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人教B版高中数学选择性必修第二册第4章4-2-3第2课时超几何分布学案
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这是一份人教B版高中数学选择性必修第二册第4章4-2-3第2课时超几何分布学案，共10页。
第2课时 超几何分布某市招募的100名医学服务志愿者中，男同志有45人，现要选派20人去市南区协助做好社区人员排查登记，其中男同志不少于10人的概率是多少？[提示] P＝eq \f(C\o\al(10,45)C\o\al(10,55),C\o\al(20,100))＋eq \f(C\o\al(11,45)C\o\al(9,55),C\o\al(20,100))＋eq \f(C\o\al(12,45)C\o\al(8,55),C\o\al(20,100))＋…＋eq \f(C\o\al(20,45)·C\o\al(0,55),C\o\al(20,100))．知识点 超几何分布(1)定义：一般地，若有总数为N件的甲、乙两类物品，其中甲类有M件(M＜N)，从所有物品中随机取出n件(n≤N)，则这n件中所含甲类物品数X是一个离散型随机变量，X能取不小于t且不大于s的所有自然数，其中s是M与n中的较小者，t在n不大于乙类物品件数(即n≤N－M)时取0，否则t取n减乙类物品件数之差(即t＝n－(N－M))，而且P(X＝k)＝eq \f(C\o\al(k,M)C\o\al(n－k,N－M),C\o\al(n,N))，k＝t，t＋1，…，s，这里的X称为服从参数为N，n，M的超几何分布．(2)记法：X～H(N，n，M)．(3)分布列：如果X～H(N，n，M)且n＋M－N≤0，则X能取所有不大于s的自然数，此时X的分布列如下表所示．拓展：对超几何分布的理解(1)在形式上适合超几何分布的模型常有较明显的两部分组成，如“男生，女生”“正品，次品”“优，劣”等；(2)在产品抽样中，一般为不放回抽样；(3)其概率计算可结合古典概型求得．1．设10件产品中有3件次品，现从中抽取5件，则eq \f(C\o\al(2,3)C\o\al(3,7),C\o\al(5,10))表示( )A．5件产品中有3件次品的概率B．5件产品中有2件次品的概率C．5件产品中有2件正品的概率D．5件产品中至少有2件次品的概率B [根据超几何分布的定义可知Ceq \o\al(2,3)表示从3件次品中任选2件，Ceq \o\al(3,7)表示从7件正品中任选3件，故选B．]2．高二(1)班共有50名学生，其中有15名学生戴眼镜，从班级中随机抽取5人，设抽到戴眼镜的人数为X， 则X～________．H(50，5，15) [由超几何分布的定义可知，X～H(50，5，15)．] 类型1 超几何分布的辨析【例1】 下列问题中，哪些属于超几何分布问题，说明理由．(1)抛掷三枚骰子，所得向上的数是6的骰子的个数记为X，求X的概率分布；(2)有一批种子的发芽率为70%，任取10颗种子做发芽试验，把试验中发芽的种子的个数记为X，求X的概率分布；(3)盒子中有红球3只，黄球4只，蓝球5只．任取3只球，把不是红色的球的个数记为X，求X的概率分布；(4)某班级有男生25人，女生20人．选派4名学生参加学校组织的活动，班长必须参加，其中女生人数记为X，求X的概率分布；(5)现有100台MP3播放器未经检测，抽取10台送检，把检验结果为不合格的MP3播放器的个数记为X，求X的概率分布．[解] (1)(2)中样本没有分类，不是超几何分布问题，是重复试验问题．(3)(4)符合超几何分布的特征，样本都分为两类．随机变量X表示抽取n件样本中某类样本被抽取的件数，是超几何分布．(5)中没有给出不合格品数，无法计算X的概率分布，所以不属于超几何分布问题．判断一个随机变量是否服从超几何分布，应看三点：(1)总体是否可分为两类明确的对象．(2)是否为不放回抽样．(3)随机变量是否为样本中某一类个体的个数．[跟进训练]1．下列随机变量中，服从超几何分布的有________．(填序号)①在10件产品中有3件次品，一件一件地不放回地任意取出4件，记取到的次品数为X；②从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取2台，记X表示所取的2台彩电中甲型彩电的台数；③一名学生骑自行车上学，途中有6个交通岗，记此学生遇到红灯的数为随机变量X．①② [根据超几何分布模型定义可知①中随机变量X服从超几何分布．②中随机变量X服从超几何分布．而③中显然不能看作一个不放回抽样问题，故随机变量X不服从超几何分布．] 类型2 超几何分布的概率及其分布列【例2】 (对接教材)袋中有4个红球，3个黑球，这些球除颜色外完全相同，从袋中随机抽取球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，从袋中任取4个球．