2024年中考数学二轮复习 二次函数压轴题 专项提升练习十（含答案）

这是一份2024年中考数学二轮复习 二次函数压轴题 专项提升练习十（含答案），共15页。试卷主要包含了5 m2﹣m﹣1等内容，欢迎下载使用。
如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2＋bx＋4与x轴交于点A、B(点A在点B左侧)，与y轴交于点C，直线y＝﹣x＋4经过B、C两点，OB＝4OA．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，点P为第四象限抛物线上一点，过点P作PD⊥x轴交BC于点D，垂足为N，连接PC交x轴于点E，设点P的横坐标为t，△PCD的面积为S，求S与t的函数关系式；
(3)在(2)的条件下，如图3，过点P作PF⊥PC交y轴于点F，PF＝PE．点G在抛物线上，连接PG，∠CPG＝45°，连接BG，求直线BG的解析式．
如图1，已知抛物线L：y=ax2+bx﹣1.5(a＞0)与x轴交于点A(﹣1,0)和点B，顶点为M，对称轴为直线l：x=1.
(1)直接写出点B的坐标及一元二次方程ax2+bx﹣1.5=0的解．
(2)求抛物线L的解析式及顶点M的坐标．
(3)如图2，设点P是抛物线L上的一个动点，将抛物线L平移．使它的頂点移至点P，得到新抛物线L′，L′与直线l相交于点N．设点P的横坐标为m
①当m=5时，PM与PN有怎样的数量关系？请说明理由．
②当m为大于1的任意实数时，①中的关系式还成立吗？为什么？
③是否存在这样的点P，使△PMN为等边三角形？若存在．请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A(﹣1，0)和点B(3，0)，与y轴交于点N，以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接CP，过点P作CP的垂线与y轴交于点E．
(1)求该抛物线的函数关系表达式；
(2)当点P在线段OB(点P不与O、B重合)上运动至何处时，线段OE的长有最大值？并求出这个最大值；
(3)在第四象限的抛物线上任取一点M，连接MN、MB．请问：△MBN的面积是否存在最大值？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由．
抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于点A(﹣3，0)、B(1，0)，与y轴交于点C.
(1)求抛物线的解析式
(2)在抛物线对称轴上找一点M，使△MBC的周长最小，并求出点M的坐标和△MBC的周长
(3)若点P是x轴上的一个动点，过点P作PQ∥BC交抛物线与点Q，在抛物线上是否存在点Q，使B、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在请求出点Q的坐标，若不存在请说明理由.
如图①，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(8，6)，连结OA，动点P从点O出发，以每秒5个单位长度的速度沿OA向终点A运动.以P为顶点的抛物线y=(x﹣h)2＋k与y轴交于点B，过点B作BC∥x轴交抛物线于另一点C，动点Q从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿AO向终点O运动，以Q为顶点，作边长为4的正方形QDEF.使得DQ∥x轴，且点D在点Q左侧，点F在点Q的下方.点P、Q同时出发，设运动时间为t．
(1)用含有t的代数式表示点P的坐标( ， )
(2)当四边形BCFE为平行四边形时，求t的值．
(3)当点C落在线段DE或QF上时，求t的值．
(4)如图②，以OB、BC为邻边作矩形OBCG，当点Q在矩形OBCG内部时，设矩形OBCG与正方形QDEF重叠部分图形的周长为L，求L与t之间的函数关系式．
如图，抛物线y=ax2+bx+c经过△ABC的三个顶点,与y轴相交于(0,eq \f(9,4))，点A坐标为(﹣1,2)，点B是点A关于y轴的对称点,点C在x轴的正半轴上．
(1)求该抛物线的函数关系表达式．
(2)点F为线段AC上一动点,过F作FE⊥x轴,FG⊥y轴,垂足分别为E、G，当四边形OEFG为正方形时,求出F点的坐标．
(3)将(2)中的正方形OEFG沿OC向右平移,记平移中的正方形OEFG为正方形DEFG,当点E和点C重合时停止运动,设平移的距离为t,正方形的边EF与AC交于点M，DG所在的直线与AC交于点N,连接DM,是否存在这样的t,使△DMN是等腰三角形？若存在,求t的值；若不存在请说明理由．
抛物线y＝ax2＋bx＋c与直线y＝﹣eq \f(1,2)有唯一的公共点A，与直线y＝eq \f(3,2)交于点B，C(C在B的右侧)，且△ABC是等腰直角三角形．过C作x轴的垂线，垂足为D(3，0)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)直线y＝2x与抛物线的交点为P，Q，且P在Q的左侧．
(ⅰ)求P，Q两点的坐标；
(ⅱ)设直线y＝2x＋m(m＞0)与抛物线的交点为M，N，求证：直线PM，QN，CD交于一点．
