2024年中考数学二轮复习 二次函数压轴题 专项提升练习二（含答案）

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如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+1经过点A(4，﹣3)，顶点为点B，点P为抛物线上的一个动点，l是过点(0，2)且垂直于y轴的直线，过P作PH⊥l，垂足为H，连接PO．
(1)求抛物线的解析式，并写出其顶点B的坐标；
(2)①当P点运动到A点处时，计算：PO= ，PH= ，由此发现，PO PH(填“＞”、“＜”或“=”)；
②当P点在抛物线上运动时，猜想PO与PH有什么数量关系，并证明你的猜想；
(3)如图2，设点C(1，﹣2)，问是否存在点P，使得以P，O，H为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋4与x轴相交于点A(﹣1，0)，B(3，0)，与y轴交于点C．将抛物线的对称轴沿x轴的正方向平移，平移后交x轴于点D，交线段BC于点E，交抛物线于点F，过点F作直线BC的垂线，垂足为点G．
(1)求抛物线的表达式；
(2)以点G为圆心，BG为半径画⊙G；以点E为圆心，EF为半径画⊙E．
当⊙G与⊙E内切时．
①试证明EF与EB的数量关系；
②求点F的坐标．
如图1，已知圆O的圆心为原点，半径为2，与坐标轴交于A，C，D，E四点，B为OD中点．
(1)求过A，B，C三点的抛物线解析式；
(2)如图2，连接BC，AC．点P在第一象限且为圆O上一动点，连接BP，交AC于点M，交OC于点N，当MC2＝MNMB时，求M点的坐标；
(3)如图3，若抛物线与圆O的另外两个交点分别为H，F，请判断四边形CFEH的形状，并说明理由．
如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣eq \f(3,4)x2＋bx＋c与x轴相交于点A(4，0)，与y轴相交于点B(0，3)，在x轴上有一动点E(m，0)(0＜m＜4)，过点E作x轴的垂线交线段AB于点N，交抛物线于点P，过P作PM⊥AB，垂足为点M．
(1)求这条抛物线的表达式；
(2)设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，如果，求点P的坐标；
(3)如果以N为圆心，NA为半径的圆与以OB为直径的圆内切，求m的值．
如图，抛物线y＝ax2＋bx＋eq \f(7,2)(a≠0)经过点A(3，2)和点B(4，﹣eq \f(1,2))，且与y轴交于点C．
(1)分别求抛物线和直线BC的解析式；
(2)在x轴上有一动点G，抛物线上有一动点H，是否存在以O，A，G，H为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点H的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点D作DE⊥x轴交直线BC于点E，点P为对称轴上一动点，当线段DE的长度最大时，求PD＋PA的最小值．
在平面直角坐标系中，抛物线L1：y＝ax2＋2x＋b与x轴交于两点A，B(3，0)，与y轴交于点C(0，3)．
(1)求抛物线L1的函数解析式，并直接写出顶点D的坐标；
(2)如图，连接BD，若点E在线段BD上运动(不与B，D重合)，过点E作EF⊥x轴于点F，设EF＝m，问：当m为何值时，△BFE与△DEC的面积之和最小；
(3)若将抛物线L1绕点B旋转180°得抛物线L2，其中C，D两点的对称点分别记作M，N．问：在抛物线L2的对称轴上是否存在点P，使得以B，M，P为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
如图1所示，动点A、B同时从原点O出发，运动的速度都是每秒1个单位，动点A沿x轴正方向运动，动点B沿y轴正方向运动，以OA、OB为邻边建立正方形OACB，抛物线y＝﹣x²＋bx＋c经过B、C两点，假设A、B两点运动的时间为t秒．
(1)当t＝3秒时，求此时抛物线的解析式；此时抛物线上是否存在一点D，使得S△BCD＝6？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由；
(2)如图2，在(1)的条件下，有一条平行于y轴的动直线l，交抛物线于点E，交直线OC于点F，若以O、B、E、F四个点构成的四边形是平行四边形，求点F的坐标；
(3)在动点A、B运动的过程中，若正方形OACB内部有一个点P，且满足OP＝eq \r(2)，CP＝eq \r(2)，∠OPA＝135°，直接写出此时AP的长度．
如图1，在平面直角坐标系中，直线l：y=eq \f(3,4)xm与x轴、y轴分别交于点A和点B(0，﹣1)，抛物线y=eq \f(1,2)x2+bx+c经过点B，且与直线l的另一个交点为C(4，n).
