人教B版高中数学选择性必修第二册第4章4-2-3第1课时n次独立重复试验与二项分布学案

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4.2.3　二项分布与超几何分布第1课时　n次独立重复试验与二项分布在学校组织的高二篮球比赛中，通过小组循环，甲、乙两班顺利进入最后的决赛．在每一场比赛中，甲班取胜的概率为0.6，乙班取胜的概率为0.4，比赛既可以采用三局两胜制，又可以采用五局三胜制．问题：如果你是甲班的一名同学，你认为采用哪种赛制对你班更有利？[提示]　如果采用三局两胜制，甲班获胜的概率为P1＝0.6×0.6＋Ceq \o\al(1,2)×0.6×0.4×0.6＝0.648；如果采用五局三胜制，甲班获胜的概率为P2＝0.63＋Ceq \o\al(2,3)×0.62×0.4×0.6＋Ceq \o\al(2,4)×0.62×0.42×0.6＝0.682 56＞P1，所以五局三胜制对甲班更有利．知识点1　n次独立重复试验在相同条件下重复n次伯努利试验时，人们总是约定这n次试验是相互独立的，此时这n次伯努利试验也常称为n次独立重复试验．1．独立重复试验必须具备哪些条件？[提示]　(1)每次试验的条件完全相同，相同事件的概率不变；(2)各次试验结果互不影响；(3)每次试验结果只有两种，这两种结果是对立的．辨析：区分独立重复试验与独立事件(1)两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．(2)独立重复试验是指在同样条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，每次试验都只有两种结果(即事件要么发生，要么不发生)，并且在任何一次试验中，事件发生的概率均相等．(3)独立重复试验是相互独立事件的特例，就像对立事件是互斥事件的特例一样，求某事件发生k(k∈N)次的概率常用独立重复试验的概率公式计算，就像有“至少”“至多”字样的题用对立事件的概率公式计算更简单一样．1．判断下列试验是不是独立重复试验？(1)依次投掷四枚质地不同的硬币，3次正面向上；(2)某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连续射击了10次，其中6次击中目标；(3)口袋中装有5个白球、3个红球、2个黑球，依次从中抽取5个球，恰好抽出4个白球．[解]　(1)由于试验的条件不同(硬币质地不同)，因此不是独立重复试验．(2)某人射击且击中目标的概率是稳定的，因此是独立重复试验．(3)每次抽取，试验的结果有三种不同的颜色，且每种颜色出现的可能性不相等，因此不是独立重复试验．知识点2　二项分布一般地，如果一次伯努利试验中，出现“成功”的概率为p，记q＝1－p，且n次独立重复试验中出现“成功”的次数为X，则X的取值范围是{0，1，…，k，…，n}，而且P(X＝k)＝Ceq \o\al(k,n)pkqn－k，k＝0，1，…，n，因此X的分布列如下表所示．注意到上述X的分布列第二行中的概率值都是二项展开式(q＋p)n＝Ceq \o\al(0,n)p0qn＋Ceq \o\al(1,n)p1qn－1＋…＋Ceq \o\al(k,n)pkqn－k＋…＋Ceq \o\al(n,n)pnq0中对应项的值，因此称X服从参数为n，p的二项分布，记作X～B(n，p)．2．判断二项分布的关键点有哪些？[提示]　判断一个随机变量是否服从二项分布的关键在于它是否同时满足以下三个条件．(1)对立性：在一次试验中，事件A发生与否必居其一．(2)重复性：试验可以独立重复地进行，且每次试验事件A发生的概率都是同一常数p．(3)X的取值从0到n，中间不间断．由上可以发现，两点分布是一种特殊的二项分布，即n＝1时的二项分布，所以二项分布可以看成是两点分布的一般形式，二项分布中的每次试验的结果都服从两点分布．2．若X～B(10，0.8)，则P(X＝8)等于(　　)A．Ceq \o\al(8,10)×0.88×0.22 B．Ceq \o\al(8,10)×0.82×0.28C．0.88×0.22 D．0.82×0.28A　[∵X～B(10，0.8)，∴P(X＝8)＝Ceq \o\al(8,10)×0.88×0.22，故选A．]3．下列说法正确的是________．(填序号)①某同学投篮的命中率为0.6，他10次投篮中命中的次数X是一个随机变量，且X～B(10，0.6)；②某福彩的中奖概率为p，某人一次买了8张，中奖张数X是一个随机变量，且X～B(8，p)；③从装有5个红球、5个白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球为止，则摸球次数X是随机变量，且X～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n，\f(1,2)))．①②　[①②显然满足独立重复试验的条件，而③虽然是有放回地摸球，但随机变量X的定义是直到摸出白球为止，也就是说前面摸出的一定是红球，最后一次是白球，不符合二项分布的定义．] 类型1　独立重复试验的概率【例1】　甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是eq \f(2,3)和eq \f(3,4)，假设每次射击是否击中目标，相互之间没有影响．(1)求甲射击3次，至少1次未击中目标的概率；(2)求两人各射击2次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标1次的概率．[解]　(1)记“甲射击3次至少有1次未击中目标”为事件A1，由题意知，射击3次，相当于3次独立重复试验．故P(A1)＝1－P(eq \x\to(A)1)＝1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq \s\up12(3)＝eq \f(19,27)．