(1)求得分X的分布列；(2)求得分大于6分的概率．[解] (1)从袋中任取4个球的情况为：1红3黑，2红2黑，3红1黑，4红，共四种情况，得分分别为5分，6分，7分，8分，故X的可能取值为5，6，7，8．P(X＝5)＝eq \f(C\o\al(1,4)C\o\al(3,3),C\o\al(4,7))＝eq \f(4,35)，P(X＝6)＝eq \f(C\o\al(2,4)C\o\al(2,3),C\o\al(4,7))＝eq \f(18,35)，P(X＝7)＝eq \f(C\o\al(3,4)C\o\al(1,3),C\o\al(4,7))＝eq \f(12,35)，P(X＝8)＝eq \f(C\o\al(4,4),C\o\al(4,7))＝eq \f(1,35)．故所求分布列为(2)根据随机变量的分布列可以得到大于6分的概率为P(X>6)＝P(X＝7)＋P(X＝8)＝eq \f(12,35)＋eq \f(1,35)＝eq \f(13,35)．求超几何分布的分布列的步骤[跟进训练]2．现有10张奖券，其中8张1元，2张5元，从中同时任取3张，求所得金额的分布列．[解] 设所得金额为X，X的可能取值为3，7，11．P(X＝3)＝eq \f(C\o\al(3,8),C\o\al(3,10))＝eq \f(7,15)，P(X＝7)＝eq \f(C\o\al(2,8)C\o\al(1,2),C\o\al(3,10))＝eq \f(7,15)，P(X＝11)＝eq \f(C\o\al(1,8)·C\o\al(2,2),C\o\al(3,10))＝eq \f(1,15)．故X的分布列为 类型3 超几何分布与二项分布间的联系1．超几何分布适合解决什么样的概率问题？[提示] 超几何分布适合解决一个总体(共有N个个体)内含有两种不同事物A(M个)，B(N－M个)，任取n个，其中恰有X个A的概率分布问题．2．在实际应用中，从大批产品中抽取少量样品的不放回检验，可以看作独立重复试验吗？[提示] 独立重复试验的实际原型是有放回地抽样检验问题，但在实际应用中，从大批产品中抽取少量样品的不放回检验，可以近似地看作此类型．【例3】 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的质量(单位：克)，质量的分组区间为(490，495]，(495，500]，…，(510，515]．由此得到样本的频率分布直方图如图．(1)根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品数量；(2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设X为质量超过505克的产品数量，求X的分布列；(3)从该流水线上任取2件产品，设Y为质量超过505克的产品数量，求Y的分布列．[思路点拨] (1)结合频率分布直方图求解；(2)结合超几何分布及古典概型求X的分布列；(3)先分析Y服从什么分布，再选择相应公式求解．[解] (1)质量超过505克的产品的频率为5×0.05＋5×0.01＝0.3，∴质量超过505克的产品数量为40×0.3＝12(件)．(2)重量超过505克的产品数量为12件，则重量未超过505克的产品数量为28件，且X～H(40，2，12)．∴P(X＝0)＝eq \f(C\o\al(2,28),C\o\al(2,40))＝eq \f(63,130)，P(X＝1)＝eq \f(C\o\al(1,12)C\o\al(1,28),C\o\al(2,40))＝eq \f(28,65)，P(X＝2)＝eq \f(C\o\al(2,12),C\o\al(2,40))＝eq \f(11,130)，∴X的分布列为(3)根据样本估计总体的思想，取一件产品，该产品的质量超过505克的概率为eq \f(12,40)＝eq \f(3,10)．从流水线上任取2件产品互不影响，该问题可看成2次独立重复试验，质量超过505克的件数Y的可能取值为0，1，2，且Y～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(3,10)))，P(Y＝k)＝Ceq \o\al(k,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,10)))eq \s\up12(2－k) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,10)))eq \s\up12(k)，∴P(Y＝0)＝Ceq \o\al(0,2)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,10)))eq \s\up12(2)＝eq \f(49,100)，P(Y＝1)＝Ceq \o\al(1,2)·eq \f(3,10)·eq \f(7,10)＝eq \f(21,50)，P(Y＝2)＝Ceq \o\al(2,2)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,10)))eq \s\up12(2)＝eq \f(9,100)．