如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴相交于点B、C(点B在点C左侧)，与y轴相交于点A．已知点B坐标为B(1，0)，BC＝3，△ABC面积为6．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点P为直线AC下方抛物线上一动点，过点P作PD∥AB，交线段AC于点D．求PD长度的最大值及此时P点的坐标；
(3)如图2，将抛物线向左平移eq \f(7,2)个单位长度得到新的抛物线，M为新抛物线对称轴l上一点，N为平面内一点，使得以点A、B、M、N为顶点的四边形为菱形，请直接写出点N的坐标，并写出求解其中一个N点坐标的过程．
\s 0 答案
解：(1)在直线y＝﹣x＋4中，令x＝0，则y＝4，
∴C(0，4)，
令y＝0，则x＝4，
∴B(4，0)，
∴OB＝4，
∵OB＝4OA，
∴OA＝1，
∴A(1，0)，
将A(1，0)，B(4，0)代入y＝ax2＋bx＋4，
∴，解得，
∴y＝x2﹣5x＋4；
(2)∵点P的横坐标为t，
∴P(t，t2﹣5t＋4)(1＜t＜4)，
∵PD⊥x轴，
∴D(t，﹣t＋4)，
∴PD＝﹣t＋4﹣t2＋5t﹣4＝﹣t2＋4t，
∴S＝eq \f(1,2)×t×(﹣t2＋4t)＝﹣eq \f(1,2)t3＋2t2；
(3)过点P作PM⊥y轴交于M，
∵PN⊥x轴，
∴∠NPM＝90°，
∵PF⊥PC，
∴∠FPE＝90°，
∴∠FPM＝∠EPN，
∵PE＝PF，
∴△PFM≌△PEN(ASA)，
∴PM＝PN，
∴t＝﹣(t2﹣5t＋4)，
解得t＝2，
∴P(2，﹣2)，
∵PD∥OC，
∴∠OCA＝∠CPD，
∵∠OCB＝∠CPG＝45°，
∴∠PCB＝∠DPG，
又∵PD∥OC，
∴＝，即＝，解得EN＝，
∴BE＝2＋＝，过点E作EK⊥BC交于K，
∵∠OBC＝45°，
∴EK＝BK＝，∴CK＝4﹣＝，
∴tan∠ECB＝＝，
过点G作GH⊥PD交PD的延长线于点H，
设G(m，m2﹣5m＋4)，
∴＝，
解得m＝2(舍)或m＝5，
∴G(5，4)，
设直线BG的解析式为y＝kx＋n，
∴，解得，
∴y＝4x﹣16．
解：(1)如图1，∵y=ax2+bx﹣1.5(a＞0)与x轴交于点A(﹣1，0)和点B，
对称轴为直线l：x=1，
∴点A和点B关于直线l：x=1对称，∴点B(3，0)，
∴一元二次方程ax2+bx﹣1.5=0的解为x1=﹣1，x2=3；
(2)把A(﹣1，0)，B(3，0)代入y=ax2+bx﹣eq \f(3,2)，
得，解得，
抛物线L的解析式为y=eq \f(1,2)x2﹣x﹣eq \f(3,2)，
配方得，y=eq \f(1,2)(x﹣1)2﹣2，所以顶点M的坐标为(1，﹣2)；
(3)如图2，作PC⊥l于点C．
①∵y=eq \f(1,2)(x﹣1)2﹣2，∴当m=5，即x=5时，y=6，∴P(5，6)，
∴此时L′的解析式为y=eq \f(1,2)(x﹣5)2+6，点C的坐标是(1，6)．
∵当x=1时，y=14，∴点N的坐标是(1，14)．
∵CM=6﹣(﹣2)=8，CN=14﹣6=8，∴CM=CN．
∵PC垂直平分线段MN，∴PM=PN；
②PM=PN仍然成立．由题意有点P的坐标为(m，0.5 m2﹣m﹣1.5)．
∵L′的解析式为y=eq \f(1,2)(x﹣m)2+eq \f(1,2)m2﹣m﹣1.5，
∴点C的坐标是(1，eq \f(1,2)m2﹣m﹣1.5)，
∴CM=0.5m2﹣m﹣1.5+2=0.5m2﹣m+eq \f(1,2)．
∵在L′的解析式y=eq \f(1,2)(x﹣m)2+0.5m2﹣m﹣1.5中，∴当x=1时，y=m2﹣2m﹣1，
∴点N的坐标是(1，m2﹣2m﹣1)，∴CN=(m2﹣2m﹣1)﹣(eq \f(1,2)m2﹣m﹣1.5)=eq \f(1,2)m2﹣m+eq \f(1,2)，
∴CM=CN．∵PC垂直平分线段MN，∴PM=PN；
③存在这样的点P，使△PMN为等边三角形．若=tan30°，
则eq \f(1,2)m2﹣m+eq \f(1,2)=eq \f(\r(3),3)(m﹣1)，
解得m=eq \f(2\r(3),3)+1，所以点P的坐标为(eq \f(2\r(3),3)+1，﹣eq \f(4,3))．
解：(1)∵抛物线y＝x2+bx+c经过A(﹣1，0)，B(3，0)，
把A、B两点坐标代入上式，，解得：，
故抛物线函数关系表达式为y＝x2﹣2x﹣3；
(2)∵A(﹣1，0)，点B(3，0)，∴AB＝OA+OB＝1+3＝4，
∵正方形ABCD中，∠ABC＝90°，PC⊥BE，
∴∠OPE+∠CPB＝90°，∠CPB+∠PCB＝90°，∴∠OPE＝∠PCB，
又∵∠EOP＝∠PBC＝90°，
∴△POE∽△CBP，∴，设OP＝x，则PB＝3﹣x，∴，
∴OE＝，
∵0＜x＜3，∴x=eq \f(3,2)时，线段OE长有最大值，最大值为．
即OP＝eq \f(3,2)时，线段OE有最大值．最大值是．
(3)存在．如图，过点M作MH∥y轴交BN于点H，
∵抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
∴x＝0，y＝﹣3，∴N点坐标为(0，﹣3)，
设直线BN的解析式为y＝kx+b，
∴，∴，∴直线BN的解析式为y＝x﹣3，
设M(a，a2﹣2a﹣3)，则H(a，a﹣3)，
∴MH＝a﹣3﹣(a2﹣2a﹣3)＝﹣a2+3a，
∴S△MNB＝S△BMH+S△MNH＝＝＝，
∵－eq \f(1,2)