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吉林省松原市乾安县2023-2024学年七年级下学期期中考试数学试题（原卷版+解析版）
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注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内．2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试题上答题无效．
一、单项选择题（每小题2分，共12分）
1. 下列图案中可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据平移的性质解答即可.
【详解】解：A、本选项的图案不可以看作由“基本图案”经过平移得到；
B、本选项的图案不可以看作由“基本图案”经过平移得到；
C、本选项的图案不可以看作由“基本图案”经过平移得到；
D、本选项的图案可以看作由“基本图案”经过平移得到；
故选：D.
【点睛】本题考查了平移，熟知平移的性质是关键，注意平移不改变图形的形状和大小.
2. 下列说法正确的是（ ）
A. 是27的立方根B. 负数没有平方根，但有立方根
C. 25的平方根为5D. 的立方根为3
【答案】B
【解析】
【分析】根据平方根和立方根的概念求解即可．
【详解】解：A．3是27的立方根，故选项错误，不符合题意；
B．负数没有平方根，但有立方根，故选项正确，符合题意；
C．25的平方根为，故选项错误，不符合题意；
D．的立方根不是3，27的立方根为3，故选项错误，不符合题意．
故选：B．
【点睛】此题考查了平方根和立方根的概念，解题的关键是熟练掌握平方根和立方根的概念．
3. 点在轴上，则点坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据轴上的点的纵坐标为0，列出方程求出的值，即可．
【详解】解：∵点在轴上，
∴，
∴，
∴；
故选D．
【点睛】本题考查坐标轴上的点．熟练掌握轴上的点的纵坐标为0，是解题的关键．
4. 如图，下列判断中正确的是（ ）
A. 如果∠3+∠2=180°，那么AB∥CDB. 如果∠1+∠3=180°，那么AB∥CD
C. 如果∠2=∠4，那么AB∥CDD. 如果∠1=∠5，那么AB∥CD
【答案】D
【解析】
【详解】分析：直接利用平行线的判定方法分别判断得出答案．
详解：A、如果∠3+∠2=180°，无法得出AB∥CD，故此选项错误；
B、如果∠1+∠3=180°，无法得出AB∥CD，故此选项错误；
C、如果∠2=∠4，无法得出AB∥CD，故此选项错误；
D、如果∠1=∠5，那么AB∥CD，正确．
故选D．
点睛：此题主要考查了平行线的判定，正确掌握相关判定方法是解题关键．
5. 如图，将一块直角三角尺的直角顶点与原点重合，另两个顶点A，B的坐标分别为．现将三角尺沿x轴向右平移，使点A与点O重合，则点B的对应点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用平移变换的性质解决问题即可．
【详解】解：∵A（-1，0），B（0，），
∵OC=OA=1，
∴C（1，0），
∵CB′⊥x轴，CB′=OB=，
∴B′（1，），
故选：C．
【点睛】本题考查坐标与图形的变化-平移，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
6. 某人只带2元和5元两种货币，要买一件27元的商品，而商店没有零钱找钱，他只能付恰好27元，则他的付款方式共有（ ）
A. 1种B. 2种C. 3种D. 4种
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意假设出未知数，得出结合2元钱的总和＋5元钱的总和＝27，进而得出二元一次方程，求出符合题意的答案．
【详解】解：设带2元的货币x个，带5元的货币y个，根据题意可得：
2x＋5y＝27，即，分情况讨论如下：
当y＝5时，x＝1，
当y＝4时，x＝3.5，（不合题意舍去），
当y＝3时，x＝6，
当y＝2时，x＝8.5（不合题意舍去），
当y＝1时，x＝11，
∴他的付款方式3种，
故选：C．
【点睛】本题主要考查二元一次方程的应用，正确表示出两种货币的总钱数是解题关键．
二、填空题（每小题3分，共24分）
7. 若西经，南纬用有序数对，来表示，东经，北纬用有序实数对，来表示，则有序实数对，的含义是______．
【答案】东经，南纬
【解析】
【分析】根据题意可得第一个数是经度，西为正，东为负，第二个数为纬度，南为正，北为负，据此，即可求解．
【详解】解：依题意，有序实数对，的含义是东经，南纬
故答案为：东经，南纬．
【点睛】本题考查了有序实数对表示位置，正负数的意义，理解题意是解题的关键．
8. 若方程：2＋＝6是关于、的二元一次方程，则的平方根为________________．
【答案】
【解析】
【分析】根据二元一次方程的定义，得各个未知数的次数为1，求得m，n的值，进而求解．
【详解】解：由题意，得：
，，
解得，．
∴，
∴的平方根．
故答案为：．
【点睛】本题考查二元一次方程的定义，平方根，熟练掌握只含有两个未知数，且未知项的次数为1的整式方程是二元一次方程是解题的关键．
9. 如图，当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是折射现象．图中与是不是对顶角？______．（填“是”或“不是”）
【答案】不
【解析】
【分析】本题考查了对顶角的定义，如果两个角有公共顶点，其中一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，那么这两个角是对顶角．根据对顶角的定义直接判断即可．
【详解】解：由对顶角的定义可知：与不是对顶角．
故答案为：不是．
10. 如图，在长为50米，宽为30米的长方形地块上，有纵横交错的几条小路，宽均为1米，其它部分均种植花草．则种植花草的面积______．
【答案】1421平方米
【解析】
【分析】将横向的小路平移至长方形的上边，将纵向小路平移至长方形的左边，则剩余部分即为种植花草的面积．
