高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第二册第四章 概率与统计本章综合与测试当堂检测题

专题强化练4　二项分布与超几何分布

一、选择题

1.(2020山西太原高二期末,)将一枚质地均匀的硬币连续抛掷5次,记正面向上的次数为X,则(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　

A.X~B(5,1)          B.X~B(0.5,5)

C.X~B(2,0.5) D.X~B(5,0.5)

2.(2020江苏启东中学高一期中,)某贫困县有15个小镇,其中有9个小镇交通比较方便,有6个小镇交通不太方便.现从中任意选取10个小镇,其中有X个小镇交通不太方便,则下列概率中等于的是(　　)

A.P(X=4) B.P(X≤4)

C.P(X=6) D.P(X≤6)

3.(2019河北邢台一中高二月考,)在10个排球中有6个正品,4个次品.从中任意抽取4个,则抽到的正品数比次品数少的概率为(　　)

A. B. C. D.

4.(2020山东菏泽高二模拟,)盒中有10个螺丝钉,其中有3个是坏的,现从盒中随机地抽取4个,那么概率是的事件为(　　)

A.恰有1个是坏的

B.4个全是好的

C.恰有2个是好的

D.至多有2个是坏的

二、填空题

5.(2020江苏泰州中学高二期中,)如图,一机器人从点A(0,0)出发,每秒向上或向右移动1格到达相应点,已知每次向上移动1格的概率是,向右移动1格的概率是,则该机器人6秒后到达点B(4,2)的概率为　　　　. 

6.(2019黑龙江哈六中高二期中,)某工厂生产电子元件,其产品的次品率为5%,现从一批产品中任意地连续取出2件,写出其中次品数ξ的概率分布.

7.(2020山西阳泉一中高二月考,)从由1,2,3,4,5,6组成的没有重复数字的六位数中任取5个不同的数,记其中满足1,3都不与5相邻的六位偶数的个数为随机变量X,则P(X=2)=　　　　.(结果用式子表示即可) 

三、解答题

8.(2019北京人大附中高三模拟,)为了解学生自主学习期间完成数学试卷(单位:套)的情况,一名教师对某班级的所有学生进行了调查,调查结果如下表:

(1)从该班学生中任选一名男生,一名女生,求这两名学生完成试卷套数之和为4的概率;

(2)若从完成试卷套数不少于4的学生中任选4人,设选到的男学生人数为X,求随机变量X的分布列.

9.(2019江西吉安一中高三月考,)高尔顿(钉)板是在一块竖起的木板上钉上一排排互相平行、水平间隔相等的圆柱形铁钉(如图),并且每一排铁钉数目都比上一排多一个,一排中各个铁钉恰好对准上面一排两相邻铁钉的正中央.从入口处放入一个直径略小于两颗铁钉间隔的小球,当小球从两钉之间的间隙下落时,由于碰到下一排铁钉,它将以相等的可能性向左或向右落下,接着小球再通过两铁钉的间隙,又碰到下一排铁钉.如此继续下去,在最底层的5个出口处各放置一个容器接住小球.

(1)理论上,小球落入4号容器的概率是多少?

(2)一数学兴趣小组取3个小球进行试验,设其中落入4号容器的小球的个数为X,求X的分布列.

10.(2019天津武清杨村一中高二期末,)为发展业务,某调研组对A,B两个公司的产品需求量进行调研,准备从国内7个人口超过1 500万的超大城市和n(n∈N+)个人口低于200万的小城市中随机抽取若干个进行统计,若一次抽取2个城市,则全是小城市的概率为.

(1)求n的值;

(2)若一次抽取4个城市,则①假设取出小城市的个数为X,求X的分布列;

②若取出的4个城市是同一类城市,求全为超大城市的概率.

