数学必修 第一册5.3 诱导公式课后作业题

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1.化简sin2(π＋α)-cs(π＋α)·cs(-α)＋1的结果为( )
A.1 B.2sin2α C.0 D.2
解析:D 原式＝sin2α＋cs2α＋1＝2.
2.若cs(π-α)＝-12,则cs(-2π-α)＝( )
A.12 B.±32 C.-12 D.±12
解析:A ∵cs(π-α)＝-cs α＝-12,∴cs α＝12,∴cs(-2π-α)＝cs(-α)＝cs α＝12.
3.若sin(π＋α)＋sin(-α)＝-m,则sin(3π＋α)＋2sin(2π-α)＝( )
A.-23m B.-32m C.23m D.32m
解析:B 因为sin(π＋α)＋sin(-α)＝-2sin α＝-m,所以sin α＝m2,则sin(3π＋α)＋2sin(2π-α)＝-sin α-2sin α＝-3sin α＝-32m.故选B.
4.sin 315°＋sin(-480°)＋cs(-330°)＝( )
A.12 B.-12 C.-22 D.22
解析:C 原式＝sin(360°-45°)＋sin(-360°-120°)＋cs(-360°＋30°)＝sin(-45°)＋sin(-120°)＋cs 30°＝-sin 45°＋sin(-180°＋60°)＋cs 30°＝-sin 45°-sin 60°＋cs 30°＝-22-32＋32＝-22.故选C.
5.(多选)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,对于△ABC,有如下命题,其中正确的有( )
A.sin(B＋C)＝sin A
B.cs(B＋C)＝cs A
C.tan(B＋C)＝tan A
D.若a2＋b2＝c2,则△ABC为直角三角形
解析:AD 依题意,在△ABC中,B＋C＝π-A,sin(B＋C)＝sin(π-A)＝sin A,A正确;cs(B＋C)＝cs(π-A)＝-cs A,B错误;tan(B＋C)＝tan(π-A)＝-tan A,C错误;因为a2＋b2＝c2,由勾股定理可知,△ABC为直角三角形,D正确.
6.(多选)下列化简正确的是( )
A.tan(π＋1)＝tan 1
B.sin(-α)tan(360°-α)＝cs α
C.sin(π-α)cs(π＋α)＝tan α
D.cs(π-α)tan(-π-α)sin(2π-α)＝1
解析:AB A正确;B正确,sin(-α)tan(360°-α)＝-sinα-tanα＝cs α;C错,sin(π-α)cs(π＋α)＝sinα-csα＝-tan α;D错,cs(π-α)tan(-π-α)sin(2π-α)＝(-csα)(-tanα)-sinα＝-1.
7.tan 690°＝ .
解析:tan 690°＝tan(2×360°-30°)＝tan(-30°)＝-tan 30°＝-33.
答案:-33
8.已知sin(45°＋α)＝513,则sin(225°＋α)＝ .
解析:sin(225°＋α)＝sin[(45°＋α)＋180°]＝-sin(45°＋α)＝-513.
答案:-513
9.若P(-4,3)是角α终边上一点,则cs(α-3π)·tan(α-2π)sin2(π-α)＝ .
解析:由题意知sin α＝35,原式＝(-csα)·tanαsin2α＝-sinαsin2α＝-1sinα＝-53.
答案:-53
10.化简与计算:
(1)tan(2π-θ)sin(2π-θ)cs(6π-θ)(-csθ)sin(5π＋θ);
(2)sin 420°cs 330°＋sin(-690°)cs(-660°).
解:(1)原式＝tan(-θ)sin(-θ)cs(-θ)(-csθ)sin(π＋θ)＝tanθsinθcsθcsθsinθ＝tan θ.
(2)原式＝sin(360°＋60°)cs(360°-30°)＋sin(-2×360°＋30°)cs(-2×360°＋60°)
＝sin 60°cs 30°＋sin 30°cs 60°＝32×32＋12×12＝1.
11.已知α为锐角,且2tan(π-α)-3sin(-β)＋5＝0,tan(π＋α)＋6sin(π＋β)-1＝0,则sin α＝( )
A.3510 B.3710 C.31010 D.13
解析:C 由α为锐角,且2tan(π-α)-3sin(-β)＋5＝0,可得2tan α-3sin β-5＝0 ①.由tan(π＋α)＋6sin(π＋β)-1＝0,可得tan α-6sin β-1＝0 ②.①×2-②得3tan α-9＝0,∴tan α＝3,即sinαcsα＝3.∵sin2α＋cs2α＝1,∴sin2α＝910.又α为锐角,∴sin α＞0,∴sin α＝31010.故选C.
12.(多选)定义:角θ与φ都是任意角,若满足θ＋φ＝π,则称θ与φ“广义互补”.已知sin(π＋α)＝-14,下列角β中,可能与角α“广义互补”的是( )
A.sin β＝14 B.cs(π＋β)＝154 C.tan β＝15 D.cs(2π-β)＝-154
解析:ABD ∵sin(π＋α)＝-sin α＝-14,∴sin α＝14,若α＋β＝π,则β＝π-α.A中,sin β＝sinπ-α＝sin α＝14,故A符合条件;B中,cs(π＋β)＝cs2π-α＝cs α＝±154,故B符合条件;C中,tan β＝15,即sin β＝15cs β,又sin2β＋cs2β＝1,故sin β＝±154,故C不符合条件;D中,cs(2π-β)＝cs[2π-(π-α)]＝cs(π＋α)＝-cs α＝±154,故D符合条件.故选A、B、D.
13.化简:1-2sin(π+6)cs(π+6)＝ .
解析:原式＝1-2sin6cs6＝(cs6-sin6)2＝｜cs 6-sin 6｜.因为3π2＜6＜2π,所以cs 6＞0,sin 6＜0,因此cs 6-sin 6＞0,所以原式＝cs 6-sin 6.
答案:cs 6-sin 6
14.已知tan α,1tanα是关于x的方程x2-kx＋k2-3＝0的两个实数根,且3π＜α＜7π2,求cs(3π＋α)-sin(π-α)的值.
解:因为tan α,1tanα是关于x的方程x2-kx＋k2-3＝0的两个实数根,
故由根与系数的关系有tan α·1tanα＝k2-3＝1,解得k＝±2.
又3π＜α＜7π2,所以tan α＞0,1tanα＞0,
所以tan α＋1tanα＝k＞0,于是k＝2.
因此tan α＝1tanα＝1,sin α＝cs α.
又sin2α＋cs2α＝1,解得sin α＝cs α＝-22,
所以cs(3π＋α)-sin(π-α)＝-cs α-sin α＝2.