人教B版数学必修第二册第六章《 平面向量初步》（单元测试）（基础卷）

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第六章 平面向量初步（基础卷）（时间：120分，满分：150分）一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．（2023·高一课时练习）如图所示，梯形ABCD为等腰梯形，则两腰上的向量与的关系是（    ）A．＝ B． C．＞ D．＜【答案】B【分析】根据向量的大小和方向来判断，另外再根据向量除了相等，是不能比较大小的来判断.【详解】与是等腰梯形的两腰，则它们必不平行，但长度相同，故，又向量不是实数，是不能比较大小的.故选：B.2．（2023·全国·高三专题练习）数学家欧拉于年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心､重心､垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线被称为三角形的欧拉线，设点分别为任意的外心､重心､垂心，则下列各式一定正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据三点共线和长度关系可知AB正误；利用向量的线性运算可表示出，知CD正误.【详解】    依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，，，，A错误，B错误；，C错误；，D正确.故选：D.3．（2023·全国·高三专题练习）在中，若，则的形状为（    ）A．等边三角形 B．等腰三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【分析】取中点，连接，则，利用向量数量积的运算律变形，得，从而可判断三角形形状．【详解】取中点，连接，则，因为，所以，所以，所以，即，所以的是等腰三角形．故选：B．4．（2023春·广东东莞·高一东莞一中校考期中）在中，为边上的中线，为的中点．则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据平面向量的线性运算即可求解.【详解】因为中，为边上的中线，为的中点，所以，故选：A．5．（2023春·辽宁鞍山·高一校联考阶段练习）已知，，，且，则的值为（    ）A．0 B．2 C． D．【答案】A【分析】先求再根据向量平行坐标表示列式，即可得结果.【详解】因为，，所以因为，所以故选：A【点睛】本题考查向量平行坐标表示，考查基本分析求解能力，属基础题.6．（2023春·广东深圳·高一深圳市高级中学校考期中）已知,则λ是“与的夹角为钝角”的条件A．充分不必要 B．必要不充分C．充分必要 D．既不充分也不必要【答案】B【解析】根据向量的夹角为钝角，则，再排除共线时的取值，从而进行等价转化；再结合题意进行选择即可.【详解】∵，∴与的夹角为钝角⇔﹣2λ﹣1<0且﹣2+λ≠0，即λ且λ≠2.∴λ是“与的夹角为钝角”的必要不充分条件.故选：B.【点睛】本题考查命题充分性和必要性的判断，涉及由向量夹角的范围求参数的范围，属综合基础题.7．（2023春·四川绵阳·高一校考阶段练习）在中，D为AC的中点，，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据得到，再根据可求出结果.【详解】因为，所以，所以，.故选：D8．（2023秋·江西南昌·高三江西师大附中校考阶段练习）已知平面向量，，若与共线，则实数（    ）A． B．8 C． D．2【答案】D【分析】利用向量加法和共线的坐标表示求解即可.【详解】由题意可得，因为与共线，所以，即，解得，故选：D二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分) 9．（2023·高一课时练习）一物体受到3个力的作用，其中重力的大小为4N，水平拉力的大小为3N，另一力未知，则（    ）A．当该物体处于平衡状态时，B．当与方向相反，且时，物体所受合力大小为C．当物体所受合力为时，D．当时，【答案】ACD【分析】根据向量的加法法则作图可判断AB；根据题意分析与的合力大小可判断C；由与共线时合力取得最值可判断D.【详解】A选项：由题知，的大小等于重力与水平拉力的合力大小，由图知，故A正确；B选项：如图，物体所受合力应等于向量与的和向量的大小，显然B错误；C选项；当物体所受合力为时，说明与的合力为，所以，C正确；D选项：由上知，重力与水平拉力的合力为，N，易知当与同向时合力最大，最大值为7N，反向时合力最小，最小值为3N，即，故D正确.故选：ACD10．（2023春·全国·高一专题练习）设，是两个非零向量，则下列描述错误的有（    ）A．若，则存在实数，使得.B．若，则.C．若，则，反向.D．若，则，一定同向【答案】ACD【分析】根据向量加法的意义判断选项A，C；根据平面向量加法的平行四边形法则可判断选项B；根据平面向量平行的性质可判断选项D.【详解】对于选项A：当，由向量加法的意义知，方向相反且，则存在实数，使得，故选项A错误；对于选项B：当，则以，为邻边的平行四边形为矩形，且和是这个矩形的两条对角线长，则，故选项B正确；对于选项C：当，由向量加法的意义知，方向相同，故选项C错误；对于选项D：当时，则，同向或反向，故选项D错误；综上所述：选项ACD错误，故选：ACD.11．（2023春·湖南常德·高一校考阶段练习）已知，，，，，那么（    ）A．B．若，则，C．若A是BD中点，则B，C两点重合D．