2020-2021学年第六章 平面向量初步本章综合与测试单元测试测试题

第六单元平面向量初步单元测试卷人教  B版（2019）高中数学必修二

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 设P是所在平面内的一点，且，则   

A.  B.
C.  D.

2. 平面向量共线的充要条件是   

A. 方向相同
B. 两向量中至少有一个为零向量
C. ，
D. 存在不全为零的实数，，使得

3. 在等腰梯形ABCD中，，，E为BC的中点，则

A.  B.
C.  D.

4. 已知，是不共线的向量，，，且A，B，C三点共线，则实数的值为

A.  B. 2 C. 或1 D. 或2

5. 向量在正方形网格中的位置如图所示若向量与垂直，则实数      

A.
B.
C. 3
D. 2

6. 已知，，M是线段AB的中点，那么向量的坐标是

A.  B.  C.  D.

7. 设，向量，且，则 

A.  B.  C.  D. 10

8. 如图，O在的内部，D为的中点，且，则的面积与的面积的比值为

A. 3
B. 4
C. 5
D. 6

9. 已知点O，N在所在的平面内，且，，则点O，N依次是的

A. 外心，内心 B. 外心，重心 C. 重心，外心 D. 重心，内心

10. 长江某地南北两岸平行，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸，假设游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为设和的夹角为，北岸的点在A的正北方向，游船正好到达处时，   

A.  B.  C.  D.

11. 在中，向量与满足，且，则为   

A. 等边三角形 B. 直角三角形
C. 等腰非等边三角形 D. 等腰直角三角形

12. O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足， ，则点P的轨迹一定通过的   

A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心

二、单空题（本大题共3小题，共15.0分）

13. 如图，正方形ABCD的边长为2，E是以CD为直径的半圆弧的中点，则          ．
    
    
     

14. 已知向量，向量，则的最大值是          ．
15.           

三、多空题（本大题共3小题，共15.0分）

16. 已知点，，则向量          ，与向量同向的单位向量为          ．
17. 已知向量，当与平行时，          当与的夹角为锐角时，x的取值范围为          
18. 某人骑车以每小时a千米的速度向东行驶，感到风从正北方向吹来，而当速度为2a时，感到风从东北方向吹来，则实际风速的大小为          ，方向是          风

四、解答题（本大题共5小题，共60.0分）

19. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，的平分线为AD，若．

当时，求；

当时，求实数m的取值范围．






 

20. 如图所示，在四边形ABCD中，已知，，，，求直线AC与BD交点P的坐标．
    
     

21. 平面内三个向量，，．
    求；
    求满足的实数m，n；
    若，求实数k．
    
    
    
    
    
    
     
22. 已知，．

当k为何值时，与共线

若，且A，B，C三点共线，求m的值．






 

23. 如图，在中，O为重心，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点，化简下列三式：

；

；

．

答案和解析

1.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题考查向量线性运算，属于基础题．
由，得，即．
【解答】
解：由，

得，
即．
故选B．

2.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题主要考查向量共线及充要条件等知识．在解决很多问题时考虑问题必须要全面，除了考虑一般性外，还要注意特殊情况是否成立．根据向量共线定理，即非零向量与向量共线的充要条件是必存在唯一实数使得成立，即可得到答案．

【解答】

解：若均为零向量，则显然符合题意，且存在不全为零的实数，，使得；
若，则由两向量共线知，存在，使得，
即，符合题意，
故选D．

3.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题考查平面向量的线性运算，属基础题．
取AB中点F，连接DF，则四边形DFBC为平行四边形，，又转化为即可．

【解答】

解：取AB中点F，连接DF，
，，
，，
四边形DFBC为平行四边形，

，



．
故选A．

4.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查向量共线定理及其应用，属于基础题．
由， ，，得到方程组，即可求解．

【解答】

解：因为A，B，C三点共线，

所以存在实数k使．

因为，，

所以

因为与不共线，所以

解得或．
故选D．

5.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查向量加法和数乘的几何意义，考查向量的坐标运算，属于基础题．
令，，，根据向量垂直的坐标运算即可求出的值．

【解答】

解：根据图形可令，，，
则，
因为与垂直，
所以，
，
故选：C．

6.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题考查了中点坐标公式、向量坐标运算性质，属于基础题．
利用中点坐标公式、向量坐标运算性质即可得出．

【解答】

解：，，M是线段AB的中点，
，
．
故选：A．

7.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查向量平行与向量垂直的条件、向量的坐标运算及向量的模，根据题意利用向量平行与向量垂直的条件可求得x，y的值，然后可得，进而可得，从而即可求得结果．

【解答】解：，，
，，
解得，，
因此，
所以，
所以．
故选B．  

8.【答案】B
 

【解析】

【分析】

根据平面向量的几何运算可知O为CD的中点，从而得出答案．
本题考查了平面向量的几何运算，属于中档题．

【解答】

解：为AB的中点，

，
，
，
是CD的中点，
，
．
故选B．
 

9.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查了平面向量的应用问题，解题时可以结合图形，容易解答问题，是中档题．
由题意，得出点O是的外心；由得出点N是的重心．

