新教材人教B版步步高学习笔记【同步学案】章末检测试卷三(第六章)

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章末检测试卷三(第六章)
(时间：120分钟　满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
1．如图，在五边形ABCDE中，＋－等于(　　)

A. B. C. D.
答案　B
解析　＋－＝＋＝.
2．已知点A(0,1)，B(3,2)，向量＝(－4，－3)，则向量等于(　　)
A．(－7，－4) B．(7,4)
C．(－1,4) D．(1,4)
答案　A
解析　＝－，＝(－4，－3)，＝(3,1)，故＝(－7，－4)．
3．如图所示，在△ABC中，AD＝AB，BE＝BC，则等于(　　)

A.－ B.－
C.－ D.－
答案　D
解析　＝＋＝＋(－)
＝－.
4．已知向量a＝(－1,2)，b＝(3，m)，m∈R，则“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的(　　)
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
答案　A
解析　充分性：若m＝－6，则a＋b＝(－1,2)＋(3，－6)＝(2，－4)，则a＝－(a＋b)，可推出a∥(a＋b)，故充分性成立；必要性：若a∥(a＋b)，则a＋b＝ka，则解得m＝－6，故必要性成立；综上所述，“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的充要条件．
5．若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足3－－＝0，则△ABM与△ABC的面积之比为(　　)
A．1∶2 B．1∶3
C．1∶4 D．2∶5
答案　B
解析　如图，设D为边BC的中点，

则＝(＋)，
因为3－－＝0，
所以3＝＋＝2，
所以＝，
所以S△ABM＝S△ABD＝S△ABC.
6．若{α，β}是一组基底，向量γ＝xα＋yβ(x，y∈R)，则称(x，y)为向量γ在基底{α，β}下的坐标．现已知向量a在基底p＝(1，－1)，q＝(2,1)下的坐标为(－2,2)，则a在另一组基底m＝(－1,1)，n＝(1,2)下的坐标为(　　)
A．(2,0) B．(0，－2) C．(－2,0) D．(0,2)
答案　D
解析　∵a在基底{p，q}下的坐标为(－2,2)，
∴a＝－2p＋2q＝－2(1，－1)＋2(2,1)＝(2,4)．
令a＝xm＋yn＝(－x＋y，x＋2y)，
∴解得
∴a在基底{m，n}下的坐标为(0,2)．
7．在△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB.若＝a，＝b，|a|＝1，|b|＝2，则等于(　　)
A.a＋b B.a＋b
C.a＋b D.a＋b
答案　B
解析　∵CD平分∠ACB，∴＝＝，
∴＝2＝＝(－)＝(a－b)．
∴＝＋＝b＋(a－b)＝a＋b.
8.如图，在△OAB中，点B关于点A的对称点为C，D在线段OB上，且OD＝2DB，DC和OA相交于点E.若＝λ，则λ等于(　　)

A. B. C. D.
答案　C
解析　方法一　设＝a，＝b，
由题意得＝－＝＋－＝＋－＝＋－－＝2a－b.
因为＝λ＝λa，设＝μ＝2μa－μb，
又＝＋，
所以λa＝b＋2μa－μb＝2μa＋b，
所以解得
方法二　由题意知，AB＝AC，OD＝2DB，如图，过点A作AF∥OB交CD于点F，则＝＝，

