人教版八年级上册13.3.1 等腰三角形图片课件ppt

这是一份人教版八年级上册13.3.1 等腰三角形图片课件ppt，共24页。PPT课件主要包含了教学目标，新知导入，新知讲解，知识点1，ABAC，等腰三角形，AB与AC，BD与CD，AD与AD，∠B与∠C等内容，欢迎下载使用。

（1）知道等腰三角形的性质
（2）能运用等腰三角形的性质进行证明和计算.
我们知道有两边相等的三角形叫等腰三角形。
在前面学习轴对称图形中，大家知道等腰三角形是轴对称图形吗?能否运用轴对称图形的性质来探究等腰三角形的性质？
探索并证明等腰三角形的性质
　　如图所示，把一张长方形的纸按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开，得到的△ABC 有什么特点？
【思考】△ABC 是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？
折痕所在的直线是它的对称轴.
等腰三角形是轴对称图形.
把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折，找出其中重合的线段和角.
【思考】由这些重合的角，你能发现等腰三角形的性质吗？说一说你的猜想.
等腰三角形的性质:性质1：等腰三角形的两个底角相等；性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．
【思考】如何构造两个全等的三角形？
如何证明两个角相等呢？
可以运用全等三角形的性质“对应角相等”来证.
已知： 如图，在△ABC中，AB=AC.求证： ∠B= ∠C.
作底边的中线AD，则BD=CD.
AB=AC ( 已知 )，
BD=CD ( 已作 )，
AD=AD (公共边)，
∴ △BAD≌ △CAD (SSS).
∴ ∠B= ∠C (全等三角形的对应角相等).
在△BAD和△CAD中
方法一：作底边上的中线.
作顶角的平分线AD，∠BAD=∠CAD.
AB=AC ( 已知 ),
∠BAD=∠CAD ( 已作 ),
AD=AD (公共边),
∴ △BAD ≌ △CAD (SAS).
方法二：作顶角的平分线
由△BAD≌ △CAD，除了可以得到∠B= ∠C之外，你还可以得到哪些相等的线段和相等的角？和你的同伴交流一下，看看你有什么新的发现？
解：∵△BAD≌△CAD，由全等三角形的性质易得BD=CD,∠ADB=∠ADC，∠BAD=∠CAD.又∵ ∠ADB+∠ADC=180°，∴ ∠ADB=∠ADC= 90° ，即AD是等腰△ABC底边BC上的中线、顶角∠BAC的角平分线、底边BC上的高线 .
性质1:等腰三角形的两个底角相等(等边对等角).
如图,在△ABC中, ∵AB=AC(已知),∴∠B=∠C(等边对等角).
性质2:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合(三线合一）.
∵AB=AC, ∠1=∠2(已知)，∴BD=CD, AD⊥BC.（等腰三角形三线合一）
∵AB=AC, BD=CD (已知)，∴∠1=∠2, AD⊥BC.（等腰三角形三线合一）
∵AB=AC, AD⊥BC(已知)，∴BD=CD, ∠1=∠2.（等腰三角形三线合一）
数学语言：如图, 在△ABC中,
　　在等腰三角形性质的探索过程和证明过程中“折痕”“辅助线”发挥了非常重要的作用，由此，你能发现等腰三角形具有什么特征？ 等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在直线就是它的对称轴．
1、 在下列等腰三角形中，分别求出它们的底角的度数.
【课本P77 练习 第1题】
【课本P77 练习 第2题】
2. 如图，△ABC是等腰直角三角形（AB=AC，∠BAC=90°）， AD是底边BC上的高. 标出∠B，∠C，∠BAD，∠DAC的度数，并写出图中所有相等的线段.
【课本P77 练习 第3题】
3.如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°.求∠B和∠C的度数.
例1 如图，在△ABC中 ，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度数.
分析：（1）找出图中所有相等的角；
（2）指出图中有几个等腰三角形？
∠C=∠BDC=∠ABC；
解：∵AB=AC，BD=BC=AD，∴∠ABC=∠C=∠BDC， ∠A=∠ABD.设∠A=x，则∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2x,从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x.于是在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180 ° .解得x=36 ° .∴在△ABC中，∠A=36°，∠ABC=∠C=72°.
在含多个等腰三角形的图形中求角时，常常利用方程思想，通过内角、外角之间的关系进行转化求解.
例2 已知点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC.(1)如图①，若AD＝AE，求证：BD＝CE；(2)如图②，若BD＝CE，F为DE的中点，求证：AF⊥BC.
证明：(1)如图①，过A作AG⊥BC于G.∵AB＝AC，AD＝AE，∴BG＝CG，DG＝EG，∴BG–DG＝CG–EG，∴BD＝CE；(2)∵BD＝CE，F为DE的中点，∴BD＋DF＝CE＋EF，∴BF＝CF.∵AB＝AC，∴AF⊥BC.
在等腰三角形有关计算或证明中，有时需要添加辅助线，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线．
注意是指同一个三角形中
注意是指顶角的平分线,底边上的高和中线才有这一性质.而腰上的高和中线与底角的平分线不具有这一性质
（1）求等腰三角形角的度数时，如果没有明确是底角还是顶角必须分类讨论（2）等腰三角形“三线合一”定理，角平分线指的是“顶角平分线”
1.等腰△ABC中，AB=AC，∠A=30°，则∠B=（ ）
A．30° B．60° C．75° D．85°
2.等腰三角形的一个外角是100°，它的顶角的度数是（ ）
A．80°B．20°C．20°或80°D．50°或80°
3. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD=AC=BD，求∠B的度数.
解：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD.∵AD=AC，∴∠ADC=∠C.∵AD=BD，∴∠BAD=∠B.设∠B=x，则∠BAC=2∠BAD=2x，∠C=∠ADC=∠B+∠BAD=2x，∴∠B+∠BAC+∠C=x+2x+2x=180°，解得x=36°，∴∠B=36°.
4.如图，在△ABC中，AB＝AC，E在CA的延长线上，∠AEF＝∠AFE，求证：EF⊥ BC.
证明：作AD⊥BC，垂足为D.∵AB=AC，∴∠BAC=2∠CAD.∵∠AEF=∠AFE，∴∠BAC=∠AEF+∠AFE=2∠AEF.∴∠CAD=∠AEF，∴AD∥EF.∵AD⊥BC，∴EF⊥BC.