人教B版高中数学选择性必修第二册第4章4-3-1第1课时相关关系与回归直线方程学案

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4.3　统计模型4.3.1　一元线性回归模型第1课时　相关关系与回归直线方程你知道“名师出高徒”的意思吗？——高明的师傅很可能教出技艺高的徒弟，比喻学识丰富的人对于培养人才的重要性．也就是说，高水平的老师往往能教出高水平的学生．问题：那么老师的水平与学生的水平之间具有怎样的关系呢？这种关系是确定的吗？该关系与函数关系相同吗？[提示]　老师的水平与学生的水平之间具有相关性，一般而言，高水平的老师教出高水平的学生的可能性更大；但两者之间虽然具有相关性，却不具备确定性，这种关系是不确定的．不相同．知识点1　相关关系如果两个变量之间确实有一定的关系，但没有达到可以互相决定的程度，它们之间的关系带有一定的随机性，像这样两个变量之间的关系，统计学上称为相关关系．1．函数关系是相关关系吗？[提示]　不是．函数关系中两个变量之间是一种确定关系．1．下列两个变量中，具有相关关系的是(　　)A．正方体的体积与棱长B．匀速行驶的汽车的行驶路程与时间C．人的身高与体重D．人的身高与视力C　[A选项中，正方体的体积与棱长是函数关系，不是相关关系；B选项中，匀速行驶的汽车的行驶路程与时间是函数关系，不是相关关系；C选项中，人的身高会影响体重，但不是唯一因素，所以人的身高与体重是相关关系；D选项中，人的身高与视力无任何关系．]知识点2　线性相关(1)散点图一般地，如果收集到了变量x和变量y的n对数据(简称为成对数据)，如下表所示．则在平面直角坐标系xOy中描出点(xi，yi)，i＝1，2，3，…，n，就可以得到这n对数据的散点图．(2)线性相关：如果由变量的成对数据、散点图或直观经验可知，变量x与变量y之间的关系可以近似地用一次函数来刻画，则称x与y线性相关．(3)正相关和负相关若x与y线性相关，如果一个变量增大，另一个变量大体上也增大，则称这两个变量正相关；如果一个变量增大，另一个变量大体上减少，则称这两个变量负相关．2．下列两个变量具有正相关关系的是(　　)A．正方形的面积与边长B．吸烟与健康C．数学成绩与物理成绩D．汽车的质量与汽车每消耗1 L汽油所行驶的平均路程C　[正方形的面积与边长是函数关系，A错误；吸烟与健康具有负相关关系，B错误；汽车越重，每消耗1 L汽油所行驶的平均路程越短，所以汽车的质量与汽车每消耗1 L汽油所行驶的平均路程具有负相关关系，D错误；数学成绩越好，物理成绩也会越好，所以数学成绩与物理成绩具有正相关关系，C正确．]知识点3　回归直线方程(1)残差：已知数据的实际值(也称为观测值)与预测值之间的误差．(2)一般地，已知变量x与y的n对成对数据(xi，yi)，i＝1，2，3，…，n．任意给定一个一次函数y＝bx＋a，对每一个已知的xi，由直线方程可以得到一个估计值eq \o(y,\s\up6(^))i＝bxi＋a，如果一次函数eq \o(y,\s\up6(^))＝eq \o(b,\s\up6(^))x＋eq \o(a,\s\up6(^))能使残差平方和即eq y1－\o(y,\s\up6(^))12＋y2－\o(y,\s\up6(^))22＋…＋yn－\o(y,\s\up6(^))n2＝\o(∑,\s\up6(n),\s\do6(i＝1)) yi－\o(y,\s\up6(^))i2取得最小值，则eq \o(y,\s\up6(^))＝eq \o(b,\s\up6(^))x＋eq \o(a,\s\up6(^))称为y关于x的回归直线方程(对应的直线称为回归直线)．因为是使得平方和最小，所以其中涉及的方法称为最小二乘法．其中，回归系数eq \o(b,\s\up6(^))＝eq \f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do6(i＝1)) xi－\o(x,\s\up6(－))yi－\o(y,\s\up6(－)),\o(∑,\s\up6(n),\s\do6(i＝1)) xi－\o(x,\s\up6(－))2)＝eq \f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do6(i＝1))xiyi－n\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\o(∑,\s\up6(n),\s\do6(i＝1))x\o\al(2,i)－n\o(x,\s\up6(－))2)，eq \o(a,\s\up6(^))＝eq \o(y,\s\up6(－))－eq \o(b,\s\up6(^))eq \o(x,\s\up6(－))．