吉林省松原市前郭县北部学区2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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1. 若是最简二次根式，则m的值可以是（ ）
A B. C. 11D. 36
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了最简二次根式，解题的关键是熟记最简二次根式必须满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
直接利用最简二次根式的定义分析得出答案．
【详解】解：A．无意义，不是最简二次根式，故该选项不符合题意；
B．不是最简二次根式，故该选项不符合题意；
C．是最简二次根式，故该选项符合题意；
D．不是最简二次根式，故该选项不符合题意．
故选：C．
2. 如图，在平行四边形中，若，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查平行四边形的性质“平行四边形对角相等和邻角互补”．根据平行四边形的性质计算即可．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：D．
3. 下列各组数能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A. 1，3，B. 1，5，6C. 2，2，4D. 1，，7
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理得逆定理，根据勾股定理的逆定理逐一判断，即可得到答案．
【详解】解：A．，可以构成直角三角形，故该选项符合题意；
B．1，5，6不能构成三角形，故该选项不符合题意；
C． 2，2，4不能构成三角形，故该选项不符合题意；
D．1，，7不能构成三角形，故该选项不符合题意；
故选：A．
4. 如图，正方形的边长为，对角线，交于点，为边上一点，且，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质，求出长是解题的关键．由正方形的性质可求的长，可得，由线段关系可求解．
【详解】解：正方形的边长为，
，
，
，
，
故选：．
5. 下列命题的逆命题是假命题的是（ ）
A. 同旁内角互补，两直线平行
B. 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
C. 若两实数相等，则这两个数的绝对值一定相等
D. 全等三角形的对应边相等
【答案】C
【解析】
【分析】先分别写出原命题的逆命题，然后再判断正误即可．
【详解】解：A、逆命题为：两直线平行，同旁内角互补，正确，是真命题，不符合题意；
B、逆命题为：到线段两端点距离相等的点在角的平分线上，正确，是真命题，不符合题意；
C、逆命题为：若两实数的绝对值相等，则这两个数也相等，错误，是假命题，符合题意；
D、逆命题为：对应边相等的三角形全等，正确，是真命题，不符合题意．
故选C．
【点睛】本题主要考查了逆命题的真假，写出原命题的逆命题是解答本题的关键．
6. 如图，四边形的对角线，相交于点O，，且，则添加下列一个条件能判定四边形是菱形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据菱形的判定方法分别对各个选项进行判定，即可得出结论．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
当时，四边形是矩形；故选项A不符合题意；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为菱形，故选项B符合题意；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是矩形；故选项C不符合题意；
当时，不能判定四边形为菱形；故选项D不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了菱形的判定，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共24分）
7. 如图，某公园有一块三角形空地，米，沿放置一道栅栏把分成两个区域种植不同的花卉，点、分别是、的中点，则栅栏的长为________米．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．根据三角形中位线定理求出．
【详解】解：∵点、分别是、的中点，米，
∴米．
故答案为：．
8. 化简的结果是___________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据分母有理化即可得出答案．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查分母有理化，正确计算是解题的关键．
