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    人教B版高中数学选择性必修第二册第4章4-1-2第2课时全概率公式、贝叶斯公式学案

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    这是一份人教B版高中数学选择性必修第二册第4章4-1-2第2课时全概率公式、贝叶斯公式学案,共9页。

    第2课时 全概率公式、贝叶斯公式有三个罐子,1号装有2红1黑球,2号装有3红1黑球,3号装有2红2黑球.某人从中随机取一罐,再从中任意取出一球,求取得红球的概率.问题:如何求取得红球的概率?[提示] P=eq \f(1,3)×eq \f(2,3)+eq \f(1,3)×eq \f(3,4)+eq \f(1,3)×eq \f(2,4)=eq \f(23,36).知识点1 全概率公式(1)P(B)=P(A)P(B|A)+P(eq \o(A,\s\up6(-)))P(B|eq \o(A,\s\up6(-)));(2)定理1 若样本空间Ω中的事件A1,A2,…,An满足:①任意两个事件均互斥,即AiAj=∅,i,j=1,2,…,n,i≠j;②A1+A2+…+An=Ω;③P(Ai)>0,i=1,2,…,n.则对Ω中的任意事件B,都有B=BA1+BA2+…+BAn,且P(B)=eq \o(\o(∑,\s\up6(n),\s\do6(i=1))PBAi)=eq \o(\o(∑,\s\up6(n),\s\do6(i=1))PAiPB|Ai).全概率公式体现了哪种数学思想?[提示] 全概率公式体现了转化与化归的数学思想,即采用化整为零的方式,把各块的概率分别求出,再相加求和即可.已知事件B的发生有各种可能的情形Ai(i=1,2,…,n),事件B发生的可能性,就是各种可能情形Ai发生的可能性与已知在Ai发生的条件下事件B发生的可能性的乘积之和.在实际问题中,由于随机事件的复杂性,有时很难直接求得事件B发生的概率,因此我们可以分析事件B发生的各种可能情形,化整为零地去分解事件B,然后借助于全概率公式间接求出事件B发生的概率.1.已知事件A,B,且P(A)=eq \f(1,3),P(B|A)=eq \f(1,5),P(B|eq \o(A,\s\up6(-)))=eq \f(2,5),则P(B)等于(  )A.eq \f(3,5)     B.eq \f(1,5)     C.eq \f(1,3)     D.eq \f(1,15)C [P(B)=P(A)P(B|A)+P(eq \o(A,\s\up6(-)))P(B|eq \o(A,\s\up6(-)))=eq \f(1,3)×eq \f(1,5)+eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1-\f(1,3)))×eq \f(2,5)=eq \f(1,3).故选C.]知识点2 贝叶斯公式(1)一般地,当0<P(A)<1且P(B)>0时,有P(A|B)=eq \f(PAPB|A,PB)=eq \f(PAPB|A,PAPB|A+P\o(A,\s\up6(-))PB|\o(A,\s\up6(-))).(2)定理2 若样本空间Ω中的事件A1,A2,…,An满足:①任意两个事件均互斥,即AiAj=∅,i,j=1,2,…,n,i≠j;②A1+A2+…+An=Ω;③1>P(Ai)>0,i=1,2,…,n.则对Ω中的任意概率非零的事件B,有P(Aj|B)=eq \f(PAjPB|Aj,PB)=eq \o(\f(PAjPB|Aj,\o(∑,\s\up6(n),\s\do6(i=1))PAiPB|Ai)).拓展:贝叶斯公式充分体现了P(A|B),P(A),P(B),P(B|A),P(B|eq \o(A,\s\up6(-))),P(AB)之间的转化.即P(A|B)=eq \f(PAB,PB),P(AB)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A),P(B)=P(A)P(B|A)+P(eq \o(A,\s\up6(-)))P(B|eq \o(A,\s\up6(-)))之间的内在联系.2.