(1)求n的值和抛物线的解析式；
(2)点D在抛物线上，且点D的横坐标为t(0＜t＜4).DE∥y轴交直线l于点E，点F在直线l上，且四边形DFEG为矩形(如图2).若矩形DFEG的周长为p，求p与t的函数关系式以及p的最大值；
(3)M是平面内一点，将△AOB绕点M沿逆时针方向旋转90°后，得到△A1O1B1，点A、O、B的对应点分别是点A1、O1、B1.若△A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点A1的横坐标.
\s 0 答案
解：(1)∵抛物线y=ax2+1经过点A(4，﹣3)，∴﹣3=16a+1，∴a=﹣eq \f(1,4)，
∴抛物线解析式为y=﹣eq \f(1,4)x2+1，顶点B(0，1)．
(2)①当P点运动到A点处时，∵PO=5，PH=5，∴PO=PH，故答案分别为5，5，=．
②结论：PO=PH．理由：设点P坐标(m，﹣eq \f(1,4) m2+1)，
∵PH=2﹣(﹣eq \f(1,4)m2+1)=eq \f(1,4)m2+1PO==eq \f(1,4)m2+1，∴PO=PH．
(3)∵BC==eq \r(10)，AC==eq \r(10)，AB==4eq \r(2)∴BC=AC，
∵PO=PH，又∵以P，O，H为顶点的三角形与△ABC相似，∴PH与BC，PO与AC是对应边，
∴=，设点P(m，﹣eq \f(1,4) m2+1)，∴=，解得m=±1，
∴点P坐标(1，eq \f(3,4))或(﹣1，eq \f(3,4))．
解：(1)∵点A坐标为(﹣1，0)，点B坐标为(3，0)．
设抛物线y＝a(x＋1)(x﹣3)(a≠0)，
∵抛物线经过点C(0，4)，
∴4＝﹣3a．解得a=-eq \f(4,3)．
∴抛物线的表达式是y=-eq \f(4,3)x2＋eq \f(8,3)x＋4；
(2)①由于⊙G与⊙E内切，
当r⊙G＜r⊙E时，则EF﹣GB＝GE，
设EF＝5t，FG＝3t，GE＝4t，则5t﹣GB＝4t，
∴GB＝t＜GE＝4t，
∴点E在线段CB的延长线上．
又∵已知点E在线段BC上，
∴矛盾，因此不存在．
当r⊙G＞r⊙E时，则GB﹣EF＝GE，
又∵GE＝GB﹣EB，
∴EF＝EB；
②∵OC⊥OB，FD⊥OB，
∴∠COB＝∠EDB＝90°．
∴．
∴设BD＝t，则DE＝eq \f(4,3)t；
在Rt△BED中，由勾股定理得，
．
∴，
∴F坐标为(3﹣t，3t)，
∵F点在抛物线y=-eq \f(4,3)x2＋eq \f(8,3)x＋4上，
∴3t=-eq \f(4,3)(3-t)2＋eq \f(8,3)(3-t)＋4，∴解得t=eq \f(7,4)，t＝0(点F与点B重合，舍去)．
∴F坐标为(eq \f(5,4)，eq \f(21,4))．
解：(1)如图1，∵圆O的圆心为原点，半径为2，与坐标轴交于A，C，D，E四点，
∴A(2，0)，C(0，2)，D(﹣2，0)，E(0，﹣2)，
∵B为OD中点，
∴B(﹣1，0)，
∵抛物线经过点A(2，0)，B(﹣1，0)，C(0，2)，
∴设y＝a(x＋1)(x﹣2)，
将C(0，2)代入，得：2＝a(0＋1)(0﹣2)，解得：a＝﹣1，
∴y＝﹣(x＋1)(x﹣2)＝﹣x2＋x＋2，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2＋x＋2.
