人教B版 (2019)必修 第三册7.1.1 角的推广学案设计

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周日早晨，小明起床后发现自己的闹钟指针停在5：00这一时刻，他立即更换了电池，调整到了正常时间6：30，并开始正常的学习．
问题 小明在调整闹钟时间时，时针与分针各转过了多少度？
[提示] 时针转了－45°，分针转了－540°．
知识点1 角的概念
(1)角：一条射线绕其端点旋转到另一条射线所形成的图形称为角，这两条射线分别称为角的始边和终边．由于是旋转生成的，也称为转角．
(2)角的分类
按旋转方向可将角分为如下三类：
1．(1)正角、负角、零角是根据什么区分的？
(2)如果一个角的终边与其始边重合，这个角一定是零角吗？为什么？
[提示] (1)角的分类是根据组成角的射线的旋转方向确定的．
(2)不一定，零角的终边与始边重合，但终边与始边重合的角不一定是零角，如360°，－360°等，角的大小不是根据始边、终边的位置，而是根据射线的旋转．
1．思考辨析(对的打“√”，错的打“×”)
(1)经过1小时，时针转过30°．( )
(2)终边与始边重合的角是零角．( )
(3)小于90°的角是锐角．( )
[提示] (1)×．因为是顺时针旋转，所以时针转过－30°．
(2)×．终边与始边重合的角是k·360°(k∈Z)．
(3)×．锐角是指大于0°且小于90°的角．
[答案] (1)× (2)× (3)×
知识点2 角的加减法运算的几何意义
α＋β表示在角α的基础上，逆时针旋转β角度；α－β表示在角α的基础上，顺时针旋转β角度．
2．用几何意义表示角的加减运算时，按逆时针、顺时针旋转的是角的哪条边？
[提示] 在表示α±β时第二次旋转的是角α的终边．
2．将35°角的终边按顺时针方向旋转60°所得的角度数为________，将35°角的终边按逆时针方向旋转一周后的角度数为________．
[答案] －25° 395°
知识点3 象限角
角的顶点与坐标原点重合，角的始边落在x轴的正半轴上．这时，角的终边在第几象限，就把这个角称为第几象限角．如果终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限．
3．把一个角放在平面直角坐标系中时，这个角是否一定就是某一个象限的角？请说明原因．
[提示] 不一定．当角的顶点与原点重合，角的始边在x轴的正半轴上时，若角的终边在哪个象限，则该角为该象限角；当角的终边在坐标轴上时，则该角不属于任何象限．
3．下列说法：
①第一象限角一定不是负角；
②第二象限角大于第一象限角；
③第二象限角是钝角；
④小于180°的角是钝角、直角或锐角．
其中错误的序号为________．(把错误的序号都写上)
①②③④ [由象限角定义可知①②③④都不正确．]
知识点4 终边相同的角
所有与α终边相同的角组成一个集合，这个集合可记为S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．即集合S的每一个元素的终边都与α的终边相同，k＝0时对应元素为α．
4．与610°角终边相同的角可以表示为(其中k∈Z)( )
A．k·360°＋230° B．k·360°＋250°
C．k·360°＋70° D．k·180°＋270°
B [因为610°＝360°＋250°，故选B．]
类型1 任意角的概念
【例1】 (1)下列说法正确的是( )
A．终边相同的角一定相等
B．钟表的时针旋转而成的角是负角
C．终边相同的角之间相差180°的整数倍
D．大于90°的角都是钝角
(2)小明步行从家里到学校去上学，一般需要10分钟，则10分钟内，钟表的分针走过的角度是( )
A．30° B．－30°
C．60°D．－60°
(1)B (2)D [(1)终边相同的角不一定相等，可能相隔k·360°(k∈Z)，A错；钟表的时针是顺时针旋转，故是负角，所以B对；终边相同的角之间相差360°的整数倍，C错；200°>90°，但200°不是钝角，D错．
(2)利用定义，分针是顺时针走的，形成的角度是负角，又周角为360°，所以有－eq \f(360°,60)×10＝－60°，即分针走过的角度是－60°．]
1．理解角的概念的三个“明确”
2．判断角的概念型问题的关键与技巧
(1)关键：正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念．
常见角α的范围：锐角0°<α<90°，钝角90°<α<180°，直角90°，平角180°，周角360°．
(2)技巧：判断一种说法正确需要证明，而判断一种说法错误只要举出反例即可．
提醒：解答概念辨析题，一是利用反例排除错误答案，只需举一个反例即可，二是利用定义直接判断．
eq \([跟进训练])
1．(1)已知集合A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，则下面关系正确的是( )
A．A＝B＝C B．A⊆C