eq \o(x,\s\up6(－))＝eq \f(1,n)(x1＋x2＋…＋xn)＝eq \f(1,n)eq \o(∑,\s\up6(n),\s\do6(i＝1))xi；eq \o(y,\s\up6(－))＝eq \f(1,n)(y1＋y2＋…＋yn)＝eq \f(1,n)eq \o(∑,\s\up6(n),\s\do6(i＝1))yi．回归直线方程eq \o(y,\s\up6(^))＝eq \o(b,\s\up6(^))x＋eq \o(a,\s\up6(^))中x的系数是eq \o(b,\s\up6(^))，表示直线的斜率，注意与一次函数的关系式或直线方程y＝ax＋b进行区分．3．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)回归直线方程一定过样本中心点． (　　)(2)选取一组数据的部分点得到的回归方程与由整组数据得到的回归方程一定相同． (　　)(3)根据回归直线方程得到的结论一定是可靠的． (　　)[答案]　(1)√　(2)×　(3)×知识点4　回归直线方程：eq \o(y,\s\up6(^))＝eq \o(b,\s\up6(^))x＋eq \o(a,\s\up6(^))的性质(1)回归直线一定过点(eq \o(x,\s\up6(－))，eq \o(y,\s\up6(－)))．(2)回归系数eq \o(b,\s\up6(^))的实际意义：①eq \o(b,\s\up6(^))是回归方程的斜率；②当x增大一个单位时，eq \o(y,\s\up6(^))增大eq \o(b,\s\up6(^))个单位．2．y与x正负相关的充要条件分别是什么？[提示]　当eq \o(b,\s\up6(^))＞0时，y与x正相关，反之也成立，同理eq \o(b,\s\up6(^))＜0是y与x负相关的充要条件．4．已知回归直线的斜率的估计值是1.23，且过定点(4，5)，则回归直线方程是________．eq \o(y,\s\up6(^))＝1.23x＋0.08　[回归直线的斜率的估计值为1.23，即eq \o(b,\s\up6(^))＝1.23，又回归直线过定点(4，5)，∴eq \o(a,\s\up6(^))＝5－1.23×4＝0.08，∴eq \o(y,\s\up6(^))＝1.23x＋0.08．] 类型1　变量间相关关系的判断【例1】　(1)下列关系中，属于相关关系的是______．(填序号)①扇形的半径与面积之间的关系；②农作物的产量与施肥量之间的关系；③出租车费与行驶的里程；④降雪量与交通事故的发生率之间的关系．(2)某种产品的广告费支出x与销售额y之间有如下对应数据(单位：百万元)．①画出散点图；②从散点图中判断销售金额与广告费支出成什么样的关系？(1)②④　[在①中，扇形的半径与面积之间的关系是函数关系；在②中，农作物的产量与施肥量之间不具有严格的函数关系，但具有相关关系；③为确定的函数关系；在④中，降雪量与交通事故的发生率之间具有相关关系．](2)[解]　①以x对应的数据为横坐标，以y对应的数据为纵坐标，所作的散点图如图所示．②从图中可以发现广告费支出与销售金额之间具有相关关系，并且当广告费支出由小变大时，销售金额也大多由小变大，图中的数据大致分布在某条直线的附近，即x与y成正相关关系．两个变量是否相关的两种判断方法(1)根据实际经验：借助积累的经验进行分析判断．(2)利用散点图：通过散点图，观察它们的分布是否存在一定的规律，直观地进行判断．如果发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近，那么这两个变量就是线性相关的，注意不要受个别点的位置的影响．[跟进训练]1． 在下列所示的四个图中，每个图的两个变量具有相关关系的图是(　　)(1)　　　　(2)　　　　(3)　　　　　(4)A．(1)(2)　　B．(1)(3) 　　C．(2)(4) 　　D．(2)(3)D　[题图(1)的两个变量具有函数关系；题图(2)(3)的两个变量具有相关关系；题图(4)的两个变量之间既不是函数关系，也不是相关关系．] 