即AF＝BD＝OD，
故AE＝OE，则OE＝OA，
又＝λ，故λ＝.
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．下列命题中，不正确的是(　　)
A．若e为单位向量，且a∥e，则a＝|a|e
B．若a∥b且b∥c，则a∥c
C．两个有共同起点而且相等的非零向量，其终点必相同
D．若平面内有四点A，B，C，D，则必有＋＝＋
答案　AB
解析　若e为单位向量，且a∥e，则a＝±|a|e，所以A错误；若b＝0，则a∥b且b∥c，但a∥c不一定成立，所以B错误；C正确；因为＋＝＋＋＝＋(＋)＝＋，所以D正确．
10．设a，b是共线的单位向量，则|a＋b|的值可能是(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
答案　AC
解析　a与b是共线的单位向量，若a，b同向，则|a＋b|＝2；若a，b反向，则|a＋b|＝0.
11．若平面向量a，b满足|a＋b|＝1，a＋b平行于x轴，b＝(2，－1)，则a可能是(　　)
A．(－1,1) B．(1，－1)
C．(3，－1) D．(－3,1)
答案　AD
解析　由题意知a＋b＝(1,0)或(－1,0)，则a＝(a＋b)－b＝(1,0)－(2，－1)＝(－1,1)，或a＝(－1,
0)－(2，－1)＝(－3,1)．故选AD.

12．设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是(　　)
A．若＝＋，则点M是边BC的中点
B．若＝2－，则点M在边BC的延长线上
C．若＝－－，则点M是△ABC的重心
D．若＝x＋y，且x＋y＝，则△MBC的面积是△ABC面积的
答案　ACD
解析　A中，＝＋⇒－＝－，即＝，则点M是边BC的中点，所以A正确；
B中，＝2－⇒－＝－，所以＝，则点M在CB的延长线上，所以B错误；
C中，设BC的中点为D，如图所示，则＝－－＝＋＝2，由重心性质可知C成立；

D中，＝x＋y且x＋y＝⇒2＝2x＋2y且2x＋2y＝1，设＝2，所以＝2x＋2y且2x＋2y＝1，可知B，C，D三点共线，所以△MBC的面积是△ABC面积的.
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．如图，直线l上依次有五个点A，B，C，D，E，满足AB＝BC＝CD＝DE，如果把向量作为单位向量e，那么直线上向量＋的坐标为________．

答案　－1
解析　由题意得，DA＝3AB，CE＝2AB，可得＝－3，＝2，故可得＋＝ －3＋2＝－＝－e，故直线上向量＋的坐标为－1.
14．若三点A(1，－5)，B(a，－2)，C(－2，－1)共线，则实数a的值为________．
答案　－
解析　根据题意知＝(a－1,3)，＝(－3,4)，∥，∴4(a－1)＝3×(－3)，即4a＝－5，∴a＝－.
15．一只鹰正以与水平方向成30°角的方向向下飞行，直扑猎物，太阳光从头上直照下来，鹰在地面上的影子的速度是40 m/s，则鹰的飞行速度为________ m/s，垂直方向上下降的速度为________ m/s.
答案　　
解析　设鹰的飞行速度为v1，鹰在地面上的影子的速度为v2，则|v2|＝40 m/s，因为鹰的运动方向是与水平方向成30°角向下，故|v1|＝＝ m/s，
垂直方向上下降的速度为|v1|sin 30°＝ m/s.
16．在直角梯形ABCD中，A＝90°，B＝30°，AB＝2，BC＝2，点E在线段CD上，若＝＋μ，则μ的取值范围是________．
答案　
解析　由题意可求得AD＝1，CD＝，所以＝2，
因为点E在线段CD上，所以＝λ(0≤λ≤1)．
因为＝＋，
又＝＋μ＝＋2μ＝＋，
所以＝1，即λ＝2μ，
因为0≤λ≤1，所以0≤μ≤.
即μ的取值范围是.
四、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)在梯形ABCD中，AB∥CD，M，N分别是，的中点，且＝k(k≠1)．设＝e1，＝e2，选择基底{e1，e2}，试写出向量，，在此基底下的分解式．
解　如图所示，

∵＝e2，且＝k，
∴＝k＝ke2.
又＋＋＋＝0，
∴＝－－－＝－＋＋
＝－e2＋ke2＋e1＝e1＋(k－1)e2.
∵＋＋＋＝0，
∴＝－－－＝＋－
＝＋e2－
＝[e1＋(k－1)e2]＋e2－e1＝e2.
18.(12分)如图，已知F，G分别是四边形ABCD的边BC，CD的中点，H，E分别是DA，AB上靠近点A的三等分点．用向量法证明：四边形EFGH是梯形．