∴Y的分布列为在n次试验中，某事件A发生的次数X可能服从超几何分布或二项分布．[跟进训练]3．某种水果按照果径大小可分为四类：标准果、优质果、精品果、礼品果，某采购商从采购的一批水果中随机抽取100个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下：(1)若将频率视为概率，从这100个水果中有放回地随机抽取4个，求恰好有2个水果是礼品果的概率；(结果用分数表示)(2)用分层抽样的方法从这100个水果中抽取10个，再从抽取的10个水果中随机抽取3个，若X表示抽到的精品果的数量，求X的分布列．[解] (1)设从这100个水果中随机抽取1个，其为礼品果的事件为A，则P(A)＝eq \f(20,100)＝eq \f(1,5)，现有放回地随机抽取4个，设抽到礼品果的个数为X，则X～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(1,5)))，∴恰好有2个水果是礼品果的概率为P(X＝2)＝Ceq \o\al(2,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))eq \s\up12(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))eq \s\up12(2)＝eq \f(96,625)．(2)用分层抽样的方法从这100个水果中抽取10个，其中精品果有4个，非精品果有6个，再从中随机抽取3个，则精品果的数量X服从超几何分布，所有可能的取值为0，1，2，3，则P(X＝0)＝eq \f(C\o\al(3,6),C\o\al(3,10))＝eq \f(1,6)，P(X＝1)＝eq \f(C\o\al(2,6)C\o\al(1,4),C\o\al(3,10))＝eq \f(1,2)，P(X＝2)＝eq \f(C\o\al(1,6)C\o\al(2,4),C\o\al(3,10))＝eq \f(3,10)，P(X＝3)＝eq \f(C\o\al(3,4),C\o\al(3,10))＝eq \f(1,30)．∴X的分布列为1．一批产品共10件，次品率为20%，从中任取2件，则恰好取到1件次品的概率为( )A．eq \f(28,45) B．eq \f(16,45) C．eq \f(11,45) D．eq \f(17,45)B [由题意知10件产品中有2件次品，故所求概率为P(X＝1)＝eq \f(C\o\al(1,2)C\o\al(1,8),C\o\al(2,10))＝eq \f(16,45)．]2．盒中有4个白球，5个红球，从中任取3个球，则恰好取出2个红球的概率是( )A．eq \f(37,42) B．eq \f(17,42) C．eq \f(10,21) D．eq \f(17,21)C [设取出红球的个数为X，易知X～H(9，3，5)．∴P(X＝2)＝eq \f(C\o\al(2,5)C\o\al(1,4),C\o\al(3,9))＝eq \f(10,21)，故选C．]3．下列随机事件中的随机变量X服从超几何分布的是( )A．将一枚硬币连抛3次，记正面向上的次数为XB．从7男3女共10名学生干部中选出5名学生干部，记选出女生的人数为XC．某射手的射击命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中的次数为XD．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1个球且不放回，记第一次摸出黑球时摸取的次数为XB [由超几何分布的定义可判断，只有B中的随机变量X服从超几何分布．]4．在含有5件次品的10件产品中，任取4件，则取到的次品数X的分布列为P(X＝r)＝________．eq \f(C\o\al(r,5)C\o\al(4－r,5),C\o\al(4,10))，r＝0，1，2，3，4 [P(X＝r)＝eq \f(C\o\al(r,5)C\o\al(4－r,5),C\o\al(4,10))，r＝0，1，2，3，4．]5．已知某批产品共100件，其中二等品有20件．从中任意抽取2件，ξ表示取出的2件产品中二等品的件数，试填写下列关于ξ的分布列．eq \f(316,495) eq \f(32,99) [由题意可知ξ～H(100，2，20)．则P(ξ＝0)＝eq \f(C\o\al(0,20)C\o\al(2,80),C\o\al(2,100))＝eq \f(316,495)，P(ξ＝1)＝eq \f(C\o\al(1,20)C\o\al(1,80),C\o\al(2,100))＝eq \f(32,99)．]