【解答】

解：根据题意，在所在的平面内，
，
点O是的外心；
又，
，
即，
、E、F分别是三边的中点，
点N是的重心．
故选：B．

10.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查向量的应用，属于基础题．
根据题意，判断出船的实际速度方向与水流速度方向垂直，即可求解．

【解答】

解：船垂直到达对岸，可设船实际速度为，

则船的实际速度方向与水流速度方向垂直，
所以
，
故选D．

11.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查平面向量的数量积和几何应用，属于中档题．
利用已知和数量积可知，，，从而判断出三角形的形状．

【解答】

解：，
，分别为，方向上的单位向量，
的角平分线与BC垂直，可得，
由，
可得，
则，
，．
三角形为等腰直角三角形．
故选：D．

12.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查了数量积运算、三角形的垂心性质，属于中档题．
可先根据数量积为零得出，可得点P在BC的高线上，进而可得结果．

【解答】

解：，
，
，
，
点P在BC的高线上，即动点P的轨迹过的垂心，
故选D．

13.【答案】6
 

【解析】

【分析】

本题考查平面向量的数量积运算、投影向量等知识，属基础题．
依题意求出在方向上的投影向量的模长，再利用向量数量积即可解答．

【解答】

解：因为E是以CD为直径的半圆弧的中点，则E到AB的距离为，
所以在方向上的投影向量的模长为3，
所以，
故答案为6．

14.【答案】4
 

【解析】

【分析】

本题考查向量坐标运算、模的计算和三角恒等变换及最值，考查运算能力，属中档题．
利用向量模的计算公式和三角函数值域的求法，即可得出．

【解答】

解：向量，向量
则，

，
当时，取得最大值4．
故答案为4．

15.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查向量的加减运算，属于基础题．

根据向量加减法的三角形法则可得结果．

【解答】

解：．

故答案为．

16.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查向量的坐标运算以及单位向量的计算．
本题可根据向量的坐标的减法运算得出第一个结果，然后根据求单位向量的公式进行代入计算可得第二个结果．
【解答】
解：由向量的坐标定义，可知：
．
．
与向量同向的单位向量
故答案为：，

17.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查向量的坐标运算，向量平行，向量的夹角、向量数量积．
先求出与的坐标，再由向量平行的条件建立方程，求出x的值；与的夹角为锐角，则两向量的数量积大于0，由于两向量共线同向时，向量的内积也为正，问题转化为内积为正，且不共线，根据相关公式建立方程即可求解．

【解答】

解：由题意得，．

由与平行，得，；

当与的夹角为锐角时，则有
即
且．
即x的取值范围为．
故答案为：；．

18.【答案】

西北

【解析】

【分析】

本题考查向量的概念及几何表示，向量的加法、减法、数乘运算，属于中档题，由题意，如图，设，，， ，这就是感到由正北方向吹来的风速，， ，于是当此人的速度是原来的2倍时所感受到由东北方向吹来的风速就是 ，利用解三角形可得结论．

【解答】

解：如图设，，

， ，这就是感到由正北方向吹来的风速．

， ，

于是当此人的速度是原来的2倍时所感受到由东北方向吹来的风速就是 ，
由题意知，，，从而为等腰直角三角形．

，即，
故实际风速是大小为的西北风．

19.【答案】解：由题意得，；
故；
故；
故；
；
故

；
，；
故，
，
即．
 

【解析】本题考查了平面向量的应用及解三角形的应用，属于中档题．
由题意得，；从而可得；从而可得；
，从而可得，从而可求出m的取值范围．
 

20.【答案】解：  设，则，

，，．

由B，P，D三点共线可得．

又，

由于与共线得，．

解得，

，

的坐标为

【解析】本题考查了平面向量的几何应用，共线向量的坐标表示，属于基础题．
设，由B，P，D三点共线可得，进而得出，由与共线得出，进而得出P点坐标．
 

21.【答案】解：，
；
由，得，
，解得；
，，
，，
解得．
 

【解析】本题考查了平面向量坐标的加法、减法和数乘运算，相等向量的坐标关系，平行向量的坐标关系，考查了计算能力，属于基础题．
可求出向量的坐标，然后求出的值；
根据，即可得出，然后解出m，n的值即可；
由，，然后根据，即可得出关于k的方程，再解出k的值即可．
 

22.【答案】解：，．

因为与共线，
所以，
解得．

因为A，B，C三点共线，
所以，即，
所以
解得．

【解析】本题考查向量的坐标运算、向量共线的充要条件．
结合已知易得，再结合向量共线定理可得，解方程即可求出k的值；
由A，B，C三点共线，可得，再结合已知条件可得，据此可求得m的值．
 

23.【答案】解：   
   
．
 

【解析】本题考察向量的加法，
根据向量三角形法则就可以得到，，的结果．