9. 若一个三角形的三边长为，则使此三角形是直角三角形的的值是______．
【答案】或4
【解析】
【分析】本题考查的是勾股定理，解题的关键是根据勾股定理分类讨论进行解答即可．
【详解】解：一个三角形的三边长为，
∵此三角形是直角三角形，
∴当x是斜边时，，则；
当5是斜边时，，解得（负值舍去），
综上，x的值是或4，
故答案为：或4．
10. 如图，是菱形的对角线，若，则___________度．
【答案】40
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质，根据菱形的对角线平分对角，得出，结合菱形的对角相等，即可作答．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，
∴，
故答案为：40．
11. 如图，原来从A村到B村，需要沿路（）绕过两地间的一片湖，在A、B间建好桥后，就可直接从A村到B村．若，那么建好桥后从A村到B村比原来减少的路程为___________．
【答案】4
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键．
根据勾股定理求出的长，再和以前的距离作比较即可得出答案．
【详解】解：由勾股定理得，
∴建好桥后从A村到B村比原来减少路程为，
故答案为．
12. 如图，工人师傅砌门时，要想检验门框是否符合设计要求（即门框是否为矩形），在确保两组对边分别相等的前提下，只要测量出对角线的长度，然后看它们是否相等就可以判断了，这种做法的根据是___________________________________________．
【答案】对角线相等的平行四边形为矩形
【解析】
【分析】本题考查了矩形判定，根据对角线互相相等的平行四边形是矩形进行作答即可．
【详解】解：依题意，∵两组对边分别相等，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形，
则只要测量出对角线的长度，然后看它们是否相等就可以判断了，这种做法的根据是对角线相等的平行四边形为矩形．
故答案为：对角线相等的平行四边形为矩形．
13. 如图，，以的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形，则图中阴影部分的面积为_________．
【答案】##16平方厘米
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理、三角形面积的计算方法．难度适中，解题关键是运用勾股定理证明三个等腰直角三角形的面积之间的关系．根据勾股定理和等腰直角三角形的面积公式，可以证明：以直角三角形的两条直角边为斜边的等腰直角三角形的面积和等于以斜边为斜边的等腰直角三角形的面积．则阴影部分的面积即为以斜边为斜边的等腰直角三角形的面积的2倍．
【详解】解：图中阴影部分的面积为，
，
，
∴图中阴影部分的面积为．
故答案为：．
14. 如图，在矩形中，点、分别是边、上的动点，，若，，则的最小值是___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了矩形的判定和性质、轴对称、勾股定理求最短路径问题，熟练掌握轴对称、矩形的性质作辅助线是解题的关键．连接，作点关于的对称点，连接，，根据轴对称的性质可得，，根据矩形的性质可得，，进一步可知四边形是矩形，根据矩形的性质可得，推出的最小值等于的最小值，即的长度，利用勾股定理求的长，即可确定的最小值．
【详解】解：如图，连接，作点关于的对称点，连接，，
∴，，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴点、、在同一直线上，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴的最小值等于的最小值，
∵两点之间线段最短，
∴的最小值等于的长度，
∵，，
∴，，
∴，
∴的最小值为，
故答案为：．
三、解答题（每小题5分，共20分）
15. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，根据二次根式的混合运算法则，平方差公式计算即可．
【详解】解：
．
16. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，直接根据二次根式的混合运算法则计算即可得出答案．
【详解】解：
17. 如图，在中，对角线，过点作于，求证：四边形是矩形．

【答案】见解析
【解析】
【分析】由平行四边形的性质得，则，由，，得，即可根据平行四边形的定义证明四边形是平行四边形，而，则四边形是矩形．
【详解】证明：∵，

∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∴四边形是矩形．
【点睛】此题重点考查平行四边形的判定、在平面内垂直于同一条直线的两条直线平行、矩形的判定等知识，证明是解题的关键．