思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)P(A)=P(B)P(A|B)+P(eq \o(B,\s\up6(-)))P(A|eq \o(B,\s\up6(-))). (  )(2)P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(eq \o(B,\s\up6(-))|A). (  )(3)P(A|B)=eq \f(PAB,PB)=eq \f(PBPA|B,PAPB|A). (  )[答案] (1)√ (2)× (3)× 类型1 全概率公式及其应用【例1】 (对接教材)某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的,根据以往的记录有如下表所示的数据:设这三家元件制造厂的元件在仓库中是均匀混合的,且无区别的标志.在仓库中随机地取一只元件,求它是次品的概率.[解] 设事件Bi表示所取到的产品是由第i家元件制造厂提供的(i=1,2,3),事件A表示取到的是一件次品.其中B1,B2,B3两两互斥,A发生总是伴随着B1,B2,B3之一发生,即A=B1A∪B2A∪B3A,且B1A,B2A,B3A两两互斥.运用互斥事件概率的加法公式和乘法公式,得P(A)=P(B1A)+P(B2A)+P(B3A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)=0.15×0.02+0.80×0.01+0.05×0.03=0.012 5.因此,在仓库中随机地取一只元件,它是次品的概率为0.012 5.当直接求事件A发生的概率不好求时,可以采用化整为零的方式,即把A事件分解,然后借助全概率公式间接求出事件A发生的概率.[跟进训练]1.可能造成“持续人传人”.通俗点说就是A传B,B传C,C又传D等,这就是“持续人传人”,而A,B,C被称为第一代、第二代、第三代传播者.假设一个身体健康的人被第一代、第二代、第三代传播者感染的概率分别为0.95,0.9,0.85,健康的小明参加了一次多人宴会,事后知道,参加宴会的人有5名第一代传播者,3名第二代传播者,2名第三代传播者,若小明参加宴会,仅和感染的10人中的一人接触,则感染的概率为________.0.915 [设事件A,B,C分别表示和第一代、第二代、第三代传播者接触,事件D表示小明被感染,则由题意得P(A)=0.5,P(B)=0.3,P(C)=0.2,P(D|A)=0.95,P(D|B)=0.9,P(D|C)=0.85,则P(D)=P(D|A)P(A)+P(D|B)P(B)+P(D|C)P(C)=0.95×0.5+0.9×0.3+0.85×0.2=0.915.] 类型2 贝叶斯公式及其应用【例2】 一项血液化验用来鉴别是否患有某种疾病.在患有此种疾病的人群中,通过化验有95%的人呈阳性反应,而健康的人通过化验也会有1%的人呈阳性反应.某地区此种病的患者仅占人口的0.5%.若某人化验结果为阳性,问此人确实患有此病的概率是多大?[解] 设A=“呈阳性反应”,B=“患有此种疾病”,则P(A)=P(B)·P(A|B)+P(eq \o(B,\s\up6(-)))·P(A|eq \o(B,\s\up6(-)))=0.5%×95%+99.5%×1%=1.47%.所以P(B|A)=eq \f(PAB,PA)=eq \f(0.5%×95%,1.47%)=32.3%.利用贝叶斯公式求概率的步骤第一步:利用全概率公式计算P(A),即P(A)=eq \o(∑,\s\up6(n),\s\do6(i=1))P(Bi)P(A|Bi);第二步:计算P(AB),可利用P(AB)=P(B)P(A|B)求解;第三步:代入P(B|A)=eq \f(PAB,PA)求解.[跟进训练]2.某工厂有四条流水线生产同一种产品,该四条流水线的产量分别占总产量的15%,20%,30%,35%,又这四条流水线的不合格品率依次为0.05,0.04,0.03及0.02. 现在从该厂产品中任取一件,问恰好抽到不合格品的概率为多少?该不合格品是由第四条流水线上生产的概率为多少?[解] 设Ai=第i条流水线生产的产品,i=1,2,3,4;B=抽到不合格品,则由题意得,P(A1)=0.15,P(A2)=0.20,P(A3)=0.30,P(A4)=0.35,P(B|A1)=0.05,P(B|A2)=0.04,P(B|A3)=0.03,P(B|A4)=0.02,(1)P(B)=eq \o(∑,\s\up6(4),\s\do6(i=1))P(Ai)P(B|Ai)=0.031 5.(2)P(A4|B)=eq \f(PA4PB|A4,\o(∑,\s\up6(4),\s\do6(i=1))PAiPB|Ai)≈0.222 2. 