【详解】解：将横向的小路平移至长方形的上边，将纵向小路平移至长方形的左边，可以得到下图：
所以种植花草的面积=(50−1)(30−1)=1421m2，
故答案为1421平方米．
【点睛】本题考查了平移在实际中的应用，将两条小路平移至长方形的边上，使种植花草的面积等于一个长方形的面积是解决此题的关键．
11. 将一个矩形纸片按如图折叠，若则的度数是_______．
【答案】##71度
【解析】
【分析】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等．
结合平行线的性质得出：，再利用翻折变换的性质得出答案．
【详解】如图，
由题意可得：，
由翻折可知： =70°．
故答案为：．
12. 如图，在立定跳远中，体育老师是这样测运动员的成绩的，用一块三角尺的一边紧贴在起跳线上，另一边与拉直的皮尺重合，这样做的理由是___________________．
【答案】连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
【解析】
【分析】根据垂线段的性质：垂线段最短进行解答即可．
【详解】解：这样做的理由是：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．
故答案为：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．
【点睛】此题主要考查了垂线段的性质，解题的关键是掌握垂线段的定义和性质．垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段，垂线段的性质：垂线段最短．
13. 《九章算术》中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？现有一类似问题：今有人组团购一物，如果每人出10元，则多了6元；如果每人出8元，则少了8元，问组团人数和物价各多少？若设x人参与组团，物价为y元，请列出方程组_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用问题，根据题意找到等量关系是解决问题的关键．根据等量关系“每人出10元，则多了6元；每人出8元，则少了8元”列出方程组即可．
【详解】解：设x人参与组团，物价为y元，由题意可得，
故答案为：．
14. 如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，…，按这样的运动规律，经过第2024次运动后，动点P的坐标是_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了点的坐标规律探求，由已知点的坐标变化找出规律是解题的关键．观察点的坐标变化发现每个点的横坐标与运动的次数相等，纵坐标是1，0，，0，每4个数一个循环，按照此规律解答即可．
【详解】解：由题知：
第1次从原点运动到点，
第2次接着运动到点，
第3次接着运动到点，
第4次从原点运动到点，
第5次接着运动到点，
第6次接着运动到点，
第7次接着运动到点，
第8次接着运动到点，
，按这样的运动规律，发现每个点的横坐标与运动的次数相等，纵坐标是1，0，，0，每4个数一个循环，
，
经过第2024次运动后，动点P坐标是，
故答案为：．
三、解答题（每小题5分，共20分）
15. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】先算算式平方根，立方根以及绝对值，再算加减法，即可求解．
【详解】原式=
=．
【点睛】本题主要考查实数的混合运算，掌握算式平方根，立方根以及绝对值的概念，是解题的关键．
16. 将半径为12cm的实心铁球熔化，重新铸造出8个半径相同的实心小铁球，不计损耗，小铁球半径多少？（球的体积公式为）
【答案】小铁球的半径是6cm.
【解析】
【分析】设小铁球半径是Rcm，得出方程，求出即可．
【详解】设小铁球的半径是R cm，则，
∴，
解得（cm）.
答：小铁球的半径是6cm.
【点睛】本题考查了立方根的应用，主要考查学生的计算能力．
17. 解方程组
【答案】．
【解析】
【分析】两个方程中，x或y的系数既不相等也不互为相反数，需要先求出x或y的系数的最小公倍数，即将方程中某个未知数的系数变成其最小公倍数之后，再进一步进行相加减．
【详解】解：，①×2，得
③-②，得：x=1
把x=1代入①，得：y=2
所以方程组的解为：．
18. 完成下面推理填空：
如图，E、F分别在和上，，与互余，于G，求证：．
证明：∵，
∴（_________），
∵（已知）
∴_________（_________），
∴（_________），
∵（平角的定义），
∴，
∵与互余（已知），
∴（互余的定义），
∴（等量代换），
∴（_________）．
【答案】垂直的定义；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；内错角相等，两直线平行．
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质与判定，解题的关键是熟练掌握平行线的性质与判定．
根据平行线的性质与判定即可完成填空．
【详解】解：证明：，
（垂直的定义），
，
（同位角相等，两直线平行），
（两直线平行，同位角相等），
（平角定义），
，
与互余（已知），
，
（等量代换），
（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：垂直的定义；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；内错角相等，两直线平行．
四、解答题（每小题7分，共28分）
19. 在边长为的方格纸中有一个．
（1）作出的高，并求出面积；
（2）将向上平移3个单位，再向左平移2个单位，得到，请画出；
（3）请任意写出一组平移前后两个三角形中平行且相等的线段．
【答案】（1），画图见解析；（2）画图见解析；（3）A1B1//AB，（答案不唯一）．
【解析】
【分析】（1）直接作高，得到高的长度，利用三角形面积公式计算即可.