18. 防火安全无小事，时时处处需留心．一天晚上，某居民楼的点处着火，消防大队派出云梯消防车展开紧急救援．已知点离地面28米，消防车的云梯底部（点与地面的垂直距离是4米，与居民楼的水平距离是10米．云梯需要伸长多少米才能到达着火处？
【答案】26米
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键．作地面于点，于点，在中，由勾股定理求出的长即可．
【详解】解：如图，作地面于点，于点，
由题意得：米，米，米．
米， （米．
在中，由勾股定理得，
（米．
答：云梯需要伸长26米才能到达着火处．
四、解答题（每小题7分，共28分）
19. 如图，在中，E，F分别在上，交于点O，若，求证：点O为的中点．

【答案】见解析
【解析】
【分析】连接，证明四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质即可求解．
【详解】证明：连接．

∵四边形是平行四边形，
∴，．
∵，
∴且．
∴四边形是平行四边形．
∴点O为的中点．
【点睛】本题考查的是平行四边形的判定与性质，熟知平行四边形的性质是解答此题的关键．
20. 如图所示，在四边形中，，，，．

（1）求的长；
（2）四边形的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）在中，利用勾股定理即可求解的长；
（2）由（1）知，根据题意得到，得到为直角三角形，则根据四边形的面积为即可求解．
【小问1详解】
解：，，，
；
【小问2详解】
解：由（1）知，
，，
则，即，
为直角三角形，，
四边形的面积为: ．
【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解题的关键．
21. 图①、图②分别是的正方形网格，风格中每个小正方形的边长均为1，线段的端点在小正方形的顶点上，请在图①、图②中各画一个图形，分别满足下列要求．
（1）在图①中画一个以线段为一边且周长为的平行四边形，点、必须在小正方形的顶点上；
（2）在图②中画一个以线段为一边的钝角等腰三角形，点必须在小正方形的顶点上．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的定义，勾股定理与网格问题；
（1）根据勾股定理，作，的平行四边形，即可求解．
（2）根据勾股定理，作的等腰钝角三角形，即可求解．
【小问1详解】
解：如图①，平行四边形即为所求．

∵，，
∴四边形是平行四边形；
∴四边形的周长为：．
【小问2详解】
解：如图②，即为所求．
∵
∴是钝角等腰三角形
22. 如图，四边形是菱形，对角线、交于点，点、是对角线所在直线上两点，且，连接、、、，．
（1）求证：四边形是正方形；
（2）若正方形的面积为72，，求菱形的面积．
【答案】（1）证明见解析
（2）24
【解析】
【分析】（1）根据对角线互相垂直且平分的四边形是菱形可得四边形是菱形，根据对角线相等的菱形是正方形即可解决问题；
（2）由正方形的面积公式求得，进而得到，由四边形是菱形得到，，菱形的面积．
【小问1详解】
证明：菱形的对角线和交于点，
，，，
∵，
∴，
即，
又，
四边形是菱形，
，
，
，
，
菱形是正方形；
【小问2详解】
解：正方形的面积为72，
，
，
，
，
，
，
四边形是菱形，
，，
菱形的面积．
【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，菱形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握正方形的判定和性质定理是解题的关键．
五、解答题（每小题8分，共16分）
23. 如图，在矩形中，对角线交于点O，过点O作线段，连接，已知．
（1）求证：；
（2）连接，若，请给添加一个条件，使四边形为正方形（不需说明理由）．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据矩形的性质得到，，得到，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）根据等腰直角三角形的性质得到，，求得，根据平行四边形的判定定理得到四边形是平行四边形，根据正方形的判定定理得到结论．
本题考查了正方形的判定，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
【小问1详解】
证明：四边形是矩形，
，，
，
，
在与中，
，
，
；
【小问2详解】
解：添加，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
四边形是正方形．
24. 已知BD是△ABC的角平分线，点E在边AB上，BC＝BE，过点E作EF∥AC，交BD于点F，连接CF．
(1)如图1，求证：四边形CDEF是菱形；