若点B，C，D共线，则【答案】AC【分析】根据向量运算、向量平行（共线）等知识对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】A选项，，A选项正确.B选项，若，则，故可取，B选项错误.C选项，若是的中点，则，即，所以，所以两点重合，C选项正确.D选项，由于三点共线，所以，，，则或，所以D选项错误.故选：AC12．（2023秋·江西上饶·高三校考阶段练习）如图所示，在中，点D在边BC上，且，点E在边AD上，且，则（    ）A． B．C． D．【答案】BD【分析】根据向量的加减的几何意义和三角形法则即可求出．【详解】解：，点在边上，，故选：．三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)13．（2023秋·辽宁抚顺·高一抚顺一中校考期末）在平行四边形中，分别为上的点，且，连接，与交于点，若，则的值为 .【答案】【分析】根据给定条件，利用向量的加法，结合共线向量定理的推论求解作答.【详解】在中，不共线，因为，则有，又三点共线，于是得，解得，所以的值为.故答案为：14．（2023·全国·高一专题练习）已知点P是△ABC的中位线EF上任意一点，且EF∥BC，实数x，y满足＋x＋y＝0，设△ABC，△PBC，△PCA，△PAB的面积分别为S，S1，S2，S3，记＝λ1，＝λ2，＝λ3，则λ2λ3取最大值时，3x＋y的值为 .【答案】2【分析】根据题意可得λ1＝，则λ2＋λ3＝，利用基本不等式计算可知当P为EF的中点时λ2λ3取最大值时，延长AP交BC于M，则，结合题意的条件即可求出x、y.【详解】由题意可知λ1＋λ2＋λ3＝1.因为P是△ABC的中位线EF上任意一点，且EFBC，所以λ1＝，所以λ2＋λ3＝，所以λ2λ3≤，当且仅当λ2＝λ3＝时，等号成立，所以λ2λ3取最大值时，P为EF的中点.延长AP交BC于M，则M为BC的中点，所以PA＝PM，所以，又因为，所以x＝y＝，所以3x＋y＝2.故答案为：2.15．（2023·全国·高三专题练习）如图，四边形为平行四边形，，若，则的值为 ．【答案】1【分析】选取为基底将向量进行分解，然后与条件对照后得到的值．【详解】选取为基底，则，又，将以上两式比较系数可得．故答案为：1.16．（2023春·山西运城·高一校考阶段练习）已知向量，，，若A，B，D三点共线，则 ．【答案】0【分析】利用向量坐标线性运算可得，再由向量共线定理有且，列方程求参数m.【详解】由，又A，B，D三点共线，所以且，则，可得.故答案为：0四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．（2023春·湖南岳阳·高一统考期末）（1）已知平面向量、，其中，若，且，求向量的坐标表示；（2）已知平面向量、满足，，与的夹角为，且（+）（），求的值.【答案】（1）或；（2）【分析】（1）设，根据题意可得出关于实数、的方程组，可求得这两个未知数的值，由此可得出平面向量的坐标；（2）利用向量数量积为零表示向量垂直，化简并代入求值，可解得的值．【详解】（1）设，由，可得，由题意可得，解得或.因此，或；（2），化简得，即，解得18．（2023春·广西桂林·高一校考期中）已知，向量，.(1)如图，若四边形OACB为平行四边形，求点C的坐标；(2)若点P为线段AB的靠近点B的三等分点，求点P的坐标.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意可得，结合向量的坐标运算求解；（2）根据题意可得，结合向量的坐标运算求解.【详解】（1）设点C的坐标为，因为，，，可得，则，若四边形OACB为平行四边形，可得，则，解得，故点C的坐标为.（2）设点P的坐标为，由（1）可知：，则，若点P为线段AB的靠近点B的三等分点，则，则，解得，故点P的坐标为.19．（2023春·上海黄浦·高一上海市敬业中学校考阶段练习）如图，在△中，为中线上一点，且，过点的直线与边，分别交于点，.(1)用向量，表示；(2)设向量，，求的值.【答案】(1)；(2).【分析】（1）根据，结合向量的线性运算，再用，表达即可；（2）用，表达，结合三点共线即可求得.【详解】（1）∵为中线上一点，且，∴；（2）∵，，，∴，又，，三点共线，∴，解得，故的值为.20．（2023·全国·高一随堂练习）如图，在平行四边形ABCD中，点E是AB的中点，点F，G分别是AD，BC的三等分点.设，.(1)用，表示，.(2)如果，EF，EG有什么位置关系?用向量方法证明你的结论.【答案】(1)；(2)，证明见解析【分析】（1）根据向量加减法法则和向量数乘即可求解；（2）证明即可判断EF⊥EG.【详解】（1）；.（2）.证明如下：由（1）知，，，.，.21．（2023春·北京东城·高一北京市第一六六中学校考阶段练习）如图，在中，.设.(1)用表示；(2)若为内部一点，且.求证：三点共线.【答案】(1)，(2)证明见解析【分析】（1）由图中线段的位置及数量关系，用表示出，即可得结果；（2）用表示，得到，根据向量共线的结论即证结论.【详解】（1）由题图，，.（2）由，又，所以，故三点共线.22．（2023春·全国·高一阶段练习）如图所示，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，. (1)用表示；(2)求证：B，E，F三点共线．【答案】(1)，，，，(2)证明见解析【分析】（1）根据平面向量的线性运算结合图像计算即可得解；（2）利用平面向量共线定理证明，即可得证.【详解】（1）解：在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，则，故，，，；（2）证明：因为，，所以，所以，又因有公共点，所以B，E，F三点共线．