（2）图形的平移关键是点的平移.按平移的法则确定了A、B、C平移后的对应点A1、B1、C1位置，连接即可得到；
（3）根据平移前后，对应线段(不在同一直线上的)互相平行且相等，举例即可.
【详解】（1）．
如图所示：
（2）先将点A，，C分别向上平移3个单位，再向左平移2个单位确定点，，，再连接，，，此时即为所求．
（3）根据平移的性质可知：A1B1//AB，．A1C1//AC，．B1C1//BC，B1C1=BC，三组线段任写一组．
【点睛】本题主要考查了图形的平移，图形的平移实质是点的平移，正确的确定对应点的位置是正确作图的关键，同时平移前后，对应线段(不在同一直线上的)互相平行且相等这一平移性质的运用．
20. 某同学解方程组本应解得，由于解题时看错②中的c，解得，试求 的算术平方根．
【答案】2
【解析】
【分析】根据方程的解的定义，把正确的解代入两方程 ，可得一个关于的方程，并能求出c的值，又因看错系数c解得错误解，即的值没有看错，可把解为再次代入①，可得又一个关于的方程，将它们联立，即可求出的值，即可代入原式解答．
【详解】解：把代入，
可得，，
可得，
由于解题时看错②中c，即没有看错，
把代入，可得，
联立方程，
解得，
，
，
故 的算术平方根为2．
【点睛】本题考查学生解二元一次方程组的能力．本题要求学生理解方程组的解的定义，以及看错系数c的含义：即方程组中除了系数c看错以外，其余的系数都是正确的．
21. 数学老师在课堂上提出一个问题：“通过探究知道：…，它是个无限不循环小数，也叫无理数，它的整数部分是1，那么有谁能说出它的小数部分是多少？小明举手回答：它的小数部分我们无法全部写出来，但可以用来表示它的小数部分，张老师夸奖小明真聪明，肯定了他的说法．现请你根据小明的说法解答：
（1）的小数部分是a，的整数部分是b，求的值；
（2）已知，其中x是一个整数，，求的值．
【答案】（1）12； （2）15．
【解析】
【分析】本题主要考查了无理数的估算，实数的运算：
（1）分别估算出和的范围求出a、b的值，然后代值计算即可；
（2）先估算出，据此求出x、y的值，然后代值计算即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴
∴的小数部分a为，
又∵，
∴
∴的整数部分b为7，
∴；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∴，
∵，其中x是一个整数，，
∴，
∴，
∴．
22. 如图，已知，．
（1）求证；
（2）若平分，，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查平行线的判定和性质．
（1）根据平角的定义和，得到，推出，进而得到，，得到，即可；
（2）平行加角平分线，得到，根据，，求出，即可得解．
熟练掌握平行线的判定定理和性质定理，是解题的关键．
【小问1详解】
证明：∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【小问2详解】
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∴．
五、解答题（每小题8分，共16分）
23. 已知关于，的方程组．
（1）当时，求的值；
（2）若该方程组的解恰好也是方程的解，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）用y代替x，利用解方程组的步骤求解即可；
（2）①+②，得到，再计算即可求解．
【小问1详解】
解：当时，将整理得，
解得；
【小问2详解】
解：，
①+②，得，即，
由，得，
解得．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解，解的关键是正确的求出方程组的解．
24. 请解答下列各题：
（1）阅读并回答：科学实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等．如图1，一束平行光线与射向一个水平镜面后被反射，此时，．
①由条件可知：，依据是 ，，依据是 ．
②反射光线与平行，依据是 ．
（2）解决问题：如图2，一束光线射到平面镜上，被反射到平面镜上，又被镜反射，若射出的光线平行于，且，则 ； ．
【答案】（1）①两直线平行，同位角相等；等量代换．②同位角相等，两直线平行．（2）84°；90°；
【解析】
【分析】（1）根据平行线的判定与性质逐一求解可得；
（2）根据入射角等于反射角得出∠1=∠4，∠5=∠7，求出∠6，根据平行线性质即可求出∠2，求出∠5，根据三角形内角和求出∠3即可．
【详解】解：（1）①由条件可知：∠1=∠3，依据是：两直线平行，同位角相等；
∠2=∠4，依据是：等量代换；
②反射光线BC与EF平行，依据是：同位角相等，两直线平行；
故答案为：①两直线平行，同位角相等；等量代换．②同位角相等，两直线平行．
