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人教B版 (2019)必修 第二册5.1.2 数据的数字特征学案设计
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这是一份人教B版 (2019)必修 第二册5.1.2 数据的数字特征学案设计，共11页。
知识点一 最值、平均数、中位数、百分位数、众数
1．一组数据的最值指的是其中的最大值与最小值，最值反映的是这组数最极端的情况．一般地，最大值用max表示，最小值用min表示．
2．平均数
如果给定的一组数是x1，x2，…，xn，则这组数的平均数为eq \x\t(x)＝eq \f(x1＋x2＋…＋xn,n)，简记为eq \x\t(x)＝eq \f(1,n)eq \i\su(i＝1,n,x)i.
如果x1，x2，…，xn的平均数为eq \x\t(x)，且a，b为常数，则ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的平均数为aeq \x\t(x)＋b.
3．中位数
如果一组数有奇数个数，且按照从小到大排列后为x1，x2，…，x2n＋1，则称xn＋1为这组数的中位数；如果一组数有偶数个数，且按照从小到大排列后为x1，x2，…，x2n，则称eq \f(xn＋xn＋1,2)为这组数的中位数．
4．百分位数
设一组数按照从小到大排列后为x1，x2，…，xn，计算i＝np%的值，如果i不是整数，设i0为大于i的最小整数，取xi0为p%分位数；如果i是整数，取eq \f(xi＋xi＋1,2)为p%分位数．特别地，规定：0分位数是x1(即最小值)，100%分位数是xn(即最大值)．
5．众数
一组数据中，某个数据出现的次数称为这个数据的频数，出现次数最多的数据称为这组数据的众数，一组数据的众数可以是一个，也可以是多个．
知识点二 极差、方差与标准差
1．极差
一组数据中最大值减去最小值所得的差称为这组数据的极差．
2．方差
如果x1，x2，…，xn的平均数为eq \x\t(x)，则方差可用求和符号表示为s2＝eq \f(1,n)eq \i\su(i＝1,n, )(xi－eq \x\t(x))2.此时，如果a，b为常数，则ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差为a2s2.
3．标准差
方差的算术平方根称为标准差．标准差描述了数据相对于平均数的离散程度，一般用s表示．
s＝eq \r(\f(1,n)[x1－\x\t(x)2＋x2－\x\t(x)2＋…＋xn－\x\t(x)2]).
1．中位数是一组数据中间的数．( × )
2．众数是一组数据中出现次数最多的数．( √ )
3．一组数据的标准差越小，数据越稳定，且稳定在平均数附近．( √ )
4．一组数据10,11,9,8,6,12,4的25%分位数是6.( √ )
一、利用概念求平均数、中位数、百分位数、众数
例1 甲、乙两人在10天中每天加工零件的个数分别为
甲：18 19 20 20 21 22 23 31 31 35
乙：11 17 19 21 22 24 24 30 30 32
则这10天甲的日加工零件的平均数为________；乙的日加工零件的众数与中位数分别为________和________．
答案 24 24与30 23
解析 甲每天加工零件的个数分别为18,19,20,20,21,22,23,31,31,35，
所求平均数为eq \x\t(x)甲＝eq \f(1,10)×(18＋19＋20＋20＋21＋22＋23＋31＋31＋35)＝24.
乙每天加工零件的个数分别为11,17,19,21,22,24,24,30,30,32，故众数为24与30.
中位数为eq \f(1,2)×(22＋24)＝23.
反思感悟 平均数、众数、中位数的计算方法
平均数一般是根据公式来计算的；计算众数、中位数时，可先将这组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，再根据各自的定义计算．
跟踪训练1 十名工人某天生产同一零件，生产的件数是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有( )
A．a>b>c B．c>b>a
C．c>a>b D．b>c>a
答案 B
解析 从小到大排列此数据为10,12,14,14,15,15,16,17,17,17.
平均数为eq \f(1,10)(10＋12＋14×2＋15×2＋16＋17×3)＝14.7；
数据17出现了三次，17为众数；
在第5位、第6位均是15，故15为中位数．
所以这组数据的平均数是14.7，中位数是15，众数是17.
二、极差、方差、标准差的计算及应用
例2 甲、乙两机床同时加工直径为100 mm的零件，为检验质量，各从中抽取6件测量，数据为
甲：99 100 98 100 100 103
乙：99 100 102 99 100 100
(1)分别计算两组数据的平均数及方差；
(2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定．
解 (1)eq \x\t(x)甲＝eq \f(1,6)(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100，
eq \x\t(x)乙＝eq \f(1,6)(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100.
seq \\al(2,甲)＝eq \f(1,6)[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝eq \f(7,3)，
seq \\al(2,乙)＝eq \f(1,6)[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1.
(2)两台机床所加工零件的直径的平均值相同，
又seq \\al(2,甲)>seq \\al(2,乙)，
所以乙机床加工零件的质量更稳定．
延伸探究
在本例中，若甲机床所加工的6个零件的数据全都加10，那么所得新数据的平均数及方差分别是多少？
解 甲的数据为99＋10,100＋10,98＋10,100＋10,100＋10,103＋10，平均数为100＋10＝110，
方差为eq \f(1,6)[(109－110)2＋(110－110)2＋(108－110)2＋(110－110)2＋(110－110)2＋(113－110)2]＝eq \f(7,3).