类型3 全概率公式与贝叶斯公式的综合应用【例3】 假定具有症状S={S1,S2,S3,S4}的疾病有d1,d2,d3三种,现从20 000份患有疾病d1,d2,d3的病历卡中统计得到下列数字:试问当一个具有S中症状的病人前来要求诊断时,他患有疾病的可能性是多少?在没有别的资料可依据的诊断手段情况下,诊断该病人患有这三种疾病中哪一种较合适?[解] 以A表示事件“患者出现S中的某些症状”,D i表示事件“患者患有疾病di”(i=1,2,3),由于该问题观察的个数很多,用事件的频率作为概率的近似是合适的,由统计数字可知P(D1)=eq \f(7 750,20 000)=0.387 5,P(D2)=eq \f(5 250,20 000)=0.262 5,P(D3)=eq \f(7 000,20 000)=0.35,P(A|D1)=eq \f(7 500,7 750)≈0.967 7,P(A|D2)=eq \f(4 200,5 250)=0.8,P(A|D3)=eq \f(3 500,7 000)=0.5.从而P(A)=P(A|D1)P(D1)+P(A|D2)P(D2)+P(A|D3)P(D3)=0.387 5×0.967 7+0.262 5×0.8+0.35×0.5≈0.76.由贝叶斯公式得P(D1|A)=eq \f(PA|D1PD1,PA)=eq \f(0.387 5×0.967 7,0.76)≈0.493 4,P(D2|A)=eq \f(PA|D2PD2,PA)=eq \f(0.262 5×0.8,0.76)≈0.276 3,P(D3|A)=eq \f(PA|D3PD3,PA)=eq \f(0.35×0.5,0.76)≈0.230 3,从而推测病人患有疾病d1较为合理.若随机试验可以看成分两个阶段进行,且第一阶段的各试验结果具体结果怎样未知,那么:(1)如果要求的是第二阶段某一个结果发生的概率,则用全概率公式;(2)如果第二个阶段的某一个结果是已知的,要求的是此结果为第一阶段某一个结果所引起的概率,一般用贝叶斯公式,类似于求条件概率,熟记这个特征,在遇到相关的题目时,可以准确地选择方法进行计算,保证解题的正确高效.[跟进训练]3.同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应.由长期的经验知,三家的正品率分别为0.95、0.90、0.80,三家产品数所占比例为2∶3∶5,将三家产品混合在一起.(1)从中任取一件,求此产品为正品的概率;(2)现取到一件产品为正品,问它是由甲、乙、丙三个厂中哪个厂生产的可能性大?[解] 设事件A表示“取到的产品为正品”,B1,B2,B3分别表示“产品由甲、乙、丙厂生产”,由已知P(B1)=0.2,P(B2)=0.3,P(B3)=0.5,P(A|B1)=0.95,P(A|B2)=0.9,P(A|B3)=0.8.(1)由全概率公式得:P(A)=eq \o(∑,\s\up6(3),\s\do6(i=1))P(Bi)P(A|Bi)=0.2×0.95+0.3×0.9+0.5×0.8=0.86.(2)由贝叶斯公式得P(B1|A)=eq \f(PB1PA|B1,PA)=eq \f(0.2×0.95,0.86)≈0.220 9,P(B2|A)=eq \f(PB2PA|B2,PA)=eq \f(0.3×0.9,0.86)≈0.314 0,P(B3|A)=eq \f(PB3PA|B3,PA)=eq \f(0.5×0.8,0.86)≈0.465 1.由以上3个数作比较,可知这件产品由丙厂生产的可能性最大.1.有朋自远方来,乘火车、船、汽车、飞机来的概率分别为0.3,0.2,0.1,0.4,迟到的概率分别为0.25,0.3,0.1,0,则他迟到的概率为(  )A.0.65  B.0.075  C.0.145 D.0C [用A1表示他乘火车来,A2表示他乘船来,A3表示他乘汽车来,A4表示他乘飞机来,B表示他迟到.易见:A1,A2,A3,A4构成一个完备事件组,由全概率公式得P(B)=eq \o(∑,\s\up6(4),\s\do6(i=1))P(Ai)P(B|Ai)=0.3×0.25+0.2×0.3+0.1×0.1+0.4×0=0.145.]2.两台机床加工同样的零件,第一台的废品率为0.04,第二台的废品率为0.07,加工出来的零件混放,并设第一台加工的零件是第二台加工零件的2倍,现任取一零件,则它是合格品的概率为(  )A.0.21  B.0.06  C.0.94  D.0.95D [用B表示取到的零件为合格品,Ai表示零件为第i台机床的产品,i=1,2.由全概率公式得:P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=eq \f(2,3)×0.96+eq \f(1,3)×0.93=0.95.