C．(A∩C)＝BD．(B∪C)⊆C
(2)将时钟拨快20分钟，则分针转过的度数是________．
(1)D (2)－120° [(1)第一象限角可表示为k·360°<α(2)由于顺时针旋转，分针每分钟转－6°，所以20分钟转了－120°．]
类型2 终边相同的角的表示及应用
【例2】 (对接教材P6例2改编)已知角的集合S＝{α|α＝k·90°＋45°，k∈Z}．
(1)有几种终边不相同的角；
(2)在集合S中有几个在－360°～360°范围内的角．
[解] (1)在给定的角的集合中，终边不相同的角共有4种，分别是与45°，135°，225°，315°角的终边相同的角．
(2)令－360°≤k·90°＋45°<360°，得－eq \f(9,2)≤k又因为k∈Z，所以k＝－4，－3，－2，－1,0,1,2,3．
所以在－360°～360°范围内的角共有8个．
确定在某范围内终边相同的角的基本思路
求与已知角α终边相同的角时，先将这样的角表示成α＋k·360°(k∈Z)的形式，然后采用赋值法求出满足条件的角，或通过解不等式，确定k的值，求出满足条件的角．
eq \([跟进训练])
2．如图所示，写出终边落在直线y＝eq \r(3)x上的角的集合．
[解] 终边落在y＝eq \r(3)x(x≥0)上的角的集合为
S1＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}，
终边落在y＝eq \r(3)x(x＜0)上的角的集合为
S2＝{β|β＝240°＋k·360°，k∈Z}．
于是，终边落在直线y＝eq \r(3)x上的角的集合为
S＝S1∪S2＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝240°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝60°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝60°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{γ|γ＝60°＋n·180°，n∈Z}．
类型3 象限角及其应用
角度1 用不等式组表示角的集合
【例3】 如图所示．
(1)写出终边落在射线OA，OB上的角的集合；
(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．
[解] (1)终边落在射线OA上的角的集合是{α|α＝k·360°＋210°，k∈Z}．
终边落在射线OB上的角的集合是{α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}．
(2)终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是{α|k·360°＋210°≤α≤k·360°＋300°，k∈Z}．
[母题探究]
(变条件)将本例中的图形改为如图所示，写出终边落在阴影部分的角的集合．
[解] 设终边落在阴影部分的角为α，角α的集合由两部分组成．
①{α|k·360°＋30°≤α②{α|k·360°＋210°≤α所以角α的集合应当是集合①与②的并集，
即S＝{α|k·360°＋30°≤α表示区间角的三个步骤
第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；
第二步：按由小到大的顺序分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α第三步：扇形区域起始、终止边界对应角α，β再加上k·360°(k∈Z)，即得区间角集合．对顶区域，始边、终边再加上k·180°(k∈Z)即得区间角集合．
角度2 nα或eq \f(α,n)所在象限的判定
【例4】 (1)若α是第四象限角，则180°－α是( )
A．第一象限角B．第二象限角
C．第三象限角D．第四象限角
(2)已知α为第二象限角，判断下列角是第几象限角．
①2α；②eq \f(α,2)．
如何由α所在象限确定180°－α，2α，eq \f(α,2)所在象限？
[提示] (1)可通过写出α的取值范围，逐步求得180°－α范围来求解；
(2)由α的范围写出2α，eq \f(α,2)的范围后，直接求得2α的范围，然后分k为奇数或偶数两种情况确定eq \f(α,2)的位置．
(1)C [因为α是第四象限角，则角α应满足：
k·360°－90°<α所以－k·360°<－α<－k·360°＋90°，
则－k·360°＋180°<180°－α<－k·360°＋90°＋180°，k∈Z，当k＝0时，180°<180°－α<270°，
故180°－α为第三象限角．]
(2)[解] ①因为α是第二象限角，
所以90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z，
所以180°＋2k·360°<2α<360°＋2k·360°，k∈Z，