反思感悟 在实际问题中，仅靠平均数不能完全反映问题，还要研究方差，方差描述了数据相对平均数的离散程度．在平均数相同的情况下，方差越大，离散程度越大，数据波动性越大，稳定性越差；方差越小，数据越集中、越稳定．
跟踪训练2 某班20位女同学平均分为甲、乙两组，她们的劳动技术课考试成绩如下(单位：分)：
甲组：60,90,85,75,65,70,80,90,95,80；
乙组：85,95,75,70,85,80,85,65,90,85.
(1)试分别计算两组数据的极差、方差和标准差；
(2)哪一组的成绩较稳定？
解 (1)甲组：最高分为95分，最低分为60分，极差为95－60＝35(分)，
平均分为eq \x\t(x)甲＝eq \f(1,10)×(60＋90＋85＋75＋65＋70＋80＋90＋95＋80)＝79(分)，
方差为seq \\al(2,甲)＝eq \f(1,10)×[(60－79)2＋(90－79)2＋(85－79)2＋(75－79)2＋(65－79)2＋(70－79)2＋(80－79)2＋(90－79)2＋(95－79)2＋(80－79)2]＝119，
标准差为s甲＝eq \r(s\\al(2,甲))＝eq \r(119)≈10.91(分)．
乙组：最高分为95分，最低分为65分，极差为95－65＝30(分)，
平均分为eq \x\t(x)乙＝eq \f(1,10)×(85＋95＋75＋70＋85＋80＋85＋65＋90＋85)＝81.5(分)，
方差为seq \\al(2,乙)＝eq \f(1,10)×[(85－81.5)2＋(95－81.5)2＋(75－81.5)2＋(70－81.5)2＋(85－81.5)2＋(80－81.5)2＋(85－81.5)2＋(65－81.5)2＋(90－81.5)2＋(85－81.5)2]＝75.25，
标准差为s乙＝eq \r(s\\al(2,乙))＝eq \r(75.25)≈8.67(分)．
(2)由于乙组的方差(标准差)小于甲组的方差(标准差)，因此乙组的成绩较稳定．
从(1)中得到的极差也可得到乙组的成绩比较稳定．
1．2019年某高一学生下学期政治考试成绩为
79 79 84 84 86 84 87 90 90 97
则该生政治考试成绩的平均数和众数依次为( )
A．85 84 B．84 85
C．86 84 D．84 86
答案 C
解析 由题意可知，平均数
eq \x\t(x)＝eq \f(79＋79＋84＋84＋86＋84＋87＋90＋90＋97,10)＝86，
众数为84.
2．某地铁运行过程中，10个车站上车的人数统计如下：70,60,60,50,60,40,40,30,30,10，则这组数据的众数、极差的和为( )
A．120 B．165 C．160 D．150
答案 A
解析 这组数据的众数是60，极差为70－10＝60，它们的和为120.
3．计算eq \i\su(i＝1,3, )(2i＋1)等于( )
A．6 B．9 C．10 D．15
答案 D
解析 eq \i\su(i＝1,3, )(2i＋1)＝(2×1＋1)＋(2×2＋1)＋(2×3＋1)＝3＋5＋7＝15.
4．国家射击队要从甲、乙、丙、丁四名队员中选出一名选手去参加射击比赛，四人的平均成绩和方差如下表：
则应派________参赛最为合适．
答案 丙
解析 由表可知，丙的平均成绩较高，且发挥比较稳定，应派丙去参赛最合适．
5．样本中共有5个个体，其值分别为a,0,1,2,3，若该样本的平均数为1，则样本方差为________．
答案 2
解析 由题意知eq \f(1,5)(a＋0＋1＋2＋3)＝1，解得a＝－1.
所以样本方差为s2＝eq \f(1,5)[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2.
1．知识清单：
(1)数据的数字特征的计算方法．
(2)数据的数字特征的应用．
2．常见误区：
(1)数据同时增加或减少相同的数，平均数变化，方差不变．
(2)方差、标准差的计算．
1．(多选)下列说法中，正确的是( )
A．数据2,4,6,8的中位数是4,6
B．数据1,2,2,3,4,4的众数是2,4
C．一组数据的平均数、众数、中位数有可能是同一个数据
D．8个数据的平均数为5，另3个数据的平均数为7，则这11个数据的平均数是eq \f(8×5＋7×3,11)
答案 BCD
解析 数据2,4,6,8的中位数为eq \f(4＋6,2)＝5，显然A是错误的，B，C，D都是正确的．
2．下列关于50%分位数的说法正确的是( )
A．50%分位数不是中位数
B．总体数据中的任意一个数小于它的可能性一定是50%
C．它一定不小于25%分位数
D．一定是数据中的某个数
答案 C
解析 由百分位数的意义可知选项A，B，D错误．
3．某校为了解学生的课外阅读情况，随机抽取了一个班级的学生，对他们一周的读书时间进行了统计，统计数据如下表所示：
则该班学生一周读书时间的平均数、众数、40%分位数分别是( )
A．9,8,8.5 B．9,8,8
C．9.5,9,8 D．9,8,9
答案 A
解析 该班学生一周读书时间的平均数为
eq \f(6×7＋10×8＋9×9＋8×10＋7×11,6＋10＋9＋8＋7)＝9，
众数为8.
因为该班共有学生40人，40×40%＝16，
所以该班学生一周读书时间的40%分位数为eq \f(8＋9,2)＝8.5.