(2)如图2，过点C作CH⊥BP于H，
∵OB＝1，OC＝2，OA＝2，∠AOC＝∠BOC＝90°，
∴BC＝eq \r(5)，AC＝2eq \r(2)，
∵MC2＝MNMB，
∴＝，
∵∠CMN＝∠BMC，
∴△MCN∽△MBC，
∴∠MCN＝∠MBC，
∵OA＝OC＝2，∠AOC＝90°，
∴∠MCN＝45°，
∴∠MBC＝45°，
∵∠BHC＝90°，
∴CH＝BH＝BCcs∠MBC＝eq \r(5)cs45°＝eq \f(\r(10),2)，
∵∠BCH＝∠MBC＝45°，
∴∠BCO＋∠HCN＝∠MCH＋∠HCN，
∴∠BCO＝∠MCH，
∴cs∠BCO＝cs∠MCH，
∴＝，∴CM＝，
∴AM＝AC﹣CM＝eq \f(3,4)eq \r(2)，
过点M作MG⊥OA于G，则∠AGM＝90°，
∵∠MAG＝45°，
∴AG＝MG＝AMsin∠MAG＝eq \f(3,4)eq \r(2)×sin45°＝eq \f(3,4)，
∴OG＝OA﹣AG＝2﹣eq \f(3,4)＝eq \f(5,4)，∴M(eq \f(5,4)，eq \f(3,4))．
(3)四边形CFEH是矩形．理由如下：
设抛物线与⊙O的交点坐标为(t，﹣t2＋t＋2)，
∵⊙O的半径为2，
∴(t﹣0)2＋(﹣t2＋t＋2﹣0)2＝22，
化简，得：t4﹣2t3﹣2t2＋4t＝0，
∵t≠0，
∴t3﹣2t2﹣2t＋4＝0，
∴(t﹣2)(t2﹣2)＝0，解得：t1＝2(舍去)，t2＝eq \r(2)，t3＝﹣eq \r(2)，
∴H(eq \r(2)，eq \r(2))，F(﹣eq \r(2)，﹣eq \r(2))，
∴H、F关于点O对称，
∴FH＝CE＝4，且OC＝OE＝OF＝OH，
∴四边形CFEH是矩形．
解，(1)∵抛物线y＝﹣eq \f(3,4)x2＋bx＋c与x轴交于点A(4，0)，与y轴交于点C(0，3)，
∴∴
∴抛物线的表达式为y＝﹣eq \f(3,4)x2＋eq \f(9,4)x＋c；
(2)如图1，∵PM⊥AB，PE⊥x轴，
∴∠PMN＝∠PEA＝90°，
又∵∠PNM＝∠ANE，
∴△PMN∽△AEN．
∴．即．又∵，∴．
设直线AB：y＝kx＋b，又直线AB经过点A(4，0)，点B(0，3)，
∴∴
∴y＝﹣eq \f(3,4)x＋3．
∵点P在抛物线y＝﹣eq \f(3,4)x2＋eq \f(9,4)x＋3上，
∴设点P(m，﹣eq \f(3,4)m2＋eq \f(9,4)m＋3)(0＜m＜4)，
∵点N在直线y＝﹣eq \f(3,4)x＋3上，设点N(m，﹣eq \f(3,4)m＋3)．
∴PN＝﹣eq \f(3,4)m2＋eq \f(9,4)m＋3﹣(﹣eq \f(3,4)m＋3)＝﹣eq \f(3,4)m2＋3m．
又．∴，
解得：m1＝2，m2＝4(不合题意，舍去)．
∴点P的坐标是(2,eq \f(9,2))．
(3)如图2，设OB的中点为点Q，则点Q的坐标(0,eq \f(3,2))，
又点N(m,﹣eq \f(3,4)m＋3)，过点N作NK⊥y轴于点K，
则NK＝m，KQ＝﹣eq \f(3,4)m＋3﹣eq \f(3,2)＝﹣eq \f(3,4)m＋eq \f(3,2)，
在Rt△NQK中，QN＝＝，
当⊙N与⊙Q内切时，．
∴＝ (4﹣m)﹣，解之得：．
∴当⊙N与⊙Q内切时，．
解：(1)将点A(3，2)和点B(4，﹣eq \f(1,2))代入y＝ax2＋bx＋eq \f(7,2)得：
，解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣eq \f(1,2)x2＋x＋eq \f(7,2)，
在y＝﹣eq \f(1,2)x2＋x＋eq \f(7,2)中，令x＝0得y＝eq \f(7,2)，∴C(0，eq \f(7,2))，
设直线BC的解析式为y＝kx＋eq \f(7,2)，将B(4，﹣eq \f(1,2))代入得：
4k＋eq \f(7,2)＝﹣eq \f(1,2)，解得k＝﹣1，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x＋eq \f(7,2)，