回顾本节内容，自主完成以下问题：1．解决超几何分布问题的关键点是什么？[提示] (1)超几何分布是概率分布的一种形式，一定要注意公式中字母的范围及其意义，解决问题时可以直接利用公式求解，但不能机械地记忆．(2)超几何分布中，只要知道N，n，M，就可以利用公式求出X取不同k的概率P(X＝k)，从而求出X的分布列．2．超几何分布的概率求解中，怎样理解“s是M与n中的较小者”？[提示] 在超几何分布中，确定X的可能取值的关键是确定它的最小值和最大值，具体如下：注意：在超几何分布中，随机变量X的最大值s未必是次品件数M，当抽取的产品的件数n不大于总体中次品的件数M(即n≤M)时，s＝n；当抽取的产品的件数n大于总体中次品的件数M(即n>M)时，s＝M．故X的最大值s是M与n中的较小者．同理，可推测t的取值规律． 1．理解超几何分布的概念．(重点)2．理解超几何分布与二项分布的关系．(难点、易错点)3．会用超几何分布解决一些简单的实际问题．(重点)1．通过学习超几何分布，体会数学建模、数学抽象的素养．2．借助超几何分布解题，提高数学运算素养．X01…k…sPeq \f(C\o\al(0,M)C\o\al(n,N－M),C\o\al(n,N))eq \f(C\o\al(1,M)C\o\al(n－1,N－M),C\o\al(n,N))…eq \f(C\o\al(k,M)C\o\al(n－k,N－M),C\o\al(n,N))…eq \f(C\o\al(s,M)C\o\al(n－s,N－M),C\o\al(n,N))X5678Peq \f(4,35)eq \f(18,35)eq \f(12,35)eq \f(1,35)X3711Peq \f(7,15)eq \f(7,15)eq \f(1,15)X012Peq \f(63,130)eq \f(28,65)eq \f(11,130)Y012Peq \f(49,100)eq \f(21,50)eq \f(9,100)区别(1)当这n次试验是独立重复试验时(如有放回摸球)，X服从二项分布；(2)当n次试验不是独立重复试验时(如不放回摸球)，X服从超几何分布联系在不放回n次试验中，如果总体数量N很大，而试验次数n很小，此时超几何分布可近似转化成二项分布等级标准果优质果精品果礼品果个数10304020X0123Peq \f(1,6)eq \f(1,2)eq \f(3,10)eq \f(1,30)ξ＝k012P(ξ＝k)________________eq \f(19,495)
第2课时 超几何分布某市招募的100名医学服务志愿者中，男同志有45人，现要选派20人去市南区协助做好社区人员排查登记，其中男同志不少于10人的概率是多少？[提示] P＝eq \f(C\o\al(10,45)C\o\al(10,55),C\o\al(20,100))＋eq \f(C\o\al(11,45)C\o\al(9,55),C\o\al(20,100))＋eq \f(C\o\al(12,45)C\o\al(8,55),C\o\al(20,100))＋…＋eq \f(C\o\al(20,45)·C\o\al(0,55),C\o\al(20,100))．知识点 超几何分布(1)定义：一般地，若有总数为N件的甲、乙两类物品，其中甲类有M件(M＜N)，从所有物品中随机取出n件(n≤N)，则这n件中所含甲类物品数X是一个离散型随机变量，X能取不小于t且不大于s的所有自然数，其中s是M与n中的较小者，t在n不大于乙类物品件数(即n≤N－M)时取0，否则t取n减乙类物品件数之差(即t＝n－(N－M))，而且P(X＝k)＝eq \f(C\o\al(k,M)C\o\al(n－k,N－M),C\o\al(n,N))，k＝t，t＋1，…，s，这里的X称为服从参数为N，n，M的超几何分布．(2)记法：X～H(N，n，M)．(3)分布列：如果X～H(N，n，M)且n＋M－N≤0，则X能取所有不大于s的自然数，此时X的分布列如下表所示．拓展：对超几何分布的理解(1)在形式上适合超几何分布的模型常有较明显的两部分组成，如“男生，女生”“正品，次品”“优，劣”等；(2)在产品抽样中，一般为不放回抽样；(3)其概率计算可结合古典概型求得．1．设10件产品中有3件次品，现从中抽取5件，则eq \f(C\o\al(2,3)C\o\al(3,7),C\o\al(5,10))表示( )A．5件产品中有3件次品的概率B．5件产品中有2件次品的概率C．5件产品中有2件正品的概率D．5件产品中至少有2件次品的概率B [根据超几何分布的定义可知Ceq \o\al(2,3)表示从3件次品中任选2件，Ceq \o\al(3,7)表示从7件正品中任选3件，故选B．]2．高二(1)班共有50名学生，其中有15名学生戴眼镜，从班级中随机抽取5人，设抽到戴眼镜的人数为X， 则X～________．