(2)记“甲射击2次，恰有2次击中目标”为事件A2，“乙射击2次，恰有1次击中目标”为事件B2，则P(A2)＝Ceq \o\al(2,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq \s\up12(2)＝eq \f(4,9)，P(B2)＝Ceq \o\al(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq \s\up12(1)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))＝eq \f(3,8)．由于甲、乙射击相互独立，故P(A2B2)＝eq \f(4,9)×eq \f(3,8)＝eq \f(1,6)．[母题探究]1．(变结论)在本例(2)的条件下，求甲、乙均击中目标1次的概率．[解]　记“甲击中目标1次”为事件A3，“乙击中目标1次”为事件B3，则P(A3)＝Ceq \o\al(1,2)×eq \f(2,3)×eq \f(1,3)＝eq \f(4,9)，P(B3)＝eq \f(3,8)，所以甲、乙均击中目标1次的概率为P(A3B3)＝eq \f(4,9)×eq \f(3,8)＝eq \f(1,6)．2．(变结论)在本例(2)的条件下，求甲未击中且乙击中2次的概率．[解]　记“甲未击中目标”为事件A4，“乙击中2次”为事件B4，则P(A4)＝Ceq \o\al(0,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))eq \s\up12(2)＝eq \f(1,9)，P(B4)＝Ceq \o\al(2,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))2＝eq \f(9,16)，所以甲未击中且乙击中2次的概率为P(A4B4)＝eq \f(1,9)×eq \f(9,16)＝eq \f(1,16)．独立重复试验概率求法的三个步骤[跟进训练]1．某同学通过英语听力测试的概率为eq \f(1,2)，他连续测试n次，要保证他至少有一次通过的概率大于0.9，那么n的最小值是(　　)A．3 B．4 C．5 D．6B　[由题意，得1－Ceq \o\al(0,n)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))eq \s\up12(n)＞0.9，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up12(n)＜0.1．又n∈N*，故n≥4．] 类型2　二项分布【例2】　一名学生每天骑自行车上学，从家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是eq \f(1,3)．(1)求这名学生在途中遇到红灯的次数ξ的分布列；(2)求这名学生在首次遇到红灯或到达目的地停车前经过的路口数η的分布列．[思路点拨]　(1)首先判断ξ是否服从二项分布，再求分布列．(2)注意“首次遇到”“或到达”的含义，并明确η的取值，再求η取各值的概率．[解]　(1)ξ～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(1,3)))，ξ的分布列为P(ξ＝k)＝Ceq \o\al(k,5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq \s\up12(5－k)，k＝0，1，2，3，4，5．故ξ的分布列为(2)η的分布列为P(η＝k)＝P(前k个是绿灯，第k＋1个是红灯)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq \s\up12(k)·eq \f(1,3)，k＝0，1，2，3，4；P(η＝5)＝P(5个均为绿灯)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq \s\up12(5)．故η的分布列为1．当X服从二项分布时，应弄清X～B(n，p)中的试验次数n与成功概率p．2．解决二项分布问题的两个关注点(1)对于公式P(X＝k)＝Ceq \o\al(k,n)pk(1－p)n－k(k＝0，1，2，…，n)必须在满足“独立重复试验”时才能运用，否则不能应用该公式．(2)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次．[跟进训练]2．在一次数学考试中，第14题和第15题为选做题．规定每位考生必须且只需在其中选做一题．设4名考生选做每道题的可能性均为eq \f(1,2)，且各人的选择相互之间没有影响．(1)求其中甲、乙2名考生选做同一道题的概率；(2)设这4名考生中选做第15题的人数为ξ，求ξ的分布列．[解]　(1)设事件A表示“甲选做14题”，事件B表示“乙选做14题”，则甲、乙2名考生选做同一道题的事件为“(A∩B)＋(eq \o(A,\s\up6(－))∩eq \o(B,\s\up6(－)))”，且事件A，B相互独立．∴P((A∩B)＋(eq \o(A,\s\up6(－))∩eq \o(B,\s\up6(－))))＝P(A)P(B)＋P(eq \x\to(A))·P(eq \x\to(B))＝eq \f(1,2)×eq \f(1,2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＝eq \f(1,2)．(2)随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3，4，且ξ～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(1,2)))．∴P(ξ＝k)＝Ceq \o\al(k,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up12(k) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))eq \s\up12(4－k)＝Ceq \o\al(k,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up12(4) (k＝0，1，2，3，4)．∴随机变量ξ的分布列为 类型3　独立重复试验与二项分布的综合应用1．