(2)存在以O，A，G，H为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
设G(m，0)，H(n，﹣eq \f(1,2)n2＋n＋eq \f(7,2))，又O(0，0)，A(3，2)，
①若GH、OA为对角线，则GH、OA的中点重合，
∴，解得 (此时G与O重合，舍去)或，
∴H(﹣1，2)，
②若GO、HA为对角线，则GO、HA的中点重合，
，解得n＝2eq \r(3)＋1或n＝﹣2eq \r(3)＋1，
∴H(2eq \r(3)＋1，﹣2)或(﹣2eq \r(3)＋1，﹣2)；
③若GA、OH为对角线，则GA、OH的中点重合，
∴，解得n＝3(舍去)或n＝﹣1，
∴H(﹣1，2)，
综上所述，H的坐标为(﹣1，2)或(2eq \r(3)＋1，﹣2)或(﹣2eq \r(3)＋1，﹣2)；
(3)作A关于抛物线对称轴的对称点A'，连接A'D交抛物线对称轴于P，如图：
设D(t，﹣eq \f(1,2)t2＋t＋eq \f(7,2))，则E(t，﹣t＋eq \f(7,2))，
∴DE＝(﹣eq \f(1,2)t2＋t＋eq \f(7,2))﹣(﹣t＋eq \f(7,2))＝﹣eq \f(1,2)t2＋2t＝﹣eq \f(1,2)(t﹣2)2＋2，
∵﹣eq \f(1,2)＜0，
∴t＝2时，DE取最小值2，此时D(2，eq \f(7,2))，
∵抛物线y＝﹣eq \f(1,2)x2＋x＋eq \f(7,2)的对称轴为直线x＝1，
∴A(3，2)关于对称轴直线x＝1的对称点A'(﹣1，2)，
∴PA＝PA'，
∴PA＋PD＝PA'＋PD，
又D、P、A'共线，
∴此时PA'＋PD最小，即PA＋PD最小，PA＋PD的最小值为A'D的长，
∵D(2，eq \f(7,2))，A'(﹣1，2)，∴A'D＝eq \f(3,2)eq \r(5)，
∴PD＋PA的最小值为eq \f(3,2)eq \r(5)．
解：(1)∵y＝ax2＋2x＋b经过B(3，0)，C(0，3)，
∴，∴，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2＋2x＋3，
∵y＝﹣(x﹣1)2＋4，
∴抛物线的顶点D(1，4)；
(2)如图1中，连接BC，过点C作CH⊥BD于点H．设抛物线的对称轴交x轴于点T．
∵C(0，3)，B(3，0)，D(1，4)，
∴BC＝3eq \r(2)，CD＝eq \r(2)，BD＝2eq \r(5)，
∴BC2＋CD2＝BD2，
∴∠BCD＝90°，
∵eq \f(1,2)•CD•CB＝eq \f(1,2)•BD•CH，
∴CH＝＝，
∵EF⊥x轴，DT⊥x轴，
∴EF∥DT，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴BE＝eq \f(\r(5),2)m，BF＝eq \f(1,2)m，
∴△BFE与△DEC的面积之和S＝eq \f(1,2)×(2eq \r(5)﹣eq \f(\r(5),2)m)×eq \f(3\r(5),5)＋eq \f(1,2)×m×eq \f(1,2)m＝eq \f(1,4)(m﹣eq \f(3,2))2＋，
∵eq \f(1,4)＞0，
∴S有最小值，最小值为，此时m＝eq \f(3,2)，
∴m＝eq \f(3,2)时，△BFE与△DEC的面积之和有最小值．
(3)存在．理由：如图2中，由题意抛物线L2的对称轴x＝5，M(6，﹣3)．
设P(5，m)，当BP＝BM＝3eq \r(2)时，22＋m2＝(3eq \r(2))2，
∴m＝±eq \r(14)，
∴P1(5，eq \r(14))，P2(5，﹣eq \r(14))，
当PB＝PM时，22＋m2＝12＋(m＋3)2，解得，m＝﹣1，
∴P3(5，﹣1)，
当BM＝PM时，(3eq \r(2))2＝12＋(m＋3)2，解得，m＝﹣3±eq \r(17)，
∴P4(5，﹣3＋eq \r(17))，P5(5，﹣3﹣eq \r(17))，