4．若一组数据a,3,5,7的平均数是b，且a，b是方程x2－5x＋4＝0的两根，则这组数据的方差是( )
A．3 B．4 C．5 D．6
答案 C
解析 x2－5x＋4＝0的两根是1,4.当a＝1时，a,3,5,7的平均数是4；当a＝4时，a,3,5,7的平均数不是1.所以a＝1，b＝4，则方差为s2＝eq \f(1,4)×[(1－4)2＋(3－4)2＋(5－4)2＋(7－4)2]＝5.
5．有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶7次，每次命中的环数如下：
甲：7 8 10 9 8 8 6
乙：9 10 7 8 7 7 8
则下列判断正确的是( )
A．甲射击的平均成绩比乙好
B．甲射击的成绩的众数小于乙射击的成绩的众数
C．乙射击的平均成绩比甲好
D．甲射击的成绩的极差大于乙射击的成绩的极差
答案 D
解析 甲命中的环数的平均数为
eq \x\t(x甲)＝eq \f(1,7)(7＋8＋10＋9＋8＋8＋6)＝8，
乙命中的环数的平均数为
eq \x\t(x乙)＝eq \f(1,7)(9＋10＋7＋8＋7＋7＋8)＝8，
所以甲、乙射击的平均成绩相等，故A，C均错误；甲射击的成绩的众数是8，乙射击的成绩的众数是7，所以甲射击的成绩的众数大于乙射击的成绩的众数，故B错误；甲射击的成绩的极差为10－6＝4，乙射击的成绩的极差为10－7＝3，所以甲射击的成绩的极差大于乙射击的成绩的极差，故选D.
6．若五个数1,2,3,4，a的平均数是3，则a＝________，这五个数的标准差是________．
答案 5 eq \r(2)
解析 由eq \f(1＋2＋3＋4＋a,5)＝3，得a＝5，
由s2＝eq \f(1,5)[(1－3)2＋(2－3)2＋(3－3)2＋(4－3)2＋(5－3)2]＝2，得标准差s＝eq \r(2).
7．数据8,12,15,18,21,23,23,23,28,33,34,35的80%分位数是________．
答案 33
解析 这组数据有12个数，因为12×80%＝9.6，所以这组数据的80%分位数是x10＝33.
8．某校高一年级开设了丰富多彩的校本课程，现从甲、乙两个班随机抽取了5名学生校本课程的学分，统计如下表：
用seq \\al(2,1)，seq \\al(2,2)分别表示甲、乙两班抽取的5名学生学分的方差，则seq \\al(2,1)＝__________，seq \\al(2,2)＝__________，并由此可判断成绩更稳定的班级是__________班．
答案 22 62 甲
解析 根据表中数据，计算甲班的平均数为
eq \x\t(x1)＝eq \f(1,5)×(8＋11＋14＋15＋22)＝14，
乙班的平均数为eq \x\t(x2)＝eq \f(1,5)×(6＋7＋10＋23＋24)＝14；
甲班的方差为seq \\al(2,1)＝eq \f(1,5)×[(8－14)2＋(11－14)2＋(14－14)2＋(15－14)2＋(22－14)2]＝22，
乙班的方差为seq \\al(2,2)＝eq \f(1,5)×[(6－14)2＋(7－14)2＋(10－14)2＋(23－14)2＋(24－14)2]＝62，
所以seq \\al(2,1)9．为了了解市民的环保意识，某校高一(1)班50名学生在6月5日(世界环境日)这一天调查了各自家庭丢弃旧塑料袋的情况，有关数据如下表：
(1)求这50户居民每天丢弃旧塑料袋的平均数、众数和中位数；
(2)求这50户居民每天丢弃旧塑料袋的标准差．
解 (1)平均数eq \x\t(x)＝eq \f(1,50)×(2×6＋3×16＋4×15＋5×13)＝eq \f(185,50)＝3.7.
众数是3，中位数是4.
(2)这50户居民每天丢弃旧塑料袋的方差为
s2＝eq \f(1,50)×[6×(2－3.7)2＋16×(3－3.7)2＋15×(4－3.7)2＋13×(5－3.7)2]＝eq \f(1,50)×48.5＝0.97.
所以标准差s≈0.985.
10．在一次科技知识竞赛中，两组学生的成绩如下表：
已经计算得到两个组成绩的平均数都是80.请根据你所学过的统计知识，进一步判断这两个组在这次竞赛中的成绩谁优谁劣，并说明理由．
解 (1)甲组成绩的众数为90，乙组成绩的众数为70，从成绩的众数比较看，甲组的成绩好一些．
(2)seq \\al(2,甲)＝eq \f(1,2＋5＋10＋13＋14＋6)×[2×(50－80)2＋5×(60－80)2＋10×(70－80)2＋13×(80－80)2＋14×(90－80)2＋6×(100－80)2]＝172，
seq \\al(2,乙)＝eq \f(1,4＋4＋16＋2＋12＋12)×[4×(50－80)2＋4×(60－80)2＋16×(70－80)2＋2×(80－80)2＋12×(90－80)2＋12×(100－80)2]＝256.