H(50，5，15) [由超几何分布的定义可知，X～H(50，5，15)．] 类型1 超几何分布的辨析【例1】 下列问题中，哪些属于超几何分布问题，说明理由．(1)抛掷三枚骰子，所得向上的数是6的骰子的个数记为X，求X的概率分布；(2)有一批种子的发芽率为70%，任取10颗种子做发芽试验，把试验中发芽的种子的个数记为X，求X的概率分布；(3)盒子中有红球3只，黄球4只，蓝球5只．任取3只球，把不是红色的球的个数记为X，求X的概率分布；(4)某班级有男生25人，女生20人．选派4名学生参加学校组织的活动，班长必须参加，其中女生人数记为X，求X的概率分布；(5)现有100台MP3播放器未经检测，抽取10台送检，把检验结果为不合格的MP3播放器的个数记为X，求X的概率分布．[解] (1)(2)中样本没有分类，不是超几何分布问题，是重复试验问题．(3)(4)符合超几何分布的特征，样本都分为两类．随机变量X表示抽取n件样本中某类样本被抽取的件数，是超几何分布．(5)中没有给出不合格品数，无法计算X的概率分布，所以不属于超几何分布问题．判断一个随机变量是否服从超几何分布，应看三点：(1)总体是否可分为两类明确的对象．(2)是否为不放回抽样．(3)随机变量是否为样本中某一类个体的个数．[跟进训练]1．下列随机变量中，服从超几何分布的有________．(填序号)①在10件产品中有3件次品，一件一件地不放回地任意取出4件，记取到的次品数为X；②从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取2台，记X表示所取的2台彩电中甲型彩电的台数；③一名学生骑自行车上学，途中有6个交通岗，记此学生遇到红灯的数为随机变量X．①② [根据超几何分布模型定义可知①中随机变量X服从超几何分布．②中随机变量X服从超几何分布．而③中显然不能看作一个不放回抽样问题，故随机变量X不服从超几何分布．] 类型2 超几何分布的概率及其分布列【例2】 (对接教材)袋中有4个红球，3个黑球，这些球除颜色外完全相同，从袋中随机抽取球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，从袋中任取4个球．(1)求得分X的分布列；(2)求得分大于6分的概率．[解] (1)从袋中任取4个球的情况为：1红3黑，2红2黑，3红1黑，4红，共四种情况，得分分别为5分，6分，7分，8分，故X的可能取值为5，6，7，8．P(X＝5)＝eq \f(C\o\al(1,4)C\o\al(3,3),C\o\al(4,7))＝eq \f(4,35)，P(X＝6)＝eq \f(C\o\al(2,4)C\o\al(2,3),C\o\al(4,7))＝eq \f(18,35)，P(X＝7)＝eq \f(C\o\al(3,4)C\o\al(1,3),C\o\al(4,7))＝eq \f(12,35)，P(X＝8)＝eq \f(C\o\al(4,4),C\o\al(4,7))＝eq \f(1,35)．故所求分布列为(2)根据随机变量的分布列可以得到大于6分的概率为P(X>6)＝P(X＝7)＋P(X＝8)＝eq \f(12,35)＋eq \f(1,35)＝eq \f(13,35)．求超几何分布的分布列的步骤[跟进训练]2．现有10张奖券，其中8张1元，2张5元，从中同时任取3张，求所得金额的分布列．[解] 设所得金额为X，X的可能取值为3，7，11．P(X＝3)＝eq \f(C\o\al(3,8),C\o\al(3,10))＝eq \f(7,15)，P(X＝7)＝eq \f(C\o\al(2,8)C\o\al(1,2),C\o\al(3,10))＝eq \f(7,15)，P(X＝11)＝eq \f(C\o\al(1,8)·C\o\al(2,2),C\o\al(3,10))＝eq \f(1,15)．故X的分布列为 类型3 超几何分布与二项分布间的联系1．超几何分布适合解决什么样的概率问题？[提示] 超几何分布适合解决一个总体(共有N个个体)内含有两种不同事物A(M个)，B(N－M个)，任取n个，其中恰有X个A的概率分布问题．2．在实际应用中，从大批产品中抽取少量样品的不放回检验，可以看作独立重复试验吗？[提示] 独立重复试验的实际原型是有放回地抽样检验问题，但在实际应用中，从大批产品中抽取少量样品的不放回检验，可以近似地看作此类型．【例3】 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的质量(单位：克)，质量的分组区间为(490，495]，(495，500]，…，(510，515]．由此得到样本的频率分布直方图如图．(1)根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品数量；(2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设X为质量超过505克的产品数量，求X的分布列；(3)从该流水线上任取2件产品，设Y为质量超过505克的产品数量，求Y的分布列．