所以2α是第三或第四象限角，或是终边落在y轴的负半轴上的角．
②法一：因为α是第二象限角，
所以90°＋k·360°<α<180°＋k·360°(k∈Z)，
所以45°＋k·180°当k＝2n(n∈Z)时，45°＋n·360°当k＝2n＋1(n∈Z)时，225°＋n·360°法二：如图，先将各象限分成2等份，再从x轴正向的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则标有二的区域即为eq \f(α,2)的终边所在的区域，故eq \f(α,2)为第一或第三象限角．
[母题探究]
(变结论)本例(2)中条件不变，试判断eq \f(α,3)是第几象限角？
[解] 因为α是第二象限角，
所以90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z，
所以30°＋k·120°当k＝3n，n∈Z时，30°＋n·360°当k＝3n＋1，n∈Z时，150°＋n·360°当k＝3n＋2，n∈Z时，270°＋n·360°所以eq \f(α,3)为第一、第二或第四象限角．
已知α范围，求nα或eq \f(α,n)的范围
(1)代数推导法：先表示为角α所在的象限范围，再求出eq \f(α,n)所在的范围，进一步由n值确定．
(2)等分象限法：将各象限n等分，从x轴正半轴开始逆时针方向依次标注1,2,3,4，循环下去，直到填满为止，则当α在第n象限时，eq \f(α,n)就在n号区域．例如：当角α在第二象限时，eq \f(α,2)在图n＝2时的2号区域，eq \f(α,3)在图n＝3时的2号区域．但此规律有局限性，如在已知角α的范围求角2α的范围时上述规律就不好用了，所以还应该掌握求范围的一般方法．
eq \([跟进训练])
3．eq \f(θ,2)的终边在第三象限，则θ的终边可能在( )
A．第一、三象限
B．第二、四象限
C．第一、二象限或y轴正半轴
D．第三、四象限或y轴负半轴
C [依题意，180°＋k·360°所以，360°＋2k·360°<θ<540°＋2k·360°(k∈Z)，
因此，θ的终边可能在第一、二象限或y轴正半轴．]
1．以下说法正确的是( )
A．若α是第一象限角，则2α是第二象限角
B．A＝{α|α＝k·180°，k∈Z}，B＝{β|β＝k·90°，k∈Z}，则A⊆B
C．若k·360°<αD．终边在x轴上的角可表示为k·360°(k∈Z)
B [对于选项B：集合A＝{α|α＝k·180°，k∈Z}＝{α|α＝2k·90°，k∈Z}，B＝{β|β＝k·90°，k∈Z}，所以A⊆B，故选B．]
2．如图，终边落在阴影部分(不包括边界)的角的集合是( )
A．{α|k·360°＋30°<αB．{α|k·180°＋150°<αC．{α|k·360°＋150°<αD．{α|k·360°＋30°<αC [在0°～360°内落在阴影部分角的范围为大于150°而小于225°，所以终边落在阴影部分(不包括边界)的角的集合为{α|k·360°＋150°<α3．一角为30°，其终边按逆时针方向旋转三周后得到的角的度数为________．
1 110° [按逆时针方向旋转得到的角是正角，旋转三周则得30°＋3×360°＝1 110°．]
4．已知0°≤α<360°，且α与600°角终边相同，则α＝________，它是第________象限角．
240° 三 [因为600°＝360°＋240°，所以240°角与600°角终边相同，且180°<240°<270°，
故α＝240°，它是第三象限角．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．依据“旋转得角”，你认为对角的概念应抓住几点？
[提示] ①从哪开始转——始边；
②以什么方向转——正负角；
③转了多少——角度；
④转到哪个位置——终边．
2．运用终边相同的角时应注意哪些问题？
[提示] 所有与角α终边相同的角，连同角α在内可以用式子k·360°＋α，k∈Z表示，在运用时需注意以下四点：
(1)k是整数，这个条件不能漏掉．
(2)α是任意角．
(3)k·360°与α之间用“＋”连接，如k·360°－30°应看成k·360°＋(－30°)，k∈Z．
(4)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍．
3．已知角α的象限范围确定eq \f(α,n)的范围有哪些方法？
[提示] (1)代数推导法．(2)等分象限法．
1．了解角的概念的推广，能正确区分正角、负角和零角．
2．理解象限角的概念．(重点)
3．掌握终边相同的角的表示方法，并能判断角所在的位置．(重点、难点)
1．通过角的概念的学习，体现了数学抽象核心素养．
2．借助终边相同角的求解、象限角的判断等，培养学生的直观想象、数学运算核心素养．
类型
定义
图示
正角
按照逆时针方向旋转而成的角
负角
按照顺时针方向旋转而成的角
零角
一条射线没有作任何旋转，称它形成了一个零角