∵seq \\al(2,甲)∴甲组的成绩比乙组的成绩稳定，故甲组好些．
(3)甲、乙两组成绩的中位数、平均数都是80.其中，甲组成绩在80分以上(包括80分)的有33人，乙组成绩在80分以上(包括80分)的有26人，从这一角度来看，甲组的成绩总体较好．
(4)从成绩统计表来看，甲组的成绩大于等于90分的有20人，乙组的成绩大于等于90分的有24人，∴乙组成绩集中在高分段的人数比甲组多．同时乙组得满分的比甲组得满分的多6人．从这一角度来看，乙组的成绩较好．
11．在一次歌手大奖赛上，七位评委为某歌手打出的分数如下：9.4,8.4,9.4,9.9,9.6,9.4,9.7.去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为( )
A．9.4,0.484 B．9.4,0.016
C．9.5,0.04 D．9.5,0.016
答案 D
解析 去掉最高分9.9和最低分8.4，余下的数为9.4，9.4，9.6,9.4,9.7，
其平均数eq \x\t(x)＝eq \f(3×9.4＋9.6＋9.7,5)＝9.5，
s2＝eq \f(1,5)×(0.12＋0.12＋0.12＋0.12＋0.22)＝0.016.
12．某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为x，y,10,11,9，(x，y∈N)，已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x－y|的值为( )
A．4 B．3 C．2 D．1
答案 A
解析 由这组数据的平均数为10，方差为2可得x＋y＝20，(x－10)2＋(y－10)2＝8，因为不要直接求出x，y，只要求出|x－y|，设x＝10＋t，y＝10－t，由(x－10)2＋(y－10)2＝8得t2＝4；所以|x－y|＝2|t|＝4.
13．一组数据的平均数是4.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是( )
A．55.2,3.6 B．55.2,56.4
C．64.8,63.6 D．64.8,3.6
答案 D
解析 设这组数据分别为x1，x2，…，xn，
由其平均数为4.8，方差是3.6，则有
eq \x\t(x1)＝eq \f(1,n)(x1＋x2＋…＋xn)＝4.8，
方差seq \\al(2,1)＝eq \f(1,n)[(x1－eq \x\t(x))2＋(x2－eq \x\t(x))2＋…＋(xn－eq \x\t(x))2]＝3.6，
若将这组数据中每一个数据都加上60，则数据为x1＋60，x2＋60，…，xn＋60，
则其平均数为eq \x\t(x1)＝eq \f(1,n)[(x1＋60)＋(x2＋60)＋…＋(xn＋60)]＝64.8，
方差为seq \\al(2,2)＝eq \f(1,n)[(x1＋60－64.8)2＋(x2＋60－64.8)2＋…＋(xn＋60－64.8)2]＝3.6，
故选D.
14．已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是3，方差是eq \f(1,2)，那么另一组数据2x1－1,2x2－1,2x3－1,2x4－1,2x5－1的平均数、方差分别是( )
A．5,2 B．3，eq \f(1,2) C．5，eq \f(1,2) D．3,2
答案 A
解析 因为数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是3，方差是eq \f(1,2)，所以eq \x\t(x)＝3，eq \f(1,5)eq \i\su(i＝1,5, )(xi－3)2＝eq \f(1,2)，
因此数据2x1－1,2x2－1,2x3－1,2x4－1,2x5－1的平均数为eq \f(1,5)eq \i\su(i＝1,5, )(2xi－1)＝2×eq \f(1,5)eq \i\su(i＝1,5,x)i－1＝5，
方差为eq \f(1,5)eq \i\su(i＝1,5, )(2xi－1－5)2＝eq \f(1,5)eq \i\su(i＝1,5, )(2xi－6)2＝4×eq \f(1,5)eq \i\su(i＝1,5, )(xi－3)2＝4×eq \f(1,2)＝2.
15．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”．根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是( )
A．甲地：总体平均数为3，中位数为4
B．乙地：总体平均数为1，总体方差大于0
C．丙地：中位数为2，众数为3
D．丁地：总体平均数为2，总体方差为3
答案 D
解析 根据信息可知，连续10天内，每天的新增疑似病例数不能有超过7的数，选项A中，中位数为4，可能存在大于7的数；同理，在选项C中也有可能；选项B中的总体方差大于0，叙述不明确，也有可能存在大于7的数；选项D中，根据方差公式，如果有大于7的数存在，那么方差不会为3，故选D.
16．某校甲班、乙班各有49名学生，两班在一次数学测验中的成绩(满分100分)统计如下表：
(1)请你对下面的一段话给予简要分析：
甲班的小刚回家对妈妈说：“昨天的数学测验，全班平均79分，得70分的人最多，我得了85分，在班里算是上游了！”
(2)请你根据表中数据，对这两个班的测验情况进行简要分析，并提出教学建议．
解 (1)由中位数可知，85分排在第25名之后，从名次上讲，85分不算是上游，但也不能单以名次来判断学习成绩的好坏，小刚得了85分，说明他对这阶段的学习内容掌握较好．
(2)甲班学生成绩的中位数为87分，说明高于或等于87分的学生占一半以上，而平均分为79分，说明两极分化严重，建议对学习有困难的同学多给一些帮助；
乙班学生成绩的中位数和平均分均为79分，说明学生成绩之间差别较小，成绩很差的学生少，但成绩优异的学生也很少，建议采取措施提高优秀率．甲
乙
丙
丁
平均成绩eq \x\t(x)
8.5
8.8
8.8
8
方差s2
3.5
3.5
2.1
8.7
读书时间(小时)
7
8
9
10
11
学生人数
6
10
9
8
7
甲
8
11
14
15
22
乙
6
7
10
23
24
每天丢弃旧塑料袋个数
2
3
4
5
户数
6
16
15
13
分数(分)
50
60
70
80
90
100
人数(人)
甲组
2
5
10
13
14
6
乙组
4
4
16
2
12
12
班级
平均分
众数
中位数
甲班
79
70
87
乙班
79
70
79
知识点一 最值、平均数、中位数、百分位数、众数
1．一组数据的最值指的是其中的最大值与最小值，最值反映的是这组数最极端的情况．一般地，最大值用max表示，最小值用min表示．
2．平均数
如果给定的一组数是x1，x2，…，xn，则这组数的平均数为eq \x\t(x)＝eq \f(x1＋x2＋…＋xn,n)，简记为eq \x\t(x)＝eq \f(1,n)eq \i\su(i＝1,n,x)i.
