人教A版（2019）高中数学必修一讲义09指数函数

这是一份人教A版（2019）高中数学必修一讲义09指数函数，共12页。

指数运算与指数函数一、 指数幂运算1. 次方根一般地，如果一个实数 满足（），那么称 为 的 次实数方根.若 （ ），当 时，若 ,则 ，若 ,则 ;当 时，若 ,则 ，若 ,则 在实数内无解!我们规定： 的 次实数方根等于0．其中，式子 叫做根式，其中 叫做根指数， 叫做被开方数．2. 分数指数幂一般地，我们规定，（ ， ， 均为正整数），这就是正数 的正分数指数幂的意义.我们规定 （ ， ， 均为正整数）， 的正分数指数幂等于 ， 的负分数指数幂没有意义！3. 有理数指数幂规定了分数指数幂的意义之后，整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：其中 ， .4. 实数指数幂一般地，当且 是一个实数时， 也是一个确定的实数，有理数指数幂的运算性质对实数指数幂同样适用.其中 , .经典例题1. 化简 的值等于 ．2. 计算： ．3. 已知 ，其中 ，求 ．巩固练习4. 已知 ，则 化为（ ）．A. B.C. D.5. 计算 ．6. 已知 ，则 的值是 ．二、 幂函数补充（分数指数）分数指数幂函数 ， 互质 ：①当 为偶数， 为奇数时， 为 ；②当 为奇数， 为奇数时， 为 ；③当 为偶数， 为奇数时， 的定义域不关于 轴对称，是 ；）的单调性取决于 的正负，指数的正负也影响函数定义域．经典例题7. 如图所示是函数A. 、 是奇数，且（ 、且 与 互质）的图象，则（ ）．B. 是偶数， 是奇数，且C.D.是偶数， 是奇数，且是奇数， 是偶数，且巩固练习8. 给定一组函数解析式① ．② ．③ ．④ ．⑤ ．⑥ 和一组函数图象．请把图象对应的解析式号码填在下图的括号内．（ 1 ）（ ）．（ 2 ）（ ）．（ 3 ）（ ）．（ 4 ）（ ）．（ 5 ）（ ）．（ 6 ）（ ）．三、 指数函数1. 指数函数的定义一般地，形如（ 且 ）的函数叫做指数函数，它的定义域是 .经典例题9. 在下列的关系式中，是指数函数的有 ．（1） ； （2） ； （3） ； （4） ；（5） ； （6） ； （7） ； （8） （ 且 ）．A. （ ）（ ） B. （ ）（ ）C. （ ）（ ） D. （ ）（ ）巩固练习10. 已知 是指数函数，则实数 （ ）．A. B. C. D.2. 指数函数的图象与性质图 象定义域值域定点过定点单调性 在 上是 函数 在 上是 函数性 时， 时，质 值变化 时，时，对称性 与 的图象关于轴对称底数对图象的影响越小，图象越靠近轴越大，图象越靠近轴经典例题11. 函数 的图象过定点（ ）．A. B. C. D.12. 函数 的图象一定经过（ ）．A. 第一、二、三象限 B. 第一、二、四象限 C. 第一、三、四象限 D. 第二、三、四象限13. 如图是指数函数 ； ； ； 的图象，则 、 、 、与 的大小关系是（ ）．yxOA. B. C. D.14. 设 且 ，则函数 与 在同一坐标系中的图象可. 能. 是（ ）．A. y B. yx xC. y D. yx x15. 已知函数 是定义域 上的减函数，则实数 的取值范围是（）．A. B.C. D.巩固练习16. 函数 （ 且 ）的图象恒过定点（ ）．A. B. C. D.17. 若函数 的图象在第二、三、四象限内，则（ ）．A. B. ，且C. ，且 D.18. 已知 ， ， ， ，则在同一坐标系内，它们的图像为（ ）．A. B.C. D.19. 在下图中，二次函数 与指数函数 的图象只能是（ ）．A. B.C. D.20. 已知 是 上的单调递增函数，则实数 的取值范围是（ ）．A. B. C. D.21. 已知函数 满足： 且 ， ．（ ）．A. B. C. D.若若若若，则，则，则，则3. 指数函数的应用(一) 解简单的指数方程我们把指数里含有未知数的方程叫做指数方程．