人教B版高中数学必修第二册第6章章末综合提升学案

这是一份人教B版高中数学必修第二册第6章章末综合提升学案，共5页。

类型1　基底向量表示其他向量一组不共线向量可以充当平面向量的基底，平面内的任一向量均可写成它的线性表达式，且表达式是唯一的．【例1】　如图，设△ABC的重心为M，O为平面上任一点，eq \o(OA,\s\up7(→))＝a，eq \o(OB,\s\up7(→))＝b，eq \o(OC,\s\up7(→))＝c，试用a，b，c表示eq \o(OM,\s\up7(→))．[解]　如图，连接AM并延长交BC于点D．∵M是△ABC的重心，∴D是BC的中点，且AM＝eq \f(2,3)AD．∴eq \o(AM,\s\up7(→))＝eq \f(2,3)eq \o(AD,\s\up7(→))＝eq \f(2,3)(eq \o(AB,\s\up7(→))＋eq \o(BD,\s\up7(→)))＝eq \f(2,3)eq \o(AB,\s\up7(→))＋eq \f(2,3)eq \o(BD,\s\up7(→))＝eq \f(2,3)eq \o(AB,\s\up7(→))＋eq \f(2,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\o(BC,\s\up7(→))))＝eq \f(2,3)eq \o(AB,\s\up7(→))＋eq \f(1,3)eq \o(BC,\s\up7(→))＝eq \f(2,3)(eq \o(OB,\s\up7(→))－eq \o(OA,\s\up7(→)))＋eq \f(1,3)(eq \o(OC,\s\up7(→))－eq \o(OB,\s\up7(→)))＝eq \f(2,3)(b－a)＋eq \f(1,3)(c－b)＝－eq \f(2,3)a＋eq \f(1,3)b＋eq \f(1,3)c．∴eq \o(OM,\s\up7(→))＝eq \o(OA,\s\up7(→))＋eq \o(AM,\s\up7(→))＝a＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)a＋\f(1,3)b＋\f(1,3)c))＝eq \f(1,3)(a＋b＋c)． 类型2　平面向量的线性运算1．向量线性运算的结果仍是一个向量，因此对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意大小、方向两个方面．2．共线向量基本定理和平面向量基本定理是进行向量合成与分解的核心，是向量线性运算的关键所在，常应用它们解决平面几何中的共线问题、共点问题．3．题型主要有证明三点共线、两线段平行、线段相等、求点或向量的坐标等．【例2】　如图所示，已知在△AOB中，点C是以A为对称中心的点B的对称点，eq \o(OD,\s\up7(→))＝2eq \o(DB,\s\up7(→))，DC和OA交于点E，设eq \o(OA,\s\up7(→))＝a，eq \o(OB,\s\up7(→))＝b．(1)用a和b表示向量eq \o(OC,\s\up7(→))、eq \o(DC,\s\up7(→))；(2)若eq \o(OE,\s\up7(→))＝λeq \o(OA,\s\up7(→))，求实数λ的值．[解]　(1)由题意知，A是BC的中点，且eq \o(OD,\s\up7(→))＝eq \f(2,3)eq \o(OB,\s\up7(→))，由平行四边形法则，eq \o(OB,\s\up7(→))＋eq \o(OC,\s\up7(→))＝2eq \o(OA,\s\up7(→))，∴eq \o(OC,\s\up7(→))＝2eq \o(OA,\s\up7(→))－eq \o(OB,\s\up7(→))＝2a－b，eq \o(DC,\s\up7(→))＝eq \o(OC,\s\up7(→))－eq \o(OD,\s\up7(→))＝(2a－b)－eq \f(2,3)b＝2a－eq \f(5,3)b．(2)因为eq \o(EC,\s\up7(→))与eq \o(DC,\s\up7(→))共线．又∵eq \o(EC,\s\up7(→))＝eq \o(OC,\s\up7(→))－eq \o(OE,\s\up7(→))＝(2a－b)－λa＝(2－λ)a－b，eq \o(DC,\s\up7(→))＝2a－eq \f(5,3)b，∴eq \f(2－λ,2)＝eq \f(－1,－\f(5,3))，∴λ＝eq \f(4,5)． 类型3　向量的坐标运算1．向量的坐标表示实际上是向量的代数表示．引入向量的坐标表示后，向量的运算完全化为代数运算，实现数与形的统一．2．向量的坐标运算是将几何问题代数化的有力工具，它是转化思想、函数与方程、分类讨论、数形结合等思想方法的具体体现．3．通过向量坐标运算主要解决求向量的坐标、向量的模及平行问题．【例3】　已知向量eq \o(AB,\s\up7(→))＝(4，3)，eq \o(AD,\s\up7(→))＝(－3，－1)，点A(－1，－2)．