如果x1，x2，…，xn的平均数为eq \x\t(x)，且a，b为常数，则ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的平均数为aeq \x\t(x)＋b.
3．中位数
如果一组数有奇数个数，且按照从小到大排列后为x1，x2，…，x2n＋1，则称xn＋1为这组数的中位数；如果一组数有偶数个数，且按照从小到大排列后为x1，x2，…，x2n，则称eq \f(xn＋xn＋1,2)为这组数的中位数．
4．百分位数
设一组数按照从小到大排列后为x1，x2，…，xn，计算i＝np%的值，如果i不是整数，设i0为大于i的最小整数，取xi0为p%分位数；如果i是整数，取eq \f(xi＋xi＋1,2)为p%分位数．特别地，规定：0分位数是x1(即最小值)，100%分位数是xn(即最大值)．
5．众数
一组数据中，某个数据出现的次数称为这个数据的频数，出现次数最多的数据称为这组数据的众数，一组数据的众数可以是一个，也可以是多个．
知识点二 极差、方差与标准差
1．极差
一组数据中最大值减去最小值所得的差称为这组数据的极差．
2．方差
如果x1，x2，…，xn的平均数为eq \x\t(x)，则方差可用求和符号表示为s2＝eq \f(1,n)eq \i\su(i＝1,n, )(xi－eq \x\t(x))2.此时，如果a，b为常数，则ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差为a2s2.
3．标准差
方差的算术平方根称为标准差．标准差描述了数据相对于平均数的离散程度，一般用s表示．
s＝eq \r(\f(1,n)[x1－\x\t(x)2＋x2－\x\t(x)2＋…＋xn－\x\t(x)2]).
1．中位数是一组数据中间的数．( × )
2．众数是一组数据中出现次数最多的数．( √ )
3．一组数据的标准差越小，数据越稳定，且稳定在平均数附近．( √ )
4．一组数据10,11,9,8,6,12,4的25%分位数是6.( √ )
一、利用概念求平均数、中位数、百分位数、众数
例1 甲、乙两人在10天中每天加工零件的个数分别为
甲：18 19 20 20 21 22 23 31 31 35
乙：11 17 19 21 22 24 24 30 30 32
则这10天甲的日加工零件的平均数为________；乙的日加工零件的众数与中位数分别为________和________．
答案 24 24与30 23
解析 甲每天加工零件的个数分别为18,19,20,20,21,22,23,31,31,35，
所求平均数为eq \x\t(x)甲＝eq \f(1,10)×(18＋19＋20＋20＋21＋22＋23＋31＋31＋35)＝24.
乙每天加工零件的个数分别为11,17,19,21,22,24,24,30,30,32，故众数为24与30.
中位数为eq \f(1,2)×(22＋24)＝23.
反思感悟 平均数、众数、中位数的计算方法
平均数一般是根据公式来计算的；计算众数、中位数时，可先将这组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，再根据各自的定义计算．
跟踪训练1 十名工人某天生产同一零件，生产的件数是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有( )
A．a>b>c B．c>b>a
C．c>a>b D．b>c>a
答案 B
解析 从小到大排列此数据为10,12,14,14,15,15,16,17,17,17.
平均数为eq \f(1,10)(10＋12＋14×2＋15×2＋16＋17×3)＝14.7；
数据17出现了三次，17为众数；
在第5位、第6位均是15，故15为中位数．
所以这组数据的平均数是14.7，中位数是15，众数是17.
二、极差、方差、标准差的计算及应用
例2 甲、乙两机床同时加工直径为100 mm的零件，为检验质量，各从中抽取6件测量，数据为
甲：99 100 98 100 100 103
乙：99 100 102 99 100 100
(1)分别计算两组数据的平均数及方差；
(2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定．
解 (1)eq \x\t(x)甲＝eq \f(1,6)(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100，
eq \x\t(x)乙＝eq \f(1,6)(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100.
seq \\al(2,甲)＝eq \f(1,6)[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝eq \f(7,3)，
seq \\al(2,乙)＝eq \f(1,6)[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1.
(2)两台机床所加工零件的直径的平均值相同，
又seq \\al(2,甲)>seq \\al(2,乙)，
所以乙机床加工零件的质量更稳定．
延伸探究
在本例中，若甲机床所加工的6个零件的数据全都加10，那么所得新数据的平均数及方差分别是多少？
解 甲的数据为99＋10,100＋10,98＋10,100＋10,100＋10,103＋10，平均数为100＋10＝110，
方差为eq \f(1,6)[(109－110)2＋(110－110)2＋(108－110)2＋(110－110)2＋(110－110)2＋(113－110)2]＝eq \f(7,3).