（2）如图，
∵∠1=42°，
∴∠4=∠1=42°，
∴∠6=180°42°42°=96°，
∵m∥n，
∴∠2+∠6=180°，
∴∠2=84°，
∴∠5=∠7=，
∴∠3=180°48°42°=90°．
故答案为：84°；90°；
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，三角形的内角和定理的应用，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
六、解答题（每小题10分，共20分）
25. 探究题．
已知:如图．
求证:
老师要求学生在完成这道教材上的题目证明后，尝试对图形进行变式，继续做拓展探究，看看有什么新发现？
（1）小颖首先完成了对这道题的证明，在证明过程中她用到了平行线的一条性质，小颖用到的平行线性质可能是_________．
（2）接下来，小颖用《几何画板》对图形进行了变式，她先画了两条平行线然后在平行线间画了一点，连接后，用鼠标拖动点分别得到了图①②③，小颖发现图②正是上面题目的原型，于是她由上题的结论猜想到图①和③中的与之间也可能存在着某种数量关系于是她利用《几何画板》的度量与计算功能，找到了这三个角之间的数量关系．
请你在小颖操作探究的基础上，继续完成下面的问题：
①猜想图①中与之间的数量关系并加以证明：
②补全图③，直接写出与之间的数量关系：_______．
（3）学以致用：一个小区大门栏杆的平面示意图如图所示，垂直地面于平行于地面
，若，则_______．
【答案】（1）两直线平行同旁内角互补；（2）①∠BDF=∠B+∠F．理由见解析；②∠F=∠D+∠F；（3）120°．
【解析】
【分析】（1）利用平行线的性质证明即可．
（2）①结论：∠BDF=∠B+∠F．如图①中，作DK∥AB．利用平行线的性质证明即可．
②如图③中，结论：∠F=∠D+∠B．（答案不唯一）．利用平行线的性质以及三角形的外角的性质证明即可．
（3）利用图1中的结论，计算即可．
【详解】（1）证明：如图1中，
∵AB∥EF，CD∥EF，
∴CD∥EF，
∴∠B+∠CDB=180°，∠F+∠CDF=180°（两直线平行同旁内角互补），
∴∠B+∠CDB+∠CDF+∠F=360°，
∴∠B+∠BDF+∠F=360°，
故答案为：两直线平行同旁内角互补．
（2）解：①结论：∠BDF=∠B+∠F．
理由：如图①中，作DK∥AB．
∵AB∥DK，AB∥EF，
∴DK∥EF，
∴∠B=∠BDK，∠F=∠FDK，
∴∠BDF=∠BDK+∠FDK=∠B+∠F．
②如图③中，结论：∠F=∠D+∠B．（答案不唯一）．
理由：∵AB∥EF，
∴∠1=∠F，
∵∠1=∠B+∠D，
∴∠F=∠D+∠B．
故答案为∠F=∠D+∠F．
（3）解：如图2中，
∵BA⊥AE，
∴∠BAE=90°，
∵∠ABC+∠BAE+∠BCD=360°，∠BCD=150°，
∴∠ABC=360°-240°=120°，
故答案为120°．
【点睛】此题考查平行线的性质，三角形的外角的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题．
26. 在平面直角坐标系中，A（a，0），B（0，b），且a、b满足．
（1）求OA，OB长度；
（2）在x轴上是否存在点C，使得三角形ABC的面积是12；若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点P从点B出发沿着y轴运动（点P不与原点、B点重合）速度为每秒2个单位长度，连接AB、AP，当运动的时间t为几秒时， ？并求出此时点P的坐标．
【答案】（1）
（2）存在；或
（3）当移动2.25秒，此时 或移动4.5秒，此时时，．
【解析】
【分析】（1）根据非负性求出的值即可；
（2）利用进行计算即可；
（3），，利用进行计算即可．
【小问1详解】
解：∵， ，
∴，，
解得：，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：存在．
设
则：，
∴，
∴或，
解得：或，
∴或
【小问3详解】
解：设
，
，
∵，
∴，
∴ ，
整理得：，
解得：或，
当时：（秒），
当时：（秒）；
∴当移动2.25秒，此时 或移动4.5秒，此时时，．
【点睛】本题考查平面直角坐标系下的点的坐标和动点问题，根据题意准确的找出点的位置是解题的关键．
注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内．2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试题上答题无效．
一、单项选择题（每小题2分，共12分）
1. 下列图案中可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据平移的性质解答即可.