王明做5道单选题，每道题都随机选一个答案，那么他做对的道数服从二项分布吗？为什么？[提示]　服从二项分布．因为每道题都是随机选一个答案，结果只有两个：对与错，并且每道题做对的概率均相等，故做5道题可以看成“一道题”重复做了5次，做对的道数就是5次试验中“做对”这一事件发生的次数，故他做对的“道数”服从二项分布．2．王明做5道单选题，其中2道会做，其余3道均随机选一个答案，他做对的道数服从二项分布吗？如何判断一随机变量是否服从二项分布？[提示]　不服从二项分布．因为会做的两道题做对的概率与随机选取一个答案做对的概率不同，不符合二项分布的特点．判断一个随机变量是否服从二项分布关键是看它是不是n次独立重复试验，随机变量是否为在这n次独立重复试验中某事件发生的次数，满足这两点的随机变量才服从二项分布，否则就不服从二项分布．【例3】　甲、乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为eq \f(2,3)，乙队中3人答对的概率分别为eq \f(2,3)，eq \f(2,3)，eq \f(1,2)，且各人回答正确与否相互之间没有影响．用ξ表示甲队的总得分．(1)求随机变量ξ的分布列；(2)用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P(AB)．[思路点拨]　(1)由于甲队中每人答对的概率相同，且正确与否没有影响，所以ξ服从二项分布，其中n＝3，p＝eq \f(2,3)．(2)AB表示事件A，B同时发生，即甲、乙两队总得分之和为3且甲队总得分大于乙队总得分．[解]　(1)由题意知，ξ的可能取值为0，1，2，3，且P(ξ＝0)＝Ceq \o\al(0,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))eq \s\up12(3)＝eq \f(1,27)，P(ξ＝1)＝Ceq \o\al(1,3)eq \f(2,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))eq \s\up12(2)＝eq \f(2,9)，P(ξ＝2)＝Ceq \o\al(2,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq \s\up12(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))＝eq \f(4,9)，P(ξ＝3)＝Ceq \o\al(3,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq \s\up12(3)＝eq \f(8,27)．所以ξ的分布列为(2)用C表示“甲得2分乙得1分”这一事件，用D表示“甲得3分乙得0分”这一事件，所以AB＝C∪D，且C，D互斥，又P(C)＝Ceq \o\al(2,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq \s\up12(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)×\f(1,3)×\f(1,2)＋\f(1,3)×\a\vs4\al\co1(\f(2,3)×\f(1,2)＋\f(1,3)×\f(1,3)×\f(1,2))))＝eq \f(10,34)，P(D)＝Ceq \o\al(3,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq \s\up12(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)×\f(1,3)×\f(1,2)))＝eq \f(4,35)，由互斥事件的概率公式得P(AB)＝P(C)＋P(D)＝eq \f(10,34)＋eq \f(4,35)＝eq \f(34,35)＝eq \f(34,243)．对于概率问题的综合题，首先，要准确地确定事件的性质，把问题化归为古典概型、互斥事件、独立事件、独立重复试验四类事件中的某一种；其次，要判断事件是A＋B还是AB，确定事件至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件公式；最后，选用相应的求古典概型、互斥事件、条件概率、独立事件、n次独立重复试验的概率公式求解．[跟进训练]3.9粒种子分别种在3个坑内，每坑放3粒，每粒种子发芽的概率为0.5，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种，若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种．假定每个坑至多补种一次，求需要补种坑数的分布列．[解]　因为单个坑内的3粒种子都不发芽的概率为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up12(3)＝eq \f(1,8)，所以单个坑不需要补种的概率为1－eq \f(1,8)＝eq \f(7,8)．设需要补种的坑数为X，则X的可能取值为0，1，2，3，这是3次独立重复试验，P(X＝0)＝Ceq \o\al(0,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)))eq \s\up12(0)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,8)))eq \s\up12(3)＝eq \f(343,512)，P(X＝1)＝Ceq \o\al(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)))1×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,8)))eq \s\up12(2)＝eq \f(147,512)，P(X＝2)＝Ceq \o\al(2,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)))eq \s\up12(2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,8)))eq \s\up12(1)＝eq \f(21,512)，P(X＝3)＝Ceq \o\al(3,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)))eq \s\up12(3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,8)))eq \s\up12(0)＝eq \f(1,512)，所以需要补种坑数的分布列为1．