反思感悟 在实际问题中，仅靠平均数不能完全反映问题，还要研究方差，方差描述了数据相对平均数的离散程度．在平均数相同的情况下，方差越大，离散程度越大，数据波动性越大，稳定性越差；方差越小，数据越集中、越稳定．
跟踪训练2 某班20位女同学平均分为甲、乙两组，她们的劳动技术课考试成绩如下(单位：分)：
甲组：60,90,85,75,65,70,80,90,95,80；
乙组：85,95,75,70,85,80,85,65,90,85.
(1)试分别计算两组数据的极差、方差和标准差；
(2)哪一组的成绩较稳定？
解 (1)甲组：最高分为95分，最低分为60分，极差为95－60＝35(分)，
平均分为eq \x\t(x)甲＝eq \f(1,10)×(60＋90＋85＋75＋65＋70＋80＋90＋95＋80)＝79(分)，
方差为seq \\al(2,甲)＝eq \f(1,10)×[(60－79)2＋(90－79)2＋(85－79)2＋(75－79)2＋(65－79)2＋(70－79)2＋(80－79)2＋(90－79)2＋(95－79)2＋(80－79)2]＝119，
标准差为s甲＝eq \r(s\\al(2,甲))＝eq \r(119)≈10.91(分)．
乙组：最高分为95分，最低分为65分，极差为95－65＝30(分)，
平均分为eq \x\t(x)乙＝eq \f(1,10)×(85＋95＋75＋70＋85＋80＋85＋65＋90＋85)＝81.5(分)，
方差为seq \\al(2,乙)＝eq \f(1,10)×[(85－81.5)2＋(95－81.5)2＋(75－81.5)2＋(70－81.5)2＋(85－81.5)2＋(80－81.5)2＋(85－81.5)2＋(65－81.5)2＋(90－81.5)2＋(85－81.5)2]＝75.25，
标准差为s乙＝eq \r(s\\al(2,乙))＝eq \r(75.25)≈8.67(分)．
(2)由于乙组的方差(标准差)小于甲组的方差(标准差)，因此乙组的成绩较稳定．
从(1)中得到的极差也可得到乙组的成绩比较稳定．
1．2019年某高一学生下学期政治考试成绩为
79 79 84 84 86 84 87 90 90 97
则该生政治考试成绩的平均数和众数依次为( )
A．85 84 B．84 85
C．86 84 D．84 86
答案 C
解析 由题意可知，平均数
eq \x\t(x)＝eq \f(79＋79＋84＋84＋86＋84＋87＋90＋90＋97,10)＝86，
众数为84.
2．某地铁运行过程中，10个车站上车的人数统计如下：70,60,60,50,60,40,40,30,30,10，则这组数据的众数、极差的和为( )
A．120 B．165 C．160 D．150
答案 A
解析 这组数据的众数是60，极差为70－10＝60，它们的和为120.
3．计算eq \i\su(i＝1,3, )(2i＋1)等于( )
A．6 B．9 C．10 D．15
答案 D
解析 eq \i\su(i＝1,3, )(2i＋1)＝(2×1＋1)＋(2×2＋1)＋(2×3＋1)＝3＋5＋7＝15.
4．国家射击队要从甲、乙、丙、丁四名队员中选出一名选手去参加射击比赛，四人的平均成绩和方差如下表：
则应派________参赛最为合适．
答案 丙
解析 由表可知，丙的平均成绩较高，且发挥比较稳定，应派丙去参赛最合适．
5．样本中共有5个个体，其值分别为a,0,1,2,3，若该样本的平均数为1，则样本方差为________．
答案 2
解析 由题意知eq \f(1,5)(a＋0＋1＋2＋3)＝1，解得a＝－1.
所以样本方差为s2＝eq \f(1,5)[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2.
1．知识清单：
(1)数据的数字特征的计算方法．
(2)数据的数字特征的应用．
2．常见误区：
(1)数据同时增加或减少相同的数，平均数变化，方差不变．
(2)方差、标准差的计算．
1．(多选)下列说法中，正确的是( )
A．数据2,4,6,8的中位数是4,6
B．数据1,2,2,3,4,4的众数是2,4
C．一组数据的平均数、众数、中位数有可能是同一个数据
D．8个数据的平均数为5，另3个数据的平均数为7，则这11个数据的平均数是eq \f(8×5＋7×3,11)
答案 BCD
解析 数据2,4,6,8的中位数为eq \f(4＋6,2)＝5，显然A是错误的，B，C，D都是正确的．
2．下列关于50%分位数的说法正确的是( )
A．50%分位数不是中位数
B．总体数据中的任意一个数小于它的可能性一定是50%
C．它一定不小于25%分位数
D．一定是数据中的某个数
答案 C
解析 由百分位数的意义可知选项A，B，D错误．
3．某校为了解学生的课外阅读情况，随机抽取了一个班级的学生，对他们一周的读书时间进行了统计，统计数据如下表所示：
则该班学生一周读书时间的平均数、众数、40%分位数分别是( )
A．9,8,8.5 B．9,8,8
C．9.5,9,8 D．9,8,9
答案 A
解析 该班学生一周读书时间的平均数为
eq \f(6×7＋10×8＋9×9＋8×10＋7×11,6＋10＋9＋8＋7)＝9，
众数为8.
因为该班共有学生40人，40×40%＝16，
所以该班学生一周读书时间的40%分位数为eq \f(8＋9,2)＝8.5.