[思路点拨] (1)结合频率分布直方图求解；(2)结合超几何分布及古典概型求X的分布列；(3)先分析Y服从什么分布，再选择相应公式求解．[解] (1)质量超过505克的产品的频率为5×0.05＋5×0.01＝0.3，∴质量超过505克的产品数量为40×0.3＝12(件)．(2)重量超过505克的产品数量为12件，则重量未超过505克的产品数量为28件，且X～H(40，2，12)．∴P(X＝0)＝eq \f(C\o\al(2,28),C\o\al(2,40))＝eq \f(63,130)，P(X＝1)＝eq \f(C\o\al(1,12)C\o\al(1,28),C\o\al(2,40))＝eq \f(28,65)，P(X＝2)＝eq \f(C\o\al(2,12),C\o\al(2,40))＝eq \f(11,130)，∴X的分布列为(3)根据样本估计总体的思想，取一件产品，该产品的质量超过505克的概率为eq \f(12,40)＝eq \f(3,10)．从流水线上任取2件产品互不影响，该问题可看成2次独立重复试验，质量超过505克的件数Y的可能取值为0，1，2，且Y～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(3,10)))，P(Y＝k)＝Ceq \o\al(k,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,10)))eq \s\up12(2－k) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,10)))eq \s\up12(k)，∴P(Y＝0)＝Ceq \o\al(0,2)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,10)))eq \s\up12(2)＝eq \f(49,100)，P(Y＝1)＝Ceq \o\al(1,2)·eq \f(3,10)·eq \f(7,10)＝eq \f(21,50)，P(Y＝2)＝Ceq \o\al(2,2)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,10)))eq \s\up12(2)＝eq \f(9,100)．∴Y的分布列为在n次试验中，某事件A发生的次数X可能服从超几何分布或二项分布．[跟进训练]3．某种水果按照果径大小可分为四类：标准果、优质果、精品果、礼品果，某采购商从采购的一批水果中随机抽取100个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下：(1)若将频率视为概率，从这100个水果中有放回地随机抽取4个，求恰好有2个水果是礼品果的概率；(结果用分数表示)(2)用分层抽样的方法从这100个水果中抽取10个，再从抽取的10个水果中随机抽取3个，若X表示抽到的精品果的数量，求X的分布列．[解] (1)设从这100个水果中随机抽取1个，其为礼品果的事件为A，则P(A)＝eq \f(20,100)＝eq \f(1,5)，现有放回地随机抽取4个，设抽到礼品果的个数为X，则X～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(1,5)))，∴恰好有2个水果是礼品果的概率为P(X＝2)＝Ceq \o\al(2,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))eq \s\up12(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))eq \s\up12(2)＝eq \f(96,625)．(2)用分层抽样的方法从这100个水果中抽取10个，其中精品果有4个，非精品果有6个，再从中随机抽取3个，则精品果的数量X服从超几何分布，所有可能的取值为0，1，2，3，则P(X＝0)＝eq \f(C\o\al(3,6),C\o\al(3,10))＝eq \f(1,6)，P(X＝1)＝eq \f(C\o\al(2,6)C\o\al(1,4),C\o\al(3,10))＝eq \f(1,2)，P(X＝2)＝eq \f(C\o\al(1,6)C\o\al(2,4),C\o\al(3,10))＝eq \f(3,10)，P(X＝3)＝eq \f(C\o\al(3,4),C\o\al(3,10))＝eq \f(1,30)．∴X的分布列为1．一批产品共10件，次品率为20%，从中任取2件，则恰好取到1件次品的概率为( )A．eq \f(28,45) B．eq \f(16,45) C．eq \f(11,45) D．