解指数方程时，常利用指数函数的性质：，其中将指数式作为一个整体，将指数方程化为整式方程求解．经典例题22. 方程 的解集是( )．A. B.C. D.巩固练习23. 设关于 的方程 ．（ 1 ）若常数（ 2 ）若该方程在，求此方程的解．内有解，求 的取值范围．（二）利用指数函数比大小（1）化同底：化为同底后即可仿照同底指数比较大小的步骤比较大小，因此能够化成同底的尽量化成同底．（2）商比法：不同底但是可以化为同指数的两数比较大小，用商比法即可迎刃而解，但是此时要注意除数的正负．（3）取中间值：不同底也不同指数时比较大小，宜先与中间值 或 比较，然后利用不等式传递性得到答案．（4）估算法：利用估算法可以快速达到比较大小的目的，它是一种必备的数学技能，需要有意识培养并深造．（5）图解法：涉及到同一自变量的不同函数值比较大小时，可以抽取出所有函数，将其画在同一坐标系中，然后按照给出范围选取自变量的值观察函数值大小即可．经典例题24. 设 ， ， ，则（ ）A. B.C. D.25. 设 ， ， ，则 ， ， 的大小关系是（ ）．A. B. C. D.巩固练习26. 已知 ， ， ，则（ ）．A. B. C. D.27. 已知 ， ， 则 ， ， 的大小关系是（ ）．A. B. C. D.(三) 解简单的指数不等式解指数不等式时，同样将指数式作为一个整体，先求解不等式中指数式整体的范围，再根据指数式的单调性等求解未知数 的范围．经典例题28. 不等式 恒成立，则 的取值范围是（ ）．A. B.C. D.巩固练习29. 若，恒成立，求实数 的取值范围．30. 已知函数 ， ，若 ， ，使得 ，则实数 的取值范围是( )A. B.C. D.四、 指数型复合函数1. 型经典例题31. 函数 的图象大致为（ ）．A. y B. yO x O xC. D. yxO32. 函数 的最小值为（ ）．A. B. C. D.33. 已知 ， 是实数，且 ，则下式中成立的是（ ）．A. B. C. D.34. 已知函数 ，若在其定义域内存在实数 满足 ，则称函数 为“局部奇函数”，若函数 是定义在 上的“局部奇函数”，则实数 的取值范围是 ．35. 如果函数 在区间 上是增函数，那么实数 的取值范围是（ ）．A. B.C. D.巩固练习36. 某同学在研究函数 时，分别给出下面几个结论：①函数 是奇函数；②函数 的值域为 ；③函数 在 上是增函数；其中正确结论的序号是（ ）．A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③37. 函数 （ 且 ）在区间 上的最大值为 ，则它在这个区间上的最小值为 ．38. 已知集合 ， ，若 ，则实数 的取值范围为（ ）．A. B.C. D.39. 已知函数 （ 且 ）在 上的最大值与最小值之差为 ．（ 1 ）求实数 的值．（ 2 ）若，当时，解不等式.40. 已知函数（ 1 ）求 的值．（ 2 ）若函数（，），且在区间上的最大值比最小值大 ．在区间 的最小值是 ，求实数 的值．2. 型经典例题41. 已知函数（ 1 ）若，求．的单调区间．（ 2 ）若 有最大值 ，求 的值．（ 3 ）若 的值域是 ，求 的取值范围．42. 已知函数 在 上有最小值 ，则 等于（ ）．A. B. C. 或 D.巩固练习43. 已知函数 （ ， 是常数，且 ）在区间 上有最大值 ，最小值 ，则的值是（ ）．A. B. C. D.44. 函数 的增区间是 ，减区间是 ．导图总结你学会了吗？快来用思维导图总结本节课所学吧！出门测45. 函数 且 在 上的最大值比最小值大 ，则 的值是 ．46. 已知函数 ， ，且 ，则下列结论中，一定成立的是（）．A. ， ， B. ， ，C. D.47.函数A. 定义域：B. 定义域：C. 定义域：D. 定义域：的定义域和值域分别为（ ）．，值域：，值域：，值域：，值域：12