4．若一组数据a,3,5,7的平均数是b，且a，b是方程x2－5x＋4＝0的两根，则这组数据的方差是( )
A．3 B．4 C．5 D．6
答案 C
解析 x2－5x＋4＝0的两根是1,4.当a＝1时，a,3,5,7的平均数是4；当a＝4时，a,3,5,7的平均数不是1.所以a＝1，b＝4，则方差为s2＝eq \f(1,4)×[(1－4)2＋(3－4)2＋(5－4)2＋(7－4)2]＝5.
5．有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶7次，每次命中的环数如下：
甲：7 8 10 9 8 8 6
乙：9 10 7 8 7 7 8
则下列判断正确的是( )
A．甲射击的平均成绩比乙好
B．甲射击的成绩的众数小于乙射击的成绩的众数
C．乙射击的平均成绩比甲好
D．甲射击的成绩的极差大于乙射击的成绩的极差
答案 D
解析 甲命中的环数的平均数为
eq \x\t(x甲)＝eq \f(1,7)(7＋8＋10＋9＋8＋8＋6)＝8，
乙命中的环数的平均数为
eq \x\t(x乙)＝eq \f(1,7)(9＋10＋7＋8＋7＋7＋8)＝8，
所以甲、乙射击的平均成绩相等，故A，C均错误；甲射击的成绩的众数是8，乙射击的成绩的众数是7，所以甲射击的成绩的众数大于乙射击的成绩的众数，故B错误；甲射击的成绩的极差为10－6＝4，乙射击的成绩的极差为10－7＝3，所以甲射击的成绩的极差大于乙射击的成绩的极差，故选D.
6．若五个数1,2,3,4，a的平均数是3，则a＝________，这五个数的标准差是________．
答案 5 eq \r(2)
解析 由eq \f(1＋2＋3＋4＋a,5)＝3，得a＝5，
由s2＝eq \f(1,5)[(1－3)2＋(2－3)2＋(3－3)2＋(4－3)2＋(5－3)2]＝2，得标准差s＝eq \r(2).
7．数据8,12,15,18,21,23,23,23,28,33,34,35的80%分位数是________．
答案 33
解析 这组数据有12个数，因为12×80%＝9.6，所以这组数据的80%分位数是x10＝33.
8．某校高一年级开设了丰富多彩的校本课程，现从甲、乙两个班随机抽取了5名学生校本课程的学分，统计如下表：
用seq \\al(2,1)，seq \\al(2,2)分别表示甲、乙两班抽取的5名学生学分的方差，则seq \\al(2,1)＝__________，seq \\al(2,2)＝__________，并由此可判断成绩更稳定的班级是__________班．
答案 22 62 甲
解析 根据表中数据，计算甲班的平均数为
eq \x\t(x1)＝eq \f(1,5)×(8＋11＋14＋15＋22)＝14，
乙班的平均数为eq \x\t(x2)＝eq \f(1,5)×(6＋7＋10＋23＋24)＝14；
甲班的方差为seq \\al(2,1)＝eq \f(1,5)×[(8－14)2＋(11－14)2＋(14－14)2＋(15－14)2＋(22－14)2]＝22，
乙班的方差为seq \\al(2,2)＝eq \f(1,5)×[(6－14)2＋(7－14)2＋(10－14)2＋(23－14)2＋(24－14)2]＝62，
所以seq \\al(2,1)
(1)求这50户居民每天丢弃旧塑料袋的平均数、众数和中位数；
(2)求这50户居民每天丢弃旧塑料袋的标准差．
解 (1)平均数eq \x\t(x)＝eq \f(1,50)×(2×6＋3×16＋4×15＋5×13)＝eq \f(185,50)＝3.7.
众数是3，中位数是4.
(2)这50户居民每天丢弃旧塑料袋的方差为
s2＝eq \f(1,50)×[6×(2－3.7)2＋16×(3－3.7)2＋15×(4－3.7)2＋13×(5－3.7)2]＝eq \f(1,50)×48.5＝0.97.
所以标准差s≈0.985.
10．在一次科技知识竞赛中，两组学生的成绩如下表：
已经计算得到两个组成绩的平均数都是80.请根据你所学过的统计知识，进一步判断这两个组在这次竞赛中的成绩谁优谁劣，并说明理由．
解 (1)甲组成绩的众数为90，乙组成绩的众数为70，从成绩的众数比较看，甲组的成绩好一些．
(2)seq \\al(2,甲)＝eq \f(1,2＋5＋10＋13＋14＋6)×[2×(50－80)2＋5×(60－80)2＋10×(70－80)2＋13×(80－80)2＋14×(90－80)2＋6×(100－80)2]＝172，
seq \\al(2,乙)＝eq \f(1,4＋4＋16＋2＋12＋12)×[4×(50－80)2＋4×(60－80)2＋16×(70－80)2＋2×(80－80)2＋12×(90－80)2＋12×(100－80)2]＝256.
