初中数学人教版八年级上册第十一章 三角形11.2 与三角形有关的角本节综合多媒体教学课件ppt

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三角形内角和定理直角三角形的性质与判定三角形的外角
1. 定理 三角形三个内角的和等于180° .几何语言：在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝180° .
2. 三角形内角和定理的证明思路思路一：利用“两直线平行，内错角或同位角相等”将三角形的三个内角转化为一个平角，如图11.2-1 ①②所示.
思路二：利用“两直线平行，内错角相等”将三角形的三个内角转化为两平行线间的一组同旁内角，如图11.2-2 ①②所示.
特别解读1. 三角形内角和定理揭示了三角形三个内角之间的数量关系.2. 三角形的三个内角中最多只有一个钝角或直角，或者说至少有两个锐角.
解题秘方：紧扣三角形内角和定理建立方程(组)求解.
解：设∠B＝∠C＝m°.∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴ 40＋m＋m＝180，解得m＝70.∴∠B＝∠C＝70°.
(1)已知∠A＝40°，∠B＝∠C，求∠B，∠C的度数；
(2)已知∠A－∠B＝16°，∠C＝54°，求∠A，∠B 的度数；
三角形中求角的度数问题一般用方程思想求解. 当角之间存在数量关系时，一般根据三角形内角和为180°列方程(组) 求解.
1-1. 在△ABC中， 若∠A＝80°，∠B＝∠C，则∠B 等于( )A. 10° B. 30°C. 50° D. 80°
1-2. 如图， 在△ABC中，∠A＝80°， ∠B＝40 °，D，E分别是AB，AC上的点， 且DE//BC，则∠AED的度数是( )A. 40° B. 60°C. 80° D. 120°
1-3. 在△ABC中，∠A＝∠B＋20°，∠C＝∠A＋50°，求△ABC各内角的度数.
解：∵∠A＝∠B＋20°，∠C＝∠A＋50°，∴∠C＝∠B＋20°＋50°＝∠B＋70°.∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴∠B＋20°＋∠B＋70°＋∠B＝180°.∴∠B＝30°.∴∠A＝50°，∠C＝100°.
一个零件的形状如图11.2-3，按规定∠A 应等于90°，∠ABD，∠ACD应分别是34°和18° . 李叔叔量得∠BDC＝146°，请你帮李叔叔判断这个零件是否合格，并说明理由.
解题秘方：建立三角形的模型利用三角形内角和定理求出角度，再用三角形内角和定理进行验证.
解：这个零件不合格. 理由如下：如图11.2-3，连接BC.在△ABC中，∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°.∵∠A＝90°，∠ACD＝18°，∠ABD＝34°，∴∠DCB＋∠DBC＝38° .在△DCB 中， ∠BDC＋∠DCB＋∠DBC＝146 °＋38 °＝184°≠ 180°，∴这个零件不合格.
2-1. 某地有A，B，C三个村庄， 如图，B村庄在C村庄的正西方向，A村庄在B村庄的北偏东20°方向，同时A 村庄又在C村庄的北偏西45°方向， 那么， 在A村庄看B，C两个村庄的视角∠BAC为多少？
解：由题意知∠ABC＝90°－∠PBA＝70°，∠ACB＝90°－∠ACQ＝45°.由三角形内角和定理得∠A＝180°－∠ABC－∠ACB＝180°－70°－45°＝65°，即在A村庄看B，C两个村庄的视角∠BAC为65°.
直角三角形的性质与判定
1. 直角三角形的性质 直角三角形的两个锐角互余 .几何语言：在△ABC中，∵∠C＝90°，∴∠A＋∠B＝90°.
2. 直角三角形的表示 直角三角形可以用符号“Rt △”表示，直角三角形ABC可以写成Rt △ABC.注意：“Rt △”后必须紧跟表示直角三角形的三个顶点的大写字母，不能单独使用．如“直角三角形的边”不能写成“Rt△的边”.3. 直角三角形的判定 有两个角互余的三角形是直角三角形.
特别解读在直角三角形中，若已知两个锐角之间的数量关系，可结合两个锐角互余求出每个锐角的大小，不需要再利用三角形内角和定理求解.
如图11.2-4，AB，CD相交于点O，AC⊥CD于点C，若∠BOD＝35°，则∠A＝_______.
解题秘方：根据直角三角形中两锐角之间的数量关系求出角的度数.
解：∵∠BOD＝35°，∴∠AOC＝35° .又∵ AC⊥CD，∴∠ACD＝90° .∴ ∠A＝90° －∠AOC＝90°－35°＝55° .
3-1. 把一把直尺与一块三角板按如图所示的方式放置，若∠1＝45°，则∠2的度数为( )A. 65° B. 60°C. 45° D. 30°
如图11.2-5，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P. 求证：△EFP是直角三角形.
解题秘方：如果三角形中有两个角的和等于90°(互余)就可证明该三角形为直角三角形.
4-1. 已知∠A＝37 °，∠B＝53 °， 则△ABC为( )A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 以上都不对
如图11.2-6，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ACD＝∠B. 求证：CD⊥AB.
解题秘方：利用直角三角形的性质与判定求出CD，AB 的夹角为直角.
证明：∵∠ACB＝90°，∴∠A＋∠B＝90°.∵∠ACD＝∠B，∴∠A＋∠ACD＝90°.∴∠CDA＝90°. ∴ CD⊥AB.
5-1. 如图， 点E是△ABC的边AC上的一点，ED⊥AB于点D，∠AED＝∠B. 求 证：△ACB是直角三角形.
证明：∵ED⊥AB，∴∠ADE＝90°.∴∠A＋∠AED＝90°.∵∠AED＝∠B，∴∠A＋∠B＝90°.∴△ABC是直角三角形．
1. 定义三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.
特别解读1. 位置： 在三角形的外部. 2. 与相邻内角是邻补角.3. 三角形每一个顶点处都有两个外角，它们是对顶角，因此三角形共有六个外角，通常每一个顶点处取一个外角．
2. 外角性质(三角形内角和定理的推论)三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.常见应用：(1)已知一个外角及与它不相邻的两个内角中的一个，可求另一个；(2)证明一个角等于另两个角的和或差；(3)作为中间关系式证明两个角相等.
3. 拓展性质(1)三角形的一个外角大于与它不相邻的任一内角；(2)三角形的外角和等于360° .
如图11.2-7，△ABC的外角∠CAE的平分线AD交BC 的延长线于D，∠B＝35°，∠DAE＝60°，求∠ACD的度数.
解题秘方：利用三角形外角的性质，将∠ACD 转化为∠B＋∠BAC 进行求解.
解：∵ AD是∠CAE的平分线，∠DAE＝60°，∴∠CAE＝2∠DAE＝2×60°＝120°.∴∠BAC＝180°－∠CAE＝180°－120°＝60°.∵∠ACD是△ABC的一个外角，∴∠ACD＝∠BAC＋∠B=60°＋35°＝95°.
6-1. 如图， 已知D是△ABC的边BC延长线上一点，DF交AC于点E，∠A＝35°，∠ACD＝83° .
(1)求∠B的度数；(2)若∠D＝42 °， 求∠AFE的度数.
解：∵∠ACD是△ABC的一个外角，∠A＝35°，∠ACD＝83°，∴∠B＝∠ACD－∠A＝48°.
∵∠AFE是△BDF的一个外角，∠B＝48°，∠D＝42°，∴∠AFE＝∠B＋∠D＝48°＋42°＝90°.
外角等于与它不相邻两内角的和
外角大于与它不相邻的任何一个内角