11.(2019重庆育才中学高三开学考试,)2019年5月,重庆市育才中学开展了“最美教室”文化布置评比活动,工作人员随机抽取了16间教室进行量化评估,其中评分不低于9分的教室评为优秀,以下表格记录了它们的评分情况:

(1)现从16间教室中随机抽取3间,求至多有1间优秀的概率;

(2)以这16间教室的评分数据估计全校教室的布置情况,若从全校所有教室中任选3间,记X表示抽到优秀的教室间数,求X的分布列.

答案全解全析

专题强化练4　二项分布与超几何分布

一、选择题

1.D　将一枚质地均匀的硬币连续抛掷5次,正面向上的次数X~B(5,0.5).故选D.

2.A　易知X服从超几何分布,因为有6个小镇交通不太方便,所以从6个交通不太方便的小镇中取4个的概率P(X=4)=,故选A.

3.A　抽到的正品数比次品数少,有两种情况:0个正品4个次品,1个正品3个次品,由超几何分布的概率可知,抽到0个正品4个次品的概率P1== ,抽到1个正品3个次品的概率P2===,所以抽到的正品数比次品数少的概率为+=,故选A.

4.C　对于选项A,概率为=.对于选项B,概率为=.对于选项C,概率为=.对于选项D,包括没有坏的,有1个坏的和有2个坏的三种情况,概率为1-=.故选C.

二、填空题

5.答案　

解析　由题意可得,6秒内向右移动4次,向上移动2次即可到达点B,则所求概率为=.

6.答案　0.902 5;0.095;0.002 5

解析　易知ξ~B(2,0.05),

所以P(ξ=0)=×0.952=0.902 5,

P(ξ=1)=×0.95×0.05=0.095,

P(ξ=2)=×0.052=0.002 5.

7.答案　

解析　由1,2,3,4,5,6组成的没有重复数字的六位数有=720个.1,3,5都不相邻的六位偶数有=36个,即先排好3个偶数,然后在每个偶数前插入一个奇数.1,3相邻,与5不相邻的六位偶数有=72个,即先将1,3捆绑起来,然后排好3个偶数,接着将捆绑好的1,3与5插入到3个偶数前面的空位中.由此求得1,3都不与5相邻的六位偶数有36+72=108个,其他六位数有720-108=612个.根据超几何分布的概率计算公式有P(X=2)=.

三、解答题

8.解析　(1)设事件A:从该班学生中任选一名男生,一名女生,这两名学生完成试卷套数之和为4.

由题意可知,P(A)==.

(2)完成试卷套数不少于4的学生共8人,其中男学生人数为4,故X的所有可能取值为0,1,2,3,4.

由题意可得P(X=0)==,

P(X=1)===,

P(X=2)===,

P(X=3)===,

P(X=4)==.

所以随机变量X的分布列为

9.解析　(1)记“小球落入4号容器”为事件A,

若要小球落入4号容器,则需要在通过的四层中有三层向右,一层向左,

∴理论上,小球落入4号容器的概率P(A)==.

(2)落入4号容器的小球的个数X的所有可能取值为0,1,2,3,

∴P(X=0)=×=,

P(X=1)=××=,

P(X=2)=××=,

P(X=3)=×=,

∴X的分布列为

10.解析　(1)由题意知,共(n+7)个城市,取出2个的方法总数是,其中全是小城市的情况有种,故全是小城市的概率是==,

整理得11n2-67n-168=0,

即(11n+21)(n-8)=0,∵n∈N+,∴n=8.

(2)①由题意可知X的所有可能取值为0,1,2,3,4.

P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==,P(X=4)==.

故X的分布列为

②若4个城市全是超大城市,共有=35种情况;

若4个城市全是小城市,共有=70种情况,

故全为超大城市的概率为==.

11.解析　(1)设Ai表示所抽取的3间教室中有i间教室优秀,抽取的3间教室中至多有1间优秀为事件A,则P(A)=P(A0)+P(A1)=+=.

(2)由题表数据可知,从16间教室中任选1间是优秀的概率为=,

由题可知X的所有可能取值为0,1,2,3,则

P(X=0)==,

P(X=1)==,

P(X=2)==,

P(X=3)==,

所以X的分布列为