∵seq \\al(2,甲)
(3)甲、乙两组成绩的中位数、平均数都是80.其中，甲组成绩在80分以上(包括80分)的有33人，乙组成绩在80分以上(包括80分)的有26人，从这一角度来看，甲组的成绩总体较好．
(4)从成绩统计表来看，甲组的成绩大于等于90分的有20人，乙组的成绩大于等于90分的有24人，∴乙组成绩集中在高分段的人数比甲组多．同时乙组得满分的比甲组得满分的多6人．从这一角度来看，乙组的成绩较好．
11．在一次歌手大奖赛上，七位评委为某歌手打出的分数如下：9.4,8.4,9.4,9.9,9.6,9.4,9.7.去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为( )
A．9.4,0.484 B．9.4,0.016
C．9.5,0.04 D．9.5,0.016
答案 D
解析 去掉最高分9.9和最低分8.4，余下的数为9.4，9.4，9.6,9.4,9.7，
其平均数eq \x\t(x)＝eq \f(3×9.4＋9.6＋9.7,5)＝9.5，
s2＝eq \f(1,5)×(0.12＋0.12＋0.12＋0.12＋0.22)＝0.016.
12．某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为x，y,10,11,9，(x，y∈N)，已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x－y|的值为( )
A．4 B．3 C．2 D．1
答案 A
解析 由这组数据的平均数为10，方差为2可得x＋y＝20，(x－10)2＋(y－10)2＝8，因为不要直接求出x，y，只要求出|x－y|，设x＝10＋t，y＝10－t，由(x－10)2＋(y－10)2＝8得t2＝4；所以|x－y|＝2|t|＝4.
13．一组数据的平均数是4.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是( )
A．55.2,3.6 B．55.2,56.4
C．64.8,63.6 D．64.8,3.6
答案 D
解析 设这组数据分别为x1，x2，…，xn，
由其平均数为4.8，方差是3.6，则有
eq \x\t(x1)＝eq \f(1,n)(x1＋x2＋…＋xn)＝4.8，
方差seq \\al(2,1)＝eq \f(1,n)[(x1－eq \x\t(x))2＋(x2－eq \x\t(x))2＋…＋(xn－eq \x\t(x))2]＝3.6，
若将这组数据中每一个数据都加上60，则数据为x1＋60，x2＋60，…，xn＋60，
则其平均数为eq \x\t(x1)＝eq \f(1,n)[(x1＋60)＋(x2＋60)＋…＋(xn＋60)]＝64.8，
方差为seq \\al(2,2)＝eq \f(1,n)[(x1＋60－64.8)2＋(x2＋60－64.8)2＋…＋(xn＋60－64.8)2]＝3.6，
故选D.
14．已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是3，方差是eq \f(1,2)，那么另一组数据2x1－1,2x2－1,2x3－1,2x4－1,2x5－1的平均数、方差分别是( )
A．5,2 B．3，eq \f(1,2) C．5，eq \f(1,2) D．3,2
答案 A
解析 因为数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是3，方差是eq \f(1,2)，所以eq \x\t(x)＝3，eq \f(1,5)eq \i\su(i＝1,5, )(xi－3)2＝eq \f(1,2)，
因此数据2x1－1,2x2－1,2x3－1,2x4－1,2x5－1的平均数为eq \f(1,5)eq \i\su(i＝1,5, )(2xi－1)＝2×eq \f(1,5)eq \i\su(i＝1,5,x)i－1＝5，
方差为eq \f(1,5)eq \i\su(i＝1,5, )(2xi－1－5)2＝eq \f(1,5)eq \i\su(i＝1,5, )(2xi－6)2＝4×eq \f(1,5)eq \i\su(i＝1,5, )(xi－3)2＝4×eq \f(1,2)＝2.
15．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”．根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是( )
A．甲地：总体平均数为3，中位数为4
B．乙地：总体平均数为1，总体方差大于0
C．丙地：中位数为2，众数为3
D．丁地：总体平均数为2，总体方差为3
答案 D
解析 根据信息可知，连续10天内，每天的新增疑似病例数不能有超过7的数，选项A中，中位数为4，可能存在大于7的数；同理，在选项C中也有可能；选项B中的总体方差大于0，叙述不明确，也有可能存在大于7的数；选项D中，根据方差公式，如果有大于7的数存在，那么方差不会为3，故选D.
16．某校甲班、乙班各有49名学生，两班在一次数学测验中的成绩(满分100分)统计如下表：
(1)请你对下面的一段话给予简要分析：
甲班的小刚回家对妈妈说：“昨天的数学测验，全班平均79分，得70分的人最多，我得了85分，在班里算是上游了！”
(2)请你根据表中数据，对这两个班的测验情况进行简要分析，并提出教学建议．
解 (1)由中位数可知，85分排在第25名之后，从名次上讲，85分不算是上游，但也不能单以名次来判断学习成绩的好坏，小刚得了85分，说明他对这阶段的学习内容掌握较好．
(2)甲班学生成绩的中位数为87分，说明高于或等于87分的学生占一半以上，而平均分为79分，说明两极分化严重，建议对学习有困难的同学多给一些帮助；
乙班学生成绩的中位数和平均分均为79分，说明学生成绩之间差别较小，成绩很差的学生少，但成绩优异的学生也很少，建议采取措施提高优秀率．甲
乙
丙
丁
平均成绩eq \x\t(x)
8.5
8.8
8.8
8
方差s2
3.5
3.5
2.1
8.7
读书时间(小时)
7
8
9
10
11
学生人数
6
10
9
8
7
甲
8
11
14
15
22
乙
6
7
10
23
24
每天丢弃旧塑料袋个数
2
3
4
5
户数
6
16
15
13
分数(分)
50
60
70
80
90
100
人数(人)
甲组
2
5
10
13
14
6
乙组
4
4
16
2
12
12
班级
平均分
众数
中位数
甲班
79
70
87
乙班
79
70
79
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