【详解】解：A、本选项的图案不可以看作由“基本图案”经过平移得到；
B、本选项的图案不可以看作由“基本图案”经过平移得到；
C、本选项的图案不可以看作由“基本图案”经过平移得到；
D、本选项的图案可以看作由“基本图案”经过平移得到；
故选：D.
【点睛】本题考查了平移，熟知平移的性质是关键，注意平移不改变图形的形状和大小.
2. 下列说法正确的是（ ）
A. 是27的立方根B. 负数没有平方根，但有立方根
C. 25的平方根为5D. 的立方根为3
【答案】B
【解析】
【分析】根据平方根和立方根的概念求解即可．
【详解】解：A．3是27的立方根，故选项错误，不符合题意；
B．负数没有平方根，但有立方根，故选项正确，符合题意；
C．25的平方根为，故选项错误，不符合题意；
D．的立方根不是3，27的立方根为3，故选项错误，不符合题意．
故选：B．
【点睛】此题考查了平方根和立方根的概念，解题的关键是熟练掌握平方根和立方根的概念．
3. 点在轴上，则点坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据轴上的点的纵坐标为0，列出方程求出的值，即可．
【详解】解：∵点在轴上，
∴，
∴，
∴；
故选D．
【点睛】本题考查坐标轴上的点．熟练掌握轴上的点的纵坐标为0，是解题的关键．
4. 如图，下列判断中正确的是（ ）
A. 如果∠3+∠2=180°，那么AB∥CDB. 如果∠1+∠3=180°，那么AB∥CD
C. 如果∠2=∠4，那么AB∥CDD. 如果∠1=∠5，那么AB∥CD
【答案】D
【解析】
【详解】分析：直接利用平行线的判定方法分别判断得出答案．
详解：A、如果∠3+∠2=180°，无法得出AB∥CD，故此选项错误；
B、如果∠1+∠3=180°，无法得出AB∥CD，故此选项错误；
C、如果∠2=∠4，无法得出AB∥CD，故此选项错误；
D、如果∠1=∠5，那么AB∥CD，正确．
故选D．
点睛：此题主要考查了平行线的判定，正确掌握相关判定方法是解题关键．
5. 如图，将一块直角三角尺的直角顶点与原点重合，另两个顶点A，B的坐标分别为．现将三角尺沿x轴向右平移，使点A与点O重合，则点B的对应点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用平移变换的性质解决问题即可．
【详解】解：∵A（-1，0），B（0，），
∵OC=OA=1，
∴C（1，0），
∵CB′⊥x轴，CB′=OB=，
∴B′（1，），
故选：C．
【点睛】本题考查坐标与图形的变化-平移，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
6. 某人只带2元和5元两种货币，要买一件27元的商品，而商店没有零钱找钱，他只能付恰好27元，则他的付款方式共有（ ）
A. 1种B. 2种C. 3种D. 4种
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意假设出未知数，得出结合2元钱的总和＋5元钱的总和＝27，进而得出二元一次方程，求出符合题意的答案．
【详解】解：设带2元的货币x个，带5元的货币y个，根据题意可得：
2x＋5y＝27，即，分情况讨论如下：
当y＝5时，x＝1，
当y＝4时，x＝3.5，（不合题意舍去），
当y＝3时，x＝6，
当y＝2时，x＝8.5（不合题意舍去），
当y＝1时，x＝11，
∴他的付款方式3种，
故选：C．
【点睛】本题主要考查二元一次方程的应用，正确表示出两种货币的总钱数是解题关键．
二、填空题（每小题3分，共24分）
7. 若西经，南纬用有序数对，来表示，东经，北纬用有序实数对，来表示，则有序实数对，的含义是______．
【答案】东经，南纬
【解析】
【分析】根据题意可得第一个数是经度，西为正，东为负，第二个数为纬度，南为正，北为负，据此，即可求解．
【详解】解：依题意，有序实数对，的含义是东经，南纬
故答案为：东经，南纬．
【点睛】本题考查了有序实数对表示位置，正负数的意义，理解题意是解题的关键．
8. 若方程：2＋＝6是关于、的二元一次方程，则的平方根为________________．
【答案】
【解析】
【分析】根据二元一次方程的定义，得各个未知数的次数为1，求得m，n的值，进而求解．
【详解】解：由题意，得：
，，
解得，．
∴，
∴的平方根．
故答案为：．
【点睛】本题考查二元一次方程的定义，平方根，熟练掌握只含有两个未知数，且未知项的次数为1的整式方程是二元一次方程是解题的关键．
9. 如图，当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是折射现象．图中与是不是对顶角？______．（填“是”或“不是”）
【答案】不
【解析】
【分析】本题考查了对顶角的定义，如果两个角有公共顶点，其中一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，那么这两个角是对顶角．根据对顶角的定义直接判断即可．
【详解】解：由对顶角的定义可知：与不是对顶角．
故答案为：不是．
10. 如图，在长为50米，宽为30米的长方形地块上，有纵横交错的几条小路，宽均为1米，其它部分均种植花草．则种植花草的面积______．
【答案】1421平方米
【解析】
【分析】将横向的小路平移至长方形的上边，将纵向小路平移至长方形的左边，则剩余部分即为种植花草的面积．
【详解】解：将横向的小路平移至长方形的上边，将纵向小路平移至长方形的左边，可以得到下图：
所以种植花草的面积=(50−1)(30−1)=1421m2，
故答案为1421平方米．
【点睛】本题考查了平移在实际中的应用，将两条小路平移至长方形的边上，使种植花草的面积等于一个长方形的面积是解决此题的关键．