故选D.]3.袋中有10个黑球,5个白球.现掷一枚均匀的骰子,掷出几点就从袋中取出几个球.若已知取出的球全是白球,则掷出3点的概率为________.0.048 35 [用B表示取出的球全是白球,Ai表示掷出i点(i=1,2,…,6),则由贝叶斯公式,得P(A3|B)=eq \f(PA3PB|A3,\o(∑,\s\up6(6),\s\do6(i=1))PAiPB|Ai)=eq \f(\f(1,6)×\f(C\o\al(3,5),C\o\al(3,15)),\o(∑,\s\up6(5),\s\do6(i=1)) \f(1,6)×\f(C\o\al(i,5),C\o\al(i,15)))=0.048 35.]4.一袋中装有大小、形状均相同的5个球,其中2个黑球,3个白球,从中先后不放回地任取一球,则第二次取到的是黑球的概率为________.eq \f(2,5) [设事件A,B分别表示第一、二次取到的是黑球,由古典概型可知P(A)=eq \f(2,5),P(B|A)=eq \f(1,4),P(B|eq \o(A,\s\up6(-)))=eq \f(1,2).则P(B)=P(AB)+P(eq \o(A,\s\up6(-))B)=P(A)P(B|A)+P(eq \o(A,\s\up6(-)))P(B|eq \o(A,\s\up6(-)))=eq \f(2,5)×eq \f(1,4)+eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1-\f(2,5)))×eq \f(1,2)=eq \f(2,5).]回顾本节内容,自主完成以下问题:全概率公式的适用范围及步骤是什么?[提示] 所研究的事件试验前提或前一步骤试验有多种可能,在这多种可能中均有所研究的事件发生,这时要求所研究事件的概率就可用全概率公式.运用全概率公式的一般步骤如下:(1)求出样本空间Ω的一个划分A1,A2,…,An;(2)求P(Ai)(i=1,2,…,n);(3)求P(B|Ai)(i=1,2,…,n);(4)求目标事件的概率P(B).可以形象地把全概率公式看成“由原因推结果”.托马斯·贝叶斯托马斯·贝叶斯(Thomas Bayes,1702-1761),18世纪英国神学家、数学家、数理统计学家和哲学家,概率论理论创始人,贝叶斯统计的创立者,“归纳地”运用数学概率,“从特殊推论一般、从样本推论全体”的第一人.贝叶斯曾是对概率论与统计的早期发展有重大影响的两位人物(另一位是布莱斯·帕斯卡Blaise Pascal)之一.贝叶斯在数学方面主要研究概率论.他首先将归纳推理法用于概率论基础理论,并创立了贝叶斯统计理论,对于统计决策函数、统计推断、统计的估算等做出了贡献.1763年发表了这方面的论著,对于现代概率论和数理统计都有很重要的作用.贝叶斯的另一著作《机会的学说概论》发表于1758年.贝叶斯所采用的许多术语被沿用至今.他对统计推理的主要贡献是使用了“逆概率”这个概念,并把它作为一种普遍的推理方法提出来.贝叶斯定理原本是概率论中的一个定理,这一定理可用一个数学公式来表达,这个公式就是著名的贝叶斯公式.1763年由Richard Price整理发表了贝叶斯的成果《An Essay towards solving a Problem in the Doctrine of Chances》,提出贝叶斯公式.假定B1,B2,……是某个过程的若干可能的前提,则P(Bi)是人们事先对各前提条件出现可能性大小的估计,称之为验前概率;如果这个过程得到了一个结果A,那么贝叶斯公式提供了我们根据A的出现而对前提条件做出新评价的方法;P(Bi|A)既是对前提Bi的出现概率的重新认识,称P(Bi|A)为验后概率.经过多年的发展与完善,贝叶斯公式以及由此发展起来的一整套理论与方法,已经成为概率统计中的一个冠以“贝叶斯”名字的学派,在自然科学及国民经济的许多领域中有着广泛应用. 1.理解并掌握全概率公式.(重点)2.了解贝叶斯公式.(难点)3.会用全概率公式及贝叶斯公式解题.(易错点)1.通过学习全概率公式及贝叶斯公式,体会逻辑推理的数学素养.2.借助全概率公式及贝叶斯公式解题,提升数学运算的素养.元件制造厂次品率提供元件的份额10.020.1520.010.8030.030.05疾病人数出现S症状人数d17 7507 500d25 2504 200d37 0003 500
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