类型2　求回归直线方程【例2】　下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(单位：吨)与相应的生产能耗y(单位：吨标准煤)的几组对应数据．(1)请画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的回归直线方程eq \o(y,\s\up6(^))＝eq \o(b,\s\up6(^))x＋eq \o(a,\s\up6(^))；(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤，试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？(参考数值：3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5)[解]　(1)由题设所给数据，可得散点图如图．(2)由对照数据，计算得：eq \o(∑,\s\up6(4),\s\do6(i＝1))xeq \o\al(2,i)＝86，eq \o(x,\s\up6(－))＝eq \f(3＋4＋5＋6,4)＝4.5，eq \o(y,\s\up6(－))＝eq \f(2.5＋3＋4＋4.5,4)＝3.5，已知eq \o(∑,\s\up6(4),\s\do6(i＝1))xiyi＝66.5，所以，由最小二乘法确定的回归直线方程的系数为eq \o(b,\s\up6(^))＝eq \f(\o(∑,\s\up6(4),\s\do6(i＝1))xiyi－4\o(x,\s\up6(－)) \o(y,\s\up6(－)),\o(∑,\s\up6(4),\s\do6(i＝1))x\o\al(2,i)－4\o(x,\s\up6(－))2)＝eq \f(66.5－4×4.5×3.5,86－4×4.52)＝0.7，eq \o(a,\s\up6(^))＝eq \o(y,\s\up6(－))－eq \o(b,\s\up6(^))eq \o(x,\s\up6(－))＝3.5－0.7×4.5＝0.35．因此，所求的回归直线方程为eq \o(y,\s\up6(^))＝0.7x＋0.35．(3)由(2)的回归直线方程及技改前生产100吨甲产品的生产能耗，得降低的生产能耗为90－(0.7×100＋0.35)＝19.65(吨标准煤)．求回归直线方程的一般步骤(1)收集样本数据，设为(xi，yi)(i＝1，2，…，n)．(2)作出散点图，确定x，y具有线性相关关系．(3)计算eq \o(x,\s\up6(－))，eq \o(y,\s\up6(－))，eq \o(∑,\s\up6(n),\s\do6(i＝1))xeq \o\al(2,i)，eq \o(∑,\s\up6(n),\s\do6(i＝1))xiyi．(4)代入公式计算eq \o(b,\s\up6(^))，eq \o(a,\s\up6(^))，公式为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\o(b,\s\up6(^))＝\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do6(i＝1))xiyi－n\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\o(∑,\s\up6(n),\s\do6(i＝1))x\o\al(2,i)－n\o(x,\s\up6(－))2)，,\o(a,\s\up6(^))＝\o(y,\s\up6(－))－\o(b,\s\up6(^))\o(x,\s\up6(－)).))(5)写出回归直线方程eq \o(y,\s\up6(^))＝ eq \o(b,\s\up6(^))x＋eq \o(a,\s\up6(^))．[跟进训练]2．某研究机构对某校学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得下表数据：(1)请画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的回归直线方程．[解]　(1)散点图如图所示．