综上所述，满足条件的点P的坐标为
P1(5，eq \r(14))，P2(5，﹣eq \r(14))，P3(5，﹣1)，P4(5，﹣3＋eq \r(17))，P5(5，﹣3﹣eq \r(17))．
解：(1)∵t＝3秒，
∴OA＝OB＝3，
∴点B(0，3)，C(3，3)，
将点B、C代入抛物线得，
，解得，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2＋3x＋3，
设BC边上的高为h，
∵BC＝OA＝3，S△BCD＝6，
∴h＝4，
∴点D的纵坐标为3﹣4＝﹣1，
令y＝﹣1，则﹣x2＋3x＋3＝﹣1，
整理得，x2﹣3x﹣4＝0，解得x1＝﹣1，x2＝4，
所以，D1(﹣1，﹣1)，D2(4，﹣1)；
(2)∵OB＝3，
∴EF＝3，
设E(m，﹣m2＋3m＋3)，F(m，m)，
若E在F上方，则，﹣m2＋3m＋3﹣m＝3，
整理得，m2﹣2m＝0，解得m1＝0(舍去)，m2＝2，
∴F1(2，2)，
若F在E上方，则，m﹣(﹣m2＋3m＋3)＝3，
整理m2﹣2m﹣6＝0，解得m1＝1﹣eq \r(7)，m2＝1＋eq \r(7)，
∴F2(1﹣eq \r(7)，1﹣eq \r(7))，F3(1＋eq \r(7)，1＋eq \r(7))；
(4)如图，将△AOP绕点A逆时针旋转90°得到△AP′C，
由旋转的性质得，AP′＝AP，P′C＝OP＝eq \r(2)，∠AP′C＝∠OPA＝135°，
∵△APP′是等腰直角三角形，
∴∠AP′P＝45°，
∴∠PP′C＝135°﹣45°＝90°，
由勾股定理得，PP′＝eq \r(2)，
所以，AP＝eq \f(\r(2),2)PP′＝eq \f(\r(2),2)×eq \r(2)＝1．
解：(1)∵直线l：y=eq \f(3,4)x+m经过点B(0，﹣1)，∴m=﹣1，
∴直线l的解析式为y=eq \f(3,4)x﹣1，
∵直线l：y=eq \f(3,4)x﹣1经过点C(4，n)，∴n=eq \f(3,4)×4﹣1=2，
∵抛物线y=eq \f(1,2)x2+bx+c经过点C(4，2)和点B(0，﹣1)，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为y=eq \f(1,2)x2﹣eq \f(5,4)x﹣1；
(2)令y=0，则eq \f(3,4)x﹣1=0，解得x=eq \f(4,3)，
∴点A的坐标为(eq \f(4,3)，0)，∴OA=eq \f(4,3)，
在Rt△OAB中，OB=1，
∴AB===，
∵DE∥y轴，
∴∠ABO=∠DEF，
在矩形DFEG中，EF=DE•cs∠DEF=DE•=DE，
DF=DE•sin∠DEF=DE•=DE，
∴p=2(DF+EF)=2(+)DE=DE，
∵点D的横坐标为t(0＜t＜4)，
∴D(t，eq \f(1,2)t2﹣eq \f(5,4)t﹣1)，E(t，eq \f(3,4)t﹣1)，
∴DE=(eq \f(3,4)t﹣1)﹣(eq \f(1,2)t2﹣eq \f(5,4)t﹣1)=﹣eq \f(1,2)t2+2t，
∴p=×(﹣t2+2t)=﹣t2+t，
∵p=﹣(t﹣2)2+，且﹣＜0，
∴当t=2时，p有最大值；
(3)∵△AOB绕点M沿逆时针方向旋转90°，
∴A1O1∥y轴时，B1O1∥x轴，设点A1的横坐标为x，
①如图1，点O1、B1在抛物线上时，点O1的横坐标为x，点B1的横坐标为x+1，
∴eq \f(1,2)x2﹣eq \f(5,4)x﹣1=eq \f(1,2)(x+1)2﹣eq \f(5,4)(x+1)﹣1，解得x=eq \f(3,4)
②如图2，点A1、B1在抛物线上时，点B1的横坐标为x+1，
点A1的纵坐标比点B1的纵坐标大eq \f(4,3)，
∴eq \f(1,2)x2﹣eq \f(5,4)x﹣1=eq \f(1,2)(x+1)2﹣eq \f(5,4)(x+1)﹣1+eq \f(4,3)，解得x=﹣eq \f(7,12)，
综上所述，点A1的横坐标为eq \f(3,4)或﹣eq \f(7,12).