证明　因为在△BCD中，G，F分别为CD，CB的中点，所以＝，＝.
所以＝－＝(－)＝，
同理可得＝.所以∥，且||≠||，
又因为G，F，H，E四点不在同一直线上，所以GF∥HE且GF≠HE，所以四边形EFGH是梯形．
19．(12分)一条宽为 km的河，水流速度为2 km/h，在河两岸有两个码头A，B，已知AB＝ km，一艘船在水中的最大航速为4 km/h，问：该船从码头A到码头B怎样安排行船速度可使它最快到达B码头？此时用时多少？
解　如图，表示最大航速，表示水速，以AC，AD为邻边作▱ACED，且使AE与AB重合(方向才能确定)．

由题意知AC⊥AE，
在Rt△AED和▱ACED中，
||＝||＝2 km/h，||＝4 km/h，∠AED＝90°.
∴||＝＝2(km/h)，sin∠EAD＝.
∴∠EAD＝30°，用时＝(小时)．
∴船的实际航行速度为2 km/h，与水流成120°角时，能最快到达B码头，用时小时．
20．(12分)已知三点A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b.
(1)求3a＋b－3c；
(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；
(3)求点M，N的坐标及的坐标．
解　由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．
(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)
＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．
(2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)＝(5，－5)，
∴解得
(3)∵＝－＝3c，
∴＝3c＋＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)，
∴M(0,20)．
又∵＝－＝－2b，
∴＝－2b＋＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，
∴N(9,2)．∴＝(9，－18)．
21．(12分)已知点A(x,0)，B(2x,1)，C(2，x)，D(6,2x)．
(1)求实数x的值，使向量与共线；
(2)当向量与共线时，点A，B，C，D是否在一条直线上？
解　(1)由题意得，＝(2x,1)－(x,0)＝(x,1)，
＝(6,2x)－(2，x)＝(4，x)．
若向量与共线，则x2－4×1＝0，故x＝±2.
∴当x＝±2时，向量与共线．
(2)当x＝2时，A(2,0)，B(4,1)，C(2,2)，
＝(4,1)－(2,0)＝(2,1)，
＝(2,2)－(2,0)＝(0,2)．
∵2×2－0×1≠0，∴向量与不共线，
∴点A，B，C不在一条直线上，
∴点A，B，C，D不在一条直线上．
当x＝－2时，A(－2,0)，B(－4,1)，C(2，－2)，
＝(－4,1)－(－2,0)＝(－2,1)，
＝(2，－2)－(－2,0)＝(4，－2)．
∵(－2)×(－2)－4×1＝0，
∴向量与共线，
∵AB与AC有公共点A，
∴点A，B，C在一条直线上．
又∵向量与共线，∴AB与CD平行或重合．
∴点A，B，C，D在一条直线上．
综上，当x＝2时，向量与共线，但点A，B，C，D不在一条直线上．当x＝－2时，向量与共线，且点A，B，C，D在一条直线上．
22．(12分)如图所示，在△ABC中，＝a，＝b，D为AB的中点，E为CD上的一点，且DC＝4EC，AE的延长线与BC的交点为F.

(1)用向量a，b表示；
(2)用向量a，b表示，并求出AE∶EF和BF∶FC的值．
解　(1)由题意知，＝4，所以－＝4(－)，
所以＝＋，又D为AB的中点，＝a，＝b，
所以＝a，＝a＋b.
(2)因为B，F，C三点共线，设＝t(0 即＝tb＋(1－t)a，又A，F，E三点共线，设＝λ(λ>1)，
由(1)可知＝a＋b，即＝a＋b，
a，b不共线，由平面向量基本定理，
知得
所以＝，＝，
则AE∶EF的值为7，BF∶FC的值为6.