(2)eq \o(x,\s\up6(－))＝eq \f(6＋8＋10＋12,4)＝9，eq \o(y,\s\up6(－))＝eq \f(2＋3＋5＋6,4)＝4，eq \o(∑,\s\up6(n),\s\do6(i＝1)) (xi－eq \o(x,\s\up6(－)))(yi－eq \o(y,\s\up6(－)))＝(－3)×(－2)＋(－1)×(－1)＋1×1＋3×2＝14，eq \o(∑,\s\up6(n),\s\do6(i＝1)) (xi－eq \o(x,\s\up6(－)))2＝(－3)2＋(－1)2＋1＋32＝20，所以eq \o(b,\s\up6(^))＝eq \f(14,20)＝0.7，所以eq \o(a,\s\up6(^))＝eq \o(y,\s\up6(－))－eq \o(b,\s\up6(^))eq \o(x,\s\up6(－))＝4－0.7×9＝－2.3，故回归直线方程为eq \o(y,\s\up6(^))＝0.7x－2.3． 类型3　回归直线方程的性质及应用假设y与x具有相关关系，而且回归直线方程为eq \o(y,\s\up6(^))＝eq \o(b,\s\up6(^))x＋eq \o(a,\s\up6(^))．1．回归直线方程的单调性由哪个参数决定？[提示]　eq \o(b,\s\up6(^))．2．该方程必过哪个定点？[提示]　(eq \o(x,\s\up6(－))，eq \o(y,\s\up6(－)))．【例3】　(多选题)设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(xi，yi)(i＝1，2，…，n)，用最小二乘法建立的回归直线方程为eq \o(y,\s\up6(^))＝0.85x－85.71，则下列结论中正确的是(　　)A．y与x具有正的线性相关关系B．回归直线过样本点中心(eq \o(x,\s\up6(－))，eq \o(y,\s\up6(－)))C．若该大学某女生身高增加1 cm，则其体重约增加0.85 kgD．若该大学某女生身高为170 cm，则可断定其体重必为58.79 kgABC　[当x＝170时，eq \o(y,\s\up6(^))＝0.85×170－85.71＝58.79，体重的估计值为58.79 kg，故D错误，ABC均正确．]1．相关关系的正、负相关类同于函数的增、减性，与其斜率有关，必要时可画散点图以增强直观性．2．由回归直线方程得出的函数值不一定是准确值，只是个估计值．[跟进训练]3．(1)根据如下样本数据得到的回归直线方程为eq \o(y,\s\up6(^))＝eq \o(b,\s\up6(^))x＋eq \o(a,\s\up6(^))，则(　　)A．eq \o(a,\s\up6(^))＞0，eq \o(b,\s\up6(^))＞0　 B．eq \o(a,\s\up6(^))＞0，eq \o(b,\s\up6(^))＜0C．eq \o(a,\s\up6(^))＜0，eq \o(b,\s\up6(^))＞0 D．eq \o(a,\s\up6(^))＜0，eq \o(b,\s\up6(^))＜0(2)某单位为了了解用电量y与气温x 间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表．由表中数据得回归直线方程eq \o(y,\s\up6(^))＝eq \o(b,\s\up6(^))x＋eq \o(a,\s\up6(^))中eq \o(b,\s\up6(^))＝－2，预测当气温为－4 ℃时，用电量约为______千瓦时．(1)B　(2)68　[(1)画出散点图，知eq \o(a,\s\up6(^))＞0，eq \o(b,\s\up6(^))＜0．(2)eq \o(x,\s\up6(－))＝10，eq \o(y,\s\up6(－))＝40，回归直线方程过点(eq \o(x,\s\up6(－))，eq \o(y,\s\up6(－)))，∴40＝－2×10＋eq \o(a,\s\up6(^))．∴eq \o(a,\s\up6(^))＝60．∴eq \o(y,\s\up6(^))＝－2x＋60．令x＝－4，则eq \o(y,\s\up6(^))＝(－2)×(－4)＋60＝68．]1．以下四个散点图中，两个变量的关系适合用线性回归模型刻画的是(　　)①　　　　②　　　　③　　　　④A．①②　　　B．①③　　　C．②③　　　D．③④B　[①③中的点分布在一条直线附近，适合线性回归模型．]2．