11. 将一个矩形纸片按如图折叠，若则的度数是_______．
【答案】##71度
【解析】
【分析】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等．
结合平行线的性质得出：，再利用翻折变换的性质得出答案．
【详解】如图，
由题意可得：，
由翻折可知： =70°．
故答案为：．
12. 如图，在立定跳远中，体育老师是这样测运动员的成绩的，用一块三角尺的一边紧贴在起跳线上，另一边与拉直的皮尺重合，这样做的理由是___________________．
【答案】连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
【解析】
【分析】根据垂线段的性质：垂线段最短进行解答即可．
【详解】解：这样做的理由是：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．
故答案为：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．
【点睛】此题主要考查了垂线段的性质，解题的关键是掌握垂线段的定义和性质．垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段，垂线段的性质：垂线段最短．
13. 《九章算术》中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？现有一类似问题：今有人组团购一物，如果每人出10元，则多了6元；如果每人出8元，则少了8元，问组团人数和物价各多少？若设x人参与组团，物价为y元，请列出方程组_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用问题，根据题意找到等量关系是解决问题的关键．根据等量关系“每人出10元，则多了6元；每人出8元，则少了8元”列出方程组即可．
【详解】解：设x人参与组团，物价为y元，由题意可得，
故答案为：．
14. 如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，…，按这样的运动规律，经过第2024次运动后，动点P的坐标是_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了点的坐标规律探求，由已知点的坐标变化找出规律是解题的关键．观察点的坐标变化发现每个点的横坐标与运动的次数相等，纵坐标是1，0，，0，每4个数一个循环，按照此规律解答即可．
【详解】解：由题知：
第1次从原点运动到点，
第2次接着运动到点，
第3次接着运动到点，
第4次从原点运动到点，
第5次接着运动到点，
第6次接着运动到点，
第7次接着运动到点，
第8次接着运动到点，
，按这样的运动规律，发现每个点的横坐标与运动的次数相等，纵坐标是1，0，，0，每4个数一个循环，
，
经过第2024次运动后，动点P坐标是，
故答案为：．
三、解答题（每小题5分，共20分）
15. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】先算算式平方根，立方根以及绝对值，再算加减法，即可求解．
【详解】原式=
=．
【点睛】本题主要考查实数的混合运算，掌握算式平方根，立方根以及绝对值的概念，是解题的关键．
16. 将半径为12cm的实心铁球熔化，重新铸造出8个半径相同的实心小铁球，不计损耗，小铁球半径多少？（球的体积公式为）
【答案】小铁球的半径是6cm.
【解析】
【分析】设小铁球半径是Rcm，得出方程，求出即可．
【详解】设小铁球的半径是R cm，则，
∴，
解得（cm）.
答：小铁球的半径是6cm.
【点睛】本题考查了立方根的应用，主要考查学生的计算能力．
17. 解方程组
【答案】．
【解析】
【分析】两个方程中，x或y的系数既不相等也不互为相反数，需要先求出x或y的系数的最小公倍数，即将方程中某个未知数的系数变成其最小公倍数之后，再进一步进行相加减．
【详解】解：，①×2，得
③-②，得：x=1
把x=1代入①，得：y=2
所以方程组的解为：．
18. 完成下面推理填空：
如图，E、F分别在和上，，与互余，于G，求证：．
证明：∵，
∴（_________），
∵（已知）
∴_________（_________），
∴（_________），
∵（平角的定义），
∴，
∵与互余（已知），
∴（互余的定义），
∴（等量代换），
∴（_________）．
【答案】垂直的定义；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；内错角相等，两直线平行．
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质与判定，解题的关键是熟练掌握平行线的性质与判定．
根据平行线的性质与判定即可完成填空．
【详解】解：证明：，
（垂直的定义），
，
（同位角相等，两直线平行），
（两直线平行，同位角相等），
（平角定义），
，
与互余（已知），
，
（等量代换），
（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：垂直的定义；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；内错角相等，两直线平行．
四、解答题（每小题7分，共28分）
19. 在边长为的方格纸中有一个．
（1）作出的高，并求出面积；
（2）将向上平移3个单位，再向左平移2个单位，得到，请画出；
（3）请任意写出一组平移前后两个三角形中平行且相等的线段．
【答案】（1），画图见解析；（2）画图见解析；（3）A1B1//AB，（答案不唯一）．
【解析】
【分析】（1）直接作高，得到高的长度，利用三角形面积公式计算即可.