(2)如图2，当四边形CDEF是正方形，且AC＝BC时，在不添加辅助线的情况下，请直接写出图中度数等于30°的角．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】（1）直接由SAS得出△BDE≌△BDC，得出DE=DC，∠BDE=∠BDC．再由SAS证明△BFE≌△BFC，得出EF=CF．由EF∥AC得出∠EFD=∠BDC，从而∠EFD=∠BDE，根据等角对等边得出DE=EF，从而DE=EF=CF=DC，由菱形的判定可知四边形CDEF是菱形；
（2）如图2，利用正方形的性质可得∠DFE=45°，然后证明∠FEB=∠CBE=2∠FBE即可．
【详解】在△BDE和△BDC中，∵，∴△BDE≌△BDC，∴DE=DC，∠BDE=∠BDC．
同理△BFE≌△BFC，∴EF=CF．
∵EF∥AC，∴∠EFD=∠BDC，∴∠EFD=∠BDE，∴DE=EF，∴DE=EF=CF=DC，∴四边形CDEF菱形；
（2）∵四边形CDEF是正方形，∴∠CDE=∠DEF=2∠EFD=90°．
∵AC=BC，∴∠A=∠CBE．
∵∠A+∠AED=180°﹣90°=90°，∠AED+∠FEB=90°，∴∠A=∠FEB=∠CBE=2∠EBF．
∵∠EBF+∠FEB=∠DFE=45°，∴∠EBF=15°，∴∠FEB=30°，∴∠A=∠ABC=∠FEB=30°．
∵△BFE≌△BFC，∴∠FEB=∠FCB=30°，图中度数等于30°的角是∠A，∠ABC，∠FEB，∠FCB．
【点睛】本题主要考查了全等三角形、菱形的判定，正方形的性质等知识．关键是由SAS得出△BDE≌△BDC．
六、解答题（每小题10分，共20分）
25. 【问题原型】如图①，在中，是边中线，．
求证：．
【结论应用】如图②，在中，为锐角，为中点，连结，将四边形沿折叠，得到四边形，点、的对应点分别为点、．
（1）与的位置关系是________；
（2）连结，若，求的度数；
（3）如图③，当为边长为4的正方形时，其余条件不变，延长交于点，连结，直接写出线段的长．
【答案】[问题原型] 见解析；
[结论应用]（1）；（2）（3）
【解析】
【分析】[问题原型] 由等腰三角形的性质可得，，由三角形内角和定理可得结论；
[结论应用]
（1）根据轴对称的性质得出；
（2）根据平行线的性质即可求解；
（3）证明，设，在中，勾股定理列出方程，解方程即可求解．
【详解】[问题原型]证明：是边的中线，．
，
，，
，
，
；
[结论应用]（1）依题意点、的对应点分别为点、
∴关于对称，
∴,
（2）∵为中点，
由[问题原型]可得
又，
∴,
∵，
∴；
（3）∵四边形是正方形，
∴，
∵折叠，
∴，，
∴，
∵为中点，
∴，
∴，
在与中，
∴，
设，
在中，,
，，
∵，
∴，
解得，
即．
【点睛】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质与判定，平行线的性质，平行四边形的性质，正方形的性质，勾股定理，掌握折叠的的性质是解题的关键．
26. 如图，在矩形中，，点O为对角线的中点，动点P从点D出发，沿折线以每秒2个单位长度的速度从点D向点B运动，当点P不与点D、B重合时，连接并延长，交矩形的边于点Q，连接，点P运动的时间为t（秒），解答下列问题．
（1）①___________；
②用含t的式子表示的长度；
（2）连接，当直线将矩形的面积分成两部分时，求t的值；
（3）求四边形的面积S（用含t的代数式表示）；
（4）当四边形是轴对称图形时，直接写出t的值．
【答案】（1）①10；②当时，；当时，
（2）或6
（3）当时，；当时，
（4）或4
【解析】
【分析】（1）① 根据四边形为矩形，利用勾股定理即可求得；
②根据运动时间，当点在上和在上时，分两种情况求解即可；
（2）由于直线将矩形的面积分成两部分，分别讨论当点在上时，；当点在上时，，利用面积公式分别求解即可；
（3）当点在上时，四边形为平行四边形，；当点在上时，四边形为平行四边形，，利用平行四边形面积公式分别求解即可；
（4）由第（3）问已证当点在和上时，四边形都为平行四边形，要满足是轴对称图形，则平行四边形为矩形或菱形时满足要求，根据两种情况分别求解即可；
【小问1详解】
解：① 四边形为矩形，
，，应用勾股定理得
，
②设点P运动的时间为t（秒）
，当，点在上，如图所示，
，
，
当，点在上，如图所示，
点走过的路程为，
，
【小问2详解】
解： 直线将矩形的面积分成两部分，
当，点在上时，
，即，
解得，
当，点在上时，
，即，
解得，
综上所述，或．
【小问3详解】
解：当，点在上时，如图所示，
四边形为矩形，点O为对角线的中点，
，，，
，又，
，
，且，
四边形为平行四边形，
（），
当，点在上时，
四边形为矩形，点O为对角线的中点，
，，，
，又，
，
，且，
四边形为平行四边形，
（），
【小问4详解】
解：当时，点与点重合，如图所示，
四边形为矩形，是轴对称图形，
当点在如图所示位置时，平行四边形为菱形时符合题意，
则：，
，，
，
解得，
综上所述，当，或，四边形是轴对称图形．