由变量x与y相对应的一组数据(1，y1)，(5，y2)，(7，y3)，(13，y4)，(19，y5)得到的回归直线方程为eq \o(y,\s\up6(^))＝2x＋45，则eq \o(y,\s\up6(－))＝(　　)A．135　 B．90 C．67　 　 D．63D　[∵eq \o(x,\s\up6(－))＝eq \f(1,5)(1＋5＋7＋13＋19)＝9，eq \o(y,\s\up6(－))＝2eq \o(x,\s\up6(－))＋45，∴eq \o(y,\s\up6(－))＝2×9＋45＝63，故选D．]3．工人工资y(单位：元)与劳动生产率x(单位：千元)的相关关系的回归直线方程为eq \o(y,\s\up6(^))＝50＋80x，下列判断正确的是(　　)A．劳动生产率为1 000元时，工人工资为130元B．劳动生产率提高1 000元时，工人工资平均提高80元C．劳动生产率提高1 000元时，工人工资平均提高130元D．当月工资为250元时，劳动生产率为2 000元B　[因为回归直线的斜率为80，所以x每增加1，eq \o(y,\s\up6(^))平均增加80，即劳动生产率提高1 000元时，工人工资平均提高80元．]4．某地区近10年居民的年收入x与年支出y之间的关系大致符合eq \o(y,\s\up6(^))＝0.8x＋0.1(单位：亿元)，预计今年该地区居民收入为15亿元，则今年支出估计是________亿元．12.1　[将x＝15代入eq \o(y,\s\up6(^))＝0.8x＋0.1，得eq \o(y,\s\up6(^))＝12.1．]5．如图是一组数据(x，y)的散点图，经最小二乘法计算，y与x之间的回归直线方程为eq \o(y,\s\up6(^))＝eq \o(b,\s\up6(^))x＋1，则eq \o(b,\s\up6(^))＝________．0.8　[eq \o(x,\s\up6(－))＝eq \f(0＋1＋3＋4,4)＝2，eq \o(y,\s\up6(－))＝eq \f(0.9＋1.9＋3.2＋4.4,4)＝2.6，将(2，2.6)的坐标代入eq \o(y,\s\up6(^))＝eq \o(b,\s\up6(^))x＋1，解得eq \o(b,\s\up6(^))＝0.8．]回顾本节内容，自主完成以下问题：1．相关关系与函数关系有何区别与联系？[提示]　2．回归直线方程与直线方程有何区别？[提示]　回归直线方程中y的上方加记号“^”是与实际值y相区别，因为回归直线方程中的“eq \o(y,\s\up6(^))”的值是通过统计大量数据所得到的一个预测值，它具有随机性，因而对于每一个具体的实际值而言，eq \o(y,\s\up6(^))的值只是比较接近，但存在一定的误差，即y＝eq \o(y,\s\up6(^))＋e(其中e为随机变量)，预测值eq \o(y,\s\up6(^))与实际值y的接近程度由随机变量e的标准差决定．直线方程中y与x的关系是确定的，给x一个值，y有唯一确定的值与之对应．1．了解变量间的相关关系．(易混点)2．会根据散点图判断数据是否具有相关关系．(重点)3．了解最小二乘法的思想，会求回归直线方程，掌握回归直线方程的性质．(重点、难点)1．通过回归直线方程及相关关系的学习，体会数学建模与直观想象的素养．2．借助回归直线方程的求法，培养数学运算的素养．序号i123…n变量xx1x2x3…xn变量yy1y2y3…ynx24568y3040605070x3456y2.5344.5x681012y2356x345678y4.02.5－0.50.5－2.0－3.0气温/℃181310－1用电量/千瓦·时24343864分类函数关系相关关系特征变量之间的关系具有确定性，当一个变量确定后，另一个变量就确定了变量之间确实有一定的关系，但没有达到可以互相决定的程度，它们之间的关系带有一定的随机性区别是确定性关系，还是因果关系．例如，圆的半径由1增大到2，其面积必然由π增大到4π是一种不确定性关系．例如，吸烟不一定患肺癌，但吸烟多的人患肺癌的风险会大幅度增加．相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系联系函数关系是一种理想的关系模型，而相关关系是一种更为一般的情况．二者在一定条件下可以相互转化，对于具有线性相关关系的两个变量来说，当求得其回归直线方程后，可以用一种确定性的关系对这两个变量间的取值进行评估