知首项a1，公比q，项数n，选择公式Sn=a1(1−qn)1−q；
已知首项a1，公比q，末项an，选择公式Sn=a1−anq1−q.
当q=1时，选择公式Sn=na1.
设计意图：通过问题探究让学生了解等比数列的求和公式的推导过程，培养学生的逻辑推理、数学运算等核心素养．
三、应用举例
例1 已知等比数列an的前n项和为Sn，若S3=72，S6=632，求an.
分析：先根据等比数列的求和公式列方程（组）求出a1和q，再求an.
解：设等比数列an的公比为q.
若q=1，则S6=2S3，这与已知S3=72，S6=632是矛盾的，所以q≠1.
从而
S3=a1(1−q3)1−q=72；
S6=a1(1−q6)1−q=632.
将上面两个等式的两边分别相除，得
1+q3=9，
解得q=2，由此可得a1=12.
因此an=12×2n−1=2n−2.
例2 求数列1+12，2+14，3+18，…，n+12n，…的前n项和Sn.
思考1：观察这个数列的每一项有什么特征？
答案：这个数列的每一项都是一个等差数列与一个等比数列的对应项的和.
思考2：如何求这种数列的和呢？
答案：分组求和.
解：Sn=1+12+2+14+3+18+…+(n+12n)
=1+2+3+…+n+12+14+18+…+12n
=n(n+1)2+12(1−12n)1−12
=n(n+1)2+1−12n.
例3 已知等比数列an的公比q≠−1，前n项和为Sn．证明Sn，S2n−Sn，S3n−S2n成等比数列.
证明：（方法1）当q=1时，Sn=na1，S2n−Sn=2na1−na1=na1，
S3n−S2n=3na1=2na1=na1，
所以Sn，S2n−Sn，S3n−S2n成等比数列，公比为1．
当q≠1时，Sn=a11−qn1−q， S2n−Sn=a11−q2n1−q−a11−qn1−q=a1qn1−qn1−q=qnSn，
S3n−S2n=a11−q3n1−q−a11−q2n1−q=a1q2n1−qn1−q=qnS2n−Sn，
所以S2n−SnSn=S3n−S2nS2n−Sn=qn．
因为当n确定时，qn为常数，
所以Sn，S2n−Sn，S3n−S2n成等比数列，公比为qn．
（方法2）因为Sn=a1+a2+a3+…+an，
S2n−Sn=an+1+an+2+…+a2n=qn(a1+a2+a3+…+an)，
S3n−S2n=a2n+1+a2n+2+…+a3n=q2n(a1+a2+a3+…+an)，
所以S2n−SnSn=S3n−S2nS2n−Sn=qn．
因为当n确定时，qn为常数，
所以Sn，S2n−Sn，S3n−S2n成等比数列，公比为qn．
小结：等比数列an的公比q≠−1，前n项和为Sn，则Sn，S2n−Sn，S3n−S2n成等比数列，且公比为qn．
设计意图：通过例题，进一步熟悉等差数列的求和公式，掌握利用等比数列的求和公式解决相关问题．
四、课堂练习
1.在等比数列an中，
(1) S2=30，S3=155，求Sn；
(2) a1+a3=10，a4+a6=54，求S5.
2.已知等比数列an中，a1=2，S3=6，a3=________．
3.等比数列{an}的公比为q(q≠−1)，则数列a3，a6，…，a3n，…的前n项和为( )
A．a11−q2n1−q B．a11−q3n1−q3
C．a31−q3n1−q3 D．a21−q2n1−q
4.等比数列an中，前5项和S5=10，前10项和S10=50，则它的前15项和S15=________．
参考答案：
1.解：(1)由题意知a11+q=30，a11+q+q2=155，
解得a1=5，q=5，或a1=180，q=−56.
从而Sn=14×5n+1或Sn=1080×[1−−56n]11.
(2)由(a1+a3)q3=a4+a6，
得q3=18，从而q=12.
又因为a1+a3＝a1(1＋q2)=10，
所以a1=8，从而S5=a1(1−q5)1−q=312.
2.解：若q=1，则S3=3a1=6，符合题意，此时a3=a1=2.
若q≠1时，则S3=a11−q31−q＝21−q31−q＝6，
解得q=−2，此时a3=a1q2=2×(−2)2=8.
综上a3的值为2或8.
3.解：等比数列中，序号成等差数列，项仍成等比数列，
则a3，a6，…，a3n…是等比数列，且首项为a3，公比为a6a3＝q3，
再用等比数列的前n项和公式求解，得a31−q3n1−q3，故选C.
4.解：由等比数列性质知S5，S10−S5， S15−S10成等比数列，
又S5=10，S10−S5=40，
所以S15−S10=160，
所以S15=S5+S10−S5+S15−S10=210.
五、课堂小结
求数列的基本量的基本方法是构建方程或方程组或运用数列的有关性质进行处理，
1.“知三求一”：a1，q，n称为等比数列的三个基本量，在通项公式和前n项和公式中，都含有四个量，已知其中的三个可求出第四个.
2.“知三求二”：五个量a1，q，n，an，Sn中可知三求二，一般可列方程(组)求解.
六、布置作业
教材第151页练习第2，4，5题．