(1)求线段BD的中点M的坐标；(2)若点P(2，y)满足eq \o(PB,\s\up7(→))＝λeq \o(BD,\s\up7(→))(λ∈R)，求y与λ的值．[思路探究]　(1)先求B，D点的坐标，再求M点坐标；(2)由向量相等转化为y与λ的方程求解．[解]　(1)设点B的坐标为(x1，y1)．∵eq \o(AB,\s\up7(→))＝(4，3)，A(－1，－2)，∴(x1＋1，y1＋2)＝(4，3)，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x1＋1＝4，,y1＋2＝3，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x1＝3，,y1＝1，))∴B(3，1)．同理可得D(－4，－3)．设线段BD的中点M的坐标为(x2，y2)，则x2＝eq \f(3－4,2)＝－eq \f(1,2)，y2＝eq \f(1－3,2)＝－1，∴Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－1))．(2)由已知得eq \o(PB,\s\up7(→))＝(3，1)－(2，y)＝(1，1－y)，eq \o(BD,\s\up7(→))＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)．又eq \o(PB,\s\up7(→))＝λeq \o(BD,\s\up7(→))，∴(1，1－y)＝λ(－7，－4)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1＝－7λ，,1－y＝－4λ，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(λ＝－\f(1,7)，,y＝\f(3,7).))【例4】　设A，B，C，D为平面内四点，且A(1，3)，B(2，－2)，C(4，－1)．(1)若eq \o(AB,\s\up7(→))＝eq \o(CD,\s\up7(→))，求D点坐标；(2)设向量a＝eq \o(AB,\s\up7(→))，b＝eq \o(BC,\s\up7(→))，若ka－b与a＋3b平行，求实数k的值．[解]　(1)设D(x，y)，又因为A(1，3)，B(2，－2)，C(4，－1)，所以eq \o(AB,\s\up7(→))＝(1，－5)，eq \o(CD,\s\up7(→))＝(x－4，y＋1)，因为eq \o(AB,\s\up7(→))＝eq \o(CD,\s\up7(→))，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－4＝1,y＋1＝－5))，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝5,y＝－6))，所以D(5，－6)．(2)由题意得，a＝(1，－5)，b＝(2，1)，所以ka－b＝(k－2，－5k－1)，a＋3b＝(7，－2)，因为ka－b与a＋3b平行，所以－2(k－2)－7(－5k－1)＝0，解得k＝－eq \f(1,3)．所以实数k的值为－eq \f(1,3)． 类型4　平面向量的应用1．根据向量的加减运算遵循平行四边形法则或三角形法则，数乘运算和线段平行之间的联系，距离问题等，可知用向量方法可以解决平面几何中的相关问题．2．在物理中的应用，主要解决力向量、速度向量等问题．【例5】　已知正方形ABCD，E，F分别是CD，AD的中点，BE，CF交于点P．求证：AP＝AB．[证明]　如图建立直角坐标系，其中A为原点，不妨设AB＝2，则A(0，0)，B(2，0)，C(2，2)，E(1，2)，F(0，1)．设P(x，y)，则eq \o(FP,\s\up7(→))＝(x，y－1)，eq \o(CF,\s\up7(→))＝(－2，－1)，∵eq \o(FP,\s\up7(→))∥eq \o(CF,\s\up7(→))，∴－x＝－2(y－1)，即x＝2y－2，同理由eq \o(BP,\s\up7(→))∥eq \o(BE,\s\up7(→))，得y＝－2x＋4，代入x＝2y－2，解得x＝eq \f(6,5)，∴y＝eq \f(8,5)，即Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,5)，\f(8,5)))．∴eq \o(AP,\s\up7(→))2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,5)))eq \s\up12(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,5)))eq \s\up12(2)＝4＝eq \o(AB,\s\up7(→))2，∴|eq \o(AP,\s\up7(→))|＝|eq \o(AB,\s\up7(→))|，即AP＝AB．