某学生通过英语听力测试的概率为eq \f(1,3)，他连续测试3次，那么其中恰有1次获得通过的概率是(　　)A．eq \f(4,9) B．eq \f(2,9) C．eq \f(4,27) D．eq \f(2,27)A　[记“恰有1次获得通过”为事件A，则P(A)＝Ceq \o\al(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))eq \s\up12(2)＝eq \f(4,9)．故选A．]2．某电子管正品率为eq \f(3,4)，次品率为eq \f(1,4)，现对该批电子管进行测试，设第ξ次首次测到正品，则P(ξ＝3)＝(　　)A．Ceq \o\al(2,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq \s\up12(2)×eq \f(3,4) B．Ceq \o\al(2,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq \s\up12(2)×eq \f(1,4) C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq \s\up12(2)×eq \f(3,4) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq \s\up12(2)×eq \f(1,4)C　[ξ＝3表示第3次首次测到正品，而前两次都没有测到正品，故其概率是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq \s\up12(2)×eq \f(3,4)．]3．一枚硬币连掷三次，只有一次出现正面的概率为(　　)A．eq \f(5,8) B．eq \f(3,8) C．eq \f(1,8) D．eq \f(7,8)B　[抛掷一枚硬币出现正面的概率为eq \f(1,2)，由于每次试验的结果不受影响，故由n次独立重复试验可知，所求概率为P＝Ceq \o\al(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up12(2)＝eq \f(3,8)．]4．有4位同学参加某项选拔测试，每位同学能通过测试的概率都是eq \f(1,2)，假设每位同学能否通过测试是相互独立的，则至少有一位同学通过测试的概率为________．eq \f(15,16)　[所有同学都不通过的概率为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))eq \s\up12(4)，故至少有一位同学通过的概率为1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))eq \s\up12(4)＝eq \f(15,16)．]5．设X～B(4，p)，且P(X＝2)＝eq \f(8,27)，那么一次试验成功的概率p等于________．eq \f(1,3)或eq \f(2,3)　[P(X＝2)＝Ceq \o\al(2,4)p2(1－p)2＝eq \f(8,27)，即p2(1－p)2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq \s\up12(2)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq \s\up12(2)，解得p＝eq \f(1,3)或p＝eq \f(2,3)．]回顾本节内容，自主完成以下问题：1．独立重复试验的基本特征有哪些？[提示]　(1)每次试验都在同样条件下进行．(2)每次试验都只有两种结果：发生与不发生．(3)各次试验之间相互独立．(4)每次试验，某事件发生的概率都是一样的．2．n次独立重复试验的概率公式中各字母的含义是什么？[提示]3．求二项分布的基本思路是什么？[提示]　(1)弄清在n次独立重复试验中n，p，k的值，即明确以下三点：①共进行了多少次独立重复试验；②在一次试验中事件A发生的概率是多少；③事件A恰好发生了多少次．(2)准确算出每一种情况下事件发生的概率．(3)算出的结果要注意验证是否符合离散型随机变量的概率分布的两个性质．(4)列出分布列．1．理解n次独立重复试验的模型．(重点)2．理解二项分布．(难点)3．能利用n次独立重复试验的模型及二项分布解决一些简单的实际问题．1．通过学习n次独立重复试验及二项分布，体会数学建模、数学抽象的素养．2．借助二项分布解题，提高数学运算的素养．X01…k…nPCeq \o\al(0,n)p0qnCeq \o\al(1,n)p1qn－1…Ceq \o\al(k,n)pkqn－k…Ceq \o\al(n,n)pnq0ξ012345Peq \f(32,243)eq \f(80,243)eq \f(80,243)eq \f(40,243)eq \f(10,243)eq \f(1,243)η012345Peq \f(1,3)eq \f(2,9)eq \f(4,27)eq \f(8,81)eq \f(16,243)eq \f(32,243)ξ01234Peq \f(1,16)eq \f(1,4)eq \f(3,8)eq \f(1,4)eq \f(1,16)ξ0123Peq \f(1,27)eq \f(2,9)eq \f(4,9)eq \f(8,27)X0123Peq \f(343,512)eq \f(147,512)eq \f(21,512)eq \f(1,512)