（2）图形的平移关键是点的平移.按平移的法则确定了A、B、C平移后的对应点A1、B1、C1位置，连接即可得到；
（3）根据平移前后，对应线段(不在同一直线上的)互相平行且相等，举例即可.
【详解】（1）．
如图所示：
（2）先将点A，，C分别向上平移3个单位，再向左平移2个单位确定点，，，再连接，，，此时即为所求．
（3）根据平移的性质可知：A1B1//AB，．A1C1//AC，．B1C1//BC，B1C1=BC，三组线段任写一组．
【点睛】本题主要考查了图形的平移，图形的平移实质是点的平移，正确的确定对应点的位置是正确作图的关键，同时平移前后，对应线段(不在同一直线上的)互相平行且相等这一平移性质的运用．
20. 某同学解方程组本应解得，由于解题时看错②中的c，解得，试求 的算术平方根．
【答案】2
【解析】
【分析】根据方程的解的定义，把正确的解代入两方程 ，可得一个关于的方程，并能求出c的值，又因看错系数c解得错误解，即的值没有看错，可把解为再次代入①，可得又一个关于的方程，将它们联立，即可求出的值，即可代入原式解答．
【详解】解：把代入，
可得，，
可得，
由于解题时看错②中c，即没有看错，
把代入，可得，
联立方程，
解得，
，
，
故 的算术平方根为2．
【点睛】本题考查学生解二元一次方程组的能力．本题要求学生理解方程组的解的定义，以及看错系数c的含义：即方程组中除了系数c看错以外，其余的系数都是正确的．
21. 数学老师在课堂上提出一个问题：“通过探究知道：…，它是个无限不循环小数，也叫无理数，它的整数部分是1，那么有谁能说出它的小数部分是多少？小明举手回答：它的小数部分我们无法全部写出来，但可以用来表示它的小数部分，张老师夸奖小明真聪明，肯定了他的说法．现请你根据小明的说法解答：
（1）的小数部分是a，的整数部分是b，求的值；
（2）已知，其中x是一个整数，，求的值．
【答案】（1）12； （2）15．
【解析】
【分析】本题主要考查了无理数的估算，实数的运算：
（1）分别估算出和的范围求出a、b的值，然后代值计算即可；
（2）先估算出，据此求出x、y的值，然后代值计算即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴
∴的小数部分a为，
又∵，
∴
∴的整数部分b为7，
∴；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∴，
∵，其中x是一个整数，，
∴，
∴，
∴．
22. 如图，已知，．
（1）求证；
（2）若平分，，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查平行线的判定和性质．
（1）根据平角的定义和，得到，推出，进而得到，，得到，即可；
（2）平行加角平分线，得到，根据，，求出，即可得解．
熟练掌握平行线的判定定理和性质定理，是解题的关键．
【小问1详解】
证明：∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【小问2详解】
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∴．
五、解答题（每小题8分，共16分）
23. 已知关于，的方程组．
（1）当时，求的值；
（2）若该方程组的解恰好也是方程的解，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）用y代替x，利用解方程组的步骤求解即可；
（2）①+②，得到，再计算即可求解．
【小问1详解】
解：当时，将整理得，
解得；
【小问2详解】
解：，
①+②，得，即，
由，得，
解得．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解，解的关键是正确的求出方程组的解．
24. 请解答下列各题：
（1）阅读并回答：科学实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等．如图1，一束平行光线与射向一个水平镜面后被反射，此时，．
①由条件可知：，依据是 ，，依据是 ．
②反射光线与平行，依据是 ．
（2）解决问题：如图2，一束光线射到平面镜上，被反射到平面镜上，又被镜反射，若射出的光线平行于，且，则 ； ．
【答案】（1）①两直线平行，同位角相等；等量代换．②同位角相等，两直线平行．（2）84°；90°；
【解析】
【分析】（1）根据平行线的判定与性质逐一求解可得；
（2）根据入射角等于反射角得出∠1=∠4，∠5=∠7，求出∠6，根据平行线性质即可求出∠2，求出∠5，根据三角形内角和求出∠3即可．
【详解】解：（1）①由条件可知：∠1=∠3，依据是：两直线平行，同位角相等；