eq \f(17,45)B [由题意知10件产品中有2件次品，故所求概率为P(X＝1)＝eq \f(C\o\al(1,2)C\o\al(1,8),C\o\al(2,10))＝eq \f(16,45)．]2．盒中有4个白球，5个红球，从中任取3个球，则恰好取出2个红球的概率是( )A．eq \f(37,42) B．eq \f(17,42) C．eq \f(10,21) D．eq \f(17,21)C [设取出红球的个数为X，易知X～H(9，3，5)．∴P(X＝2)＝eq \f(C\o\al(2,5)C\o\al(1,4),C\o\al(3,9))＝eq \f(10,21)，故选C．]3．下列随机事件中的随机变量X服从超几何分布的是( )A．将一枚硬币连抛3次，记正面向上的次数为XB．从7男3女共10名学生干部中选出5名学生干部，记选出女生的人数为XC．某射手的射击命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中的次数为XD．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1个球且不放回，记第一次摸出黑球时摸取的次数为XB [由超几何分布的定义可判断，只有B中的随机变量X服从超几何分布．]4．在含有5件次品的10件产品中，任取4件，则取到的次品数X的分布列为P(X＝r)＝________．eq \f(C\o\al(r,5)C\o\al(4－r,5),C\o\al(4,10))，r＝0，1，2，3，4 [P(X＝r)＝eq \f(C\o\al(r,5)C\o\al(4－r,5),C\o\al(4,10))，r＝0，1，2，3，4．]5．已知某批产品共100件，其中二等品有20件．从中任意抽取2件，ξ表示取出的2件产品中二等品的件数，试填写下列关于ξ的分布列．eq \f(316,495) eq \f(32,99) [由题意可知ξ～H(100，2，20)．则P(ξ＝0)＝eq \f(C\o\al(0,20)C\o\al(2,80),C\o\al(2,100))＝eq \f(316,495)，P(ξ＝1)＝eq \f(C\o\al(1,20)C\o\al(1,80),C\o\al(2,100))＝eq \f(32,99)．]回顾本节内容，自主完成以下问题：1．解决超几何分布问题的关键点是什么？[提示] (1)超几何分布是概率分布的一种形式，一定要注意公式中字母的范围及其意义，解决问题时可以直接利用公式求解，但不能机械地记忆．(2)超几何分布中，只要知道N，n，M，就可以利用公式求出X取不同k的概率P(X＝k)，从而求出X的分布列．2．超几何分布的概率求解中，怎样理解“s是M与n中的较小者”？[提示] 在超几何分布中，确定X的可能取值的关键是确定它的最小值和最大值，具体如下：注意：在超几何分布中，随机变量X的最大值s未必是次品件数M，当抽取的产品的件数n不大于总体中次品的件数M(即n≤M)时，s＝n；当抽取的产品的件数n大于总体中次品的件数M(即n>M)时，s＝M．故X的最大值s是M与n中的较小者．同理，可推测t的取值规律． 1．理解超几何分布的概念．(重点)2．理解超几何分布与二项分布的关系．(难点、易错点)3．会用超几何分布解决一些简单的实际问题．(重点)1．通过学习超几何分布，体会数学建模、数学抽象的素养．2．借助超几何分布解题，提高数学运算素养．X01…k…sPeq \f(C\o\al(0,M)C\o\al(n,N－M),C\o\al(n,N))eq \f(C\o\al(1,M)C\o\al(n－1,N－M),C\o\al(n,N))…eq \f(C\o\al(k,M)C\o\al(n－k,N－M),C\o\al(n,N))…eq \f(C\o\al(s,M)C\o\al(n－s,N－M),C\o\al(n,N))X5678Peq \f(4,35)eq \f(18,35)eq \f(12,35)eq \f(1,35)X3711Peq \f(7,15)eq \f(7,15)eq \f(1,15)X012Peq \f(63,130)eq \f(28,65)eq \f(11,130)Y012Peq \f(49,100)eq \f(21,50)eq \f(9,100)区别(1)当这n次试验是独立重复试验时(如有放回摸球)，X服从二项分布；(2)当n次试验不是独立重复试验时(如不放回摸球)，X服从超几何分布联系在不放回n次试验中，如果总体数量N很大，而试验次数n很小，此时超几何分布可近似转化成二项分布等级标准果优质果精品果礼品果个数10304020X0123Peq \f(1,6)eq \f(1,2)eq \f(3,10)eq \f(1,30)ξ＝k012P(ξ＝k)________________eq \f(19,495)
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