∠2=∠4，依据是：等量代换；
②反射光线BC与EF平行，依据是：同位角相等，两直线平行；
故答案为：①两直线平行，同位角相等；等量代换．②同位角相等，两直线平行．
（2）如图，
∵∠1=42°，
∴∠4=∠1=42°，
∴∠6=180°42°42°=96°，
∵m∥n，
∴∠2+∠6=180°，
∴∠2=84°，
∴∠5=∠7=，
∴∠3=180°48°42°=90°．
故答案为：84°；90°；
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，三角形的内角和定理的应用，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
六、解答题（每小题10分，共20分）
25. 探究题．
已知:如图．
求证:
老师要求学生在完成这道教材上的题目证明后，尝试对图形进行变式，继续做拓展探究，看看有什么新发现？
（1）小颖首先完成了对这道题的证明，在证明过程中她用到了平行线的一条性质，小颖用到的平行线性质可能是_________．
（2）接下来，小颖用《几何画板》对图形进行了变式，她先画了两条平行线然后在平行线间画了一点，连接后，用鼠标拖动点分别得到了图①②③，小颖发现图②正是上面题目的原型，于是她由上题的结论猜想到图①和③中的与之间也可能存在着某种数量关系于是她利用《几何画板》的度量与计算功能，找到了这三个角之间的数量关系．
请你在小颖操作探究的基础上，继续完成下面的问题：
①猜想图①中与之间的数量关系并加以证明：
②补全图③，直接写出与之间的数量关系：_______．
（3）学以致用：一个小区大门栏杆的平面示意图如图所示，垂直地面于平行于地面
，若，则_______．
【答案】（1）两直线平行同旁内角互补；（2）①∠BDF=∠B+∠F．理由见解析；②∠F=∠D+∠F；（3）120°．
【解析】
【分析】（1）利用平行线的性质证明即可．
（2）①结论：∠BDF=∠B+∠F．如图①中，作DK∥AB．利用平行线的性质证明即可．
②如图③中，结论：∠F=∠D+∠B．（答案不唯一）．利用平行线的性质以及三角形的外角的性质证明即可．
（3）利用图1中的结论，计算即可．
【详解】（1）证明：如图1中，
∵AB∥EF，CD∥EF，
∴CD∥EF，
∴∠B+∠CDB=180°，∠F+∠CDF=180°（两直线平行同旁内角互补），
∴∠B+∠CDB+∠CDF+∠F=360°，
∴∠B+∠BDF+∠F=360°，
故答案为：两直线平行同旁内角互补．
（2）解：①结论：∠BDF=∠B+∠F．
理由：如图①中，作DK∥AB．
∵AB∥DK，AB∥EF，
∴DK∥EF，
∴∠B=∠BDK，∠F=∠FDK，
∴∠BDF=∠BDK+∠FDK=∠B+∠F．
②如图③中，结论：∠F=∠D+∠B．（答案不唯一）．
理由：∵AB∥EF，
∴∠1=∠F，
∵∠1=∠B+∠D，
∴∠F=∠D+∠B．
故答案为∠F=∠D+∠F．
（3）解：如图2中，
∵BA⊥AE，
∴∠BAE=90°，
∵∠ABC+∠BAE+∠BCD=360°，∠BCD=150°，
∴∠ABC=360°-240°=120°，
故答案为120°．
【点睛】此题考查平行线的性质，三角形的外角的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题．
26. 在平面直角坐标系中，A（a，0），B（0，b），且a、b满足．
（1）求OA，OB长度；
（2）在x轴上是否存在点C，使得三角形ABC的面积是12；若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点P从点B出发沿着y轴运动（点P不与原点、B点重合）速度为每秒2个单位长度，连接AB、AP，当运动的时间t为几秒时， ？并求出此时点P的坐标．
【答案】（1）
（2）存在；或
（3）当移动2.25秒，此时 或移动4.5秒，此时时，．
【解析】
【分析】（1）根据非负性求出的值即可；
（2）利用进行计算即可；
（3），，利用进行计算即可．
【小问1详解】
解：∵， ，
∴，，
解得：，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：存在．
设
则：，
∴，
∴或，
解得：或，
∴或
【小问3详解】
解：设
，
，
∵，
∴，
∴ ，
整理得：，
解得：或，
当时：（秒），
当时：（秒）；
∴当移动2.25秒，此时 或移动4.5秒，此时时，．
【点睛】本题考查平面直角坐标系下的点的坐标和动点问题，根据题意准确的找出点的位置是解题的关键．
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